ENS Physique 2 MP 2003Sujet et corrigé

Filière PC (groupe PC )

Epreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan

Filières MP et PC (groupe I)

Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon

PHYSIQUE

• Les trois parties sont largement indépendantes. Une bonification sera systématiquement accordée aux candidats ayant répondu de manière correcte à toutes les questions d'une sous-partie.
• Dans la correction, une grande attention sera portée aux remarques de caractère physique, à la clarté de la rédaction ainsi qu'à la présentation.
• Il est demandé aux candidats de rappeler les numéros identifiant une question avant la solution qu'ils proposent.

• On doit à plusieurs reprises considérer l'évolution dans le temps d'une grandeur φ attachée à une particule de fluide lorsque l'on suit cette particule dans son mouvement. Celui-ci est repéré par rapport au repère orthonormé ( O, e_x^(→−), e_y→, e_z→ ) où l'on note x, y les coordonnées horizontales et z la coordonnée verticale ascendante. Dans ce repère, les composantes du vecteur vitesse sont notées ( u, v, w ) et l'accélération de pesanteur est g⃗ = (0, 0, − g).
• Pour exprimer la variation de φ, on calcule la dérivée totale

• (d(Argchx))/(dx) = 1/(√(x^2 − 1))
• div(fA⃗) = fdivA⃗ + grad^(→−)f.A⃗

1 Mélange vertical

1.1 Questions préliminaires

• 1.1(a) Quels sont les principaux éléments chimiques responsables de la salinité de l'eau des océans? Donner un ordre de grandeur de la concentration massique globale en soluté.
• 1.1(b) Quelles sont les profondeurs moyenne et maximale des océans?
• 1.1(c) Établir l'équation gouvernant l'évolution spatiotemporelle de la salinité dans le cas où le fluide est au repos. On notera κ la diffusivité de la salinité.
• 1.1(d) Expliquer pourquoi, dans le cas plus général où le fluide est en mouvement incompressible, l'équation s'écrit :

1.2 Le modèle d'advection-diffusion

Fig. 1 - Représentation très schématique des mouvements d'eau dans les océans.

1.2.1 Evolutions spatiales de la température et de la salinité

• 1.2.1(a) Écrire les équations gouvernant l'évolution spatiale de la la température et de la salinité dans le cadre des hypothèses précisées ci-dessus. Exprimer par une phrase claire à quel équilibre correspond cet état permanent.
• 1.2.1(b) En déduire l'expression de la température et de la salinité en fonction de la profondeur z. On notera T_∞ = lim_(z → − ∞)T et S_∞ = lim_(z → − ∞)S.
• 1.2.1(c) Montrer que les relevés océanographiques de température et de salinité présentés dans la figure (2) mettent en évidence une grandeur caractéristique. Quelle relation entre w et κ peut-on donc tirer des relevés océanographiques et des équations ci-dessus?
• 1.2.1(d) L'unité de S a-t-elle une importance? Pourquoi?
• 1.2.1(e) Ce modèle suppose que la température est un traceur passif. Décrire une situation physique où cela n'est clairement pas le cas.

Fig. 2 - Relevés de température T (exprimée en ^∘C ) et de salinité S (exprimée en particules pour mille) en fonction de la profondeur z (exprimée en km ). Les cercles indiquent les relevés obtenus à la station Calcofi ( N^∘ : 60.190; 33^∘17^′ N/132^∘42, 5^′ W ). Les lignes continues sont rajoutées pour faciliter la lecture et mettre en évidence la tendance générale. Les deux encarts représentent toujours la profondeur en ordonnée mais cette fois-ci ce sont les logarithmes des écarts de température ( T − T_∞ ) et de salinité ( S_∞ − S ) par rapport à la valeur au fond de l'océan qui sont portés en abscisse.

