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CCINP Mathématiques 1 MP 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Extrema d'une fonction de deux variables, puis un problème sur les échanges de limites et d'intégrales pour les suites et séries de fonctions, avec application à la loi de Planck et au corps noir
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Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants. L'exercice porte sur la recherche d'extrema d'une fonction de deux variables sur un carré. Le problème étudie les différents théorèmes permettant d'échanger limite et intégrale ou somme et intégrale, pour des suites puis des séries de fonctions, avec une application finale à la loi de Planck et à la loi de Stefan en physique du rayonnement.

  1. 1Exercice : extrema d'une fonction de deux variablesRecherche du maximum de f(x, y) = (x+y)/((1+x^2)(1+y^2)) sur un carré, en distinguant intérieur ouvert et frontière.
  2. 2Partie préliminaire : fonctions Gamma et zêtaIntroduction de la fonction Gamma d'Euler et de la fonction zêta de Riemann, utilisées ensuite dans le problème.
  3. 3Première partie : suites de fonctionsDémonstration du théorème de convergence uniforme pour les suites de fonctions, exemples et contre-exemples, cas d'un intervalle non borné, théorème de convergence dominée.
  4. 4Deuxième partie : séries de fonctionsThéorèmes de convergence uniforme, d'intégration terme à terme et de convergence monotone pour les séries de fonctions, application aux séries de Fourier puis à la loi de Planck et à la loi de Stefan.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet a permis d'étaler les performances des candidats, avec des questions de cours simples au début et des questions plus difficiles ensuite, et qu'il a bien classé les candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,59 / 20 · écart-type 4,16 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,59/ 20
Écart-type
4,16
moyenne 9,5905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Frontière d'un carré réduite aux sommets · Confusion entre continuité et continuité des applications partielles · Convergence uniforme mal maîtrisée
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Le jury estime que le sujet couvrait une très grande partie du programme d'analyse, mêlait démonstrations, exemples, contre-exemples et applications, et a bien classé les candidats en révélant un manque de rigueur assez répandu, notamment sur la convergence uniforme.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Frontière d'un carré réduite aux sommetsc

    Dans l'exercice, la frontière du carré est trop souvent réduite aux quatre sommets, ce qui fausse l'étude du maximum sur la frontière.

    « La frontière d’un carré est trop souvent réduite aux 4 sommets ! »
  2. 2
    Confusion entre continuité et continuité des applications partiellesa

    Dans l'exercice, les candidats confondent la continuité de la fonction de deux variables et la continuité de ses applications partielles.

  3. 3
    Convergence uniforme mal maîtrisée10.a

    Beaucoup de candidats pensent à tort qu'une série entière converge uniformément sur son intervalle ouvert de convergence, ce qui perturbe la résolution de la question 10.a.

    « une série entière converge uniformément sur son intervalle ouvert de »
  4. 4
    Hypothèses des théorèmes non vérifiées ou non citées

    Le jury relève l'oubli fréquent de vérifier les hypothèses des théorèmes utilisés et l'absence de citation du théorème invoqué.

    « On oublie de vérifier les hypothèses des théorèmes utilisés. »
  5. 5
    Formule de Parseval mal connue8

    Trop peu d'étudiants savent énoncer la formule de Parseval, nécessaire à la question 8.

    « Trop peu d’étudiants savent énoncer la formule de Parseval. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 3, 7, 11 et 12 du problème sont qualifiées de bien traitées.
  • La question 3 du problème est assez bien traitée dans l'ensemble.
  • Les performances très satisfaisantes traitent avec succès l'ensemble du sujet.

Conseils du jury

  • Vérifier systématiquement les hypothèses des théorèmes utilisés avant de les appliquer.
  • Citer explicitement le nom du théorème utilisé plutôt que de laisser le correcteur le deviner.
  • Ne pas redémontrer des résultats déjà rappelés dans l'énoncé ou déjà obtenus plus haut dans le sujet.
  • Utiliser toutes les hypothèses fournies par l'énoncé, notamment la positivité des fonctions ou l'absolue convergence d'une série.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants.

