Guides d'ondes électromagnétiques et cavités résonantes, chauffage diélectrique par micro-ondes et pertes dans un guide en métal réel
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Le sujet de physique, Centrale MP 2004, étudie la propagation d'une onde électromagnétique guidée entre deux plans métalliques parfaits puis dans une cavité résonante, avant d'explorer deux applications : le chauffage par absorption de micro-ondes d'un matériau, modélisant la vulcanisation du caoutchouc, et les pertes énergétiques par effet Joule dans un guide d'onde en métal réel (cuivre) de conductivité finie.
1Partie I : étude d'un guide d'onde et d'une cavitéPropagation d'une onde plane oblique entre deux plans métalliques parfaits, fréquence de coupure, vitesses de phase et de groupe, puis fermeture du guide en une cavité résonante et étude de ses modes propres.
2Partie II : dispositifs en liaison avec le guide d'ondeAnalogie électrocinétique avec une ligne de cellules en T, étude qualitative d'une lentille métallique à plans parallèles et d'un coupleur unidirectionnel formé de deux guides couplés par de petits trous.
3Partie III : étude thermodynamique d'un dispositif de chauffageAbsorption des micro-ondes par un matériau, établissement et résolution de l'équation de la chaleur en régime permanent puis en régime périodique forcé, et modélisation numérique du matériau par couches discrètes.
4Partie IV : guide en métal non parfaitChamp électrique et courants dans un métal réel de conductivité finie, épaisseur de peau, pertes par effet Joule et optimisation des dimensions du guide pour les minimiser.
Difficile. Le rapport indique que la partie I, qui balayait pourtant le cours sans difficulté majeure a priori, n'a pas donné de résultats brillants, et qu'un nombre impressionnant de candidats bâclent les applications numériques, y compris quand la formule littérale était fournie.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Conditions aux limites omises dans le guide d'onde · Relation entre vitesse de phase et vitesse de groupe affirmée sans démonstration · Signe de l'impédance du dipôle non déterminé
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L'essentiel de l'épreuve portait sur les ondes électromagnétiques dans un guide d'onde, d'abord sans pertes puis avec pertes, la diffusion thermique étant également abordée. La partie I, proche du cours, n'a pourtant pas donné de résultats brillants, certains candidats affirmant des résultats sans justification ou se lançant dans des calculs superflus. Le jury conclut sur le nombre impressionnant de candidats qui bâclent les applications numériques, y compris lorsque la formule littérale est fournie par l'énoncé.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Conditions aux limites omises dans le guide d'ondePartie I
Trop de candidats ne pensent pas à écrire les conditions aux limites, notamment en y = 0, pour trouver le champ réfléchi et la condition de quantification qui en découle, ce qui génère de nombreuses erreurs de signe.
« Trop de candidats ne pensent pas à écrire les conditions aux limites (surtout en y = 0) pour trouver le champ »
2
Relation entre vitesse de phase et vitesse de groupe affirmée sans démonstrationI.A.3
Cette relation a souvent été affirmée et rarement démontrée par les candidats, et peu d'étudiants ont su exprimer ces vitesses en fonction du rapport entre la fréquence de l'onde et la fréquence de coupure.
« La relation entre la vitesse de phase et celle de groupe a souvent été affirmée et rarement démontrée. »
3
Signe de l'impédance du dipôle non déterminéII.A.1
Seuls de rares candidats répondent correctement aux premières questions de cette partie, mais ils ne parviennent jamais à lever l'indétermination sur le signe de l'impédance du dipôle étudié.
« ils nʼont jamais levé lʼindétermination sur le signe de lʼimpédance du dipôle »
4
Bilan thermique affirmé plutôt que démontréPartie III
L'écriture d'un bilan thermique ne semble pas toujours acquise : écrire simplement « on a » suivi d'une équation différentielle n'est pas une démonstration, et écrire des intégrales triples superflues n'est pas indispensable pour établir un bilan correct.
