CCINP Mathématiques 2 MP 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

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Applications des matrices de Gram à la géométrie

Le problème propose quelques applications des matrices de Gram à la géométrie, en s'appuyant essentiellement sur des notions d'algèbre linéaire et d'algèbre bilinéaire. Il comporte quatre parties : des généralités sur les matrices de Gram, l'étude de points équidistants sur une sphère euclidienne, les théorèmes d'Apollonius, puis la recherche d'une isométrie affine. Il comprend aussi une question d'algorithmique à programmer et exécuter sur calculatrice.

1I. GénéralitésÉtablir les propriétés générales des matrices de Gram.
2II. Points équidistants sur une sphère euclidienneÉtudier des configurations de points équidistants sur une sphère à l'aide des matrices de Gram.
3III. Théorèmes d'ApolloniusDémontrer des théorèmes d'Apollonius à l'aide des outils précédents.
4IV. Recherche d'une isométrie affineRechercher une isométrie affine à partir des résultats établis dans les parties précédentes.

Accessible. Le rapport indique que le texte était clair, qu'aucune question ne présentait de grosses difficultés, et que le sujet contenait des questions de cours et des questions classiques déjà rencontrées en exercice ou en devoir.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,25 / 20 · écart-type 3,51 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,25/ 20
Écart-type: 3,51

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion entre AX=0 et A=0 ou X=0 · Confusion entre condition nécessaire et condition suffisante · Erreur classique sur le déterminant d'une somme

Le texte de l'épreuve était clair et aucune question ne présentait de grosses difficultés, mêlant questions de cours et questions classiques. Quelques étudiants ont réussi à faire le sujet en entier, mais un nombre sans doute trop important de futurs ingénieurs ne maîtrise peu ou pas les bases de l'algèbre linéaire. En résumé, le sujet a joué son rôle et a permis de bien classer les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre AX=0 et A=0 ou X=0Q1
À la question 1, on rencontre souvent l'erreur consistant à déduire de AX=0 que A=0 ou X=0.
2
Confusion entre condition nécessaire et condition suffisanteQ3
À la question 3, tous les étudiants ne comprennent pas la différence entre condition nécessaire et condition suffisante.
« Tous les étudiants ne comprennent pas la différence entre condition nécessaire et condition suffisante »
3
Erreur classique sur le déterminant d'une sommeQ5
À la question 5, on voit l'erreur selon laquelle det(A+B) serait égal à det(A)+det(B).
4
Question d'algorithme trop souvent évitéeQ6
La question 6, qui demandait d'écrire un petit algorithme, a été trop peu abordée alors qu'elle permettait de gagner facilement des points.
« La simple évocation du mot algorithme fait fuir bon nombre d'étudiants »
5
Confusions entre polynômes caractéristique, minimal et annulateurQ7
À la question 7, le coefficient (-1)^m est souvent oublié dans le polynôme caractéristique et l'on note de nombreuses confusions entre polynôme caractéristique, polynôme minimal et polynôme annulateur.

Ce qui a été bien réussi

La question 4 a été bien traitée dans l'ensemble.
La question 9 est facile et bien traitée, sauf par ceux qui ont peur de la géométrie.
La conservation de la trace, en question 11, est bien traitée.

Conseils du jury

S'exercer à écrire et faire fonctionner des algorithmes, car ces questions permettent de gagner facilement des points.
Prendre le temps de bien lire l'énoncé de chaque question pour éviter des réponses trop longues ou fausses.
Ne pas chercher à remplir la copie inutilement : une bonne réponse peut tenir en une ou deux lignes.
Soigner la lisibilité de la copie, car les copies peu lisibles sont corrigées aux risques et périls du candidat.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

QUELQUES APPLICATIONS DES MATRICES DE GRAM À LA GÉOMÉTRIE

Dans tout le problème,

E

est un espace vectoriel euclidien de dimension

n \geq 2

et on note

(|)

un produit scalaire sur

E

‖‖

la norme associée.
Si

x_1, x_2, \dots, x_p

sont

p

vecteurs de

E

, on appelle matrice de GRAM de

x_1, x_2, \dots, x_p

, notée

G(x_1, x_2, \dots, x_p)

