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CCINP Mathématiques 2 MP 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

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Les calculatrices sont autorisées.

NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

MATRICES DONT LES VALEURS PROPRES SONT SUR LA DIAGONALE

Les matrices diagonales et les matrices triangulaires sont des exemples triviaux de matrices ayant leurs valeurs propres sur la diagonale. Ce problème s'intéresse aux matrices vérifiant cette particularité.
Dans ce problème, toutes les matrices sont à coefficients réels et n est un entier, n ⩾ 2.
On dira qu'une matrice A = (a_(ij)) de M_n(ℝ) est une matrice à diagonale propre si son polynôme caractéristique est scindé sur ℝ et si ses termes diagonaux sont ses valeurs propres avec le même ordre de multiplicité, c'est-à-dire si le polynôme caractéristique de A est
χ_A(X) = ∏_(i = 1)^n(a_(ii) − X)
On pourra noter en abrégé : A est une MDP pour A est une matrice à diagonale propre. On notera E_n l'ensemble des matrices de M_n(ℝ) à diagonale propre.

I. EXEMPLES

  1. Soient α un réel et M(α) = (1, − 1, α; 0, 2, − α; 1, 1, 2 − α).
    (a) Calculer, en donnant le détail des calculs, le polynôme caractéristique de la matrice M(α). Démontrer que, pour tout α, la matrice M(α) est une matrice à diagonale propre.
    (b) Quelles sont les valeurs de α pour lesquelles la matrice M(α) est diagonalisable ?
  2. On considère la matrice A = (0, 0, − 1; 0, 0, 0; 1, 0, 0). Cette matrice antisymétrique A est-elle une matrice à diagonale propre?
  3. Cas n = 2
Déterminer E_2 puis montrer que E_2 est une partie fermée de M_2(ℝ).

II. TEST DANS LE CAS n = 3

  1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice à diagonale propre soit inversible. Donner un exemple de matrice à diagonale propre (non diagonale) de M_3(ℝ), inversible et telle que A^(− 1) est également une matrice à diagonale propre. On donnera A^(− 1).
  2. Soit A = (a_(ij)) une matrice de M_3(ℝ), démontrer que A est une matrice à diagonale propre si et seulement si, elle vérifie les deux propriétés suivantes :
detA = ∏_(i = 1)^3 a_(ii) et a_(12)a_(21) + a_(13)a_(31) + a_(23)a_(32) = 0
  1. Utilisation de la calculatrice
    (a) Écrire un algorithme en français qui, à partir d'une matrice A = (a_(ij)) ∈ M_3(ℝ), teste si la matrice est ou n'est pas une matrice à diagonale propre. On considère que l'algorithme suppose connu le calcul du déterminant.
    (b) Écrire ensuite cet algorithme sur la calculatrice (il n'est pas demandé d'écrire sur la copie le programme en langage calculatrice). Parmi les matrices suivantes, indiquer les matrices à diagonale propre :
A_1 = (− 1, 0, 3; − 3, 2, 3; 0, 0, 2) A_2 = (5, 2, 2; − 8, 4, 0; 1, 1, 4) A_3 = (1, − 1, 4; 0, 2, − 4; 1, 1, − 2); A_4 = (4, 2, 0; 0, 2, 0; − 2, − 2, 2) A_5 = (1, 1, 1; − 1, 1, 1; − 2, 3, 6) A_6 = (2, 0, 2; − 2, 4, 2; 2, − 2, 2); A_7 = (0, 1, 0; 0, 2, 1; 1, 0, 3) A_8 = (0, 1, 0; 0, 0, 0; 1, 0, 1)
(c) Conjecturer une condition nécessaire et suffisante sur les produits
a_(12)a_(21), a_(13)a_(31) et a_(23)a_(32)
pour qu'une matrice A = (a_(ij)) ∈ M_3(ℝ) à diagonale propre inversible soit telle que A^(− 1) soit également une matrice à diagonale propre (on demande juste de donner cette conjecture sans chercher à la prouver).

III. EXEMPLES DE MATRICES PAR BLOCS

  1. Si M = (A, B; 0, C) est une matrice de M_n(ℝ) par blocs (les matrices A et C étant des matrices carrées), démontrer que
detM = (detA)(detC)
(on pourra utiliser les matrices par blocs (I_r, 0; 0, C) et (A, B; 0, I_s) en donnant des précisions sur les tailles des matrices qui interviennent).
8. Donner un exemple d'une matrice M à diagonale propre de M_4(ℝ) (matrice 4 × 4 ) dans chacun des cas suivants :
(a) La matrice M contient treize réels non nuls (on expliquera brièvement la démarche).
(b) M = (A, B; 0, C) où les matrices A, B et C sont toutes des matrices de M_2(ℝ) ne contenant aucun terme nul (on expliquera brièvement la démarche).

IV. QUELQUES PROPRIÉTÉS

  1. Si A est une matrice de M_n(ℝ) à diagonale propre, démontrer que, pour tout couple (a, b) de réels, les matrices aA + bI_n et les matrices a^t A + bI_n sont encore des matrices à diagonale propre.
  2. Si on note G_n l'ensemble des matrices à diagonale propre inversibles, démontrer que G_n est dense dans E_n.
  3. Matrices trigonalisables
    (a) Une matrice trigonalisable est-elle nécessairement une matrice à diagonale propre?
    (b) Justifier qu'une matrice à diagonale propre est trigonalisable.
    (c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de M_n(ℝ) soit semblable à une matrice à diagonale propre.
  4. Démontrer que toute matrice de M_n(ℝ) est somme de deux matrices à diagonale propre. E_n est-il un sous-espace vectoriel de M_n(ℝ) ?

V. MATRICES SYMÉTRIQUES ET MATRICES ANTISYMÉTRIQUES

On notera S_n le sous-espace vectoriel de M_n(ℝ) formé des matrices symétriques et A_n le sousespace vectoriel de M_n(ℝ) formé des matrices antisymétriques.
13. Question préliminaire
Soit A = (a_(ij)) une matrice de M_n(ℝ), déterminer trace(^t AA).
14. Matrices symétriques à diagonale propre
(a) Soit A = (a_(ij)) une matrice de M_n(ℝ), symétrique dont les valeurs propres sont notées λ_1, …, λ_n.
Démontrer que ∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n a_(ij)^2 = ∑_(i = 1)^n λ_i^2.
(b) Déterminer l'ensemble des matrices symétriques réelles à diagonale propre.
15. Matrices antisymétriques à diagonale propre
Soit A une matrice antisymétrique de M_n(ℝ) à diagonale propre.
(a) Démontrer que A^n = 0 et calculer (^t AA)^n.
(b) Justifier que la matrice ^t AA est diagonalisable puis que ^t AA = 0.
(c) Conclure que A est la matrice nulle.

VI. DIMENSION MAXIMALE D'UN ESPACE VECTORIEL INCLUS DANS E_n

  1. Question préliminaire
Indiquer la dimension de A_n (on ne demande aucune démonstration, la réponse suffit).
17. Soit F un sous-espace vectoriel de M_n(ℝ) tel que l'on ait F ⊂ E_n.
Démontrer que
dimF ⩽ (n(n + 1))/2
pour cela on pourra utiliser dim(F + A_n).
Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel F de M_n(ℝ) vérifiant F ⊂ E_n ?
18. Déterminer un sous-espace vectoriel F de M_n(ℝ) vérifiant F ⊂ E_n, de dimension maximale, mais tel que F ne soit pas constitué uniquement de matrices triangulaires.

Fin de l'énoncé

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