« Ecrire simplement « on a » suivi dʼune équation différentielle nʼest pas une démonstration. »
5
Calcul de la puissance dissipée jamais traitéPartie IV
Dans la dernière partie sur le guide en métal réel, le calcul de la puissance dissipée par effet Joule n'a jamais été traité par les candidats.
« Le calcul de la puissance dissipée nʼa jamais été traité. »
6
Épaisseur de peau mal calculée malgré la formule fournieIV.A.1
Le calcul de l'épaisseur de peau, dont la formule littérale était pourtant fournie par l'énoncé, a conduit à un lot impressionnant de valeurs erronées et même fantaisistes.
« le calcul de lʼépaisseur de peau à la question IV .A.1.c) dont la formule littérale était fournie, a conduit à un lot impressionnant de valeurs »
Ce qui a été bien réussi
La partie B de la première partie a été mieux réussie car l'énoncé guidait davantage les candidats.
Des explications simples ont permis à quelques étudiants de glaner des points dans la partie B de la deuxième partie.
L'étude en régime périodique de la partie III a été mieux réussie que le reste de cette partie.
Certains étudiants ont récupéré des points précieux en calculant le champ magnétique puis le vecteur de Poynting sans se limiter aux relations toutes faites.
Conseils du jury
Toujours écrire explicitement les conditions aux limites nécessaires pour déterminer une constante ou une condition de quantification.
Démontrer une relation plutôt que de se contenter de l'affirmer, en particulier la relation entre vitesse de phase et vitesse de groupe.
Rédiger un véritable bilan physique, en justifiant chaque étape plutôt que d'écrire directement une équation différentielle.
Soigner les applications numériques : vérifier les unités, la cohérence des ordres de grandeur, et ne jamais donner un résultat fantaisiste sans le questionner.
Vérifier systématiquement le signe des grandeurs calculées, comme une impédance ou une résistance.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Ce problème étudie quelques aspects de la physique des guides d'onde et cavités résonantes. On ne s'intéresse qu'à la partie non statique du champ électromagnétique. Les grandeurs a priori complexes sont notées soulignées. La représentation complexe d'une grandeur réelle g est g_– telle que Re(g_–) = g. On désigne par i le nombre complexe tel que i^2 = − 1.
Données numériques :
Permittivité du vide :
ε_0 = 8, 8 ⋅ 10^(− 12)SI
Perméabilité du vide :
μ_0 = 4π ⋅ 10^(− 7)SI
Vitesse de la lumière :
c = 3, 0 ⋅ 10^8 m ⋅ s^(− 1)
Formule d'analyse vectorielle : rot^(→−)(rot^(→−)A⃗) = grad^(→−)(divA⃗) − Δ⃗A⃗.
Partie I - Étude d'un guide d'onde et d'une cavité
I.A - Propagation d'une onde guidée
L'espace est muni d'un repère orthonormé direct (Oxyz) associé à la base ( e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z ). Le métal considéré dans cette partie est parfait.
I.A.1) On considère deux plans métalliques parfaits d'équations y = 0 et y = b. De façon à éviter des pertes par rayonnement on cherche à faire se propager selon la direction ( Ox ) une onde plane progressive, harmonique (monochromatique) de pulsation ω, polarisée rectilignement selon (Oz). Montrer que ceci est impossible.
I.A.2) On choisit alors d'envoyer cette onde en oblique entre les deux plans selon le vecteur d'onde k_1^(→−) faisant l'angle α(α ∈ ]0, π/2[) avec l'axe ( Ox ).
Le champ électrique associé est noté
E_1^(→−)_– = E_0 e^(i(ωt − k⃗_1 ⋅ OM^(→−)))e⃗_z.
a) En utilisant notamment les lois de Descartes, déterminer l'expression du champ électrique E_2^(→−) de l'onde plane réfléchie. Déterminer les valeurs possibles de sinα en fonction d'un entier p, λ_0 (longueur d'onde dans le vide) et b.