EXERCICE

On considère la fonction f : ℝ^2 → ℝ définie par : f(x, y) = (x + y)/((1 + x^2)(1 + y^2)).
a. On pose F = [0, 1] × [0, 1], justifier que la fonction f est bornée sur F et y atteint sa borne supérieure. On pose alors M = sup_((x, y) ∈ F)f(x, y).
b. Montrer que si la borne supérieure est atteinte en un point de l'ouvert Ω = ]0, 1[ × ]0, 1[ alors nécessairement M = (3√3)/8.
c. Déterminer le maximum de la fonction f sur la frontière de F et le comparer à (3√3)/8 (on pourra utiliser la calculatrice).
Déterminer M.

PROBLÈME : ÉCHANGES DE LIMITES ET D'INTÉGRALES

Toutes les fonctions de ce problème sont à valeurs réelles.

PARTIE PRÉLIMINAIRE

Les résultats de cette partie seront utilisés plusieurs fois dans le problème.

1. Fonction Gamma d'Euler

a. Soit x ∈ ]0, + ∞[, montrer que la fonction t ↦ e^(− t)t^(x − 1) est intégrable sur ]0, + ∞[.
On pose, pour x ∈ ]0, + ∞[, Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^(x − 1) dt.
b. Déterminer, pour x ∈ ]0, + ∞[, une relation entre Γ(x + 1) et Γ(x) et en déduire Γ(n) pour tout entier naturel non nul n.

2. Fonction zêta de Riemann

On rappelle que la fonction zêta est définie sur ]1, + ∞[parζ(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^x).
On connaît ζ(2) = (π^2)/6, ζ(4) = (π^4)/(90), on sait que pour p entier pair, ζ(p) est de la forme qπ^p où q est un rationnel ; il a été démontré que certains ζ(p) pour p entiers impairs sont irrationnels mais on ne sait pas s'ils le sont tous.
On se propose de rechercher des valeurs approchées de ces réels ζ(p).
a. On note, pour n entier naturel non nul et x réel x > 1, R_n(x) = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)1/(k^x) = ζ(x) − ∑_(k = 1)^n 1/(k^x). Prouver que, pour n entier naturel non nul et x réel x > 1, R_n(x) ≤ 1/((x − 1)n^(x − 1)).
b. On fixe l'entier p ≥ 2 et un réel ε > 0. Indiquer une valeur de n pour laquelle on a |∑_(k = 1)^n 1/(k^p) − ζ(p)| ≤ ε.
c. Donner, en utilisant la calculatrice, une valeur approchée de ζ(7) à 10^(− 6) près.

PREMIÈRE PARTIE : SUITES DE FONCTIONS

Préliminaire: Dans les questions 3 à 5 suivantes, on n'utilisera pas pour les démonstrations le théorème de convergence dominée, énoncé à la question 6 .
3. Théorème de convergence uniforme pour les suites de fonctions
Démontrer le théorème suivant que l'on notera TH1:
si (f_n) est une suite de fonctions continues sur le segment [a, b] qui converge uniformément vers une fonction f sur [a, b], alors, la suite de réels (∫_a^b f_n(x)dx) converge vers le réel ∫_a^b f(x)dx.
On commencera par donner un sens à l'intégrale ∫_a^b f(x)dx juste en énonçant un théorème.

4. Exemples et contre-exemples

a. Déterminer une suite ( f_n ) de fonctions continues et affines par morceaux sur le segment [0, 1] qui converge simplement mais non uniformément vers une fonction f sur [0, 1] et telle que la suite de réels (∫_0^1 f_n(x)dx) ne converge pas vers le réel ∫_0^1 f(x)dx.
Remarque: on peut se contenter d'une vision graphique et, dans ce cas, il est inutile d'exprimer f_n(x), mais on attend une justification des deux propriétés demandées.
b. Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur le segment [0, 1], démontrer qu'il est possible que la suite de réels (∫_0^1 f_n(x)dx) converge vers le réel ∫_0^1 f(x)dx sans que la convergence de la suite de fonctions (f_n) ne soit uniforme sur [0, 1].