, la matrice de

M_p(ℝ)

de terme général

(x_i|x_j)

pour

1 \leq i \leq p

1 \leq j \leq p :

G(x_1, x_2, \dots, x_p) = ((x_1|x_1), (x_1|x_2), \dots, (x_1|x_p); (x_2|x_1), \cdot, \dots, \cdot; \cdot; \cdot, \cdot, \dots, \cdot; \cdot; (x_p|x_1), \cdot, \dots, (x_p|x_p))

on notera

Γ(x_1, x_2, \dots, x_p)

son déterminant:

Γ(x_1, x_2, \dots, x_p) = detG(x_1, x_2, \dots, x_p)

.
Si

A

est une matrice de

M_(p, q)(ℝ)

, le noyau de

A

est, par définition,

Ker(A) = {X ∈ M_(q, 1)(ℝ), AX = 0}

Par ailleurs, on note :
pour

n

entier

n \geq 2, E_n

l'espace

ℝ^n

muni du produit scalaire canonique à la fois considéré comme espace vectoriel euclidien et espace affine euclidien.

I. GÉNÉRALITÉS

Résultat préliminaire
a. Que peut-on dire d'une matrice $Y \in M_(n, 1)(ℝ)$ vérifiant $^t YY = 0$ ?
b. Si $A \in M_(n, p)(ℝ)$ , montrer que $Ker(^t AA) \subset KerA$ puis en déduire que $rang(^t AA) = rangA$ .
On donne $x_1, x_2, \dots, x_p p$ vecteurs de $E$ .

B = (e_1, e_2, \dots, e_n)

est une base orthonormale de

E

, et si

A

est la matrice de

M_(n, p)(ℝ)

dont les colonnes sont les composantes des vecteurs

x_1, x_2, \dots, x_p

dans la base

B

, montrer que

G(x_1, x_2, \dots, x_p) = ^t AA

.
Quel lien existe entre le rang de la matrice

G(x_1, x_2, \dots, x_p)

et le rang de la famille de

vecteurs(x_1, x_2, \dots, x_p)

?
3. Dans cette question,

p = n

.
a. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur

Γ(x_1, x_2, \dots, x_n)

pour que la famille (

x_1, x_2, \dots, x_n

) soit liée.
b. Montrer que la famille

(x_1, x_2, \dots, x_n)

est libre si, et seulement si,

Γ(x_1, x_2, \dots, x_n) > 0

.
4. Application

L'angle géométrique d'un couple (

u, v

) de vecteurs non nuls de

E_n

est le réel

α \in [0, π]

vérifiant :

cosα = ((u|v))/(‖u‖‖v‖)

.
Si

A, B

C

sont trois points de

E_3

situés sur la sphère de centre

O

et de rayon 1, si on désigne par

α, β

γ

l'angle géométrique des couples respectifs (

OA^(\to-), OB^(\to-)

(OB^(\to-), OC^(\to-)

) et

(OA^(\to-), OC^(\to-))

, montrer en utilisant une matrice de GRAM que :

1 + 2cosαcosβcosγ \geq cos^2 α + cos^2 β + cos^2 γ.

Que se passe-t-il dans le cas où les points

A, B

C

sont sur un même cercle ?
5. Interprétation géométrique de la matrice de GRAM
a. Si

a, b

y

sont trois vecteurs de

E

tels que le vecteur

a

soit orthogonal à la fois au vecteur

b

et au vecteur

y

, trouver une relation entre les déterminants

Γ(a + b, y), Γ(a, y)

Γ(b, y)

.
b. Si

(x, y)

est une famille libre de deux vecteurs de

E_2

, si

F = vect{y}

et si

z

est le projeté orthogonal du vecteur

xsurF

, montrer que

Γ(x, y) = Γ(x - z, y)

