Mines Physique 1 MP 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Rayonnement du corps noir (lois de Stefan et de Wien)
Angle solide
Bilan thermique radiatif
Conduction thermique
Capacité thermique et changement d'état

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BanqueMines Année2003 FilièreMP MatièrePhysique

Annales Mines MP Physique Mines MP 2003 MP Physique Physique 2003

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Températures de surface de la Terre et de la Lune : rayonnement du corps noir et sol lunaire

Le problème étudie le rayonnement du corps noir appliqué aux températures de surface de la Terre et de la Lune. La première partie détermine la température terrestre puis lunaire, en tenant compte de l'atmosphère et de l'ensoleillement. La seconde partie étudie le sol lunaire, sa modélisation thermique et l'influence de l'impact des météorites.

1Partie I : températures de surfaceDétermine la température terrestre puis lunaire, en tenant compte de l'atmosphère et de l'ensoleillement, à partir du rayonnement du corps noir.
2Partie II : le sol lunaireModélise le transfert thermique dans le sol lunaire (conduction, rayonnement) et étudie l'influence de l'impact des météorites.

Accessible. Le rapport indique que le problème a une longueur raisonnable, sans grandes difficultés, même si la seconde partie a été un peu moins bien réussie.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Aire de la sphère mal connue · Confusion entre loi de Stefan et loi de Fourier · Confusion sur l'échelle de l'infrarouge

Le jury constate que les candidats ont abordé toutes les questions sans oublier les applications numériques et se sont montrés intéressés par le sujet. La seconde partie, faisant appel à la conduction thermique et à la mécanique, a été un peu moins bien réussie que la première.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Aire de la sphère mal connue1-3
Beaucoup trop de candidats ne connaissent pas la formule de l'aire d'une sphère, pourtant nécessaire dès les premières questions.
« beaucoup (trop) de candidats ne connaissent pas l’aire de la sphère »
2
Confusion entre loi de Stefan et loi de Fourier20
La moitié des candidats lisent mal la question et confondent la loi de Stefan avec la loi de Fourier.
« La moitié des candidats ne lisent pas (ou lisent mal) la question et identifient malheureusement la loi de Stéfan et la loi de Fourier »
3
Confusion sur l'échelle de l'infrarouge14-15
Le préfixe infra s'applique à une échelle de fréquence ou d'énergie, et non à une échelle de longueur d'onde, ce qui trompe de nombreux candidats.
« Le préfixe infra veut bien dire inférieur mais sur une échelle de fréquence ou d’énergie et non sur une échelle de longueur d’onde »
4
Bilan thermique non homogène16-17
L'erreur la plus fréquente réside dans une expression non homogène du bilan thermique.
« La faute la plus couramment rencontrée se trouve dans une expression non homogène du bilan thermique »
5
Doute injustifié sur un résultat correct21
La faible valeur de la conductivité thermique équivalente au rayonnement déstabilise des candidats qui pensent avoir fait une erreur de calcul.
« la conductivité thermique équivalente au rayonnement est naturellement très faible devant la conductivité du solide ce qui déstabilise les candidats »

Ce qui a été bien réussi

La présentation des copies est fort convenable.
Les candidats ont, dans l'ensemble, abordé toutes les questions sans oublier les applications numériques.
La question 24 a été bien traitée et bien rédigée dans de nombreuses copies.

Conseils du jury

Toujours vérifier l'homogénéité des expressions dans un bilan thermique.
Prendre le temps de répondre aux questions qualitatives, même brièvement, car elles comptent dans le barème.
Bien connaître les formules géométriques de base, comme l'aire d'une sphère ou l'angle solide.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Filière MP(Durée de l'épreuve : $3$ heures; l'usage de la calculatrice est autorisé)Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPEEIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Physique I - Filière MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6 pages.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

La surface de la Lune

On se propose d'étudier deux aspects de la surface lunaire : la température de surface et le sol. Ces deux parties sont indépendantes entre elles.