5. Cas d'un intervalle quelconque

a. Montrer à l'aide de la suite de fonctions (f_n)_(n ≥ 1) définies sur I = [0, + ∞[ par
f_n(x) = (x^n e^(− x))/(n!)
que le TH 1 n'est pas vrai si on remplace l'intervalle [a, b] par un intervalle I non borné.
Remarque : on pourra utiliser la formule de Stirling sans la démontrer.
b. Nous allons prouver que le TH 1 est vrai sur un intervalle borné I.
On considère ( f_n ) une suite de fonctions continues et intégrables sur I intervalle borné, qui converge uniformément vers une fonction fsurI.
i. Justifier l'existence d'un entier naturel p tel que, pour tout réel x ∈ I, |f(x)| ≤ 1 + |f_p(x)| et en déduire que f est intégrable sur I.
ii. Montrer que la suite de réels (∫_I f_n(x)dx) converge vers le réel ∫_I f(x)dx. On notera ℓ(I) la longueur de l'intervalle I.

6. Théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions

On rappelle le théorème suivant que l'on notera TH2 :
si ( f_n ) est une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle I qui converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I et s'il existe une fonction φ continue par morceaux et intégrable sur I telle que, pour tout entier naturel n et tout réel x ∈ I : |f_n(x)| ≤ φ(x) alors, la fonction f est intégrable sur I et la suite de réels (∫_I f_n(x)dx) converge vers le réel ∫_I f(x)dx.
a. Rappeler pourquoi il est inutile de vérifier, lorsqu'on utilise ce TH2, que les fonctions f_n sont intégrables sur I et justifier que f est intégrable sur I.
b. Exemples
i. Montrer à l'aide d'un exemple simple que ce théorème peut être pratique sur un segment I sur lequel la suite de fonctions ( f_n ) ne converge pas uniformément vers la fonction f.
ii. Calculer lim_(n → + ∞)∫_0^(+ ∞)(e^(sin(x/n)))/(1 + x^2) dx.

DEUXIÈME PARTIE : SÉRIES DE FONCTIONS

  1. Théorème de convergence uniforme pour les séries de fonctions
Justifier, simplement, à l'aide du TH 1 le théorème suivant que l'on notera TH 3 :
si ∑f_n est une série de fonctions continues sur le segment [a, b] qui converge uniformément sur [a, b], alors, la série de réels ∑∫_a^b f_n(x)dx converge et :
∑_(n = 0)^(+ ∞)∫_a^b f_n(x)dx = ∫_a^b(∑_(n = 0)^(+ ∞)f_n(x))dx
  1. Application : séries trigonométriques et séries de Fourier
On appellera série trigonométrique une série de fonctions du type (a_0)/2 + ∑_(n ≥ 1)[a_n cos(nx) + b_n sin(nx)] où (a_n) et (b_n) sont deux suites de réels.
La série de Fourier d'une fonction 2π-périodique et continue par morceaux sur ℝ est donc une série trigonométrique.
a. Montrer qu'une série trigonométrique n'est pas toujours la série de Fourier d'une fonction 2π-périodique et continue par morceaux sur ℝ.
Pour cela, utiliser la série de fonctions ∑_(n ≥ 1)1/(√n)sin(nx) avec le théorème de Parseval que l'on commencera par énoncer.
b. Montrer qu'une série trigonométrique qui converge uniformément sur ℝ est la série de Fourier d'une fonction 2π-périodique et continue sur ℝ.
On utilisera sans démonstration les résultats classiques pour n et p entiers naturels: ∫_0^(2π)cos(px)cos(nx)dx = ∫_0^(2π)sin(px)sin(nx)dx = {0, si n ≠ p; π, si n = p ≠ 0 et ∫_0^(2π)sin(px)cos(nx)dx = 0.

9. Intégration terme à terme d'une série de fonctions

On rappelle le théorème suivant que l'on notera TH 4 :
si ∑f_n est une série de fonctions continues par morceaux et intégrables sur un intervalle I qui converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur I telle que la série ∑∫_I|f_n(x)|dx converge, alors f est intégrable sur I, la série ∑_(n ≥ 0)∫_I f_n(x)dx converge et
∑_(n = 0)^(+ ∞)∫_I f_n(x)dx = ∫_I(∑_(n = 0)^(+ ∞)f_n(x))dx

Application : théorème de Hardy

On suppose que ∑a_n est une série de réels absolument convergente.
a. Montrer que la série de fonctions ∑_(n ≥ 0)(a_n x^n)/(n!) converge simplement vers une fonction f continue sur ℝ.
b. Montrer que la fonction x ↦ f(x)e^(− x) est intégrable sur [0, + ∞[ et exprimer ∫_0^(+ ∞)f(x)e^(− x) dx comme la somme d'une série numérique.

