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Équation fonctionnelle invariante par rotation et équation cinétique de type Boltzmann
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Le problème étudie d'abord une équation fonctionnelle invariante par rotation, vérifiée par une fonction positive de la variable réelle, pour en déterminer toutes les solutions continues puis de classe C1. Il établit ensuite des inégalités de type Gronwall, utilisées pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution à une équation intégro-différentielle non linéaire modélisant une version simplifiée de l'équation cinétique de Boltzmann. La dernière partie étudie les propriétés de cette solution, dont la conservation de la masse et la croissance de l'entropie.

  1. 1Partie IDéterminer, parmi les fonctions de classe C1 vérifiant l'équation fonctionnelle invariante par rotation, celles qui sont solutions, en se ramenant à une équation différentielle linéaire.
  2. 2Partie IIDéterminer, parmi les fonctions seulement continues vérifiant la même équation fonctionnelle, celles qui sont solutions, en se ramenant à une équation de Cauchy fonctionnelle sur le logarithme.
  3. 3Partie IIIÉtablir plusieurs inégalités de type lemme de Gronwall, discrètes et continues, portant sur des suites de fonctions et des fonctions vérifiant des inégalités intégrales.
  4. 4Partie IVConstruire par itération une suite de fonctions solutions approchées d'une équation intégro-différentielle non linéaire de type cinétique, et démontrer, à l'aide des estimations de la partie III, l'existence et l'unicité locale en temps d'une solution obtenue comme limite uniforme de cette suite.
  5. 5Partie VÉtudier des propriétés de la solution obtenue en partie IV : changement de variables par une matrice inversible, conservation de la masse au cours du temps, et croissance de l'entropie associée, en lien avec le théorème H de Boltzmann.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Commentaires

Les erreurs et imprécisions

  1. Tout d'abord la question III. 1 est fausse telle quelle. Il me semble que la meilleure façon de la rectifier est de supposer les fonctions C_n positives.
  2. Pour la même raison, il serait bon de rectifier la question IV.2.i) en demandant à C_n d'être à valeurs positives.
  3. En IV.3.i), il serait tout aussi raisonnable de demander de vérifier que J_n est à valeurs positives.
  4. En V.1.ii) la notation M(x, y) n'a aucun sens puisque M est une matrice dans GL_2(R) et que ( x, y ) est un vecteur ligne. Il faudrait préciser la notation qui n'est d'ailleurs utilisée qu'une seule fois.
  5. Le théorème de Fubini admis ne permet pas de traiter directement la question V. 2 puisqu'on intègre sur R × [ − π, π] × R a priori. Il aurait été plus raisonnable d'admettre un cas plus général.
  6. Toujours en V. 2 je ne comprends pas à quoi sert l'hypothèse sur φ. En V. 3 on se sert de φ = 1 et en V. 4 on a besoin d'une fonction de deux variables. L'hypothèse est plus gênante qu'autre chose.
  7. En V. 4 la variable x n'est pas définie.
  8. La question I. 1 mériterait d'être en préliminaire : elle est utile pour traiter la partie II.
  9. En fait les parties I et II ne sont pas indépendantes. Outre la question I. 1 qui sert en partie II, la question I. 3 est une conséquence de la question II.3.
  10. L'écriture sous forme d'opérateur, utilisée uniquement en I.2.i), de [ x∂/(∂y) − y∂/(∂x) ] aurait pu être expliquée. Mais le plus grave est la confusion entre fonction et valeurs sans aucune mise en garde : f(x)f(y) est compris comme une fonction.
  11. Il y a une virgule en trop après « lorsque » en question II.2.ii). D'une façon générale il y a peut-être trop de virgules.

