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X ENS Physique MP 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Oscillateurs mécaniques forcés et fonction de transfert
  • Électrostatique (condensateur plan, équation de Poisson)
  • Relations de passage et conditions aux limites du champ électrique
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Annales X-ENS MP PhysiqueX-ENS MP 2003MP PhysiquePhysique 2003

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Présentation du sujet

Difficile
Principe de fonctionnement d'un microscope à force électrostatique
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Le sujet traite du principe de fonctionnement d'un microscope à force électrostatique, dérivé du microscope à force atomique, qui permet de cartographier les gradients de forces coulombiennes à la surface d'échantillons avec une résolution de quelques dizaines de nanomètres. Il étudie d'abord un oscillateur mécanique servant à mesurer des gradients de force, puis la détection de forces capacitives et de charges au voisinage de la surface d'un conducteur, avant de conclure par l'analyse de résultats expérimentaux.

  1. 1I. Oscillateur mécaniquePrincipe de la mesure de gradients de forces à l'aide d'un oscillateur mécanique, avec étude de la fonction de transfert et du déphasage.
  2. 2II. Mesure de forces capacitivesDétection de forces capacitives liées à la présence de charges au voisinage de la surface d'un matériau conducteur.
  3. 3III. Mesure de chargesÉtude du champ électrique et du potentiel à l'aide de l'équation de Poisson, avec conditions de continuité aux limites.
  4. 4IV. Analyse de résultats expérimentauxAnalyse quantitative et qualitative de résultats expérimentaux issus du dispositif étudié.

Difficile. La moyenne est de 8,3/20 avec un écart-type élevé de 4,2, et le rapport signale une très grande diversité de niveaux de compréhension ainsi que des applications numériques restant périlleuses même pour de bons candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,3 / 20 · écart-type 4,2 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,3/ 20
Écart-type
4,2
moyenne 8,305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion entre constant et uniforme · Applications numériques négligées · Vérification dimensionnelle omise
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Le jury souligne un écart-type élevé dénotant une très grande diversité de niveaux de compréhension des phénomènes d'électrostatique. Il relève des notions mathématiques de base mal maîtrisées, une confusion récurrente entre « constant » et « uniforme », des présentations bâclées et une attention trop faible portée aux applications numériques et aux commentaires physiques.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre constant et uniforme

    Le rapport relève une confusion perpétuelle entre les qualificatifs « constant » et « uniforme » tout au long des copies.

  2. 2
    Applications numériques négligées

    Les candidats se satisfont souvent d'une expression mathématique sans traiter l'application numérique ni le commentaire physique associé, alors que ceux-ci rapportent des points précieux.

  3. 3
    Vérification dimensionnelle omiseI.1d

    Une simple vérification dimensionnelle aurait permis d'éviter plus des deux tiers des erreurs commises sur le calcul de pente à la question I.1d.

  4. 4
    Confusion entre filtrage et redressementI.2a

    Le montage électrique demandé à la question I.2a a révélé une grande confusion entre les notions de filtrage et de redressement d'un signal électrique.

  5. 5
    Équation de Poisson mal poséeIII.1a, III.1b

    Trop d'erreurs apparaissent dans l'énoncé de l'équation de Poisson, et plus encore lors de son intégration à la question III.1a-b.

  6. 6
    Ordre de grandeur non vérifiéII.2d

    Le calcul d'une application numérique en partie II.2d a oscillé entre 10⁻² et 10⁻²² mètres, sans que les candidats reprennent leur calcul face à un résultat aussi éloigné des dimensions nanométriques attendues.

Ce qui a été bien réussi

  • Le nombre important de résultats intermédiaires donnés par l'énoncé a permis d'éviter tout blocage et de traiter le sujet dans son ensemble.
  • Les questions 1a, 1b et 1c de la partie II, relevant de l'exercice de cours sur le condensateur plan, ont pu être bien traitées par les candidats sérieux.
  • Les candidats rigoureux ont bien dérivé le champ électrique du potentiel à la question III.3a.
  • Quelques copies fournissent des arguments qualitatifs très pertinents sur les signes des décalages en fonction du signe de U.

Conseils du jury

  • Soigner la présentation et le schéma pour préciser les différents termes d'un bilan de forces.
  • Toujours vérifier l'homogénéité dimensionnelle d'un résultat avant de le donner.
  • Ne pas se contenter d'une expression mathématique : traiter systématiquement l'application numérique et le commentaire physique demandés.
  • Vérifier la cohérence d'un ordre de grandeur obtenu avec les dimensions physiques attendues par l'énoncé.
  • Justifier rigoureusement les raisonnements de symétrie et de superposition plutôt que d'utiliser un jargon non défini.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

PREMIÊRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

Abstract

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Microscopie à force électrostatique

Le problème expose le principe de fonctionnement d'un microscope à force électrostatique. Cette technique d'analyse de surfaces permet de réaliser des cartographies de gradients de forces électrostatiques, avec une résolution latérale de l'ordre de quelques dizaines de nanomètres.
La première partie du problème décrit le principe de mesure de la pulsation propre d'un oscillateur mécanique. Dans les deuxième et troisième parties, sont abordés des exemples de mesure de forces dues à des charges surfaciques capacitives ou à des charges stockées au voisinage de la surface du matériau étudié. Enfin la quatrième partie exploitera des résultats expérimentaux.
Un grand soin devra être apporté aux schémas et aux applications numériques.