1.2.2 Evolution spatiale de la concentration en carbone

• 1.2.2(a) Indiquer l'origine physique de chacun des termes.
• 1.2.2(b) Déterminer la concentration en carbone 14 en fonction de l'altitude. On introduira la constante λ^2 = 1 + 4κμ/w^2.
• 1.2.2(c) Les relevés océanographiques permettent d'obtenir une estimation de cette constante, λ = 1, 05. En déduire un ordre de grandeur de la vitesse verticale w et de la diffusivité κ.
• 1.2.2(d) Quelle est l'échelle de temps adaptée au déplacement du fluide sur une échelle de longueur de 1 cm ? Quel est l'ordre de grandeur du temps nécessaire à une particule de fluide pour remonter du fond de l'océan jusqu'à la surface?
• 1.2.2(e) Montrer qu'une petite erreur relative sur la mesure de λ peut modifier fortement le résultat obtenu pour κ et w.
• 1.2.2(f) Justifier la pertinence du choix du carbone comme traceur radioactif pour ce problème, connaissant la période des éléments radioactifs suivants : iode 128 ( 25 minutes), sodium 24 ( 15 heures), iode 131 ( 8 jours) et uranium 235 ( 7 ⋅ 10^8 années).

1.3 Expérience de Ledwell et al.

• 1.3(a) Écrire l'équation d'évolution de la concentration en hexafluorure de soufre, notée C. Dans la suite, nous négligerons le terme d'advection. La validité de cette approximation sera discutée plus loin.
• 1.3(b) Dans le cas d'un largage "instantané" et "localisé" à l'altitude z_0, tracer l'allure qualitative de la concentration en fonction de la profondeur à un instant donné. Préciser de quelle façon les paramètres caractéristiques de la courbe évoluent en fonction du temps. Quels sens donner aux termes "instantané" et "localisé"?
• 1.3(c) Déterminer l'équation d'évolution de la quantité

• 1.3(d) Les relevés océanographiques ont permis d'obtenir les données suivantes:

• 1.3(e) Montrer qu'il était justifié de négliger le terme d'advection.
• 1.3(f) Quelle(s) suggestion(s) feriez-vous pour améliorer cette estimation?
• 1.3(g) A partir des résultats obtenus dans les questions (1.2) et (1.3), quelle conclusion tirez-vous de cette étude?

2 Mélange horizontal

2.1 Introduction

• 2.1(a) Dessiner l'allure du champ de vitesse le long d'une ligne verticale. Quel est le nom d'un tel champ de vitesse?
• 2.1(b) Déterminer l'équation du modèle d'advection-diffusion en accord avec les hypothèses précédentes.

2.2 Condition initiale sans dépendance verticale

2.2.1 Condition initiale cosqx

• 2.2.1(a) En introduisant la nouvelle variable x~ = x − α/ωzsinωt, déterminer la solution générale, notée C_0(x, z, t), de l'équation en l'absence de diffusion.
• 2.2.1(b) Quelle interprétation peut-on donner de la variable x~, appelée "coordonnée advectée"?
• 2.2.1(c) Résoudre le problème en tenant compte des phénomènes de diffusion. On pourra chercher des solutions de la forme C = A(t)C_0(x, z, t). On déterminera A(t), après avoir précisé sa valeur à l'instant t = 0.

Fig. 3 - Evolution de A(t) pour trois valeurs de α/ω : 0, 1; 1; 10.

• 2.2.1(d) La figure (3) représente l'évolution de A(t) dans le cas η = 0 et κ = ω/q^2 pour α/ω = 0, 1; 1; 10. Attribuer à chaque courbe la valeur de α/ω correspondante.
• 2.2.1(e) Donner l'expression du champ de concentration en fonction des variables x, z et t.
• 2.2.1(f) Interpréter le rôle de la quantité η_e = η + κα^2/2ω^2. Discuter.
• 2.2.1(g) Quelle conséquence peut-on déduire de ce résultat lorsque la diffusivité horizontale η est négligeable?

2.2.2 Interprétation géométrique

Fig. 4 - Schématisation de l'élément de fluide à t = 0.

• 2.2.2(a) Quelle est la forme de l'élément de fluide sous l'effet du champ de vitesse à un instant t quelconque?
• 2.2.2(b) Montrer qu'il existe une relation simple entre les composantes horizontale et verticale, ∂C/∂x et ∂C/∂z, du gradient de concentration.
• 2.2.2(c) Exprimer le flux Φ_(AB) dû à la diffusion verticale de la quantité C à travers le côté AB, en fonction notamment de la diffusivité verticale κ, de l'angle β que fait le segment AB avec l'horizontale et de la longueur de ce segment à l'instant t = 0. En déduire la moyenne temporelle ⟨Φ_(AB)⟩ du flux Φ_(AB).
• 2.2.2(d) Montrer que, si l'on rajoute le flux dû à la diffusion horizontale, on retrouve bien l'expression de la diffusivité η_e.

