CCINP Mathématiques 1 MP 2008Sujet, corrigé et rapport du jury
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DifficileLa fonction Zeta alternée de Riemann
Le problème étudie la fonction Zeta alternée de Riemann à travers quatre parties largement indépendantes. Après avoir établi ses propriétés générales (classe C1, valeur en 1, limite à l'infini), il étudie le produit de Cauchy de la série alternée par elle-même, puis calcule la valeur exacte d'une série grâce à un développement asymptotique au voisinage de 1, avant d'exprimer les nombres zeta(2k) à l'aide des polynômes et nombres de Bernoulli.
- 1I. GénéralitésÉtude du caractère de classe C1 de la fonction Zeta alternée, de sa valeur en 1, de sa limite à l'infini et de son lien avec la fonction Zeta.
- 2II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-mêmeÉtude de la nature du produit de Cauchy de la série Zeta alternée par elle-même, illustrant qu'un tel produit n'est pas nécessairement convergent.
- 3III. Calcul de la somme d'une série à l'aide d'une étude de zeta au voisinage de 1Obtention de deux développements asymptotiques de Zeta au voisinage de 1, permettant de calculer la valeur exacte d'une série.
- 4IV. Calcul des F(2k) à l'aide des nombres de BernoulliUtilisation des polynômes de Bernoulli et d'un développement en série de Fourier pour exprimer les nombres zeta(2k), puis écriture d'un algorithme calculant les nombres de Bernoulli.
Difficile. Le jury trouve les résultats des candidats dans l'ensemble un peu décevants, le cours étant souvent connu de manière superficielle, notamment sur les hypothèses des théorèmes fondamentaux.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesThéorème de convergence dominée mal maîtrisé · Confusion entre développement limité et développement en série entière · Continuité d'une fonction affirmée sans justificationAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesThéorème de convergence dominée mal maîtrisé · Confusion entre développement limité et développement en série entière · Continuité d'une fonction affirmée sans justification
Le problème était bien construit, détaillé et progressif, mais peut-être un peu long, et balayait une très large partie du programme d'analyse. Le jury regrette une méconnaissance des hypothèses de théorèmes fondamentaux comme la convergence dominée ou la dérivation sous le signe somme, et rappelle que le barème interdit à un candidat ne connaissant pas son cours d'être performant.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Théorème de convergence dominée mal maîtrisé2
Ce théorème imposé par l'énoncé n'est maîtrisé que dans une petite moitié des copies, et ses hypothèses ne sont pas sues par un bon quart d'entre elles, notamment la notion de fonction dominatrice.
« Le théorème de la convergence dominée imposé par l'énoncé n'est maîtrisé »
- 2Confusion entre développement limité et développement en série entière2
Invoquer un développement limité pour obtenir un résultat global est grossièrement faux, car un DL ne donne des renseignements que localement.
« un DL donne des renseignements localement »
- 3Continuité d'une fonction affirmée sans justification14
De nombreux candidats écrivent que la fonction gk est polynomiale, ce qui est faux, pour en déduire sa continuité sans la justifier correctement.
« Beaucoup de candidats ont écrit : « gk est polynomiale », ce qui est faux. »
- 4Confusion entre justifier et montrer que
Le jury rappelle qu'il y a une différence entre justifier et montrer que : un justifier attend généralement une réponse rapide.
« il y a une différence entre «justifier» et «montrer que »
- 5Erreur de logique sur la fonction dominatrice2
Un grand nombre de copies proposent une fonction de domination qui dépend elle-même de n, ce qui constitue une erreur de logique importante.
Ce qui a été bien réussi
- La question 11, facile, a été bien traitée dans l'ensemble.
- La question 6.a, de cours sur le produit de deux séries absolument convergentes, a généralement été bien traitée.
Conseils du jury
- Bien connaître les hypothèses exactes des théorèmes fondamentaux (convergence dominée, dérivation sous le signe somme, convergence des séries de Fourier).
- Distinguer clairement ce qui est attendu entre « justifier » (réponse rapide) et « montrer que » (démonstration complète).
- Soigner la copie et encadrer les résultats.
- Si la calculatrice est autorisée et qu'aucun détail de calcul n'est explicitement demandé, ne pas hésiter à donner directement le résultat qu'elle fournit.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
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Les calculatrices sont autorisées.
NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
AUTOUR DE LA FONCTION ZETA ALTERNÉE DE RIEMANN
Objectifs : On note
F la fonction zeta alternée de Riemann définie par
et
ζ la fonction zeta de Riemann définie sur
]1, + ∞[ par
Ce problème propose une étude croisée de quelques propriétés de
F et
ζ .