Dans tout le problème, étoile et planètes seront considérées comme des sphères en équilibre thermique, et qui se comportent comme des corps noirs.

Important : on trouvera en pages 5 et 6 un ensemble de données relatives à ce problème; ces données complètent (ou, à l'occasion, répètent) celles de l'énoncé. Quelquesunes de ces données pourront servir plusieurs fois ; d'autres n'ont de valeur qu'informative. Quand l'énoncé ne les indique pas, il appartient aux candidats de repérer et d'utiliser les données utiles pour la résolution de certaines questions.
Les questions numérotées avec un astérisque (par exemple, $◻4$ *) sont de type essentiellement qualitatif ; elles demandent peu de calculs, voire pas du tout.

Partie I Températures de surface

Température terrestre

Un modèle bien fruste
1 - On modélise la surface de la Terre par une coquille sphérique de température uniforme, en équilibre thermodynamique : puissance absorbée et puissance émise sont égales. Soit $P_S$ la puissance totale émise par le Soleil. Exprimer $P_S$ en fonction du rayon solaire $R_S$ et
de la température solaire $T_S$ . Exprimer, en fonction de $P_S$ , la puissance $P_0$ reçue par la Terre, à la distance $D_(ST)$ du Soleil, supposé ponctuel. Exprimer alors la température de surface de la Terre, $T_T$ .
$◻2$ - En réalité, la puissance absorbée par la surface de la Terre n'est qu'une fraction de la puissance du rayonnement solaire incident : la surface terrestre réfléchit la fraction $A_T$ , nommée albédo, de ce rayonnement. L'albédo moyen de la Terre est égal à 0,35 , ce qui signifie que 65 % du rayonnement solaire incident est absorbé. Établir l'expression suivante de la température de surface de la Terre :

T_T^4 = (R_S)/(2D_(ST))]^2(1 - A_T)T_S^4.

◻3

- Calculer alors la valeur numérique de

T_T

; ne pas s’offusquer de la valeur trouvée à partir de ce premier modèle.

- Influence de l'atmosphère terrestre

L'atmosphère joue un rôle essentiel dans le bilan thermique terrestre. Désormais, on entendra par « Terre» la planète proprement dite, de rayon

R_T

, entourée d'une pellicule sphérique de gaz, qui constitue l'atmosphère.
L'atmosphère est modélisée par une couche d'épaisseur

e≪R_T

et de température uniforme

T_a

; elle absorbe la fraction

α

du rayonnement solaire non réfléchi ; elle absorbe aussi la totalité du rayonnement du corps noir émis par la surface de la Terre. La Terre absorbe la totalité du rayonnement émis par l'atmosphère vers celle-ci (Fig. 1).

Fig. 1 : un bilan des rayonnements

4* - À quoi pourrait être due la différence d'absorption de l'atmosphère pour les rayonnements solaire et terrestre?

◻5

- Soit

T_T^'

la température superficielle moyenne de la Terre calculée en tenant compte de l'influence de l'atmosphère. Exprimer

P_1

, puissance solaire absorbée par la surface terrestre ; exprimer

P_2

, puissance rayonnée par l'atmosphère vers la Terre. Effectuer un bilan thermique pour l'atmosphère. En déduire la relation

T_T^('4) = (2 - α)T_T^4

◻6

- Application numérique : calculer

T_T^'

pour

α = 0, 35

(l'égalité

α = A_T

est fortuite).

◻7

- Montrer que la température de l'atmosphère,

T_a

, est égale à

T_T

Température lunaire

- Température de la surface ensoleillée

L'albédo moyen de la Lune,

A_L

, est égal à

0, 073 : 92, 7%

du flux solaire est absorbé par le sol. On suppose l'albédo uniforme sur toute la surface éclairée.

◻8

- Exprimer et calculer la valeur numérique de la température de surface de la Lune,

T_(L,Soleil)

, en ne tenant compte que du rayonnement solaire.

