CCINP Physique 1 MP 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Oscillateurs mécaniques
Théorème du viriel
Mouvement à force centrale
Roulement sans glissement
Fonctions d'état
Détente de Joule Gay-Lussac
Détente de Joule Thomson
Système ouvert en écoulement

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BanqueCCINP Année2006 FilièreMP MatièrePhysique

Annales CCINP MP Physique CCINP MP 2006 MP Physique Physique 2006

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Présentation du sujet

Accessible

Oscillateurs mécaniques et théorème du viriel ; détentes de Joule et système ouvert en thermodynamique

Le sujet comporte deux problèmes indépendants. En mécanique, on étudie plusieurs oscillateurs (harmonique, système lié, mouvement dans un champ newtonien) afin d'illustrer le théorème du viriel. En thermodynamique, on étudie les fonctions d'état, les détentes de Joule Gay-Lussac et de Joule Thomson, un système fermé en mouvement, puis une détente dans une tuyère.

1Mécanique I : oscillateur harmonique dans un champ de pesanteurÉtude d'un point matériel accroché à un ressort dans le champ de pesanteur.
2Mécanique II : cas d'un systèmeÉtude d'un système avec roulement sans glissement et conservation de l'énergie mécanique.
3Mécanique III : mouvement dans un champ newtonienÉtude d'un mouvement à force centrale attractive, trajectoire bornée et loi des aires.
4Thermodynamique A à E : fonctions d'état et détentesÉtude des fonctions d'état d'un système fermé, des détentes de Joule Gay-Lussac et de Joule Thomson, d'un système fermé en mouvement, puis d'une détente dans une tuyère.

Accessible. Le rapport qualifie le sujet de « relativement classique » et indique qu'il « ne présentait pas de grosses difficultés », tout en notant que les résultats obtenus sont décevants.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Erreurs de signe en mécanique · Roulement sans glissement mal maîtrisé · Mouvement à force centrale mal justifié

Le jury constate que les candidats ont privilégié la mécanique au détriment de la thermodynamique, faute de temps. Le sujet, classique, a néanmoins donné des résultats jugés décevants, ce qui traduit des lacunes de cours plus qu'une difficulté réelle de l'énoncé.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Erreurs de signe en mécanique
Le jury relève de très nombreuses erreurs de signe, comme si l'algébrisation n'était pas nécessaire.
« De très nombreuses erreurs de signe laissant à penser que l'algébrisation est superflue »
2
Roulement sans glissement mal maîtrisé
La condition cinématique du roulement sans glissement est souvent établie de manière intuitive et donc fausse.
« La condition cinématique de roulement sans glissement est souvent fausse car établie de façon « intuitive »
3
Mouvement à force centrale mal justifié
Le caractère borné du mouvement à force centrale attractive est rarement bien démontré.
« Les justifications du caractère borné du mouvement sont souvent fantaisistes »
4
Différentielles totales mal exploitéesA-2-2
La plupart des candidats n'ont pas su utiliser les propriétés des différentielles totales, ce qui les a empêchés de répondre à la question A-2-2.
« La plupart des étudiants ont été incapables d’exploiter les propriétés des différentielles totales »
5
Bilan entropique de la détente de Joule Gay-Lussac
De nombreux candidats ne savent produire qu'un bilan entropique incorrect et expliquent l'augmentation d'entropie de façon fantaisiste.
« De très nombreux étudiants ont été incapables de faire un bilan entropique correct pour cette détente »
6
Erreur sur la variation de température en détente de Joule Thomson
L'expression de la variation de température est souvent erronée, ce qui entraîne une application numérique fausse.
« l’expression de TΔ est, souvent, erronée et il s’ensuit une application numérique fausse »

Ce qui a été bien réussi

Quand la partie D de thermodynamique a été traitée avec rigueur, elle a donné de bons résultats sans grande difficulté.
Les deux premières questions de la partie E, quand elles ont été abordées, ont été bien traitées.

Conseils du jury

Maîtriser parfaitement le cours et mener les calculs avec rigueur, en particulier sur les signes.
Rédiger des explications claires et précises plutôt que des éléments vagues.
Répartir le temps entre mécanique et thermodynamique pour ne pas délaisser cette dernière.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Conformément à l'usage, les vecteurs sont notés en caractères gras.