Les points gênants

  1. La connaissance du lemme de Gronwall avantageait les candidats puisqu'il s'agit de la question III.2. Il me semble que donner une indication aurait équilibré les chances de chacun(e).
  2. La question III. 3 est calquée sur la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz donnée par le théorème du point fixe de Picard. Une fois encore les étudiant(e)s ayant vu la démonstration en cours étaient avantagé(e)s. Il me semble que donner des indications aurait permis d'équilibrer les chances de chacun(e).
  3. L'interprétation géométrique et, avec elle, une notation plus commode pour ( xcos(θ) − ysin(θ), xsin(θ) + ycos(θ)) seraient bienvenues. Par exemple
((x_θ)/(y_θ)) = (cos(θ), − sin(θ); sin(θ), cos(θ))(x/y).
  1. L'équation (3) est illisible. Il me semble que le numéro d'équation devrait au minimum se trouver à la fin de l'équation. Par ailleurs une notation pour xcos(θ) − ysin(θ) et xsin(θ) + ycos(θ) permettrait de tout faire tenir sur une ligne.
  2. En partie IV, T_1 désigne un réel (a priori différent selon la question) et en partie V c'est une matrice triangulaire.
  3. La définition de f en fin de partie IV est maladroite.
  4. Les partie IV et V sont très techniques et souffrent d'une absence de notations qui rend l'ensemble très lourd à manipuler. On pourrait au moins donner une notation pour les fonctions continues et bornées, voire même pour les fonctions telles que (t, x) ↦ f(t, x)exp(x^2/2) est continue et bornée. Nommer x ↦ exp(x^2/2) et toutes les fonctions intervenant permettrait aussi d'alléger les énoncés, tout comme les réponses.
  5. La question V. 1 n'a pas vraiment d'intérêt et pourrait largement être admise. Son aspect technique n'apporte rien et il y a déjà de nombreuses questions techniques.
  6. En V. 2 l'équation est illisible et pourrait tenir sur une seule ligne avec des notations adéquates.
  7. En V. 4 l'apparition d'une valeur absolue est troublante, même si elle est correcte.

Les détails

  1. La répétition des «On note . . . l'ensemble » en début de sujet n'est pas très heureuse.
  2. La notation Q_+n'est utilisée qu'une fois : on pourrait s'en dispenser.
  3. On n'a jamais besoin de matrices non inversibles. On pourrait noter GL_2(R).
  4. La rédaction du sujet, bien que globalement compréhensible, pourrait être plus soignée. Quelques exemples :
    a) L'utilisation de parenthèses et de crochets de tailles adaptées faciliterait la lecture, par exemple via l'utilisation de \left et \right en HT_(EX).
    b) «On suppose dans cette partie que f ∈ F est ...». Le mélange langage/métalangage est incorrect.
    c) « est de classe C^1(R, R_+)». Soit f est de classe C^1 de R dans R_+, soit f appartient à C^1(R, R_+).
    d) L'écriture « ∀x, y, θ ∈ R » est incorrecte.
    e) L'écriture « ∀n ∈ N^∗, t ∈ [0, 1] » est incorrecte. Le mieux aurait sans doute été de redoubler le quantificateur universel.
    f) L'écriture «fonctions g : R^2 → R continues » est incorrecte.
    g) L'écriture « telles que |g(x, y)| ≤ Hexp(− L(x^2 + y^2)) pour des constantes H, L > 0 données » est incorrecte, de même que «Soit T > 0, B > 0, et D > 0 ».
    h) Ceci conduit notamment à la phrase « pour K_1 et T_1 > 0 » où il n'est pas clair que K_1 est également un réel strictement positif.
    i) Les nombreuses parenthèses alourdissent la lecture et pourraient avantageusement être omises. Exemple : « la fonction r (de R_+dans R ) définie par ».
    j) Il me parait inutile, quoique très courant, de rajouter des «que» avant les assertions à démontrer.
    k) L'usage de « Montrer », quoique très courant, est incorrect.
    l) La notation - pour les ensembles n'est pas très agréable.
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On note N l'ensemble des entiers naturels et N^∗ = N − {0}. On note Q_+l'ensemble des nombres rationnels positifs ou nuls. On note R l'ensemble des nombres réels, R_+l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls, et R_+^∗ l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
Pour I intervalle de R, et L un sous-ensemble de R, on note C(I, L) l'ensemble des fonctions continues de I dans L et C^1(I, L) l'ensemble des fonctions de classe C^1 de I dans L.
On note M_2(R) l'ensemble des matrices carrées à deux lignes (et deux colonnes) dont les coefficients sont réels.
On note F l'ensemble des fonctions de R dans R_+vérifiant
∀x, y, θ ∈ R, f(xcosθ − ysinθ)f(xsinθ + ycosθ) = f(x)f(y).
Les parties I, II et III sont indépendantes.

