Mines Mathématiques 1 MP 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Transport de Monge unidimensionnel et entropie de Boltzmann

Le problème construit, pour une fonction f donnée, une application φ qui transporte de façon optimale un tas de sable gaussien vers un autre tas de sable de densité liée à f, au sens du problème de transport de Monge. Il établit ensuite une inégalité entre l’entropie de Boltzmann E(f) et le coût de transport Φ(f), avant d’étendre ce résultat à des fonctions pouvant s’annuler.

1I. Calculs préliminairesOn construit un C¹-difféomorphisme φ de R associé à f par un changement de variable sur des intégrales à paramètre, puis on établit plusieurs identités et majorations utiles pour la suite.
2II. Une inégalité intéressanteOn introduit l’entropie E(f) et le coût de transport Φ(f), on montre leur convergence puis l’inégalité E(f) ≥ Φ(f), avec caractérisation du cas d’égalité.
3III. Extension aux fonctions positivesOn étend les résultats de la partie II à des fonctions g pouvant s’annuler, en approchant g par une suite (f_n) et en étudiant la convergence des fonctions associées φ_n vers des limites liminf et limsup.

Difficile. Le rapport indique que le problème est long et que personne ne le traite en totalité, et que la valeur assez élevée de l’écart-type témoigne de la qualité de discrimination du sujet.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Temps perdu sur la première question · Fonction de référence mal utilisée · Changement de variable insuffisamment justifié

Les parties I et II, ainsi que le début de la partie III, ont été abordés dans la plupart des copies, mais très peu de candidats maîtrisent la fin du problème. Le jury regrette que les théorèmes du programme sur les intégrales à paramètres ne soient pas cités avec suffisamment de précision, et que de nombreuses copies ne soient pas assez soignées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Temps perdu sur la première questionQ1
Certains candidats consacrent un temps disproportionné à la question 1, qui ne le justifiait pas.
« Certains candidats perdent un temps précieux sur la question 1) en y consacrant plus d’une copie double. »
2
Fonction de référence mal utiliséeQ1
Un certain nombre de candidats pensent à tort que la fonction exponentielle de moins x² est une fonction de référence permettant à elle seule d’établir l’intégrabilité d’une fonction sur R.
3
Changement de variable insuffisamment justifiéQ5
La formule de changement de variable utilisée pour passer d’une intégrale à l’autre manque souvent de la rigueur attendue.
« la formule de changement de variable n’est pas toujours justifiée avec le soin exigé. »
4
Confusion entre f(u) et f∘f(u)Q6
Certains candidats confondent f(u) et la composée f∘f(u), ou affirment sans le démontrer qu’une fonction croissante a pour carré une fonction croissante.
5
Inégalité de domination mal établieQ15
Cette inégalité, nécessaire pour la question 15, est rarement correctement établie par les candidats.
« l’inégalité de domination est rarement correctement établie. »
6
Convergence uniforme utilisée sans domination
Certains candidats croient qu’une convergence uniforme vers 0 suffit à faire tendre une suite d’intégrales vers 0, sans ajouter l’inégalité de domination nécessaire.

Ce qui a été bien réussi

Un très petit nombre de candidats a impressionné le jury en obtenant une note voisine de 20, malgré la longueur du problème.

Conseils du jury

Lire tranquillement la totalité du sujet avant de commencer, pour assimiler les notations et comprendre l’enjeu du problème.
Écrire lisiblement et encadrer systématiquement les résultats obtenus.
Citer avec précision les théorèmes du cours et les résultats des questions antérieures utilisés, en indiquant leur numéro.
Chercher et construire chaque démonstration au brouillon avant de la recopier au propre, une fois qu’elle est claire et concise.
Indiquer nettement lorsqu’un résultat est admis plutôt que de tenter de dissimuler une difficulté.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIERE ÉPREUVE

Filière MP
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1 - Filière MP.
Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Avertissement : dans ce problème, apparaissent de nombreuses intégrales impropres. On prendra soin de justifier systématiquement l'intégrabilité des fonctions considérées même lorsque ce n'est pas explicitement demandé.

Pour une suite de réels

z = (z_n, n \geq 1)

, on note

lim inf_n z_n

(respectivement

lim sup_n z_n

), la plus petite (respectivement la plus grande) des valeurs d'adhérence de

z

On rappelle qu'une suite converge si et seulement si elle n'admet qu'une seule valeur d'adhérence finie.