Filière MP
b) Donner l'expression de la somme E⃗_– des champs incident et réfléchi. Justifier sans calcul pourquoi ce champ est bien solution des équations de Maxwell. Dans quelle direction et quel sens y a-t-il propagation? Déterminer en fonction de k_0 = ω/c et α le module du vecteur d'onde k_g dans le guide.
I.A.3)
a) Exprimer en fonction de c et b la fréquence minimale f_c en deçà de laquelle il ne peut y avoir de propagation. Quelle condition doit vérifier b pour qu'une onde de 2, 5GHz puisse se propager ?
b) Trouver la relation entre k_0 et k_g. Comment appelle-t-on cette relation?
c) Trouver une relation entre la vitesse de phase v_φ et la vitesse de groupe v_g sans les calculer explicitement, puis donner leurs expressions en fonction de c, p et du rapport de la fréquence de l'onde sur f_c. Déterminer littéralement et numériquement la valeur de l'angle α pour lequel la vitesse de groupe est la plus grande (prendre b = 6, 6 cm et f = 2, 5GHz ). Quelle est la valeur de p associée?
I.A.4) On ferme le guide par deux autres plans parallèles en z = 0 et z = a. Montrer sans calculs que cela est possible sans changer les solutions précédentes. Sur quels plans apparaissent des charges surfaciques?
I.B - Du guide d'onde à la cavité
On ferme le guide d'onde par deux plans infiniment conducteurs en x = 0 et x = l. On obtient une cavité électromagnétique.
I.B.1) On considère le champ E⃗_– de la question I.A.2-b) que l'on note
E⃗_i_– = E_0_–(y)e^(i(ωt − k_g x))e⃗_z
et que l'on peut considérer comme un champ incident sur le plan x = l. Expliquer sans calcul pourquoi il existe un champ réfléchi. Montrer que si on suppose un champ réfléchi de la forme
E_0^(→−) = K_–E_0_–(y)e^(i(ωt + k_g x))e⃗_z,
seul champ à coexister avec E⃗_–_i, alors les équations de Maxwell peuvent être vérifiées. Déterminer K_– et montrer qu'il existe une condition de quantification sur k_g.
I.B.2) En déduire que les pulsations possibles dans le cadre des hypothèses effectuées sont de la forme :
ω = πc√((m/l)^2 + (p/b)^2) où m et p sont des entiers.
I.B.3)
a) Montrer que le champ électrique peut se mettre sous la forme
E⃗_– = E_c sin(pπy/b)sin(mπx/l)e^(iωt)e⃗_z avec E_c réel.
On se place dans la suite dans le cas où m = p = 1. Quelles sont les parois de la cavité susceptibles de porter une densité surfacique de charge non nulle ? Dessiner un schéma de la cavité en indiquant avec les signes + et - les charges relatives de ces faces en espaçant d'autant plus ces signes que la densité surfacique est faible en valeur absolue (préciser les axes Ox, Oy et Oz ).
b) Donner l'expression du champ magnétique B⃗_– en fonction notamment de E_c, x et y, puis préciser les faces de la cavité où apparaissent des courants surfaciques.
c) Calculer W_e(t) et W_m(t) les énergies électriques et magnétiques instantanées dans la cavité en fonction de W_0 = ε_0 E_c^2 V/8 ( V étant le volume de la cavité). Représenter sur un même graphe les évolutions temporelles de W_e et W_m. Que vaut l'énergie électromagnétique totale W ? Commenter. Trouver une analogie avec un circuit électrocinétique simple.
Partie II - Dispositifs en liaison avec le guide d'onde
II.A - Analogie électrocinétique
On considère le dipôle AB suivant, constitué d'une suite de cellules en T ( 2C, L, 2C ) placées en cascade (les deux condensateurs placés en série de deux cellules successives placées en cascade sont équivalents à un condensateur unique de capacité C ).
