ENS Mathématiques C MP 2014Sujet et corrigé

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Matrices symétriques définies positives
Espaces euclidiens et normes associées à une matrice
Réseaux entiers et bases du réseau Z²
Intégrales à paramètre et valeur moyenne
Continuité et fonctions de plusieurs variables
Aires et changement de variables linéaire

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Minima de Minkowski et géométrie des nombres pour les réseaux du plan

Le sujet étudie les minima de Minkowski d'une matrice symétrique définie positive de taille 2, qui mesurent la longueur des plus courts vecteurs non colinéaires du réseau Z² pour une norme associée à cette matrice. Il encadre ces minima, majore et minore leur produit à l'aide d'arguments d'aires, puis étudie leur valeur moyenne lorsque la matrice est conjuguée par des rotations, avant de borner la norme euclidienne des vecteurs d'une base réduite du réseau.

1Partie A : préliminairesÉtude de la norme et du produit scalaire associés à une matrice symétrique définie positive M, et encadrement des minima de Minkowski par les racines carrées des valeurs propres de M.
2Partie B : produit des minima de MinkowskiCaractérisation des bases du réseau Z², existence et propriétés d'une base M-réduite, et encadrement du produit des deux minima de Minkowski par des arguments d'aires de parallélogrammes.
3Partie C : valeur moyenne des minima de MinkowskiÉtude de la continuité des minima de Minkowski, définition de leur valeur moyenne lorsque M est conjuguée par une rotation d'angle theta, et encadrement de cette valeur moyenne à l'aide d'une estimation d'intégrale sur les points entiers du plan.
4Partie D : norme euclidienne des éléments d'une base réduiteÉtablissement de bornes uniformes puis d'une borne supérieure en moyenne pour la norme euclidienne des vecteurs d'une base M-réduite, en fonction du conditionnement de M.

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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES C - (ULCR)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Si le candidat ne parvient pas à établir le résultat annoncé dans une question, il peut néanmoins l'admettre et l'utiliser dans les questions suivantes, en l'indiquant clairement.(On prêtera en particulier attention au dernier résultat de chaque sous section.)

Minima de Minkowski

Introduction et notations

L'objet du problème est l'étude des minima de Minkowski

λ_1(M), λ_2(M)

, associés à une matrice symétrique définie positive

M

de taille

2 \times 2

. Les trois premières parties de ce problème établissent un encadrement respectivement de ces minima, de leur produit, et de leur valeur moyenne lorsque l'on conjugue

M

par une rotation d'angle

θ \in [0, 2π]

. On étudie les minimiseurs associés dans la dernière partie.

ℝ

désigne l'ensemble des réels,

ℤ

celui des entiers relatifs. On note

M_2(ℝ)

l'ensemble des matrices carrées de taille

2 \times 2

à coefficients réels, et

S_2^(+ +) \subset M_2(ℝ)

l'ensemble des matrices symétriques définies positives. On note

^t A

la transposée d'une matrice

A \in M_2(ℝ)

, et

det(A)

son déterminant. Le déterminant de deux vecteurs

u, v \in ℝ^2, u = (u_1, u_2), v = (v_1, v_2)

, est noté

Det(u, v):=u_1 v_2 - u_2 v_1

. On note

Id \in M_2(ℝ)

la matrice identité de taille

2 \times 2

. On désigne par Aire

(B)

l'aire d'une partie géométrique

B

du plan

ℝ^2

On note

⟨ \cdot, \cdot ⟩

‖ \cdot ‖

le produit scalaire et la norme canoniques sur

ℝ^2

: pour tous

u, v \in ℝ^2

⟨u, v⟩:=\sum_(1 \leq i \leq 2)u_i v_i, et ‖u‖:=\sqrt(⟨u, u⟩)

Etant donnée une matrice

M \in S_2^(+ +)

, on pose pour tous

u, v \in ℝ^2

⟨u, v⟩_M:=⟨u, Mv⟩, et ‖u‖_M:=\sqrt(⟨u, u⟩_M)

On note également, pour tout

r \geq 0

B¯(r):={u ∈ ℝ^2; ‖u‖ ≤ r}, et B¯_M(r):={u ∈ ℝ^2; ‖u‖_M ≤ r}.