I

On suppose dans cette partie que f appartient à F et est de classe C^1.
  1. Montrer que
∀(x, y) ∈ R^2, f(x)f(y) = f(√(x^2 + y^2))f(0)
  1. i) Calculer (pour (x, y) ∈ R^2∖{(0, 0)}) les quantités [x∂/(∂y) − y∂/(∂x)](f(x)f(y)) et [x∂/(∂y) − y∂/(∂x)](f(√(x^2 + y^2))).
    ii) En déduire qu'il existe α ∈ R tel que
∀x ∈ R, f^′(x) = αxf(x)
iii) Quelles sont les fonctions de F ∩ C^1(R, R_+)?

II

On suppose dans cette partie que f ∈ F est dans C(R, R_+).
  1. Montrer que si f(0) = 0, alors pour tout x ∈ R, f(x) = 0.
  2. On suppose dans ce paragraphe que f(0) ≠ 0.
    i) Montrer que pour tout x ∈ R, f(x) ≠ 0.
    ii) On considère la fonction r (de R_+dans R ) définie par r(x) = ln((f(√x))/(f(0))). Trouver une relation entre r(x + y), r(x) et r(y), lorsque, x ∈ R_+, y ∈ R_+.
    iii) Trouver une relation entre r(s) et sr(1) pour s ∈ N, puis pour s ∈ Q_+, et enfin pour s ∈ R_+.
  3. Quelles sont les fonctions de F ∩ C(R, R_+)?

III

  1. Soit A > 0, K > 0, et (C_n)_(n ∈ N) une suite de fonctions de C([0, 1], R) telles que pour tout t ∈ [0, 1], C_0(t) ≤ A, et
∀n ∈ N^∗, t ∈ [0, 1], C_(n + 1)(t) ≤ A + K∫_0^t C_n(s)^2 ds
Montrer que
∀n ∈ N^∗, t ∈ [0, inf(1/(4AK), 1)], C_n(t) ≤ 2A
  1. Soit T > 0, B > 0, et D > 0 des constantes, et φ une fonction de C([0, T], R_+)telle que
∀t ∈ [0, T], φ(t) ≤ B + D∫_0^t φ(s)ds
Montrer que
∀t ∈ [0, T], φ(t) ≤ Be^(Dt)
  1. Soit T_1 > 0, A_1 > 0, K_1 > 0 des constantes, et (J_n)_(n ∈ N) une suite de fonctions de C([0, T_1], R_+) telles que pour tout t ∈ [0, T_1], J_0(t) ≤ A_1, et
∀n ∈ N^∗, t ∈ [0, T_1], J_n(t) ≤ K_1∫_0^t[J_n(s) + J_(n − 1)(s)]ds
i) Montrer que pour tout t ∈ [0, T_1], n ∈ N^∗,
J_n(t) ≤ K_1 e^(K_1 T_1)∫_0^t J_(n − 1)(s)ds
ii) En déduire que pour t ∈ [0, T_1], n ∈ N^∗,
J_n(t) ≤ A_1([K_1 T_1 e^(K_1 T_1)]^n)/(n!)