II.A.1) Calculer l'impédance du dipôle en mettant en évidence deux cas différents (prendre soin de lever les indéterminations sur les
signes). Quelle est, en fonction de L et C, l'expression de la pulsation critique ω_c ainsi mise en évidence?
II.A.2) Interpréter énergétiquement la différence de comportement du dipôle dans les deux cas précédents. En quoi ce système est-il analogue à un guide d'onde?
II.B - Étude qualitative de deux dispositifs à guide d'onde
II.B.1) Lentille métallique «plans parallèles»
a) Montrer que si on définit l'indice n d'un guide en utilisant la vitesse de phase ( n = c/v_φ ) on obtient n < 1.
b) On considère le dispositif ci-contre constitué de plans parallèles. Une onde électromagnétique plane, progressive, harmonique et polarisée orthogonalement au plan de la figure, arrive sur ce dispositif parallèlement aux plans métalliques. Montrer sans aucun calcul, mais en utilisant une analogie optique, que ce système se comporte comme une lentille dont on précisera la nature (on pourra considérer une lentille d'air au sein d'un bloc de verre). Justifier, en utilisant un principe d'optique physique, l'utilisation de la vitesse de phase à la question précédente.
II.B.2) Coupleur unidirectionnel.
On considère deux guides parallèles ayant une paroi commune : le guide inférieur est parcouru, de la gauche vers la droite, par une onde transverse électrique
correspondant à un seul des modes mis en évidence dans la question I.B.3-a). Le guide supérieur ne contient aucune source de champ électromagnétique. On ne s'intéresse qu'aux dépendances en x. On réalise, en un point A, un trou de faibles dimensions devant la longueur d'onde (voir figure ci-contre).
a) Expliquer sans calcul pourquoi une onde se propage dans le guide supérieur dans les deux sens possibles. On note s_–_A^+ = s_0 e^(i(ωt − kx)) l'onde émise par A se propageant dans le sens des x croissants. Déterminer l'amplitude complexe s_–_A^−de l'onde émise par A se propageant dans le sens des x décroissants.
b) On effectue un trou B supplémentaire à droite du trou A, et distant d'un quart de longueur d'onde. Déterminer de même s_–_B^+et s_–_B^−.
c) En déduire l'amplitude de l'onde en tout point du guide supérieur, commenter et montrer qu'il existe une onde progressive s'y propageant, préciser son sens de propagation.
Partie III - Étude thermodynamique d'un dispositif de chauffage
Les micro-ondes peuvent être absorbées par différents matériaux notamment ceux contenant de l'eau liquide. L'échauffement de ces matériaux a de nombreuses applications industrielles : séchage d'encres et peintures, séchage sous vide de produits pharmaceutiques ou alimentaires, décongélation... Le caoutchouc étant un très bon absorbant des micro-ondes, on utilise ces dernières pour le
chauffer afin d'obtenir sa vulcanisation (des ponts entre molécules se forment et le caoutchouc devient «solide»). C'est un modèle simplifié du chauffage d'une petite pièce de caoutchouc que l'on étudie par la suite. On se place dans le cadre d'un modèle à une dimension : toutes les grandeurs ne dépendent que de l'abscisse et éventuellement du temps.
Valeurs numériques :
λ = 15 W ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1), α = 0, 05 cm^(− 1), c_p = 2, 1 J ⋅ g^(− 1) ⋅ K^(− 1); ρ = 1200 kg ⋅ m^(− 3), l = 1, 0 cm, P_0 = 2, 4 W ⋅ cm^(− 2)
III.A - Absorption des micro-ondes par le matériau
III.A.1) On considère une onde plane arrivant sous incidence normale sur le matériau en x = 0. La puissance transportée par l'onde par unité de surface est notée P(x). On admet que la puissance volumique absorbée en un point d'abscisse x est proportionnelle à P(x), on la note αP où α est appelé coefficient d'absorption. Établir l'expression de P(x) en fonction de P_0 (puissance initiale de l'onde) α et x.
