CCINP Mathématiques 2 MP 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Groupes d'isométries sur Rⁿ : normes euclidiennes et normes p de Hölder

Le sujet étudie le groupe des isométries d'une norme sur R^n. Il montre que le groupe des isométries d'une norme euclidienne est conjugué au groupe orthogonal, puis établit que, pour les normes p de Hölder, ce groupe est fini de cardinal indépendant de p.

1I. Description des normes euclidiennesCaractériser les normes euclidiennes par l'identité du parallélogramme et les relier à une matrice symétrique définie positive.
2II. Quelques généralités et exemplesMontrer que Isom(N) est un sous-groupe de GL(E) et caractériser géométriquement les isométries par la sphère unité.
3III. Étude de Isom(N) lorsque N est euclidienneÉtablir que le groupe des isométries d'une norme euclidienne est conjugué au groupe orthogonal.
4IV. Étude du cardinal de Isom(p)Déterminer le cardinal, indépendant de p, du groupe des isométries pour les normes p.

Difficulté moyenne. Le rapport indique un texte proche du cours, de difficulté raisonnable mais peut-être un peu long, avec une moyenne de 10,45 sur 20 et un écart-type de 3,93.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,45 / 20 · écart-type 3,93 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,45/ 20
Écart-type: 3,93

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Contre-exemple non exhibé dans Rⁿ · Sous-groupe confondu avec sous-espace vectoriel · Vecteurs propres non normés

Le problème était bien construit, détaillé et progressif, mais peut-être un peu long, avec un texte proche du cours. Les résultats des candidats sont contrastés, la fourchette des notes très large, ce qui a permis de bien classer les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Contre-exemple non exhibé dans RⁿQ1
Pour prouver que les normes p ne sont pas euclidiennes, certains écrivent des inégalités sans vraiment rien prouver, alors qu'il faut exhiber un contre-exemple dans Rn et pas seulement R2.
2
Sous-groupe confondu avec sous-espace vectorielQ4
La notion de sous-groupe n'est pas maîtrisée par tout le monde et est même parfois confondue avec celle de sous-espace vectoriel.
3
Vecteurs propres non normésQ7
Les valeurs propres et les espaces propres sont très souvent corrects, mais le candidat oublie de normer ses vecteurs propres et ne trouve pas une matrice de passage orthogonale.
4
Cardinal confondu avec dimensionQ9, Q12
Certains confondent cardinal et dimension ou disent que le groupe orthogonal est un espace vectoriel.
5
Mn(R) supposé intègreQ11
On rappelle que Mn(R) n'est pas intègre, erreur fréquemment rencontrée à cette question.
6
Question 17 quasiment jamais bien traitéeQ17
Cette question, certainement la plus délicate du problème, n'a quasiment jamais été bien traitée.

Ce qui a été bien réussi

La question 8 sur l'identité de polarisation a été assez bien réussie.
La racine carrée de matrice de la question 11 est presque toujours trouvée.
L'existence du maximum d'une fonction continue sur un compact a été bien justifiée à la question 16.
La question 15 a été bien réussie lorsqu'elle a été traitée.

Conseils du jury

Distinguer clairement « justifier », qui attend une réponse rapide, de « montrer que », plus exigeant.
Vérifier soigneusement les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer, notamment la non-nullité d'un vecteur avant de diviser par sa norme.
Soigner la rédaction et la présentation de la copie, la rigueur faisant souvent défaut, en particulier sur les si et seulement si.
Si la calculatrice est autorisée sans demande explicite de détail, on peut écrire directement le résultat qu'elle fournit.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Groupes d'isométries sur $ℝ^n$

Notations

Dans ce sujet,

n

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on note :