Données numériques :

Charge élémentaire, e = 1, 6 × 10^(− 19)C; Permittivité du vide, ε_0 = 8, 8 × 10^(− 12) F ⋅ m^(− 1)

I - Oscillateur mécanique

  1. On considère l'oscillateur mécanique représenté figure 1, composé d'une masse m et d'un ressort de constante de raideur k, l'ensemble étant suspendu au point P. La cote z_M du point M situé à la base de la masse est notée z_0 + δ(t), où z_0 désigne la cote de la position d'équilibre de M lorsque P est fixe en P_0. Ce point P est maintenant animé autour de P_0 d'un mouvement sinusoïdal vertical, imposé par un vibreur et donné par a(t) = a_0 cosωt avec a_0 > 0. On suppose de plus que la masse m est soumise à une force de frottement fluide de type visqueux F⃗_f = − βδ˙e⃗_z avec δ˙ = (dδ)/(dt) et β > 0.
Figure 1
a) Écrire l'équation différentielle vérifiée par δ(t).
b) On se place en régime sinusoïdal forcé ; on note respectivement A et B les amplitudes complexes associées à a(t) = Re(Ae^(jωt)) et à la vitesse δ˙ de la masse. Calculer le rapport B/A; le mettre sous la forme (k/β)H(ω) et exprimer H(ω) en fonction de ω, à l'aide des paramètres ω_0 et Q, où ω_0 = √(k/m) et Q = 1/β√(mk).
c) Donner l'allure du graphe du module de H(ω) en fonction de ω; on supposera Q≫1. Que représentent ω_0 et Q ?
d) Faire un graphe de l'argument φ de H(ω) en fonction de ω. Sur quelle plage de pulsations se produisent essentiellement les variations de φ ? Calculer (dφ)/(dω)|_(ω = ω_0) en fonction de Q et ω_0.
2. On cherche à déterminer expérimentalement la valeur de ω_0. Deux capteurs donnent l'un une tension u_A(t) = u_0 cosωt proportionnelle à a(t), l'autre une tension u_B(t) proportionnelle à la vitesse δ˙(t) de M.
a) Ces tensions sont appliquées aux deux entrées d'un circuit multiplieur qui donne une tension de sortie u_S(t) proportionnelle à leur produit, soit : u_S(t) = Ku_A(t)u_B(t) où K est une constante. Montrer que u_S(t) possède une composante continue et une composante sinusoïdale. Déterminer la dépendance en φ de la composante continue. Proposer un montage électrique simple pour éliminer la composante sinusoïdale de u_S(t). La mesure en fonction de ω de cette composante continue permet-elle de déterminer ω_0 avec une grande sensibilité?
b) Le capteur de vitesse est remplacé par un capteur de position de la masse délivrant une tension proportionnelle à δ(t). On utilise le même circuit multiplieur que précédemment et on détecte la composante continue de la tension de sortie. Quelle est sa dépendance en φ ? Ce montage permet-il une mesure plus précise de ω_0 ? Justifier votre réponse.
c) On mesure expérimentalement ω_0 en ajustant la valeur de ω afin d'obtenir φ = 0. Exprimer à l'aide de Q l'incertitude relative δω_0/ω_0 de cette mesure pour une incertitude expérimentale δφ sur φ.
d) Application numérique : estimer δω_0/ω_0 pour δφ = 8 × 10^(− 3) rad et Q = 200. Quelle est l'incertitude sur la fréquence propre de l'oscillateur, sachant qu'elle est voisine de 60 kHz ?
3. La masse de l'oscillateur mécanique est maintenant soumise à une force supplémentaire verticale appliquée au point M. On suppose que son amplitude F_C(z_M) varie avec la cote z_M = z_0 + δ(t) du point M. On néglige la variation de la position d'équilibre statique z_0 due à la force F_C.
a) En se limitant à de faibles déplacements autour de z_0, montrer que l'oscillateur mécanique présente une variation apparente de constante de raideur δk que l'on exprimera à l'aide de la fonction F_C(z_M).
b) En déduire la variation de pulsation propre de l'oscillateur, que l'on exprimera en fonction de ω_0, δk et k, en supposant |δk|≪k.
c) On suppose fixée l'incertitude expérimentale δφ comme au I.2.d). Quelle variation relative minimale de la constante de raideur peut être détectée? Commenter le rôle du facteur de qualité.
La microscopie à force électrostatique utilise un oscillateur mécanique équivalent à celui décrit dans la partie I. Afin d'obtenir une résolution spatiale submicronique, on se sert en pratique d'un dispositif de très faibles dimensions, où l'aire de l'extrémité M de l'oscillateur est de l'ordre de 100 nm^2. En utilisant des céramiques piézoélectriques, on est de plus capable de déplacer cet oscillateur au-dessus de la surface à étudier. La précision de positionnement de l'oscillateur est meilleure que le nanomètre dans les trois directions de l'espace. On enregistre alors en tout point les variations de pulsation propre de l'oscillateur, ce qui permet d'établir une cartographie des effets électrostatiques à la surface du matériau.
On cherche dans les parties II et III à préciser les forces électrostatiques pouvant agir sur l'oscillateur, afin de déterminer la sensibilité de ce dispositif de microscopie.