10. Cas où les théorèmes TH 3 et TH 4 ne s'appliquent pas

a. Montrer que, la série de fonctions ∑_(n ≥ 0)(− 1)^n x^n ne converge pas uniformément sur l'intervalle borné I = [0, 1[ (donc les hypothèses du théorème TH 3 ne sont pas toutes vérifiées).
b. Montrer que, pour la série de fonctions ∑_(n ≥ 0)(− 1)^n x^n sur I = [0, 1[, les hypothèses du théorème TH 4 ne sont pas toutes vérifiées.
c. Montrer que, néanmoins, ∑_(n ≥ 0)∫_0^1(− 1)^n x^n dx converge et :
∑_(n = 0)^(+ ∞)∫_0^1(− 1)^n x^n dx = ∫_0^1(∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n x^n)dx

11. Théorème de convergence monotone

Soit ∑f_n une série de fonctions continues par morceaux et intégrables sur un intervalle I qui converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur I.
On suppose que toutes les fonctions f_n sont positives sur I et que la fonction f est intégrable sur I.
On pose, pour tout entier naturel n non nul et tout x ∈ I, S_n(x) = ∑_(k = 0)^n f_k(x).
Montrer que la suite de fonctions ( S_n ) vérifie les hypothèses du théorème de convergence dominée TH 2, et en déduire que :
la série ∑_(n ≥ 0)∫_I f_n(x)dx converge et ∑_(n = 0)^(+ ∞)∫_I f_n(x)dx = ∫_I(∑_(n = 0)^(+ ∞)f_n(x))dx.

12. Application à la physique

a. Calculer, après avoir justifié son existence, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(t^3)/(e^t − 1) dt.
On détaillera toutes les étapes et on pourra remarquer que, pour t ∈ ]0, + ∞[, on a 1/(e^t − 1) = (e^(− t))/(1 − e^(− t)).
Cette intégrale intervient notamment dans la théorie du rayonnement du corps noir.
La loi de Planck donne l'expression de la densité spectrale d'énergie électromagnétique u_λ rayonnée par le corps noir, en fonction de la longueur d'onde par la formule :
u_λ = (8πhc)/(λ^5)1/(exp((hc)/(k_B λT)) − 1)
où h et k_B sont les constantes de Planck et de Boltzmann, c la célérité de la lumière dans le vide, λ la longueur d'onde et T la température.
Ainsi, la densité volumique totale d'énergie électromagnétique u (rayonnée sur tout le spectre des longueurs d'onde) s'écrit : u = ∫_0^(+ ∞)u_λ dλ.
Si on note M l'exitance totale d'un corps noir on sait que M et u sont liés par la relation M = c/4u.
b. Démontrer la loi de Stefan : M = σT^4 où σ = (2π^5(k_B)^4)/(15h^3 c^2).

13. Généralisation

a. Exprimer de même pour x réel x > 1, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(t^(x − 1))/(e^t − 1) dt en fonction de Γ(x) et ζ(x).
b. En déduire la valeur de ∫_0^(+ ∞)t/(e^t − 1) dt et une valeur approchée de ∫_0^(+ ∞)(t^6)/(e^t − 1) dt.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 CCINP MP 2007 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 CCINP MP 2007 ?

Le sujet couvre les extrema de fonctions de deux variables puis les suites et séries de fonctions, avec les théorèmes de convergence uniforme, de convergence dominée et de convergence monotone, appliqués aux séries de Fourier et à une intégrale de physique du rayonnement.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de mathématiques 1 CCINP MP 2007 ?

Le jury relève un manque de rigueur général, notamment l'oubli de vérifier les hypothèses des théorèmes, l'absence de citation du théorème utilisé, et une maîtrise insuffisante de la notion de convergence uniforme.

Le sujet de mathématiques 1 CCINP MP 2007 est-il difficile ?

Le rapport indique que le sujet a permis d'étaler les performances des candidats, avec des questions de cours simples au début et des questions plus discriminantes vers la fin, ce qui en fait un sujet de difficulté moyenne et progressive.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 1 CCINP MP 2007 ?

La moyenne de l'épreuve est de 9,59 sur 20, avec un écart type de 4,16, d'après le rapport du jury.

Pas de description pour le moment