El'espace vectoriel $ℝ^n$ et $B = (e_1, \dots, e_n)$ sa base canonique
$⟨ \cdot, \cdot ⟩$ le produit scalaire canonique sur $E :$ si $x = (x_1, \dots, x_n)$ et $y = (y_1, \dots, y_n)$ sont deux vecteurs de $E$ , on a $⟨x, y⟩ = ^t XY = \sum_(i = 1)^n x_i y_i$ où $X$ et $Y$ sont les matrices colonnes des vecteurs $x$ et $y$ dans la base $B$ ( $B$ est donc une base orthonormale pour $< \cdot, \cdot >$ )
$L(E)$ la $ℝ$ -algèbre des endomorphismes de $E$
( $GL(E), \circ)$ le groupe des automorphismes de $E$
$M_(n, 1)(ℝ)$ le $ℝ$ -espace vectoriel des matrices à $n$ lignes et une colonne
$M_n(ℝ)$ la $ℝ$ -algèbre des matrices carrées réelles de taille $n$
$GL_n(ℝ)$ le groupe des matrices inversibles de $M_n(ℝ)$
pour une matrice $A$ de $M_n(ℝ), ^t A$ est sa matrice transposée
$O_n(ℝ)$ le groupe des matrices orthogonales, c'est-à-dire des matrices $A$ de $M_n(ℝ)$ vérifiant $^t AA = I_n$ où $I_n$ est la matrice unité de $M_n(ℝ)$
$S_n^(+ +)(ℝ)$ l'ensemble des matrices symétriques définies positives de $M_n(ℝ)$ , c'est-à-dire des matrices $A$ de $S_n(ℝ)$ vérifiant : pour toute matrice $X \in M_(n, 1)(ℝ)$ non nulle, $^t XAX > 0$ .

x_1, x_2, \dots, x_n

sont des réels, on note

diag(x_1, x_2, \dots, x_n)

la matrice diagonale de

M_n(ℝ)

qui admet pour coefficients diagonaux les réels

x_1, x_2, \dots, x_n

dans cet ordre.

p

est un réel supérieur ou égal à 1 , on note

‖ \cdot ‖_p

la norme

p

sur

E

:
si

x = (x_1, \dots, x_n) \in E, ‖x‖_p = (\sum_(i = 1)^n|x_i|^p)^(1/p)

.
On note

‖ \cdot ‖_\infty

la norme infinie sur

E

: si

x = (x_1, \dots, x_n) \in E, ‖x‖_\infty = max_(1 \leq i \leq n)|x_i|

.
Une norme

N

sur

E

est dite euclidienne s'il existe un produit scalaire

φ

sur

E

tel que pour tout

x \in E, N(x) = \sqrt(φ(x, x))

Objectifs

N

est une norme sur

E

, on dit qu'un endomorphisme

u \in L(E)

est une

N

-isométrie si pour tout

x \in E, N(u(x)) = N(x)

.
On note

Isom(N)

l'ensemble des

N

-isométries.

L'objectif du problème est de déterminer le nombre d'éléments de

Isom(N)

dans le cas des normes euclidiennes puis des normes

p

I. Description des normes euclidiennes

1. Identité du parallélogramme

a. Montrer que si

N

est une norme euclidienne alors elle vérifie l'identité du parallélogramme, c'est-à-dire pour tous vecteurs

x

y

E

, on a

(N(x + y))^2 + (N(x - y))^2 = 2[(N(x))^2 + (N(y))^2]

.
En déduire que la norme

‖ \cdot ‖_\infty

n'est pas euclidienne.
b. Justifier que la norme

‖ \cdot ‖_2

est euclidienne puis montrer que pour

p \neq 2

, la norme

‖ \cdot ‖_p

n'est pas euclidienne.
2. Soit

S \in S_n^(+ +)(ℝ)

x = (x_1, \dots, x_n)

y = (y_1, \dots, y_n)

sont deux vecteurs de

E

, on note

X = (x_1; ⋮; x_n)

Y = (y_1; ⋮; y_n)

les matrices colonnes associées. Montrer que si l'on pose

⟨x, y⟩_S = ^t XSY

, alors

⟨ \cdot, \cdot ⟩_S

définit un produit scalaire sur

E

.
3. Soit

φ

un produit scalaire sur

E

S

la matrice de coefficients

(φ(e_i, e_j))

. Justifier que pour tous vecteurs

x

y

E φ(x, y) = ^t XSY

et que

S \in S_n^(+ +)(ℝ)