On note

μ_1(M), μ_2(M) \in ℝ_+^*

les racines carrées des valeurs propres de

M

, ordonnées de sorte que

0 < μ_1(M) \leq μ_2(M)

Les minima de Minkowski associés à

M

sont définis comme suit :

λ_1(M), :=inf{‖u‖_M; u ∈ ℤ^2∖{0}}; λ_2(M), :=inf{‖v‖_M; u, v ∈ ℤ^2, Det(u, v) ≠ 0, ‖u‖_M ≤ ‖v‖_M}

A Préliminaires.

On considère une matrice

M \in S_2^(+ +)

, arbitraire mais fixée dans ce sujet.

I. Etude de la norme et du produit scalaire associés à $M$ .

Montrer qu'il existe une matrice inversible $A \in M_2(ℝ)$ , telle que $^t AA = M$ .

On considère dans les questions suivantes une telle matrice

A

, fixée.
2. Montrer que

⟨u, v⟩_M = ⟨Au, Av⟩

et que

‖u‖_M = ‖Au‖

, pour tous

u, v \in ℝ^2

.
3. Montrer que l'application

(u, v) \mapsto ⟨u, v⟩_M

définit un produit scalaire sur

ℝ^2

, et que

u \mapsto ‖u‖_M

définit une norme sur

ℝ^2

.
4. Montrer que, pour tout

u \in ℝ^2

μ_1(M)‖u‖ \leq ‖u‖_M \leq μ_2(M)‖u‖.

Montrer que $B¯(r)$ est l'image de $B¯_M(r)$ par l'application linéaire associée à la matrice $A$ . En déduire que

Aire(B¯_M(r)) = (πr^2)/(\sqrt(detM))

II. Encadrement des minima de Minkowski.

Montrer que $μ_1(M) \leq λ_1(M)$ .
En choisissant judicieusement la paire ( $u, v$ ), montrer que $λ_2(M) \leq μ_2(M)$ .
En déduire que

μ_1(M) \leq λ_1(M) \leq λ_2(M) \leq μ_2(M)

Montrer que, si $M$ est diagonale, alors $μ_1(M) = λ_1(M)$ , et $λ_2(M) = μ_2(M)$ .
Montrer que les infimums définissant $λ_1(M)$ et $λ_2(M)$ sont atteints.

B Produit des minima de Minkowski.

On dit que

(u, v) \in (ℤ^2)^2

est une base du réseau

ℤ^2

, si et seulement si

|Det(u, v)| = 1.

Etant donnés deux vecteurs

u, v \in ℝ^2

, on note

[u, v] \in M_2(ℝ)

la matrice dont les colonnes sont

u

v

: en coordonnées

u = ((u_1)/(u_2)), v = ((v_1)/(v_2)), [u, v] = (u_1, v_1; u_2, v_2).

I. Caractérisation des bases de $ℤ^2$ .

Supposons que $(u, v)$ est une base de $ℤ^2$ .
(a) Montrer que la matrice $[u, v]$ est inversible, et que les coefficients de son inverse sont entiers.
(b) Montrer que pour tout $z \in ℤ^2$ , il existe $α, β \in ℤ$ tels que $z = αu + βv$ .
Soient $u, v \in ℤ^2$ , tels que pour tout $z \in ℤ^2$ il existe des entiers $α, β \in ℤ$ tels que $z = αu + βv$ . Montrer que $(u, v)$ est une base du réseau $ℤ^2$ .

II. Définition et existence d'une base $M$ -réduite.

Montrer qu'il existe $u, v \in ℤ^2$ , tels que $Det(u, v) \neq 0, ‖u‖_M = λ_1(M)$ , et $‖v‖_M = λ_2(M)$ .
Soient $u, v \in ℤ^2$ des vecteurs satisfaisant les conditions de la question II.1. ci dessus. Nous souhaitons montrer que ( $u, v$ ) est une base du réseau $ℤ^2$ . Pour cela, nous supposons par l'absurde qu'il existe $z \in ℤ^2$ dont la décomposition $z = αu + βv$ sur la base ( $u, v$ ) de $ℝ^2$ , fait intervenir au moins un coefficient non entier, $α$ ou $β$ .
(a) Montrer qu'il existe $z^′ ∈ ℤ^2∖{0}$ , et $α^', β^' \in ℝ$ , tels que

z^' = α^' u + β^' v, |α^'| \leq 1/2, |β^'| \leq 1/2

(b) Si

β^' = 0

, montrer qu'alors

‖z^'‖_M < λ_1(M)

. Si

β^' \neq 0

, montrer qu'alors

‖z^'‖_M < λ_2(M)

.
(c) Conclure à une contradiction. En déduire que

(u, v)

est une base de

ℤ^2

On dit que

(u, v) \in (ℤ^2)^2

est une base

M

-réduite du réseau

ℤ^2

, si et seulement si

|Det(u, v)| = 1, ‖u‖_M = λ_1(M)

, et

‖v‖_M = λ_2(M)

. Les questions ci-dessus ont établi l'existence d'au moins une base

M

-réduite.