II - Mesure de forces capacitives

  1. On utilise une géométrie plane pour décrire la surface de l'extrémité M de l'oscillateur et la surface du matériau, toutes deux supposées conductrices et parallèles. Le condensateur plan ainsi formé (figure 2) est relié à un générateur de tension U. On note S l'aire des faces en regard, ℓ la distance entre ses deux armatures, et C(ℓ) sa capacité. L'oscillation de l'armature M est d'amplitude |δ|≪ℓ. On néglige tout effet de bord dans les calculs d'électrostatique. On cherche à calculer la force capacitive F_(capa)e⃗_z s'exerçant sur l'armature
Figure 2
M qui constitue la masse oscillante.
a) Pour cela on considère tout d'abord le modèle d'une distribution surfacique de charges, plane et d'extension infinie, de densité σ uniforme et placée dans le vide. En utilisant les propriétés de symétrie de cette distribution, préciser, de chaque côté du plan de charges, la direction du champ électrique et déterminer sa valeur en fonction de σ et de ε_0.
b) Relier la valeur du champ électrique entre les armatures du condensateur à la densité surfacique de charge σ de l'armature haute. Déduire de ces résultats que le champ électrique créé par les charges de l'armature basse au niveau de l'armature haute est la moitié du champ électrique total au voisinage de cette armature.
c) Exprimer F_(capa) en fonction de la charge de l'armature haute et du champ électrique total au voisinage de cette armature. En déduire : F_(capa) = − ε_0 SU^2/2ℓ^2. Commenter le signe de F_(capa).
d) En déduire l'expression de la variation δω_(capa) de pulsation propre de l'oscillateur.
2. La surface à étudier présente un relief d'épaisseur h≪ℓ et d'aire S^′≫S. L'oscillateur, toujours connecté au générateur de tension U, est déplacé rectilignement au-dessus de la surface et parallèlement à celle-ci (figure 3).
Figure 3
a) Quelle est la variation δω_h = δω_(capa)(2) − δω_(capa)(1) de δω_(capa) entre les points M_2 et M_1 ?
b) Application numérique : calculer la variation relative de pulsation propre de l'oscillateur au passage du relief pour U = 12 V, h = 10 nm, ℓ = 80 nm, S = 100 nm^2, et k = 1 N ⋅ m^(− 1). Ce relief peut-il être détecté expérimentalement?
c) Calculer la variation de force F_(capa)(2) − F_(capa)(1) correspondante.
d) Application numérique : calculer l'allongement du ressort de l'oscillateur au passage sur le relief. Commenter.

