X ENS Physique MP 2007Sujet et corrigé

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Réactions nucléaires et bilan d'énergie
Thermodynamique des gaz parfaits
Statique des fluides et équilibre magnétohydrodynamique
Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique (force de Lorentz, rayon de giration)
Moment magnétique et invariants adiabatiques
Champ magnétique créé par un solénoïde

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Annales X-ENS MP Physique X-ENS MP 2007 MP Physique Physique 2007

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La fusion contrôlée par confinement magnétique dans un tokamak

Le problème explore plusieurs aspects physiques de la fusion nucléaire deutérium-tritium confinée par champ magnétique dans un tokamak. Il traite successivement la cinématique de la réaction de fusion, l'équilibre de pression du plasma dans le champ magnétique, une méthode de chauffage du plasma par onde électrostatique, puis le confinement des particules chargées par un champ magnétique non uniforme et torique.

1I. Cinématique de la réactionCalcule l'énergie cinétique et la vitesse des produits de la réaction de fusion deutérium-tritium à partir de l'énergie libérée.
2II. Pression et densité du plasmaÉtablit l'équilibre de pression d'un plasma confiné par un champ magnétique dans un modèle simplifié de tokamak et évalue les grandeurs numériques liées au critère de Lawson.
3III. Chauffage du plasmaÉtudie le piégeage de particules chargées par une onde électrostatique dans le plasma, en changeant de référentiel, pour expliquer un mécanisme de chauffage du plasma.
4IV. Confinement magnétiqueAnalyse le mouvement cyclotron d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme puis non uniforme, introduit le moment magnétique associé et étudie le confinement dans un champ torique.

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CONCOURS D'ADMISSION 2007

COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Quelques aspects de la fusion contrôlée par confinement magnétique

La réaction de fusion qui semble techniquement la plus réalisable correspond à la fusion de deux isotopes de l'hydrogène, le deutérium (

D

) et le tritium (

T

). Cette réaction s'écrit :

é é é_1^2 D + _1^3 T \to _2^4 He + n avec l'énergie libérée E_f = + 17, 6MeV.

Les produits de la réaction sont des particules alpha (noyaux d'hélium 4) et des neutrons. La fusion nécessite une température élevée : les atomes sont alors entièrement ionisés, et pour décrire l'état de la matière on parle d'état plasma. Ce plasma est enfermé dans une «boîte » spéciale, appelée tokamak, au moyen d'un champ magnétique. Après une brève étude cinématique de la réaction (partie I), on présente une modélisation de la distribution de pression dans le tokamak (partie II). Dans la partie III, une des techniques utilisées pour chauffer le plasma est analysée. Enfin, la partie IV étudie le problème du confinement des particules chargées par un champ magnétique. Les quatre parties sont indépendantes.

Données numériques :

é é é é é é masses du proton et du neutron, m_p ≃ m_n = 1, 67 \times 10^(- 27) kg; masse de l'électron, m_e = 9, 1 \times 10^(- 31) kg; charge élémentaire, e = 1, 6 \times 10^(- 19)C; constante de Boltzmann, k_B = 1, 38 \times 10^(- 23) J \cdot K^(- 1); perméabilité magnétique du vide, μ_0 = 4π \times 10^(- 7)H \cdot m^(- 1)

Formulaire :

Composantes du gradient en coordonnées cylindriques (

r, θ, z

) :

\nabla⃗ = (\partial/(\partialr), 1/r\partial/(\partialθ), \partial/(\partialz))

Courbe 3D :

s

abscisse curviligne,

t⃗

vecteur unitaire tangent,

n⃗

vecteur unitaire normal principal,

R

rayon de courbure :

(dr⃗)/(ds) = t⃗; (dt⃗)/(ds) = (n⃗)/R

I. Cinématique de la réaction

On suppose que toute l'énergie libérée par la réaction de fusion se transforme en énergie cinétique des particules créées, et on néglige les énergies cinétiques des particules incidentes.

Calculer en eV l'énergie cinétique du neutron et celle de la particule alpha.
Calculer leurs vitesses respectives.