Pour une suite de fonctions à valeurs réelles (

f_n(x), n \geq 1

), on note

lim inf_n f_n

la fonction qui à tout réel

x

associe

lim inf_n f_n(x)

I. Calculs préliminaires

On note

H

l'ensemble des fonctions

f

strictement positives, continues sur

ℝ

, pour lesquelles il existe

ρ > 0

(dépendant de

f

) tel que, pour tout réel

x

0 < f(x) \leq 1/ρexp((1/2 - ρ)x^2)

On note

H_0

, le sous-ensemble de

H

des fonctions

f

telles que:

\int_(- \infty)^(+ \infty)f(u)e^(- u^2/2) du = \int_(- \infty)^(+ \infty)e^(- u^2/2) du = \sqrt(2π)

Dans tout le reste de l'énoncé,

f

est un élément de

H_0

Soit $F_f$ définie par

F_f(x) = \int_(- \infty)^x f(u)e^(- u^2/2) du

En particulier

F_1(x) = \int_(- \infty)^x e^(- u^2/2) du

Montrer que

F_f

est un

C^1

-difféomorphisme de

ℝ

sur

]0, \sqrt(2π)[

.
2) Montrer qu'il existe une unique fonction

φ

ℝ

dans

ℝ

telle que, pour tout réel

x

, on ait

\int_(- \infty)^(φ(x))f(u)e^(- u^2/2) du = \int_(- \infty)^x e^(- u^2/2) du

Montrer que $φ$ est monotone et que $φ$ est un $C^1$ -difféomorphisme de $ℝ$ sur $ℝ$ .
Pour tout réel $x$ , calculer

ln(φ^'(x)) + ln(f(φ(x))) - 1/2φ(x)^2

ln((φ^(- 1))^'(x)) - ln(f(x)) - 1/2φ^(- 1)(x)^2

Soit $h$ une fonction continue par morceaux de $ℝ$ dans $ℝ$ telle que la fonction $u \mapsto h(u)f(u)e^(- u^2/2)$ soit intégrable sur $ℝ$ .
Montrer l'identité suivante:

\int_(- \infty)^(+ \infty)h(u)f(u)e^(- u^2/2) du = \int_(- \infty)^(+ \infty)h(φ(u))e^(- u^2/2) du

Montrer qu'il existe un réel $A > 0$ tel que pour tout réel $x \geq A$ , on ait:

\int_x^(x + 1)φ^2(u)e^(- u^2/2) du \geq φ^2(x)e^(- (x + 1)^2/2)

Montrer qu'il existe un réel $B > 0$ tel que pour tout réel $|u| \geq B$ , on ait:

|φ(u)| \leq e^((|u| + 1)^2/4)

Déterminer une primitive de la fonction

u \mapsto (uφ(u) - u^2 - φ^'(u) + 1)e^(- u^2/2).

Calculer l'intégrale suivante

I = \int_(- \infty)^(+ \infty)(uφ(u) - u^2 - φ^'(u) + 1)e^(- u^2/2) du

II. Une inégalité intéressante

On introduit les notations suivantes:

E(f) = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(u)ln(f(u))e^(- u^2/2) du; Φ(f) = 1/2\int_(- \infty)^(+ \infty)|u - φ(u)|^2 e^(- u^2/2) du

Justifier la convergence de ces deux intégrales.
Montrer l'identité :

E(f) = \int_(- \infty)^(+ \infty)ln(f(φ(u)))e^(- u^2/2) du

Montrer l'égalité suivante:

E(f) - Φ(f) = \int_(- \infty)^(+ \infty)(φ^'(u) - 1 - ln(φ^'(u)))e^(- u^2/2) du

Quelle est la relation d'ordre entre $Φ(f)$ et $E(f)$ ?
Déterminer les fonctions telles que $E(f) = Φ(f)$ .

III. Extension aux fonctions positives

On veut maintenant étendre le résultat de la question 13 aux fonctions qui peuvent s'annuler. On considère donc une fonction continue positive

g

qui satisfait les mêmes hypothèses que

f

, à la différence près que

g

peut s'annuler. Soit

ψ

la fonction définie par

ψ(x) = xln(x)

, on convient que

ψ

est prolongée par continuité en 0 par

ψ(0) = 0

Pour tout entier

n > 0

, on pose

f_n(u) = (n - 1)/ng(u) + 1/n

Montrer que ( $E(f_n), n \geq 1$ ) converge vers $E(g)$ quand $n$ tend vers l'infini.
Soit $φ_n$ la fonction associée à $f_n$ , comme $φ$ était associée à $f$ dans la question 2. Pour tout réel $x$ , on note

ψ_1(x) = lim inf_n φ_n(x) et ψ_2(x) = lim sup_n φ_n(x)

Montrer que pour tout réel

x

et pour

j = 1

j = 2

\int_(- \infty)^(ψ_j(x))g(u)e^(- u^2/2) du = \int_(- \infty)^x e^(- u^2/2) du

On note respectivement $a$ et $b$ les bornes inférieure et supérieure de l'ensemble des $x$ tels que $g(x) > 0$ :

a = inf{x \in ℝ/g(x) > 0} et b = sup{x \in ℝ/g(x) > 0}.

Lorsque

g

est strictement positive au voisinage de

- \infty

(respectivement

+ \infty

), on obtient

a = - \infty

(respectivement

b = + \infty

) de sorte que

- \infty \leq a < b \leq + \infty et que g = 0 sur ] - \infty, a] \cup [b, + \infty[.