III - Mesure de charges

Dans cette partie, on cherche à détecter, par microscopie à force électrostatique, des charges électriques stockées dans un isolant déposé sur la surface conductrice étudiée. Les charges sont uniformément réparties à l'intérieur du volume défini par 0 < z < h (zone grisée de la figure 4). On note ρ la densité volumique de charges dans cet espace que l'on assimile au vide; une zone d'aire S contient une charge totale q = ρSh. L'origine des potentiels électriques est choisie sur la surface conductrice étudiée.
Figure 4
  1. Dans cette question, la surface de l'oscillateur et la surface conductrice sont placées au même potentiel ( U = 0 ).
    a) Donner les équations vérifiées par le potentiel électrostatique V(z) dans chacune des régions 0 < z < h et h < z < ℓ situées entre les armatures du condensateur.
    b) Exprimer V(z). Montrer que le champ électrostatique en z = ℓ vaut ρh^2/2ε_0 ℓ.
    c) Faire un graphe du potentiel V(z); on prendra h/ℓ = 0, 2.
  2. On suppose maintenant U ≠ 0.
    a) Montrer que la fonction V(z) est maintenant la somme de la fonction calculée à la question précédente et de celle correspondant au condensateur connecté au générateur de tension U en l'absence de charges.
    b) Représenter graphiquement V(z).
  3. On cherche maintenant à calculer la force d'origine électrostatique qui s'exerce sur l'armature mobile du condensateur en présence de la charge volumique q.
    a) Déduire de la question précédente la valeur du champ électrique E(ℓ) au voisinage immédiat de l'armature haute mobile, puis la densité surfacique de charge de cette armature.
    b) Par une démarche similaire à celle du II.1, exprimer la force cherchée en fonction du champ électrique E(ℓ), puis en fonction de U et q.
    c) Distinguer dans l'expression obtenue les termes capacitifs des termes liés à la charge q. En supposant négligeable le terme de charges en q^2, donner l'expression de la variation δω_q de la pulsation propre de l'oscillateur due à la charge q.
    d) Comment distinguer expérimentalement entre une variation de pulsation propre de l'oscillateur liée à un effet de relief de celle liée à un effet de charges ?
  4. Les charges q sont en pratique stockées dans un matériau qui atténue d'un facteur ε_r la variation de pulsation propre δω_q.
    a) Application numérique : en utilisant les données numériques du II.2.b), estimer la charge minimale q_(min) pouvant être détectée; à quel nombre de charges élémentaires correspond q_(min) ? On donne ε_r = 12.
    b) L'autre effet du matériau dans lequel sont stockées les charges est de modifier les termes de forces capacitives; la présence du matériau de hauteur h et d'aire S^′ s'apparente alors à un relief de hauteur h sur la surface (cf. II. 2 et figure 5). On suppose que l'oscillateur est déplacé rectilignement au-dessus de la surface et parallèlement à celle-ci.
Calculer le rapport R = δω_q/δω_h entre les effets de charge et les effets capacitifs. Exprimer ce rapport en fonction de q, ε_r et de la charge Q_M stockée sur l'armature haute dans la situation du II. 1(h = 0, U ≠ 0). Faut-il se placer au plus près de la surface du matériau pour améliorer la visibilité du terme de charges?
Figure 5

IV - Analyse de résultats expérimentaux

Un microscope à force électrostatique utilise comme système oscillant une lame souple (ou «cantilever ») portant à l'extrémité mobile une pointe métallisée; la figure 6 donne un cliché d'un tel système obtenu par un microscope électronique à balayage (MEB).
Figure 6
La figure 7 donne trois enregistrements de la variation de la fréquence de résonance du système oscillant lorsque la pointe est déplacée parallèlement à une surface conductrice sur laquelle est déposée un îlot de silicium de 100 nm de diamètre. Une charge électrique q peut être transférée à cet îlot par une technique «d'injection ».
Figure 7
Les valeurs de la tension U appliquée et de la charge q correspondant à ces enregistrements sont :
  • pour le premier (à partir du haut de la figure) U = 0 et q = 0
  • pour le deuxième U = − 6 V et q = 0
  • pour le troisième U = − 6 V avec q ≠ 0.
Bien que le modèle de géométrie plane étudié dans les parties précédentes ne soit pas directement utilisable, il donne des interprétations qualitatives correctes mais les évaluations de δω_(capa) et de δω_h (cf. II. 1 et 2) doivent être modifiées pour tenir compte de la géométrie réelle des surfaces en regard. Cependant, on montre que le rapport R = δω_q/δω_h suit la loi obtenue en III.4.b à condition d'utiliser une valeur adaptée (valeur «effective») de la surface S.
  1. Préciser le signe de q correspondant au troisième enregistrement.
  2. On donne : pour le silicium, ε_r = 12, pour le système oscillant ℓ = 100 nm. Pour l'îlot de l'expérience, la valeur effective de S est 2000 nm^2.
À partir des enregistrements, déterminer R. En déduire la valeur de q et le nombre n_q de charges élémentaires correspondant.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique X-ENS MP 2003 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique X-ENS MP 2003 ?

Le sujet porte sur les oscillateurs mécaniques forcés et l'électrostatique (condensateur plan, équation de Poisson, relations de passage), appliqués au principe d'un microscope à force électrostatique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique X-ENS MP 2003 ?

Le jury relève une confusion récurrente entre « constant » et « uniforme », des notions mathématiques de base mal maîtrisées, et une attention insuffisante portée aux applications numériques et aux vérifications dimensionnelles.

Ce sujet de physique X-ENS MP 2003 est-il difficile ?

Oui, la moyenne est de 8,3/20 avec un écart-type élevé de 4,2, ce qui traduit une grande diversité de niveaux de compréhension selon le rapport du jury.

Faut-il bien maîtriser l'électrostatique pour réussir ce sujet X-ENS MP 2003 ?

Oui, une grande partie du sujet porte sur le champ électrique d'un condensateur plan et l'équation de Poisson, et le rapport souligne que la notation y est stricte sur les justifications de symétrie et de signe.

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