.
On a donc montré que

φ = ⟨ \cdot, \cdot ⟩_S

.
Toute norme euclidienne peut donc s'écrire sous la forme

N_S : x \mapsto \sqrt(^t XSX)

avec

S \in S_n^(+ +)(ℝ)

où

X

désigne la matrice colonne associée à

x

II. Quelques généralités et exemples

Soit

N

une norme sur

E

.
4. Montrer que (

Isom(N), \circ

) est un sous-groupe de

GL(E)

5. Une caractérisation géométrique des $N$ -isométries

On note

\sum(N) = {x \in E, N(x) = 1}

, la sphère unité pour

N

.
Soit

u \in L(E)

. Montrer que

u

est une

N

-isométrie si et seulement si

u(Σ(N)) = Σ(N)

.
Le groupe des

N

-isométries est donc l'ensemble des endomorphismes laissant stable la

N

sphère unité.
6. Dans cette question uniquement

n = 2

et donc

E = ℝ^2

On note

s

la symétrie orthogonale par rapport à la droite

D = Vect{e_1 − e_2}

où

(e_1, e_2)

est la base canonique de

ℝ^2

r

la rotation vectorielle d'angle

π/3

.
Les endomorphismes

s

r

sont-ils des

‖ \cdot ‖_1

-isométries?
7. Dans cette question uniquement

n = 3

et donc

E = ℝ^3

(x, y, z) \in ℝ^3

, on pose

q(x, y, z) = 3x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xz

, ce qui définit une forme quadratique

q

.
a. On note

X = (x; y; z)

, déterminer une matrice symétrique

S \in M_3(ℝ)

, telle que

q(x, y, z) = ^t XSX

.
b. Déterminer une matrice

P \in O_3(ℝ)

et une matrice diagonale

D \in M_3(ℝ)

telles que

S = PD^t P

.
c. Justifier alors que l'application

N_q : (x, y, z) \mapsto \sqrt(q(x, y, z))

est une norme euclidienne sur

ℝ^3

.
d. Déterminer la nature géométrique de la quadrique

\sum(N_q)

, la sphère unité pour la norme

N_q

et en donner une équation simple dans une nouvelle base.
e. Justifier que

\sum(N_q)

est une surface de révolution, préciser un vecteur qui dirige son axe.
f. Déduire de la question

5

, par une considération géométrique, que

Isom(N_q)

a une infinité d'éléments.

III.Étude de $Isom(N)$ lorsque $N$ est une norme euclidienne

u \in L(E)

, on note

[u]_B

la matrice de

u

dans la base

B

.
Si

N

est une norme, on note

ISOM(N) = {[u]_B, u ∈ Isom(N)}

. L'ensemble ISOM

(N)

est par construction un groupe isomorphe à

Isom(N)

, c'est «sa version matricielle».

8. Caractérisation matricielle des isométries euclidiennes

a. Soit

S \in S_n^(+ +)(ℝ), N_S

la norme euclidienne associée et

⟨ \cdot, \cdot ⟩_S

le produit scalaire associé. Soit

u \in L(E)

.
Montrer que

u

est une

N_S

-isométrie si et seulement si pour tous vecteurs

x

y

E

, on a

< u(x), u(y) > _S=<x, y > _S

.
b. En déduire que

u

est une

N_S

-isométrie si et seulement si sa matrice

A

dans

B

vérifie

^t ASA = S

.
9. Reconnaître alors

ISOM(‖ \cdot ‖_2)

. Que peut-on dire du nombre d'éléments de

ISOM(‖ \cdot ‖_2)

? Justifier votre réponse.

10. Une application des polynômes interpolateurs

ℝ_r[X]

désigne le

ℝ

-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

r

.
On se donne

r + 1

réels

x_0 < x_1 < \dots < x_r

.
On considère l'application linéaire

u

ℝ_r[X]

vers

ℝ^(r + 1)

définie par

P \mapsto (P(x_0), P(x_1), \dots, P(x_r))

.
a. Déterminer le noyau de

u

. En déduire que pour tous réels

y_0, y_1, \dots, y_r

, il existe un unique polynôme

L

ℝ_r[X]

tel que pour tout

i ∈ {0, …, r}, L(x_i) = y_i

(un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur).
b. Application : soit

n

un entier naturel non nul et

u_1, \dots, u_n

des réels strictement positifs, on pose

U = diag(u_1, \dots, u_n)