II. Pression et densité du plasma

Dans cette partie, on suppose le plasma composé uniquement d'ions deutérium et d'électrons, confinés dans le tokamak par le champ magnétique

B⃗

. Chacune des deux espèces est traitée comme un gaz.

On note $n_e$ la densité volumique d'électrons, $ρ_e$ leur masse volumique et $v⃗_e$ leur vitesse moyenne. De même, on note $n_D$ la densité volumique d'ions, $ρ_D$ leur masse volumique et $v⃗_D$ leur vitesse moyenne.

Écrire la densité locale de courant électrique

j⃗

en fonction des paramètres.
2. On considère que le plasma est localement électriquement neutre en tout point. On note

P

la pression totale à l'intérieur du plasma, a priori non uniforme.
(a) Préciser les diverses densités volumiques de force agissant dans le plasma; en déduire l'équation satisfaite par le plasma en régime permanent.
(b) Montrer que les lignes de courant et les lignes de champ magnétique sont isobares.
3. Le plasma circule à l'intérieur d'un cylindre d'axe

z^' z

, de rayon

a

, pour lequel on choisit les coordonnées cylindriques (

ρ, φ, z

) adaptées (figure 1); un solénoïde crée un champ magnétique (

0, 0, B_z

) uniforme dans le cylindre. Cet ensemble constitue un modèle simplifié du tokamak.

Figure 1

(a) On suppose la densité de courant

j⃗ = j_z e⃗_z

uniforme. Déterminer le champ magnétique additionnel créé par ce courant.
(b) En déduire, avec ces hypothèses, le profil de pression

P(ρ)

à l'intérieur du cylindre, la pression devenant nulle à la paroi

ρ = a

.
(c) La valeur caractéristique du champ magnétique généré par le solénoїde est

B_z ≃ 4T

, et la composante additionnelle créée par

j⃗

est de l'ordre de

10%

B_z

ρ = a

. Calculer la pression sur l'axe du cylindre (

ρ = 0

).
4. On suppose que chaque espèce chargée se comporte comme un gaz parfait monoatomique.
(a) On a obtenu par chauffage la température

T

telle que

k_B T = 10keV

sur l'axe du cylindre. Calculer

T

en Kelvin. Évaluer la densité volumique d'ions correspondante.
(b) La condition à satisfaire pour que l'énergie produite par les réactions de fusion soit supérieure à l'énergie consommée par le tokamak est le «critère de Lawson » reliant la densité volumique

n_D

d'ions, leur température

T

et leur durée de confinement

τ

; numériquement

τn_D(k_B T) > 10^(21)keV \cdot m^(- 3) \cdot s

.
Avec les valeurs numériques précédentes, évaluer la durée minimale de confinement nécessaire pour que le critère de Lawson soit vérifié.

III. Chauffage du plasma

Pour réaliser la fusion, il faut une température très élevée. Nous allons étudier une des techniques de chauffage utilisées.

Dans un plasma, une onde longitudinale de pression (du type onde « sonore ») est souvent accompagnée d'un champ électrique longitudinal ; ce type d'onde, sans champ magnétique, est appelée «onde électrostatique ». Soit une telle onde plane, donnée par son potentiel $Φ = - Φ_0 cos(ω_1 t - kx)$ . On notera $c_Φ$ la célérité de l'onde. Le choix des origines est tel que $qΦ_0 > 0$ .
(a) Dans le référentiel galiléen R du laboratoire, écrire l'équation du mouvement d'une particule chargée, de coordonnées ( $x, y, z$ ), en présence de cette onde.
(b) À l'aide d'un changement de référentiel adéquat, ramener cette équation à l'équation du mouvement dans un champ de forces indépendant du temps. En déduire une constante $E$ du mouvement, correspondant à l'énergie dans le nouveau référentiel R'.
(c) Préciser dans R' les types de mouvement possibles et décrire les différentes formes du portrait de phase auxquelles elles correspondent.
Préciser en particulier les équations des courbes qui séparent dans le plan de phase ces divers types de mouvement; on posera $δ = 2\sqrt(qΦ_0/m)$ .
(d) Montrer au moyen du portrait de phase que les particules dont les vitesses initiales selon $x$ dans R sont comprises dans l'intervalle $]c_φ - δ, c_φ + δ[$ peuvent être «piégées» par le champ électrique. Montrer que pour une particule piégée, la valeur moyenne de la composante $v_x$ de sa vitesse dans R , sur un temps suffisamment long, est égale à $c_φ$ .
On considère à présent une population de particules chargées. A l'instant initial $t = 0$ , leur répartition spatiale est uniforme, et leurs vitesses suivant l'axe $x$ sont distribuées selon une gaussienne : la probabilité pour que $v_x$ soit dans l'intervalle $[v_x, v_x + dv_x]$ est $p(v_x)dv_x = A(T)exp(- mv_x^2/2k_B T)dv_x$ , où $T$ désigne la température.
(a) Tracer l'allure du graphe de la fonction $p(v_x)$ .
(b) On «allume» à $t = 0$ l'onde électrostatique $Φ$ . On rappelle que la température est proportionnelle au carré de la vitesse quadratique moyenne. On suppose que $δ/c_Φ$ est petit devant un. En exploitant l'allure du graphe de $p(v_x)$ au voisinage de $c_φ$ , expliquer qualitativement pourquoi le piégeage des particules par l'onde chauffe le plasma.
(c) Pour quelle valeur de $c_Φ$ arrive-t-on à réchauffer le plus de particules?