2.2.3 Champ de vitesse stationnaire

• 2.2.3(a) A partir des résultats de la question 2.2.1(e), montrer comment l'on peut obtenir l'expression de la concentration C lorsque le champ de vitesse est stationnaire.
• 2.2.3(b) Quel est l'effet du champ de vitesse pour les temps courts? Pour les temps longs? Commentaires.

2.2.4 Condition initiale plus générale

• 2.2.4(a) Quelle propriété permet d'obtenir aisément la solution générale C(x, z, t) ? Expliciter cette solution en introduisant la quantité

• 2.2.4(b) Préciser et justifier le comportement de la quantité a~ aux temps longs.

2.3 Condition initiale avec une dépendance verticale

• 2.3(a) En cherchant des solutions de la forme

• 2.3(b) On définit les quantités suivantes

• 2.3(c) En déduire l'expression des deux modes a^(t) et b^(t), puis celle de a(t) et b(t).
• 2.3(d) Cette solution est-elle compatible avec l'expression trouvée précédemment dans le cas particulier où il n'y a pas de dépendance verticale initiale?
• 2.3(e) Quel est le comportement de la concentration C en traceur dans le régime des grandes pulsations? Tracer schématiquement son allure. Quelle est la pulsation caractéristique du système physique qui permet de définir ce régime?

2.4 Etirement

• 2.4(a) Dessiner l'allure du champ de vitesse le long d'une ligne verticale.
• 2.4(b) Quelle est la déformation de l'élément de fluide de forme carrée (cfFigure (4)) sous l'effet de ce champ de vitesse?
• 2.4(c) Si l'on suppose, pour simplifier, la diffusion isotrope et de constante η, écrire l'équation d'évolution de la concentration.
• 2.4(d) Résoudre tout d'abord le problème en l'absence du terme de diffusion. On pourra introduire le changement de variable τ = t, X = xe^(− σt), Z = ze^(σt). Décrire l'effet de l'étirement sur le nombre d'onde selon z. Comparer cet effet à celui obtenu à la question (2.3).
• 2.4(e) Obtenir la solution dans le cas diffusif par la méthode de la "variation de la constante".
• 2.4(f) Déterminer le terme dominant de l'amplitude lorsque t est suffisamment grand devant un temps caractéristique que l'on précisera. Comparer toujours au cas étudié précédemment. Conclure.

3 Ondes internes

3.1 Le mécanisme à l'origine des ondes internes

• 3.1(a) On déplace un élément de fluide verticalement d'une distance infinitésimale. Montrer, par un développement au premier ordre, que le déplacement δ_z oscille à une pulsation N, dite de Brunt-Väisälä, que l'on exprimera en fonction de ρ¯. On supposera que l'élément de fluide garde un volume constant au cours de son déplacement et que le champ de pression n'est pas modifié par ce déplacement.
• 3.1(b) Montrer que l'on peut déterminer, à un facteur numérique près, et uniquement par analyse dimensionnelle (c'est-à-dire sans utiliser les calculs de la question précédente évidemment), la pulsation d'oscillation de cette particule.
• 3.1(c) On suppose désormais que N, la pulsation de Brunt-Väisälä déterminée précédemment, est indépendante de l'altitude z. Déterminer, dans ces conditions, l'allure du champ de masse volumique ρ¯ en fonction de l'altitude z.

3.2 La relation de dispersion des ondes internes

• 3.2(a) Écrire l'équation satisfaite par ρ, traduisant localement la conservation de la masse, ainsi que l'équation traduisant l'incompressibilité de l'écoulement.
• 3.2(b) Nous admettrons dans la suite que l'équation d'Euler peut s'écrire sous la forme approchée

• 3.2(c) Montrer qu'en combinant ces équations, on obtient l'équation

• 3.2(d) En cherchant des solutions de la forme [u, w, P_e, ρ_e] = [u^, w^, P^_e, ρ^_e]e^(i(ωt − qx − mz)), déterminer la relation de dispersion que l'on exprimera en fonction de l'angle β que fait le vecteur d'onde avec la verticale et de la pulsation caractéristique N.
• 3.2(e) Interpréter cette relation de dispersion selon la valeur de ω. Commentaires. On se limite dans la suite aux cas où q et m sont réels.