III. Propriétés géométriques.

On considère dans les questions qui suivent une base

M

-réduite fixée

(u, v)

ℤ^2

. On note

u^':=u/(‖u‖_M), v^':=v/(‖v‖_M),

et l'on introduit le parallélogramme

Q

de sommets

u^', v^', - u^', - v^'

, qui s'écrit aussi

Q:={αu^′ + βv^′; α, β ∈ ℝ, |α| + |β| ≤ 1}.

Soient $a, b \in ℝ^2$ , formant une famille libre, et soit $T$ le triangle de sommets $a, b$ et 0 (l'origine). Exprimer $Aire(T)$ en fonction $deDet(a, b)$ .
Montrer que

Aire(Q) = 2/(λ_1(M)λ_2(M))

Montrer que $Q \subset B¯_M(1)$ . En déduire que

λ_1(M)λ_2(M) \geq 2/π\sqrt(detM)

(a) Montrer que $‖v - u‖_M \geq ‖v‖_M$ et $‖v + u‖_M \geq ‖v‖_M$ .
(b) Montrer que $|⟨u^', v^'⟩_M| \leq 1/2$ .
(c) Soient $α, β \in ℝ$ tels que $|α| + |β| \geq 1$ . Montrer que $α^2 + β^2 - |αβ| \geq 1/4$ . En déduire que

‖αu^' + βv^'‖_M \geq 1/2.

(d) Montrer que

B¯_M(1/2) \subset Q

. Conclure que

2/π\sqrt(detM) \leq λ_1(M)λ_2(M) \leq 8/π\sqrt(detM)

C Valeur moyenne des minima de Minkowski.

Pour tout

θ \in ℝ

, on note

R_θ

la matrice de rotation d'angle

θ

R_θ:=(cos(θ), - sin(θ); sin(θ), cos(θ))

Soient

a, b \in ℝ

tels que

a < b

. On note par une intégrale barrée la valeur moyenne d'une fonction

f

continue par morceaux sur le segment

[a, b]

f_a^b f(x)dx:=1/(b - a)\int_a^b f(x)dx

La norme d'une matrice

A \in M_2(ℝ)

, est définie par

‖A‖:=max{‖Ax‖; x ∈ ℝ^2, ‖x‖ ≤ 1}

I. Continuité des minima de Minkowski.

Soit $M^' \in S_2^(+ +)$ , et soit

ν:=‖M^' - M‖/μ_1(M)^2.

ν < 1

, montrer que pour tout

u \in ℝ^2

\sqrt(1 - ν)‖u‖_M \leq ‖u‖_(M^') \leq \sqrt(1 + ν)‖u‖_M

(Indication : étudier

⟨u, (M^' - M)u⟩

.)
2. Avec les notations de la question précédente, toujours sous l'hypothèse

ν < 1

, montrer que

\sqrt(1 - ν)λ_1(M) \leq λ_1(M^') \leq \sqrt(1 + ν)λ_1(M); \sqrt(1 - ν)λ_2(M) \leq λ_2(M^') \leq \sqrt(1 + ν)λ_2(M)

Montrer que les minima de Minkowski $λ_1$ et $λ_2$ définissent des fonctions continues sur $S_2^(+ +)$ .
En déduire que les valeurs moyennes suivantes sont bien définies

f_0^(2π)λ_1(^t R_θ MR_θ)dθ, f_0^(2π)λ_2(^t R_θ MR_θ)dθ, et f_0^(2π)(dθ)/(λ_1(^t R_θ MR_θ))

Montrer que

f_0^(2π)λ_1(^t R_θ MR_θ)dθ \geq (f_0^(2π)(dθ)/(λ_1(^t R_θ MR_θ)))^(- 1)