III.A.2) Le matériau est de longueur finie notée 2l. Deux ondes incohérentes de même puissance initiale P_0 arrivent maintenant sur le matériau en x = − l et en x = l.
En supposant que αl « 1 déterminer l'expression de la puissance volumique absorbée par le matériau, notée σ, en fonction de P_0 et α. Le chauffage est-il uniforme? Effectuer l'application numérique.
III.A.3) Dans le cadre du modèle unidimensionnel que l'on étudie ici, seules les surfaces en x = − l et x = l sont en contact avec l'air ambiant de température constante et uniforme T_a. On note h le coefficient de transfert conducto-convectif entre le matériau et l'air (on suppose que ce transfert suit la loi de Newton). La surface latérale est isolée thermiquement de l'air. Déterminer le vecteur densité volumique de courant de conduction thermique j⃗_c en x = 0, x = l et x = − l en faisant intervenir h si possible. En déduire que l'on peut se ramener à l'étude du matériau entre les abscisses x = 0 et x = l.
III.B - Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de température T(x, t); poser D = λ/(ρc_p) et u = σ/(ρc_p) où λ est la conductivité thermique du matériau, ρ la densité volumique de masse, c_p la capacité thermique massique à pression constante. Donner la valeur numérique du coefficient de diffusion D.
III.C - Régime permanent
III.C.1) Établir l'expression de T(x) sous la forme de la somme de trois termes dont deux font intervenir séparément l'influence de la conduction et des échanges conducto-convectifs avec l'air ambiant. Tracer l'allure de la courbe représentative. Commenter les cas λ → + ∞ et h → + ∞. Quelle est l'influence de h ?
III.C.2) Évaluer littéralement et numériquement l'écart maximal de température au sein du matériau. Pourquoi cherche-t-on en pratique à faire en sorte que cet écart soit le plus faible possible?
III.D - La puissance électromagnétique instantanée émise par le dispositif générant les micro-ondes n'est pas réglable. Par contre on peut régler la puissance moyenne en faisant suivre les phases d'émission par des phases d'extinction du dispositif générant les micro-ondes.
Dans le cas où ces phases ont la même durée, la puissance moyenne émise est la moitié de la puissance instantanée en phase d'émission. On se place dans ce cas dans la suite. L'allure de P(t), puissance instantanée, est indiquée sur le schéma ci-contre.
On ne tient compte dans la suite que de la première harmonique de ce signal dépendant du temps, c'est l'approximation de la première harmonique. On écrit alors
P(t) = P_0(1/2 + 2/πsinωt) avec ω = 2π/T où T = 1, 0 s est la période de P(t).
On se place dans le cas où le régime forcé est atteint.
III.D.1)
a) Dans l'équation de la question III.B le terme provenant des sources internes est écrit en représentation complexe : u_– = u_0 + Δu_–e^(iωt). Exprimer u_0 et Δu_– en fonction de α, P_0, ρ et c_p.
b) On pose T_– = T_–_1 + T_–_2 où T_–_1 est la réponse en température à la partie stationnaire des sources internes et T_–_2 la réponse à la partie variable sinusoïdalement. Écrire les équations aux dérivées partielles vérifiées par T_–_1 et T_–_2.
III.D.2)
a) On cherche pour T_–_2 une solution de la forme T_–_2 = f(x)e^(iωt) où f est une fonction à valeurs complexes. Établir l'équation différentielle vérifiée par f. Donner la forme générale des solutions et définir en fonction de ω et D une longueur caractéristique des variations spatiales de T_–_2 que l'on notera l_c. Calculer numériquement l_c et justifier que le milieu peut être considéré comme infini.
b) En déduire dans le cadre de cette approximation la seule condition aux limites sur T_–. Montrer que T_–_2 ne dépend pas de x et donner son expression en fonction de Δu_–. Que représente formellement T_–_2 par rapport à Δu_–e^(iωt) ? Évaluer littéralement et numériquement l'amplitude temporelle des écarts de température.