Montrer que pour

j = 1

j = 2, ψ_j

est strictement croissante et

lim_(x \to - \infty)ψ_j(x) = a et lim_(x \to + \infty)ψ_j(x) = b

On note $D$ l'ensemble des points de discontinuité de $ψ_1$ . Pour $x$ élément de $D$ , on note

ψ_1(x^+) = lim_(y \to x; y > x)ψ_1(y) et ψ_1(x^-) = lim_(y \to x; y < x)ψ_1(y)

Pour

ε > 0

, soit

D_ε = {x ∈ D/ψ_1(x^+) − ψ_1(x^−) > ε}.

On fixe

N

entier non nul, montrer que le cardinal de

D_(1/N)

est inférieur à

N(b - a)

.
19) Que peut-on dire du cardinal de

D

?
20) Montrer que si

ψ_1(x) < ψ_2(x)

alors

g

est nulle sur

[ψ_1(x), ψ_2(x)]

.
21) Montrer que si

g(ψ_1(x)) > 0

alors

ψ_1

est continue en

x

.
22) Montrer que si

ψ_1

est continue en

x

alors

ψ_1(x) = ψ_2(x)

.
23) Notons

C

l'ensemble des points de continuité de

ψ_1

K

une partie compacte de

C

. Soit

ε > 0

fixé.
Montrer qu'il existe dans

K

des réels

x_0, \dots, x_(2q + 1)

tels que:
(a)

K \subset \cup _(j = 0)^q[x_(2j), x_(2j + 1)]

,
(b) pour

j ∈ {0, ⋯, q}, x_(2j) < x_(2j + 1)

ψ_1(v) - ψ_1(u) \leq ε

quels que soient

u

v

tels que

x_(2j) \leq u \leq v \leq x_(2j + 1)

.
24) Déduire des questions 20 à 23 que (

φ_n, n \geq 1

) converge uniformément sur

K

, vers

ψ_1

.
25) Montrer qu'il existe

A

n

assez grands tels que pour tout

m \geq n

, on ait:

sup_(u \in [ - A, A])|φ_m(u)| \leq |ψ_1(- A)| + |ψ_2(A)| + 1.

En déduire que

sup{|u − φ_n(u)|^2/|u| ≤ A, n ≥ 1} est fini.

On note

M

ce nombre.
26) Montrer que pour tout

A > 0

lim_(n \to + \infty)\int_(- A)^A|u - φ_n(u)|^2 e^(- u^2/2) du = \int_(- A)^A|u - ψ_1(u)|^2 e^(- u^2/2) du

Indication : Soit

ε > 0

fixé. Soit (

λ_n, n \geq 1

) la suite des points de discontinuité de

ψ_1

dans

[ - A, A]

. Pour tout entier

p

non nul, introduisons

J_p = ]λ_p - 2^(- p)ε/M, λ_p + 2^(- p)ε/M[ et K = [ - A, A]∖ \cup _(p \geq 1)J_p.

On majorera séparément les intégrales sur

K

et sur

\cup _(p \geq 1)J_p

.
27) Conclure.

FIN DU PROBLÈME

Le problème de transport de Monge consiste à optimiser le coût global du transport d'une répartition de masse vers une autre. Dans le cas uni-dimensionnel que nous venons de traiter, on se donne un tas de sable infiniment fin dont le poids entre les abscisses

u - du

u + du

est donnée par

2exp(- u^2/2)du

. On veut le déplacer vers un tas de sable de densité linéique

f(u)exp(- u^2/2)

. Cela est représenté par une application

s

ℝ

dans

ℝ

qui pour tout réel u donne l'abscisse,

s(u)

, du grain situé en u après le transport. On montre que l'application

φ

déterminée en question 2 minimise le coût du transport défini par

\int_(- \infty)^(+ \infty)|u - s(u)|^2 e^(- u^2/2)du

, parmi toutes les fonctions

s

possibles. L'objectif de ce problème est de majorer ce coût minimal par une quantité qui ne dépend que de

f

et qui ne nécessite pas le calcul de

φ

. Le nombre

E(f)

est appelée l'entropie de Boltzmann.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 MP 2005 ?

Le sujet porte sur les intégrales à paramètres et la convergence dominée, les changements de variable, la convergence uniforme de suites de fonctions et l’étude de fonctions monotones.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 1 MP 2005 ?

Le rapport cite un temps mal réparti sur la première question, un changement de variable insuffisamment justifié, une confusion entre f(u) et f∘f(u), et une inégalité de domination rarement bien établie.

Le sujet Mines Maths 1 MP 2005 est-il difficile ?

Oui, le rapport le décrit comme un problème long que personne ne traite en totalité, avec un écart-type élevé qui témoigne de sa capacité à bien classer les candidats.

Comment bien aborder le sujet Mines Maths 1 MP 2005 le jour de l’épreuve ?

Le rapport conseille de lire d’abord la totalité du sujet pour en assimiler les notations, de soigner la rédaction et l’encadrement des résultats, et de citer précisément les théorèmes et résultats de questions antérieures utilisés.

Pas de description pour le moment

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