Montrer que

f_0^(2π)λ_2(^t R_θ MR_θ)dθ \leq 8/π\sqrt(detM)f_0^(2π)(dθ)/(λ_1(^t R_θ MR_θ))

II. Estimation d'une intégrale.

Soit

μ \in [1, \infty[

, fixé. On suppose jusqu'à la fin de cette partie, dernière question exclue, que

M

est la matrice diagonale

M:=(1, 0; 0, μ^4)

Ainsi

μ_1(M) = 1

μ_2(M) = μ^2

. On introduit également une fonction de "seuil" E, définie pour tout

t \in ℝ_+

par

E(t):={t, si t \geq 1/(2μ); 0, sinon

On considère l'ensemble de points

Z:={z ∈ ℤ^2; 1 ≤ ‖z‖ ≤ 2μ}

Etant donné

z \in Z

, on s'intéresse à la valeur moyenne

I(z):=f_0^(2π)E(1/(‖R_θ z‖_M))dθ

Soit $z \in Z$ , fixé dans cette série de questions. Montrer que

I(z) = f_0^(π/2)E(1/(‖z‖\sqrt(cos^2 θ + μ^4 sin^2 θ)))dθ

Soit $θ \in [0, π/2]$ . Montrer que $sin(θ) \geq 2θ/π$ , puis en déduire que

\sqrt(cos^2 θ + μ^4 sin^2 θ) \geq max(1, 2μ^2 θ/π)

(Indication : établir puis utiliser la concavité de la fonction sin, sur le segment

[0, π/2]

.)
3. On définit une fonction

J

sur le segment

r \in [1, 2μ]

, par

J(r) = 2/π(\int_0^(π/(2μ^2))(dθ)/r + \int_(π/(2μ^2))^(π/(μr))(πdθ)/(2μ^2 θr))

En combinant les résultats des deux questions précédentes, montrer que

I(z) \leq J(‖z‖)

. (Indication : découper le segment

[0, π/2]

en parties sur lesquelles la fonction

θ \mapsto E(1/(‖z‖max(1, 2μ^2 θ/π))

a une expression simple.)
4. Montrer que, pour

r \in [1, 2μ]

J(r) = 1/(μ^2 r)ln((2eμ)/r)

III. Valeur moyenne de l'inverse du premier minimum de Minkowski.

M, E, Z, I

J

sont comme dans le paragraphe précédent.

Soit $θ \in [0, 2π]$ , fixé. Montrer que $λ_1(^t R_θ MR_θ) = min{‖R_θ z‖_M; z ∈ Z}$ .
(Indication : utiliser (1).) En déduire que

1/(λ_1(^t R_θ MR_θ)) = max_(z \in Z)E(1/(‖R_θ z‖_M))

Déduire de la question précédente que

\int_0^(2π)(dθ)/(λ_1(^t R_θ MR_θ)) \leq \sum_(z \in Z)I(z)

Pour tout entier $k \geq 1$ , on note $Z_k:={(x, y) ∈ ℤ^2; max(|x|, |y|) = k}$ .
(a) Montrer que $Z$ est inclus dans la réunion des $(Z_k)_(1 \leq k \leq 2μ)$ .

Exprimer

Card(Z_k)

en fonction de

k

.
(b) Montrer que

\sum_(z \in Z)I(z) \leq \sum_(1 \leq k \leq 2μ)Card(Z_k)J(k)

(Indication : remarquer que

J

est décroissante sur son intervalle de définition.)
(c) Montrer qu'il existe une constante

C

, indépendante de

μ

, telle que

\sum_(1 \leq k \leq 2μ)kJ(k) \leq C/μ

(Indication : établir et utiliser que

\sum_(k = 1)^n lnk \geq nlnn - n

, pour tout entier

n \geq 1

.)
(d) Etablir que

f_0^(2π)(dθ)/(λ_1(^t R_θ MR_θ)) \leq 8C/μ

Conclure que, pour des constantes positives $c_1, c_2$ que l'on précisera,

c_1(detM)^(1/4) \leq f_0^(2π)λ_1(^t R_θ MR_θ)dθ \leq f_0^(2π)λ_2(^t R_θ MR_θ)dθ \leq c_2(detM)^(1/4)

Montrer que le résultat précédent est valable pour toute matrice $M \in S_2^(+ +)$ (pas forcément de la forme (2)).
Comparer les estimations des questions A.II. 3 et C.III.4, et interpréter la figure 1 .