IV

Dans cette partie et la suivante, f_(in) est une fonction de R dans R_+^∗ telle que x ↦ f_(in)(x)exp(x^2/2) est continue et bornée.
  1. i) Montrer que l'on peut trouver une unique suite de fonctions (f_n)_(n ∈ N) de [0, 1] × R dans R telles que (t, x) ∈ [0, 1] × R ↦ f_n(t, x)exp(x^2/2) est continue et bornée, t ∈ [0, 1] ↦ f_n(t, x) ∈ C^1([0, 1], R) pour tout x ∈ R, et (pour tout n ∈ N, (t, x) ∈ [0, 1] × R )
(∂f_(n + 1))/(∂t)(t, x) = ∫_(− π)^π(∫_R[f_n(t, xcosθ − ysinθ)f_n(t, xsinθ + ycosθ); − f_(n + 1)(t, x)f_n(t, y)]dy)dθ
f_(n + 1)(0, x) = f_(in)(x)
et
f_0(t, x) = f_(in)(x)
Pour cela, on commencera par mettre l'équation (3) sous la forme
(∂f_(n + 1))/(∂t)(t, x) = a_n(t)f_(n + 1)(t, x) + b_n(t, x)
où a_n et b_n sont des fonctions continues (définies à partir de f_n ) judicieusement choisies.
ii) Montrer que pour n ∈ N et (t, x) ∈ [0, 1] × R, on a f_n(t, x) ≥ 0
2. i) Montrer que
∀n ∈ N, t ∈ [0, 1], x ∈ R, 0 ≤ f_n(t, x) ≤ C_n(t)exp(− x^2/2)
avec (C_n)_(n ∈ N) suite de fonctions de C([0, 1], R) telles que (1) est vérifiée (pour A, K convenablement choisis en fonction de f_(in) ).
ii) En déduire qu'il existe T_1 ∈ ]0, 1] et A > 0 tels que
∀t ∈ [0, T_1], n ∈ N, C_n(t) ≤ 2A.
  1. i) Montrer que (pour tout n ∈ N )
∀t ∈ [0, 1], x ∈ R, |f_(n + 1)(t, x) − f_n(t, x)| ≤ J_n(t)exp(− x^2/2),
avec (J_n)_(n ∈ N) suite de fonctions de C([0, 1], R) telles que pour tout t ∈ [0, 1] (et n ∈ N^∗ ),
J_n(t) ≤ 2π∫_R exp(− y^2/2)dy[∫_0^t(2C_n(s) + C_(n − 1)(s))J_(n − 1)(s)ds + ∫_0^t C_n(s)J_n(s)ds]
ii) En déduire que la suite de fonctions (J_n)_(n ∈ N) vérifie (2) (pour K_1 et T_1 > 0 convenablement choisis).
iii) Montrer qu'il existe T ∈ ]0, 1] pour lequel la suite (t, x) ∈ [0, T] × R ↦ f_n(t, x)exp(x^2/2) converge uniformément sur [0, T] × R. On notera (t, x) ∈ [0, T] × R ↦ f(t, x)exp(x^2/2) la limite de cette suite.
4. Montrer que f est une fonction telle que (t, x) ∈ [0, T] × R ↦ f(t, x)exp(x^2/2) est continue et bornée, t ∈ [0, T] ↦ f(t, x) ∈ C^1([0, T], R_+)pour tout x ∈ R, et
(∂f)/(∂t)(t, x) = ∫_(− π)^π∫_R[f(t, xcosθ − ysinθ)f(t, xsinθ + ycosθ) − f(t, x)f(t, y)]dy dθ; f(0, x) = f_(in)(x)