Mise à part la partie III. qui utilise des résultats de la partie I., les parties sont dans une très large mesure indépendantes.
Mise à part la partie III. qui utilise des résultats de la partie I., les parties sont dans une très large mesure indépendantes.
I. Généralités
- Déterminer l'ensemble de définition de
F . - On considère la suite de fonctions
(g_n)_(n ⩾ 1) définies sur [ 0,1 [ par
Déterminer la limite simple
g de
(g_n) puis, en utilisant le théorème de convergence dominée, montrer que
F(1) = ∫_0^1 g(t)dt . En déduire la valeur de
F(1) .
3. Démontrer que la série de fonctions∑_(n ⩾ 1)((− 1)^(n − 1))/(n^x) converge normalement sur
[2, + ∞[ . En déduire la limite de
F en
+ ∞ .
4. Dérivabilité de F
(a) Soitx > 0 . Étudier les variations sur
]0, + ∞[ de la fonction
t ↦ (lnt)/(t^x) et en déduire que la suite
((lnn)/(n^x))_(n ⩾ 1) est monotone à partir d'un certain rang (dépendant de
x ) que l'on précisera.
(b) Pourn ⩾ 1 , on pose
f_n : x ↦ ((− 1)^(n − 1))/(n^x) .
3. Démontrer que la série de fonctions
4. Dérivabilité de F
(a) Soit
(b) Pour
Si
a est un réel strictement positif, démontrer que la série des dérivées
∑_(n ⩾ 1)f_n^′ converge uniformément sur
[a, + ∞[ .
En déduire queF est une fonction de classe
C^1 sur
]0, + ∞[ .
5. Lien avecζ
En déduire que
5. Lien avec
Calculer, pour
x > 1, F(x) − ζ(x) en fonction de
x et de
ζ(x) . En déduire que :
Puis en déduire la limite de
ζ en
+ ∞ .
II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même
On rappelle que le produit de Cauchy de deux séries
∑_(n ⩾ 1)a_n et
∑_(n ⩾ 1)b_n est la série
∑_(n ⩾ 2)c_n où
c_n = ∑_(k = 1)^(n − 1)a_k b_(n − k) . Dans cette partie, on veut déterminer la nature selon la valeur de
x , de la série
∑_(n ⩾ 2)c_n(x) , produit de Cauchy de
∑_(n ⩾ 1)((− 1)^n)/(n^x) par elle-même.
Cette étude va illustrer le fait que le produit de Cauchy de deux séries convergentes n'est pas nécessairement une série convergente.
Dans toute cette partie,n désigne un entier supérieur ou égal à 2 et
x un réel strictement positif.
6. Étude de la convergence
(a) Indiquer sans aucun calcul la nature et la somme en fonction deF de la série produit
∑_(n ⩾ 2)c_n(x) , lorsque
x > 1 .
(b) Démontrer que pourx > 0, |c_n(x)| ⩾ (4^x(n − 1))/(n^(2x)) .
Cette étude va illustrer le fait que le produit de Cauchy de deux séries convergentes n'est pas nécessairement une série convergente.
Dans toute cette partie,
6. Étude de la convergence
(a) Indiquer sans aucun calcul la nature et la somme en fonction de
(b) Démontrer que pour
En déduire pour
0 < x ⩽ 1/2 , la nature de la série
∑_(n ⩾ 2)c_n(x) .
7. Cas oùx = 1
7. Cas où
On suppose dans cette question 7 . que
x = 1 .
(a) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle1/(X(n − X)) .
(a) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
En déduire une expression de
c_n(x) en fonction de
(H_(n − 1))/n où
H_n = 1 + 1/2 + ⋯ + 1/n (somme partielle de la série harmonique).
(b) Déterminer la monotonie de la suite((H_(n − 1))/n)_(n ⩾ 2) .
(c) En déduire la nature de la série∑_(n ⩾ 2)c_n(x) .
(b) Déterminer la monotonie de la suite
(c) En déduire la nature de la série
III. Calcul de la somme d'une série à l'aide d'une étude de zeta au voisinage de 1 .
- Développement asymptotique en 1
(a) Écrire en fonction deln2 et deF^′(1) le développement limité à l'ordre 1 et au voisinage de 1 de la fonctionF puis déterminer le développement limité à l'ordre 2 et au voisinage de 1 de la fonctionx ↦ 1 − 2^(1 − x) .
(b) En déduire deux réelsa etb qui s'écrivent éventuellement à l'aide deln2 etF^′(1) tels que l'on ait pourx au voisinage de1^+ :
- Développement asymptotique en 1 (bis)
On considère la série de fonctions
∑_(n ⩾ 1)v_n où
v_n est définie sur [1,2] par
(a) Justifier que pour
n ⩾ 1 et
x ∈ [1, 2] , on a :
(b) Justifier que pour
x ∈ [1, 2] , la série
∑_(n ⩾ 1)v_n(x) converge. On note alors
γ = ∑_(n = 1)^(+ ∞)v_n(1) (c'est la constante d'Euler).