III.E - Dans cette partie on s'intéresse à la mise en place d'un modèle numérique de la situation physique exposée précédemment. Le but de cette modélisation est de pouvoir calculer à l'aide d'un programme informatique le champ de température pour différents types de forçages P(t). Le principe est de découper le matériau en N couches (de longueurs Δl = l/N et de section S ) dont la température est supposée homogène. On pose
j˙→_(n − 1, n) = − λ((T_n − T_(n − 1))/(Δl))e⃗_x
le vecteur densité volumique de courant de conduction thermique à l'interface de séparation entre les couches n − 1 et n. L'ordre croissant des couches est donné par e⃗_x.
III.E.1) Dans cette question on s'intéresse au modèle très simple à deux couches. Le chauffage par rayonnement s'effectue par la droite de l'échantillon dont la surface latérale et la partie gauche sont thermiquement isolées (schéma ci-contre). Comme dans les par-
ties précédentes, on prendra en considération les transferts thermiques conducto-convectifs à l'interface avec le milieu extérieur.
a) Établir les équations différentielles vérifiées par T_1 et T_2 en faisant intervenir les grandeurs C_c = ρSΔlc_p, α = λS/Δl et P_c = ΔlσS (ne pas résoudre les équations).
b) Compléter le schéma ci-contre, de façon à obtenir une situation analogue électriquement à la situation précédente, et écrire les équations vérifiées par les potentiels V_1 et V_2. Écrire un tableau mettant en évidence les analogies entre les situations thermiques et électriques.
III.E.2) On cherche, dans le cadre d'un calcul numérique, une condition sur le nombre N de couches à utiliser. On note T_0 un temps caractéristique de l'excitation (périodique ou non). Déterminer, à partir de l'équation de la chaleur, un temps caractéristique τ lié aux phénomènes de diffusion en fonction de l, D et N. En déduire une condition littérale sur l'ordre de grandeur de N. Effectuer
une application numérique pour une excitation périodique de fréquence de l'ordre de 1 Hz .
Partie IV - Guide en métal non parfait
On suppose dans cette section que le métal constituant le guide d'onde est en cuivre de conductivité non infinie γ = 5, 9 ⋅ 10^7 S ⋅ m^(− 1). La fréquence considérée est 2, 5GHz.
IV.A - Champ électrique dans le métal et aspect énergétique
L'espace est muni du repère orthonormé ( Oxyz ). Afin d'étudier simplement le champ électrique dans le métal du guide on considère la modélisation suivante : un métal remplit le milieu semi-infini y ≥ 0, la variation spatiale selon la direction de l'axe (Oz) (appartenant à l'interface de séparation entre le vide et le métal) est celle d'une onde plane progressive monochromatique de vecteur d'onde k⃗.
On pose E⃗_– = E_–(y)e^(i(ωt − kz))e⃗_x.
IV.A.1)
a) Montrer que dans le métal la densité volumique de charge est nulle.
b) Calculer dans le métal le rapport des ordres de grandeur du courant de déplacement
j_d→ = ε_0∂E⃗/∂t
et du courant volumique de conduction j_v→. Commenter.
c) En tenant compte de la question précédente, établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ E⃗. En déduire l'équation vérifiée par E_–(y). On posera:
δ = √(2/(μ_0 γω))
Calculer numériquement δ.
d) En déduire l'expression de j_v→ en fonction de y, δ, ω, t, z et d'une constante que l'on notera j_0→_–.