.
c. En déduire que si

A, B

C

sont trois points non alignés de

E_2, 1/2\sqrt(Γ(AB^(\to-), AC^(\to-)))

est l'aire du triangle

ABC

(donc,

\sqrt(Γ(AB^(\to-), AC^(\to-)))

est l'aire du parallélogramme «formé par

A, B

» C»)

.
6. De la même façon on montre que si

A, B, C

D

sont quatre points non coplanaires de

E_3

\sqrt(Γ(AB^(\to-), AC^(\to-), AD^(\to-)))

est le volume du parallélépipède «formé par

A, B, C

D

» que l'on désignera par parallélépipède

ABCD

.
On ne demande pas de prouver ce résultat.
a. Vérifier que ce résultat permet de retrouver la formule usuelle du volume du parallélépipède rectangle.
b. A l'aide de ce résultat écrire un petit algorithme en français qui, avec la donnée des coordonnées des points

A, B, C

D

, calcule le volume du parallélépipède

ABCD

ou affiche que les points sont coplanaires.
On pourra considérer que l'algorithme suppose connu le calcul du déterminant.
c. Après avoir entré cet algorithme dans la calculatrice, indiquer les résultats qu'elle donne dans chacun des cas suivants :
i.

A = (1, 2, 0), B = (1, - 1, 3), C = (- 1, - 2, 0)

D = (3, - 1, 0)

.
ii.

A = (1, - 1, 2), B = (3, 4, - 7), C = (0, 3, 0)

D = (0, 2, 1)

.
iii.

A = (8, 0, 3/2), B = (0, 1, - 1), C = (- 1/2, 2, 0)

D = (3, 3, 0)

II. POINTS ÉQUIDISTANTS SUR UNE SPHÈRE EUCLIDIENNE

Dans cette partie,

m

est un entier naturel,

m \geq 2

, et

t

est un réel,

t \neq 1

.
La famille de

m

vecteurs distincts (

x_1, x_2, \dots, x_m

) de l'espace

E

, de dimension

n \geq 2

, est solution du problème

P(m, t)

si :
tous les vecteurs

x_1, x_2, \dots, x_m

sont de norme 1
et
pour tout couple

(i, j)

d'entiers distincts entre 1 et

m, (x_i|x_j) = t

.
7. Résultats préliminaires
a. Montrer que si

(x_1, x_2, \dots, x_m)

est solution du problème

P(m, t)

alors, pour tout couple (

i, j

) d'entiers distincts entre 1 et

m, ‖x_i - x_j‖

est constant.
b. Sans aucun calcul de déterminant, donner en le justifiant, le polynôme caractéristique de la matrice

J \in M_m(ℝ)

dont tous les éléments sont égaux à 1 .
c. En déduire que si

(x_1, x_2, \dots, x_m)

est solution du problème

P(m, t)

, alors

Γ(x_1, x_2, \dots, x_m) = (1 - t)^(m - 1)(1 + (m - 1)t)

.
8. Conditions nécessaires
a. Montrer que, pour que

(x_1, x_2, \dots, x_m)

soit une famille libre de vecteurs solution du problème

P(m, t)

, il est nécessaire que

t \in ](- 1)/(m - 1), 1[

et que

m \leq n

.
b. Montrer que, pour que

(x_1, x_2, \dots, x_m)

soit une famille liée de vecteurs solution du problème

P(m, t)

, il est nécessaire que

t = (- 1)/(m - 1)

et que

m \leq n + 1

(on pourra montrer qu'alors, la famille

(x_1, x_2, \dots, x_(m - 1))

est libre).
c. Application

Existe-t-il dans

E_3

cinq vecteurs distincts qui deux à deux forment un même angle obtus

θ

, c'est-à-dire tel que

θ \in ]π/2, π[

?
9. Exemple du cas

n = 2

Déterminer pour

m \geq 3

, une famille (

A_1, A_2, \dots, A_m

) de points de

E_2

, telle que la famille de vecteurs

(OA_1^(\to-), OA_2^(\to-), \dots, OA_m^(\to-))

soit solution du problème

P(m, t)

en précisant le couple

(m, t)