IV. Confinement magnétique

On considère une particule de charge $q$ évoluant dans un champ magnétique indépendant du temps. On note $e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z$ les vecteurs unitaires d'un trièdre trirectangle direct $Oxyz$ de référence.
(a) Comment évolue l'énergie cinétique de la particule?
(b) On considère un champ magnétique uniforme $B⃗ = Be⃗_z$ avec $B > 0$ . Déterminer le mouvement de la particule avec les conditions initiales $r⃗(0) = 0\to$ et vitesse $u⃗(0) = u_⊥^0 e⃗_x + u_z e⃗_z$ . Préciser la pulsation $Ω$ et le rayon $r_L$ de giration.
(c) Les ions et les électrons ont une énergie d'agitation thermique de l'ordre de 10 keV . Donner l'ordre de grandeur de $Ω$ et de $r_L$ pour les ions puis pour les électrons avec $B = 4 T$ .
(d) Dans le plan $xOy$ , en assimilant le mouvement d'une charge à une spire, montrer que le moment magnétique associé s'écrit $μ⃗ = - μe⃗_z$ avec $μ = qu_⊥^2/2Ω$ où $u_⊥ = ‖u⃗_⊥‖$ , $u⃗_⊥$ étant la vitesse dans ce plan.
(e) Évaluer l'énergie cinétique transverse $1/2mu_⊥^2$ en fonction de $μ⃗$ et $B⃗$ .
On considère maintenant un champ magnétique non uniforme $B⃗ = B(x, y, z)b⃗$ , avec $‖b⃗‖ = 1$ et $‖B⃗‖ = B$ de l'ordre du Tesla. On suppose que le champ varie très peu, en valeur relative, sur des distances de l'ordre de $r_L$ . Le mouvement d'une particule de charge $q$ comprend alors un mouvement de giration « rapide» orthogonal localement à $B⃗$ et un mouvement «lent » de vitesse $U⃗$ . On admet que le mouvement lent est celui d'un système de vitesse $U⃗$ , portant une charge $q$ et un moment magnétique $μ⃗ = - μb⃗$ .
(a) La force s'exerçant sur un dipôle magnétique $μ⃗$ s'écrit

F⃗ = (μ⃗ \cdot (\partialB⃗)/(\partialx), μ⃗ \cdot (\partialB⃗)/(\partialy), μ⃗ \cdot (\partialB⃗)/(\partialz))

Pour

μ⃗ = - μb⃗

, montrer que cette force s'écrit également

F⃗ = - μ\nabla⃗B

.
(b) On effectue l'hypothèse que

U⃗

est parallèle à

B⃗

, soit

U⃗ = U_‖b⃗

. Donner l'équation différentielle que doit satisfaire

U⃗

.
(c) On désigne par

K

l'énergie cinétique associée au mouvement lent.