9* - L'hypothèse d'une température uniforme pour la Lune n'est pas conforme à la réalité : la surface lunaire présente de gros écarts de température. Représenter sur un schéma la position, par rapport au Soleil, de la zone de températures les plus élevées.
$◻10$ - Effectuer un bilan thermique pour une surface élémentaire de cette zone et en déduire $T_(L, max)$ , la température maximale à la surface de la Lune. La valeur expérimentale est de l'ordre de $120^\circC$ .
Le «clair de Terre».

Lorsque l'axe Soleil-Lune est perpendiculaire à l'axe Lune-Terre, on cherche à déterminer la température superficielle de la Lune en un point

M

éclairé uniquement par la Terre. Ce point reçoit le rayonnement de deux corps noirs de nature différente, celui du Soleil, réfléchi par la Terre, et celui de l'atmosphère terrestre.

◻11

- Évaluer la puissance surfacique de chacun de ces rayonnements.

◻12

- Déterminer la température maximale à la surface de la Lune uniquement éclairée par la Terre :

T_(L, Terre)^'

◻

13* - Comment serait modifiée la température d'un point M' situé dans la zone éclairée par le Soleil si l'on tenait compte également du rayonnement terrestre?

◻

14* - Un instrument situé à la surface de la Lune détecte un rayonnement visible et un rayonnement infrarouge. Indiquer le domaine de longueurs d'onde caractéristique de chacun de ces rayonnements. Le résultat sera donné en micromètres.

15* - À quel domaine de longueurs d'onde appartient le rayonnement thermique émis par la Lune ? quelle est l'origine du rayonnement visible provenant de la Lune ?

Influence de la radioactivité

La Lune contient des roches radioactives, essentiellement

^(238)U

^(40) K

. La puissance volumique moyenne libérée par les roches lunaires,

p_L

, a été évaluée à

10^(- 8) W \cdot m^(- 3)

16 - Exprimer la température superficielle de la Lune,

T_(L, Roches)

, pour les zones à l'ombre du Soleil et de la Terre et en ne tenant compte que de l'apport énergétique radioactif.

17* - La radioactivité modifie-t-elle de façon significative la température dans les zones très éclairées ?

Partie II Le sol lunaire

Modélisations

Le sol lunaire est bombardé et réduit en poussière par les météorites et le vent solaire, constitué essentiellement de protons et d'électrons. La composition du sol lunaire est proche de celle des silicates, dont quelques caractéristiques physiques sont indiquées pages 5 et 6 . La couche supérieure, très fine, est représentée par un empilement compact de sphères de
silicates, de rayon

R_(Sil)

et de température uniforme (Fig. 2). Le contact entre les sphères est supposé ponctuel. On note

c

la distance verticale minimale entre deux sphères en positions semblables :

c = 2 \cdot \sqrt(2/3)R_(Sil) \approx 1, 633R_(Sil)

. Dans une telle structure compacte, le volume occupé par les sphères est de l'ordre de 74 % du volume de l'empilement.

Fig. 2 : Le plan inférieur de l'empilement compact est constitué de sphères dont les centres sont notés

A

. Une couche identique de sphères, dont les centres sont à l'à-pic des points de type B, est superposée à ce plan. Les centres des sphères de la troisième couche sont en sites de type

A

, et ainsi de suite (empilement de type

ABAB\dots

18* - Justifier qu'avec un tel modèle les échanges thermiques entre les sphères soient limités au rayonnement.

19* - L’empilement précédent est maintenant modélisé par un ensemble de plans parallèles opaques, placés dans le vide, séparés par la distance

c/2

. Que pensezvous de ce modèle ?