. Placer ces points sur une figure.
10. Exemple du cas

n = 3

On suppose que

n = 3

t \in ](- 1)/2, 1[

.
On pose

a = \sqrt((2 - 2t)/3)

b = \sqrt((2t + 1)/3)

.
a. Soit

u

un vecteur unitaire de

ℝ^3

H

un sous espace supplémentaire orthogonal de vect

{u}

dans

ℝ^3

, justifier qu'il existe une famille

(y_1, y_2, y_3)

de vecteurs de

H

solution du problème

P(3, (- 1)/2)

.
b. Si on pose alors pour tout

i ∈ {1, 2, 3}, x_i = ay_i + bu

, montrer que (

x_1, x_2, x_3

) est une famille libre de vecteurs solution au problème

P(3, t)

.
c. A quelle condition nécessaire portant sur

α \in ]0, π[

, existe-t-il trois points

A_1, A_2

A_3

de la sphère de centre

O

et de rayon 1 de

E_3

tels que les trois angles géométriques des couples

(OA_1^(\to-), OA_2^(\to-)), (OA_1^(\to-), OA_3^(\to-))

(OA_2^(\to-), OA_3^(\to-))

soient égaux à

α

?
Remarque : on demande de ne pas utiliser le résultat de la question 4.

III. THÉORÈMES d'APOLLONIUS

On rappelle que si

B = (a_1, a_2, \dots, a_n)

est une base de

E

et si

f

est une forme bilinéaire symétrique sur

E \times E

, la matrice de

f

dans la base

ℬ

est la matrice symétrique

S

M_n(ℝ)

définie par :

S = (f(a_i, a_j))

. Par ailleurs, si

x

y

sont deux vecteurs de

E

où

X

Y

sont les matrices de

M_(n, 1)(ℝ)

représentant leurs composantes dans la base

B

, on a

f(x, y) = ^t XSY

.
11. Soit

⟨

⟩unautreproduitscalairesurE

, on considère

(a_1, a_2, \dots, a_n)

(b_1, b_2, \dots, b_n)

deux bases orthonormales de

E

pour ce produit scalaire.
On note

P

la matrice de passage de la base (

a_1, a_2, \dots, a_n

) vers la base (

b_1, b_2, \dots, b_n

Montrer que, pour le produit scalaire

(|), G(b_1, b_2, \dots, b_n) = P^(- 1)G(a_1, a_2, \dots, a_n)P

puis justifier que

\sum_(i = 1)^n(a_i|a_i) = \sum_(i = 1)^n(b_i|b_i)

.
12. Dans

E_2

, de repère orthonormé

(O, e_1, e_2)

, on considère l'ellipse

C

d'équation

(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1

où

a

b

sont deux réels strictement positifs.
a. Justifier que l'on définit un produit scalaire sur

ℝ^2

par

⟨U, V⟩ = (uv)/(a^2) + (u^' v^')/(b^2)

U = (u, u^')

V = (v, v^')

dans la base

(e_1, e_2)

.
b. Deux vecteurs

U

V

E_2

sont des diamètres conjugués de

C

si (

U, V

) est une base orthonormale pour le produit scalaire

⟨

⟩.

Donner un exemple simple de deux diamètres conjugués de

C

.
c. Dans cette question, on demande de faire une figure.

Soit

M_0

un point de coordonnées

(x_0, y_0)

C

, montrer en utilisant un vecteur gradient, que l'équation de la tangente T à la courbe

C

M_0

est

(xx_0)/(a^2) + (yy_0)/(b^2) = 1

. En déduire que la droite D qui passe par

O

et parallèle à T a pour équation cartésienne

⟨OM_0^(\to-), OM^(\to-)⟩ = 0

. Si on note

M_0^'

un point d'intersection de D et

C

, montrer que les vecteurs

OM_0^(\to-)

OM_0^'^(\to-)

sont des diamètres conjugués de

C

.
d. Si

M

M^'

sont deux points de

C

tels que les vecteurs

OM^(\to-)

OM^'^(\to-)

soient des diamètres conjugués de

C

, démontrer les deux théorèmes d'Apollonius suivants :
i.