Figure 1 - Courbe en tirets :

λ_1(^t R_θ MR_θ)

, pleine :

λ_2(^t R_θ MR_θ)

. En fonction de

θ \in [0, π/2]

. Ici

M

est une matrice diagonale,

μ_1(M) = 1, μ_2(M) = 100

. Echelle logarithmique sur l'axe des ordonnées.

D Norme euclidienne des éléments d'une base réduite

Pour toute matrice

M \in S_2^(+ +)

, on note

κ(M):=μ_2(M)/μ_1(M).

I. Bornes uniformes.

Soit $M \in S_2^(+ +)$ et soit $(u, v)$ une base $M$ -réduite du réseau $ℤ^2$ . Montrer que

1 \leq min(‖u‖, ‖v‖) \leq max(‖u‖, ‖v‖) \leq κ(M)

Dans ces deux questions, on se donne un entier $μ \geq 1$ . On considère

M:=(1, - μ; - μ, 2μ^2), u = (1/0), v = (μ/1)

(a) Montrer que

u, v

est une base

M

-réduite du réseau

ℤ^2

.
(b) Montrer que

‖v‖ \geq κ(M)/2

II. Borne supérieure en moyenne.

On choisit, pour toute matrice

M \in S_2^(+ +)

, une base

M

-réduite (

u(M), v(M)

) du réseau

ℤ^2

. On admet que les fonctions suivantes sont constantes par morceaux, quelle que soit

M \in S_2^(+ +)

[0, 2π], \to, ℝ_+, [0, 2π], \to; θ, \mapsto, ‖u(^t R_θ MR_θ)‖, et, ℝ_+; θ, \mapsto, ‖v(^t R_θ MR_θ)‖

Montrer qu'il existe une constante

C_2

, que l'on précisera, telle que pour toute

M \in S_2^(+ +)

f_0^(2π)max(‖u(^t R_θ MR_θ)‖, ‖v(^t R_θ MR_θ)‖)dθ \leq C_2\sqrt(κ(M))

Comparer cette estimation avec la borne uniforme obtenue en D.I.1, et interpréter.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths C ENS MP 2014 ?

Il porte sur les matrices symétriques définies positives, les espaces euclidiens, l'étude de réseaux entiers du plan et les intégrales à paramètre.

Quelles parties du sujet ENS maths C MP 2014 sont indépendantes ?

Les parties s'enchaînent : la partie A introduit les outils utilisés dans les parties B, C et D, qui portent successivement sur le produit, la valeur moyenne, puis la norme des vecteurs d'une base réduite des minima de Minkowski.

Que sont les minima de Minkowski étudiés dans ce sujet ?

Ce sont les longueurs, pour une norme associée à une matrice symétrique définie positive, du plus court vecteur non nul du réseau Z², puis du plus court vecteur formant avec lui une famille libre.

Ce sujet ENS MP 2014 relève-t-il de la géométrie des nombres ?

Oui, il porte sur la géométrie des nombres à travers l'étude des réseaux entiers, de leurs bases réduites et des minima de Minkowski associés à une matrice symétrique définie positive.

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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES C - (ULCR)

Minima de Minkowski

Introduction et notations

A Préliminaires.

I. Etude de la norme et du produit scalaire associés à M.

II. Encadrement des minima de Minkowski.

B Produit des minima de Minkowski.

I. Caractérisation des bases de ℤ^2.

II. Définition et existence d'une base M-réduite.

III. Propriétés géométriques.

C Valeur moyenne des minima de Minkowski.

I. Continuité des minima de Minkowski.

II. Estimation d'une intégrale.

III. Valeur moyenne de l'inverse du premier minimum de Minkowski.

D Norme euclidienne des éléments d'une base réduite

I. Bornes uniformes.

II. Borne supérieure en moyenne.

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths C ENS MP 2014 ?

Quelles parties du sujet ENS maths C MP 2014 sont indépendantes ?

Que sont les minima de Minkowski étudiés dans ce sujet ?

Ce sujet ENS MP 2014 relève-t-il de la géométrie des nombres ?

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Commentaires• ENS Mathématiques C MP 2014

I. Etude de la norme et du produit scalaire associés à $M$ .

I. Caractérisation des bases de $ℤ^2$ .

II. Définition et existence d'une base $M$ -réduite.