◻20

- On suppose que l'écart de température

ΔT

d'un plan à l'autre est très petit devant la température de ces plans. La puissance surfacique émise à l'équilibre thermodynamique par un corps de température

T

est

P = σT^4

, où

σ

est la constante de Stefan. Exprimer à l'aide de ces hypothèses le flux thermique

J_Q

qui se propage de plan en plan dans la direction perpendiculaire à ces derniers. Montrer que l’on peut caractériser le milieu ainsi modélisé par un coefficient de conductivité thermique dépendant de la température de la forme

λ(T) = A(R_(Sil), σ)T^n

; trouver la valeur de

n

et l'expression de

A

◻21

- La dimension des grains de poussière est, en ordre de grandeur,

R_(Sil) \approx 100μ m

; comparer l'ordre de grandeur de

λ(T)

obtenu avec ce modèle avec la valeur expérimentale de la conductivité des silicates :

K_(Sil) \approx 1, 11 W \cdot K^(- 1) \cdot m^(- 1)

◻22

- Comparer la densité

d

et la capacité calorifique massique

c

de la couche supérieure avec

d_(Sil)

c_(Sil)

23* - Il est généralement admis que ce sont les couches les plus profondes qui ont les caractéristiques physiques les plus voisines de celles des modèles ci-dessus. Pourquoi ?

Influence de l'impact des météorites

On admet que les météorites heurtant la surface lunaire ont même composition que le sol lunaire. On rappelle que le référentiel de Copernic, ou référentiel héliocentrique, est lié au centre de masse du système solaire et que ses axes pointent vers des étoiles réputées fixes. Le référentiel de Copernic est supposé galiléen.

24 - Vérifier que la vitesse d'impact d'une météorite frappant la surface lunaire et de vitesse négligeable dans le référentiel de Copernic est de l’ordre de $3 \times 10^4 m.s^(- 1)$ .
25 - Montrer que l'impact d'une météorite de masse $m_1$ peut dégager une énergie suffisante pour porter à l'état liquide une masse $m_2$ de la surface de la Lune. Déterminer puis calculer le rapport $m_2/m_1$ .
$◻26^*$ - La solidification du matériau en fusion n'est pas sans effet sur la nature des transferts thermiques ultérieurs. Vers quelle valeur se rapproche alors la conductivité thermique calculée précédemment?

Fin de l'énoncé
Fin du problème

Données numériques (avec une précision variable)

Soleil

Rayon $R_S \approx 7 \times 10^5 km$
Température de surface $T_S \approx 5800 K$
L'angle solide sous lequel on voit la Terre depuis le Soleil est $π(R_T^2)/(D_(ST)^2)$

Terre

Rayon terrestre $R_T \approx 6, 38 \times 10^3 km$
Distance Terre-Soleil $D_(ST) \approx 1, 5 \times 10^8 km$
Masse terrestre $M_T \approx 6 \times 10^(24) kg$
Albédo $A_T \approx 0, 35$

Lune

Rayon lunaire $R_L = 1740 km$
Masse lunaire $M_L = 7, 7 \times 10^(22) kg$
Distance Terre-Lune $D_(LT) \approx 3, 84 \times 10^5 km$
Période du mouvement circulaire autour de la Terre $P_(TL) \approx 27, 25$ jours (en restant dans le plan de l'orbite terrestre)
Période de rotation propre de la Lune $P_L = P_(TL) \approx 27, 25$ jours . La Lune présente ainsi toujours la même face à la Terre.

Silicates

Densité $d_(Sil) \approx 2, 51$
Conductivité thermique $K_(Sil) \approx 1, 11 W.K^(- 1).m^(- 1)$
Capacité calorifique massique $c_(Sil) \approx 860 J.kg^(- 1) K^(- 1)$
Ordre de grandeur du rayon $R_(Sil) \approx 100μ m$
Température de fusion du silicate $T_f \approx 1500 K$
Chaleur latente de fusion $L_f \approx 130 kJ.kg^(- 1)$