V = diag(\sqrt(u_1), \dots, \sqrt(u_n))

. Montrer qu'il existe un polynôme

L

, à coefficients réels, tel que

V = L(U)

11. Racine carrée dans $S_n^(+ +)(ℝ)$

a. Soit

S \in S_n^(+ +)(ℝ)

. Déterminer une matrice

A \in S_n^(+ +)(ℝ)

telle que

A^2 = S

. On dit que

A

est une racine carrée de

S

.
b. Soit

B \in S_n^(+ +)(ℝ)

une autre racine carrée de

S

. Montrer qu'il existe un polynôme

Q

, à coefficients réels, tel que

A = Q(B)

. En déduire que

A

B

commutent.
c. Montrer que la somme de deux matrices symétriques définies positives est une matrice inversible.
d. Déduire des questions précédentes que

A = B

(on pourra calculer

(A + B)(A - B)

Désormais, on note

\sqrtS

l'unique racine carrée dans

S_n^(+ +)(ℝ)

S

12. Étude du groupe d'isométrie pour une norme euclidienne

Soit

N

une norme euclidienne. Il existe donc une matrice

S \in S_n^(+ +)(ℝ)

telle que pour tout

x \in E, N(x) = N_S(x) = \sqrt(tXSX)

où

X

est le vecteur colonne associée à

x

.
a. Montrer que si

M \in O_n(ℝ)

, la matrice

(\sqrtS)^(- 1)M\sqrtS

appartient à

ISOM(N_S)

.
b. Montrer que l'application

ψ

O_n(ℝ)

dans

ISOM(N_S)

définie par

M \mapsto (\sqrtS)^(- 1)M\sqrtS

est une bijection.
Le groupe d'isométrie d'une norme euclidienne est-il fini?

IV.Étude du cardinal de Isom(p)

Dans cette partie

p

est un réel strictement supérieur à 1 , on appelle exposant conjugué de

p

l'unique réel

q

tel que

1/p + 1/q = 1

.
Pour alléger l'écriture, une

p

-isométrie désigne une isométrie pour la norme

‖ \cdot ‖_p

et on note

Isom(p)

le groupe des

p

-isométries.
Si

u \in L(E), u^*

désigne l'adjoint de

u

pour

⟨ \cdot, \cdot ⟩

. On rappelle que

u^* \in L(E)

, est caractérisé par l'égalité suivante : pour tout

(x, y) \in E^2, ⟨u(x), y⟩ = ⟨x, u^*(y)⟩

13. Endomorphismes de permutation signée

P_n

désigne le groupe des permutations de l'ensemble

{1, 2, \dots, n}

.
Soit

σ \in P_n

ε = (ε_1, …, ε_n) ∈ { − 1, + 1}^n

. On note

u_(σ, ε)

l'endomorphisme de

E

qui vérifie pour tout

i ∈ {1, 2, …, n}, u_(σ, ε)(e_i) = ε_i e_(σ(i))

.
a. Montrer que

u_(σ, ε)

est une

p

-isométrie.
b. Écrire la matrice de

u_(σ, ε)

dans la base canonique dans le cas où

n = 4, σ = (1, 2, 3, 4; 3, 4, 1, 2)

ε = (1, 1, - 1, 1)

14. Inégalité de Holdër

a. Montrer que pour tous réels

a

b

positifs ou nuls, on a

ab \leq 1/pa^p + 1/qb^q

. On pourra utiliser la fonction logarithme népérien.
b. En déduire que pour tous vecteurs

x

y

E

, on a

|⟨x, y⟩| \leq ‖x‖_p‖y‖_q

. Ce résultat s'appelle l'inégalité de Holdër (on pourra d'abord démontrer l'inégalité lorsque