(c) Exprimer pourx ∈ ]1, 2] , la somme
∑_(n = 1)^(+ ∞)v_n(x) à l'aide de
ζ(x) et
1 − x .
(d) Démontrer que la série de fonctions∑_(n ⩾ 1)v_n converge uniformément sur
[1, 2] (on pourra utiliser le reste de la série).
(e) En déduire que l'on a pourx au voisinage de
1^+ :
(c) Exprimer pour
(d) Démontrer que la série de fonctions
(e) En déduire que l'on a pour
- Application
Déduire des résultats précédents une expression à l'aide de
ln2 et
γ de la somme
IV. Calcul des
F(2k) à l'aide des nombres de Bernoulli
Dans cette partie, on se propose d'établir une formule permettant de calculer la valeur des
ζ(2k) avec un entier
k ⩾ 1 . Pour cela, on introduit les polynômes et nombres de Bernoulli.
ℝ[X] désigne la
ℝ -algèbre des polynômes à coefficients réels. On identifie un polynôme et sa fonction polynomiale associée.
On dit qu'une suite (
B_n ) de
ℝ[X] est une suite de polynômes de Bernoulli si elle vérifie les propriétés suivantes :
On admet qu'il existe une et une seule suite de polynômes de Bernoulli que l'on notera (
B_n ). On l'appelle la suite de polynômes de Bernoulli.
On poseb_n = B_n(0), b_n est appelé le
n -ième nombre de Bernoulli.
11. CalculerB_1 et
B_2 . En déduire
b_1 et
b_2 .
12. Calculer pourn ⩾ 2, B_n(1) − B_n(0) .
13. Symétrie
On pose
11. Calculer
12. Calculer pour
13. Symétrie
Démontrer que pour tout
n ∈ ℕ , on a
B_n(X) = (− 1)^n B_n(1 − X) .
14. Développement en série de Fourier
14. Développement en série de Fourier
Soit
k un entier naturel. On définit l'application
g_k de
ℝ dans
ℝ par :
Justifier avec soin qu'il existe une unique suite de réels
(a_n(k))_(n ⩾ 0) telle que pour tout réel
x , on ait :
- Expression des coefficients
(a) Soientn ⩾ 1 etk ⩾ 1 . Montrer que l'on a:
(b) En déduire la valeur de
a_n(1) pour
n ⩾ 1 .
(c) Conclure que pourn ⩾ 1 et
k ⩾ 2 , on a :
(c) Conclure que pour
On remarquera pour la suite (sans le redémontrer) que cette formule reste vraie pour
k = 1 .
16. Conclusion
16. Conclusion
Déterminer pour
k ⩾ 1 une relation entre
ζ(2k) et
b_(2k) .
17. Calcul effectif desb_n
(a) Démontrer en utilisant une formule de Taylor que pour toutn ∈ ℕ , on a
17. Calcul effectif des
(a) Démontrer en utilisant une formule de Taylor que pour tout
(b) En déduire une relation de récurrence permettant de calculer les nombres de Bernoulli sans avoir à déterminer les polynômes de Bernoulli associés. Écrire, dans un des langages au programme, un petit algorithme permettant d'obtenir la valeur de
b_n pour un entier
n donné.
Fin de l'énoncé
Questions fréquentes
4 questionsSur quoi porte le sujet de mathématiques 1 CCINP MP 2008 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quoi porte le sujet de mathématiques 1 CCINP MP 2008 ?
Sur quoi porte le sujet de mathématiques 1 CCINP MP 2008 ?
Le sujet porte sur la fonction Zeta alternée de Riemann : propriétés générales, produit de Cauchy, développement asymptotique au voisinage de 1 et lien avec les nombres de Bernoulli.
Ce sujet de maths 1 CCINP MP 2008 est-il difficile ?
Le jury trouve les résultats dans l'ensemble un peu décevants, le cours étant souvent connu de manière superficielle sur les hypothèses des théorèmes fondamentaux d'analyse.
Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet CCINP maths 1 MP 2008 ?
Le jury relève une mauvaise maîtrise du théorème de convergence dominée, une confusion entre développement limité et développement en série entière, et une confusion entre justifier et montrer que.
Quels chapitres réviser pour ce sujet CCINP maths 1 MP 2008 ?
Il faut maîtriser les suites et séries de fonctions, les suites et séries numériques, les développements limités et les séries de Fourier.
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