Constantes physiques

Célérité de la lumière dans le vide $c \approx 3 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)$
Constante de la gravitation $G \approx 6, 67 \times 10^(- 11) m^3 \cdot kg^(- 1) \cdot s^(- 2)$
Constante de Planck $h \approx 6, 63 \times 10^(- 34) J.s h/h = h/(2π) \approx 10^(- 34) J.s$
Constante de Boltzmann $k_B \approx 1, 38 \times 10^(- 23) J.K^(- 1)$
Charge électrique élémentaire $e = 1, 6 \times 10^(- 19)C$
Masse de l'électron $m_e \approx 9, 11 \times 10^(- 31) kg$
Constante de Stefan $σ = 5, 7 \times 10^(- 8) W \cdot m^(- 2) \cdot K^(- 4)$
Nombre d'Avogadro $N_A \approx 6, 02 \times 10^(23)$
Permittivité du vide $ε_0 \approx 8, 85 \times 10^(- 12)$ F. $m^(- 1)$
Constante des gaz parfaits $R = N_A k_B \approx 8, 31 J.mol^(- 1).K^(- 1)$

Données physiques

Loi de rayonnement du corps noir (loi de Planck)

L'exitance

M

(en W.

m^(- 2)

) d'une source est la puissance totale qu’elle émet par unité de surface, toutes directions et toutes longueurs d'onde confondues.
La loi de Stefan stipule que l'exitance d'un corps noir augmente comme la quatrième puissance de sa température :

M = σT^4

.
L'exitance spectrale

M(λ)

est la puissance émise à la température

T

par l'unité de surface du corps noir dans l'intervalle spectral

[λ, λ + dλ] : dM = M(λ)dλ

Son expression est

M(λ) = 2πhc^2 1/(λ^5)1/(exp(hc)/(k_B Tλ) - 1)

. L'exitance spectrale est maximale pour la longueur d'onde

λ_m

liée à la température par la relation

A = λ_m T = 2898 K.μm

. On a donc

M(λ) = (2πhc^2)/(A^5) - (λ_m)/λT^5 1/(exp(hc)/(k_B A)(λ_m)/λ - 1)

. Posons

x = λ/(λ_m)

; la figure ci-dessus représente la fonction

m_λ(x) = (M(λ))/(M(λ_m)) = 1/(x^5)(exp(◻hc)/(Ak) = - 1)/(exp(◻hc)/(Akx) - 1)

Formule mathématique

div⌊grad(f)⌋ = Δf

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Physique 1 Mines MP 2003 sur la Lune ?

Le sujet porte sur le rayonnement du corps noir, les lois de Stefan et de Wien, le bilan thermique radiatif et la conduction thermique dans le sol lunaire.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Physique 1 Mines MP 2003 ?

Une aire de la sphère mal connue, une confusion entre loi de Stefan et loi de Fourier, une confusion sur l'échelle de l'infrarouge, et des bilans thermiques non homogènes.

Le sujet Physique 1 Mines MP 2003 sur la Lune est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme de longueur raisonnable et sans grandes difficultés, même si la seconde partie a été un peu moins bien réussie.

Quelle partie du sujet Physique 1 Mines MP 2003 a été la moins bien réussie ?

La seconde partie, sur le sol lunaire et la conduction thermique, a été un peu moins bien réussie que la première.

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Les erreurs les plus sanctionnées

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Partie I Températures de surface

Température terrestre

- Influence de l'atmosphère terrestre

Température lunaire

- Température de la surface ensoleillée

Partie II Le sol lunaire

Modélisations

Influence de l'impact des météorites

Fin de l'énoncé Fin du problème

Données numériques (avec une précision variable)

Soleil

Terre

Lune

Silicates

Constantes physiques

Données physiques

Loi de rayonnement du corps noir (loi de Planck)

Formule mathématique

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Physique 1 Mines MP 2003 sur la Lune ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Physique 1 Mines MP 2003 ?

Le sujet Physique 1 Mines MP 2003 sur la Lune est-il difficile ?

Quelle partie du sujet Physique 1 Mines MP 2003 a été la moins bien réussie ?

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