OM^2 + OM^('2) = a^2 + b^2

(précision :

OM^2 = (OM^(\to-)|OM^(\to-))

).
ii. L'aire du parallélogramme «formé par

O, M

M^'

» est constante égale à

ab

IV. RECHERCHE D'UNE ISOMÉTRIE AFFINE

On note $O(E_n)$ le groupe des automorphismes orthogonaux de $E_n$ .

Soit

(x_1, x_2, \dots, x_n)

(y_1, y_2, \dots, y_n)

deux familles de vecteurs de

E_n

vérifiant

G(x_1, x_2, \dots, x_n) = G(y_1, y_2, \dots, y_n).

On veut montrer qu'il existe

u \in O(E_n)

vérifiant: pour tout entier

i \in {1, 2, \dots, n}

u(x_i) = y_i

.
On note

p = rang(x_1, x_2, \dots, x_n) = rang(y_1, y_2, \dots, y_n)

, et on considère que les vecteurs sont numérotés de sorte que

(x_1, x_2, \dots, x_p)

(y_1, y_2, \dots, y_p)

soient deux familles libres de vecteurs.
On pose alors

V = vect{x_1, x_2, …, x_p} = vect{x_1, x_2, …, x_p, …, x_n}

W = vect{y_1, y_2, …, y_p} = vect{y_1, y_2, …, y_p, …, y_n},

on note (

e_(p + 1), e_(p + 2), \dots, e_n

) une base orthonormale de

V^⊥

et (

e^'_(p + 1), e^'_(p + 2), \dots, e^'_n

) une base orthonormale de

W^⊥

.
Soit

u

un endomorphisme de

E

défini par :
pour

i ∈ {1, 2, …, p}u(x_i) = y_i

et pour

i ∈ {p + 1, p + 2, …, n}u(e_i) = e_i^′_i

.
a. Montrer que

u

conserve le produit scalaire.
b. Pour tout entier

i \in {p + 1, p + 2, \dots, n}

, montrer que

y_i - u(x_i) \in W \cap W^⊥

.
c. Conclure.
14. On donne

(A_1, A_2, \dots, A_n)

(B_1, B_2, \dots, B_n)

deux familles de points de

E_n

vérifiant pour tout couple d'entiers (

i, j

) compris entre 1 et

n, ‖A_i A_j^(\to-)‖ = ‖B_i B_j^(\to-)‖

et on veut montrer qu'il existe une isométrie affine

f

E_n

vérifiant pour tout entier

i ∈ {1, 2, …, n}, f(A_i) = B_i

.
a. Si on pose pour tout entier

i ∈ {1, 2, …, n}, x_i = A_1 A_i^(→−)

y_i = B_1 B_i^(\to-)

, montrer que, pour tout couple d'entiers

(i, j)

compris entre 1 et

n, (x_i|x_j) = (y_i|y_j)

.
b. Conclure.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2006 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire et bilinéaire, les espaces euclidiens et la réduction des endomorphismes, appliqués à la géométrie à travers les matrices de Gram.

Le sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2006 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme accessible : le texte était clair, aucune question ne présentait de grosses difficultés, et il mêlait questions de cours et questions classiques.

Quelle est la moyenne du sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2006 ?

Selon le rapport du jury, la moyenne de l'épreuve est de 10,25 avec un écart type de 3,51.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet CCINP MP maths 2 2006 ?

Le jury relève une confusion entre condition nécessaire et suffisante, une erreur classique sur le déterminant d'une somme de matrices, et des confusions entre polynôme caractéristique, minimal et annulateur.

Pas de description pour le moment

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