Montrer que

(dK)/(dt) + μ(dB)/(dt) = 0

.
On rappelle que pour toute fonction

f(r⃗(t)) : (df)/(dt) = (dr⃗)/(dt) \cdot \nabla⃗f

.
(d) Soit

u⃗_⊥

la vitesse du mouvement de giration. On admet que

μ

est donné par la même expression qu'en 1.d. Effectuer un bilan global d'énergie cinétique et en déduire que

μ

est une constante.
(e) L'hypothèse effectuée en 2.b est une excellente approximation. Cependant, l'équation du mouvement ne peut être satisfaite en général que si

U⃗

comporte une composante

U⃗_⊥

orthogonale à

B⃗

. Compléter alors l'équation du mouvement obtenue en 2 .b pour en tenir compte.
(f) En déduire, en supposant les variations temporelles de

U⃗_⊥

négligeables, que

U⃗_⊥

est donné par :

U⃗_⊥ ≃ (U_‖^2)/(ΩR)b⃗ \land n⃗ + μ/(mΩ)b⃗ \land \nabla⃗B

où

R

est le rayon de courbure de la ligne de champ et

n⃗

le vecteur normal unitaire. Indication : on calculera

b⃗ \land (dU⃗)/(dt)

et on utilisera l'expression de

Ω

obtenue en 1.b.
3. Pour confiner les particules chargées composant le plasma, une idée naturelle est de fermer les lignes de champ. Dans ce but on utilise un solénoïde torique. On utilisera les coordonnées cylindriques (

r, θ, z

) de la figure 2.

Figure 2

(a) Soit

N

le nombre total de spires; calculer le champ magnétique créé par le solénoïde lorsqu'il est parcouru par un courant continu d'intensité

I

.
(b) Expliciter les deux termes dans l'expression (1) donnant

U⃗_⊥

en fonction de

K_‖

K_⊥

, contributions de

U_‖

u_⊥

à l'énergie cinétique en notant

α = qμ_0 NI/2π

; expliquer pourquoi un tel champ ne peut confiner les particules indéfiniment.
(c) Écrire les équations du mouvement d'une particule chargée de coordonnées (

r, θ, z

) dans ce champ magnétique torique.
(d) Montrer que l'équation correspondant à

e⃗_θ

conduit après intégration à une relation qui exprime la conservation d'une grandeur physique que l'on précisera.
(e) Montrer qu'après une intégration de l'équation correspondant à

e⃗_z

, on peut se ramener dans une seconde étape à une intégrale première du mouvement ne portant que sur

r

. A la conservation de quelle grandeur physique correspond-elle?
(f) Dans le cas particulier où les particules circulent à

r

constant, retrouve-t-on la direction de

U⃗_⊥

donnée en 2.f?
4. Un courant de densité

j_θ

(sur la direction orthoradiale

e⃗_θ

) est généré à l'intérieur du tore. On suppose que le « rapport d'aspect »

R_C/a

est grand devant

1, R_C

étant le rayon moyen du tore et

a

le rayon de sa section (figure 2). On assimile localement le tore à un cylindre, et on suppose pour une approche qualitative que

j_θ

est uniforme.
(a) Dans ces approximations, donner sans calculs la forme des lignes de champ à l'intérieur du solénoïde.
(b) Dans cette configuration, le confinement des particules est-il amélioré? on demande un argument qualitatif.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte la composition de physique de l'X-ENS MP 2007 ?

Elle porte sur les réactions nucléaires, l'équilibre d'un plasma dans un champ magnétique, le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme ou non uniforme, et le confinement magnétique dans un tokamak.

Quelles parties de ce sujet sont indépendantes ?

L'énoncé précise que les quatre parties, consacrées à la cinématique de la réaction, à la pression du plasma, à son chauffage et à son confinement magnétique, sont indépendantes.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet de physique X-ENS MP 2007 sur la fusion ?

Il faut maîtriser la force de Lorentz et le mouvement cyclotron d'une particule chargée, les gaz parfaits, l'équilibre statique d'un fluide soumis à des forces volumiques, et le champ magnétique créé par un solénoïde.

Ce sujet est-il faisable en première année de prépa MP ?

Non, il mobilise des notions avancées de deuxième année comme le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique non uniforme, le moment magnétique et les invariants adiabatiques.

Pas de description pour le moment

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