IV.A.2) On s'intéresse dans cette question au lien entre les représentations surfaciques et volumiques des courants. On considère un cylindre semi-infini dont la base, d'aire dS, appartient à la surface de séparation entre le vide et le métal et dont les génératrices sont parallèles à l'axe des y. On prendra l'origine de l'axe en un point de la base de la colonne de métal considérée.
a) En pratique, la profondeur de pénétration de l'onde dans le métal est faible. On peut donc modéliser les courants dans le métal par un champ de vecteur densité surfacique de courant j_s→. Établir la relation vectorielle entre j_s→ et le champ de vecteur densité volumique de courant j_v→.
b) On note < dP_J > la moyenne temporelle de la puissance dissipée par effet Joule dans une colonne d'aire dS. Trouver l'expression de ⟨dP_J/dS⟩ en fonction de γ et de j_v→.
c) En utilisant les résultats de la question IV.A.1-d, exprimer j_s→ et ⟨dP_J/dS⟩ en faisant intervenir notamment j_0, δ et γ. En déduire :
⟨(dP_J)/(dS)⟩ = 1/(γδ)⟨j⃗_s^2⟩.
d) Montrer que l'on pourrait considérer que la répartition surfacique j_s→ est équivalente énergétiquement à une densité de courant volumique uniforme sur une épaisseur δ_(eff). Exprimer δ_(eff) en fonction de δ.
IV.B - Pertes énergétiques et optimisation
On étudie dans cette partie les pertes dues à l'effet Joule. La prise en compte d'une conductivité non infinie modifie les solutions obtenues dans le cas d'un métal parfait. Néanmoins, on considère dans la suite que γ reste suffisamment grand pour que l'on puisse
approximer dans le vide les champs par ceux obtenus dans le cas du métal parfait.
On s'intéresse plus particulièrement au cas du premier mode transversal électrique dont le champ s'écrit :
E_–→ = E_0 sin((πy)/b)e^(i(ωt − k_g x))e_z→.
IV.B.1) En utilisant la relation de passage pour le champ magnétique au voisinage d'un métal parfait donner l'expression de j_s^2 en fonction de B^2 et μ_0.
IV.B.2) Déterminer les composantes réelles du champ magnétique B⃗. En déduire l'expression de ⟨B^2⟩ (où ⟨ > est l'opérateur de valeur moyenne dans le temps) en fonction de E_0, ω, b, k_g et y.
IV.B.3) Montrer que la valeur moyenne dans le temps de la puissance dissipée par unité de longueur du guide peut se mettre sous la forme
⟨(dP)/(dx)⟩ = p_0((aλ_0)/(2b^2) + b/(λ_0))
où p_0 est une constante à déterminer en fonction de E_0, λ_0 (longueur d'onde dans le vide), γ, δ, μ_0 et c.
IV.B.4) On suppose fixée la longueur a transversale du guide. Déterminer en fonction de λ_0 et a la valeur optimale b_0 pour laquelle il y a minimisation des pertes énergétiques lors de la propagation de l'onde dans le guide. Calculer numériquement b_0 dans le cas où a = 2, 0 cm.
IV.B.5)
a) Calculer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting ⟨𝒫^(→−)⟩. En déduire la puissance moyenne temporelle P_m traversant une section du guide.
b) Montrer que la variation de P_m le long du guide est exponentielle et calculer numériquement la longueur caractéristique de décroissance.
-•• FIN •••
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique Centrale MP 2004 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique Centrale MP 2004 ?
+
Le sujet porte sur les guides d'ondes électromagnétiques et les cavités résonantes, le chauffage par micro-ondes d'un matériau (équation de la chaleur), et les pertes par effet Joule dans un guide d'onde en métal réel.
Quelle est la moyenne à l'épreuve de physique Centrale MP 2004 ?
+
Le rapport ne communique aucune moyenne ni écart-type chiffrés pour cette épreuve.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de physique Centrale MP 2004 ?
+
Le jury relève des conditions aux limites omises dans le guide d'onde, une relation vitesse de phase/vitesse de groupe affirmée sans démonstration, un bilan thermique non justifié, et des applications numériques bâclées, notamment pour l'épaisseur de peau.
Cette épreuve de physique Centrale MP 2004 est-elle difficile ?
+
Le rapport la juge difficile dans la pratique : la première partie, proche du cours et a priori sans difficulté majeure, n'a pourtant pas donné de résultats brillants, et les applications numériques ont été bâclées par un nombre impressionnant de candidats.
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