3.3 Les conséquences

• 3.3(a) On note k⃗ le vecteur d'onde et k son module. Exprimer la vitesse de phase v_φ^(→−) = ωk⃗/k^2 en fonction de β, k et N.
• 3.3(b) Exprimer de même la vitesse de groupe v_g^(→−) = (∂ω)/(∂q)e_x^(→−) + (∂ω)/(∂m)e_z→ en fonction de β, k et N.
• 3.3(c) Tracer, sur un même schéma, la vitesse d'une particule de fluide, la vitesse de phase, la vitesse de groupe, le vecteur d'onde et un plan d'onde.
• 3.3(d) Considérons une expérience dans un fluide stratifié où l'on fait osciller verticalement, à une pulsation ω_f, un solide totalement immergé. On appelle "rayons" les droites selon lesquelles se propage l'énergie. Quelles sont les directions possibles des rayons dans un plan vertical ? Existe-t-il une longueur d'onde excitée plus particulièrement?

3.4 Etude énergétique

• 3.4(a) Déterminer l'équation régissant l'évolution temporelle de la quantité e_c = ρ_0(u^2 + w^2)/2, dont on donnera la signification physique. On introduira les quantités e_p = g^2 ρ_e^2/2N^2 ρ_0 et I⃗ = P_e v⃗ dont on donnera également les significations physiques.
• 3.4(b) En introduisant le déplacement vertical δ_z d'une particule de fluide, lié au premier ordre à la composante verticale de la vitesse par la relation w = ∂δ_z/∂t, déterminer une autre expression de e_p.
• 3.4(c) Montrer que les valeurs moyennes de e_c et de e_p sont égales. On introduira pour cela les notations complexes

• 3.4(d) Calculer la moyenne temporelle ⟨I⃗⟩. Comparer au produit de la vitesse de groupe et de l'énergie volumique totale, puis interpréter ce résultat.
• 3.4(e) On considère une onde interne de pulsation ω = 0, 01 rad. s^(− 1) se propageant dans un fluide stratifié dont la pulsation de Brunt-Väisälä est N = 0, 02 rad.s ^(− 1) et dont la masse volumique de référence est ρ_0 = 1050 kg.m^(− 3). Quelles sont les directions possibles des rayons? Déterminer le flux d'énergie par unité de surface si l'amplitude de la vitesse verticale est de 1 cm.s^(− 1) et si la longueur d'onde horizontale est de 3, 14 m.

3.5 La réflexion des ondes internes

• 3.5(a) On s'intéresse maintenant au phénomène de réflexion des ondes internes sur un plan incliné modélisant le fond marin. En tenant compte des propriétés établies dans les questions précédentes, faire la construction géométrique de la réflexion d'un seul rayon incliné vers le bas d'un angle β par rapport à l'horizontale, et arrivant sur un plan incliné d'un angle γ par rapport à l'horizontale. On distinguera les trois cas suivants : γ < β, γ > β et γ = β (angles exprimés en valeur absolue). On fera également les trois constructions dans le cas d'ondes acoustiques, en rappelant les règles à respecter dans ce cas là, sans démonstration. Commentaires.
• 3.5(b) Considérons maintenant un faisceau de largeur L_i. Tracer l'allure du faisceau réfléchi dans les trois mêmes cas, γ < β, γ > β et γ = β. Dans le dernier cas, que peut-on dire de l'énergie et de la vitesse de groupe de l'onde réfléchie?
• 3.5(c) La figure (5) présente le spectre de relevés océanographiques obtenus près d'une montagne sous-marine faisant un angle moyen γ de 24^∘ avec l'horizontale. Expliquer de manière qualitative l'apparition de la bosse située près de la fréquence 0,5 cycle par heure (cph) pour les relevés les plus proches du fond marin.
• 3.5(d) Expliquer quelles hypothèses de l'étude sont à remettre en cause pour expliquer l'origine du paradoxe de la question 3.5(b).
• 3.5(e) Expliquer pourquoi le phénomène atypique de réflexion des ondes internes est évoqué pour expliquer que le mélange est beaucoup plus important près des bords et des fonds de l'océan qu'en son sein.

Fig. 5 - Relevé des spectres (amplitude des oscillations) d'ondes internes obtenus près d'une montagne sous-marine faisant un angle moyen de γ = 24^∘ avec l'horizontale. Les différents spectres correspondent à différentes profondeurs exprimées en mètre et indiquées sur l'échelle de droite. Les traits continus correspondent à une prédiction théorique très bien vérifiée à l'intérieur de l'océan.