V

Dans cette partie, f désigne une fonction obtenue à la question IV.4.
On échangera par ailleurs dans cette partie sans justification les signes ∫ (théorème de Fubini) lorsque les intégrandes sont des fonctions g : R^2 → R continues telles que |g(x, y)| ≤ Hexp(− L(x^2 + y^2) ) pour des constantes H, L > 0 données.
  1. i) Montrer que si M = (a, b; c, d) ∈ M_2(R) est une matrice inversible telle que d ≠ 0, il existe une matrice triangulaire supérieure inversible T_1 ∈ M_2(R) et une matrice triangulaire inférieure inversible T_2 ∈ M_2(R) telles que
M = T_1 T_2
ii) Soit H, L > 0, h une fonction continue de R × R dans R telle que |h(x, y)| ≤ Hexp(− L(x^2 + y^2)), et M ∈ M_2(R) une matrice inversible. Montrer que
∫_(− ∞)^(+ ∞)∫_(− ∞)^(+ ∞)h(x, y)dx dy = |Det(M)|∫_(− ∞)^(+ ∞)∫_(− ∞)^(+ ∞)h(M(x, y))dx dy.
  1. Montrer que pour toute fonction φ de C(R, R) telle que x ↦ (φ(x))/(1 + x^2) est bornée, on a (pour t ∈ [0, T])
d/(dt)∫_R f(t, x)φ(x)dx = 1/4∫_R∫_R∫_(− π)^π[f(t, xcosθ − ysinθ)f(t, xsinθ + ycosθ); − f(t, x)f(t, y)] × [φ(x) + φ(y) − φ(xcosθ − ysinθ) − φ(xsinθ + ycosθ)]dθ dx dy
  1. i) Calculer (pour t ∈ [0, T]) la quantité ∫_R f(t, x)dx en fonction de f_(in).
    ii) Montrer que (pour t ∈ [0, T] et x ∈ R ),
f(t, x) ≥ f_(in)(x)e^(− 2πt∫_R f_(in)(y)dy).
  1. Dans cette question, on suppose qu'il existe S_1, S_2 > 0, tels que
f_(in)(x) ≥ S_1 e^(− S_2|x|^2)
i) Montrer que la quantité ∫_R f(t, x)lnf(t, x)dx définit une fonction de classe C^1 sur [0, T] et que
d/(dt)∫_R f(t, x)lnf(t, x)dx ≤ 0.
On pourra pour cela s'inspirer du résultat obtenu à la question .2.
Il s'agit d'une version simplifiée de la première partie du Théorème H de Boltzmann, dans lequel on montre la croissance de l'entropie − ∫flnf d'un gaz raréfié.
ii) Montrer que si l'on a (pour t ∈ [0, T] donné)
d/(dt)∫_R f(t, x)lnf(t, x)dx = 0
alors on peut trouver C_1, C_2 > 0 tels que
∀x ∈ R, f(t, x) = C_1 e^(− C_2 x^2).
Il s'agit d'une version simplifiée de la seconde partie du Théorème H de Boltzmann, dans lequel on montre que si la densité dans l'espace des phases d'un gaz raréfié est d'entropie maximale, alors c'est une fonction Maxwellienne de la vitesse des molécules (ici représentée par une fonction Gaussienne centrée).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques C de l'ENS MP 2013 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques C de l'ENS MP 2013 ?

Il porte sur les équations fonctionnelles, les équations différentielles, le lemme de Gronwall, la convergence uniforme de suites de fonctions et une équation cinétique inspirée du théorème H de Boltzmann.

Les cinq parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties I, II et III sont indépendantes entre elles, mais les parties IV et V s'appuient directement sur les résultats de la partie III et, pour la partie I, sur l'équation fonctionnelle qui réapparaît en partie IV.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Les équations différentielles linéaires, le lemme de Gronwall, la convergence uniforme de suites de fonctions et les intégrales à paramètre (théorème de Fubini).

Ce sujet est-il lié à la physique statistique ?

Oui, les parties IV et V construisent et étudient une version simplifiée de l'équation cinétique de Boltzmann, avec la conservation de la masse et la croissance de l'entropie d'un gaz raréfié.

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