‖x‖_p = ‖y‖_q = 1

).
c. Que devient l'inégalité si

p = 2

Dans toute la suite,

u

désigne une

p

-isométrie. On note

(a_(ij))

les coefficients de la matrice

A = [u]_B

.
15. Montrer que pour tout

j ∈ {1, 2, …, n}, ∑_(i = 1)^n|a_(ij)|^p = 1

. En déduire la valeur de

\sum_(j = 1)^n\sum_(i = 1)^n|a_(ij)|^p

16. Une formule clé de dualité

Soit

x \in E

. On note

Σ_q = {z ∈ E, ‖z‖_q = 1}

.
a. Justifier l'existence du réel

max_(y \in Σ_q)|⟨x, y⟩|

.
b. Justifier que

max_(y \in Σ_q)|⟨x, y⟩| \leq ‖x‖_p

Soit

i \in {1, 2, \dots, n}

; si

x_i \neq 0

, on pose

y_i = ε_i|x_i|^(p - 1)‖x‖_p^(1 - p)

où

ε_i

désigne le signe de

x_i

et si

x_i = 0

, on pose

y_i = 0

. On définit ainsi un vecteur

y = (y_1, \dots, y_n)

.
Montrer que

|⟨x, y⟩| = ‖x‖_p

puis montrer l'égalité suivante :

‖x‖_p = max_(y \in Σ_q)|⟨x, y⟩|

.
17. En déduire que si

u

est une

p

-isométrie,

u*

est une

q

-isométrie. Donner alors, en justifiant, la valeur de

\sum_(j = 1)^n\sum_(i = 1)^n|a_(ji)|^q

.
18. On suppose de plus que

p \neq 2

.
a. Soient

α_1, α_2, \dots, α_r

des réels dans

[0, 1]

vérifiant

\sum_(k = 1)^r α_k^p = \sum_(k = 1)^r α_k^q

. Montrer avec soin que pour tout

k ∈ {1, 2, …, r}, α_k

ne prend qu'un nombre fini de valeurs à déterminer.
b. En déduire que pour tout

i

j

dans

{1, 2, …, n}, |a_(ij)|

ne peut prendre que 2 valeurs différentes que l'on précisera (on rappelle que les

a_(ij)

sont les coefficients de la matrice d'une

p

-isométrie).
19. Conclusion

Montrer alors que lorsque

p \neq 2, Isom(p)

est un groupe fini dont on déterminera le cardinal. On remarquera en particulier que ce cardinal est indépendant de

p

Commentaire : Les

p

-isométries pour

p \neq 2

sont seulement en nombre fini, contrairement aux isométries euclidiennes qui forment un groupe infini mais compact (pas très difficile à montrer). Sur

ℝ^n

, la géométrie euclidienne est donc plus riche que celle des normes

p

pour

p \neq 2

。

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 2 CCINP MP 2007 ?

Le sujet porte sur les espaces euclidiens, la réduction des endomorphismes et la théorie des groupes, à travers l'étude des isométries des normes euclidiennes et des normes p.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève surtout une confusion entre sous-groupe et sous-espace vectoriel, entre cardinal et dimension, et l'oubli fréquent de normer les vecteurs propres.

Le sujet Mathématiques 2 CCINP MP 2007 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme proche du cours et de difficulté raisonnable, avec une moyenne de 10,45 sur 20, mais peut-être un peu long pour être entièrement traité.

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Les calculatrices sont autorisées.

Groupes d'isométries sur ℝ^n

Notations

Objectifs

I. Description des normes euclidiennes

1. Identité du parallélogramme

II. Quelques généralités et exemples

5. Une caractérisation géométrique des N-isométries

III.Étude de Isom(N) lorsque N est une norme euclidienne

8. Caractérisation matricielle des isométries euclidiennes

10. Une application des polynômes interpolateurs

11. Racine carrée dans S_n^(+ +)(ℝ)

12. Étude du groupe d'isométrie pour une norme euclidienne

IV.Étude du cardinal de Isom(p)

13. Endomorphismes de permutation signée

14. Inégalité de Holdër

16. Une formule clé de dualité

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 2 CCINP MP 2007 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le sujet Mathématiques 2 CCINP MP 2007 est-il difficile ?

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Groupes d'isométries sur $ℝ^n$

5. Une caractérisation géométrique des $N$ -isométries

III.Étude de $Isom(N)$ lorsque $N$ est une norme euclidienne

11. Racine carrée dans $S_n^(+ +)(ℝ)$