- MECANIQUE -

Le problème étudie différents oscillateurs en vue de l'application du théorème du viriel. Celui-ci affirme en particulier que si un point matériel

M(x, y, z)

possède une énergie potentielle

Ep(x, y, z)

vérifiant la propriété suivante :

Ep(λx, λy, λz) = λ^k Ep(x, y, z)

pour tout

λ

réel alors il existe la relation suivante entre valeurs moyennes temporelles au cours du mouvement de M

k⟨Ep⟩ = 2⟨Ec⟩

à condition que la trajectoire soit bornée.

Ec

désigne l'énergie cinétique de M et

< f >

la valeur moyenne de

f(t)

au cours du temps.
Nous ne considèrerons que des mouvements périodiques donc les moyennes seront calculées sur une période.
Dans tout le problème l'étude est faite dans un référentiel galiléen

R

auquel est associé un repère orthonormé

(O, x, y, z)

Les parties I, II et III sont indépendantes.

I- Oscillateur harmonique dans un champ de pesanteur

Un point matériel

M

de masse

m

pouvant se mouvoir dans la direction

Oz

(verticale descendante) est fixé à l'extrémité d'un ressort de raideur

k

et de longueur à vide

l_o

. Le champ de pesanteur

g

est uniforme (figure1). On désigne par

z

la cote de

M

Figure (1)

a) Ecrire l'équation du mouvement du point M ; quelle est la pulsation propre $ω_o$ du système ?
b) Déterminer sa position d'équilibre $z_e$ .
c) Déterminer $z(t)$ sachant qu'initialement le point est abandonné sans vitesse initiale de la cote $z = l_o + mg/k + a$ .
a) Déterminer l'énergie potentielle $Ep(M)$ du point $M$ en imposant $Ep = 0$ à l'équilibre.
b) Exprimer l'énergie potentielle en fonction de $Z = z - z_e$ et k .
c) Dans le cas du mouvement du 1-c déterminer les valeurs moyennes de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Quelle relation existe-t-il entre ces deux grandeurs?
d) Application numérique $k = 20Nm^(- 1) m = 100 g a = 5 cm$ . Calculer la pulsation des oscillations ainsi que l'énergie potentielle moyenne.

II - Cas d'un système

Un disque

(D)

de masse

m

, de rayon

a

et de centre

C

peut rouler, dans un plan vertical, à l'intérieur d'un cylindre de centre

O

fixe dans

R

; on note

b = OC

la distance de O à C . (

D

) est homogène de moment d'inertie

J = 1/2ma^2

par rapport à son axe (

C, e_z

).
Le coefficient de frottement entre le cylindre et le disque est

f

Ox

est l'axe vertical, le champ de pesanteur

g

est uniforme.
On appelle

θ

l'angle entre

e_x

OC

φ

celui entre

e_x

et la direction

CA

où A est un point périphérique de

(D)

(figure 2).
On suppose que

(D)

roule sans glisser dans le cylindre.
En outre l'angle

θ

reste faible.

Figure (2)

Déterminer l'énergie potentielle $Ep(θ)$ de $(D)$ en imposant $Ep(0) = 0$ . En donner une expression approchée au deuxième ordre en $θ$ .
Etablir la relation reliant $(dθ)/(dt)$ et $(dφ)/(dt)$ .
Etablir l'expression de l'énergie cinétique de ( $D$ ).
L'énergie mécanique du disque est-elle conservée ? Pourquoi ?
Déterminer l'équation du mouvement vérifiée par $θ(t)$ . La résoudre avec les conditions initiales $θ = θo > 0$ et $(dθ)/(dt) = 0$ .
a) Pour la solution précédente calculer les valeurs moyennes de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique. Que constate-t-on ?
b) Application numérique : $θo = 0, 1rad, m = 160 g, g = 10Nms^(- 2), b = 20 cm$ . Calculer l'énergie cinétique moyenne de $(D)$ .

III - Mouvement dans un champ newtonien

On considère un satellite de masse

m

se trouvant à une distance

r

du centre

O

de la terre. On note

G

la constante de gravitation,

M_t

la masse de la terre et

r

la distance entre

O

et le satellite.

a) Comment s'écrit la force subie par le satellite ?
b) Déterminer l'énergie potentielle $Ep$ du satellite (avec la convention $Ep = 0$ à l'infini).
c) Comment s'exprime ici le théorème du viriel ? Quelle propriété de l'énergie retrouve-t-on pour un état lié ?
d) Dans le cas où la trajectoire du satellite est circulaire de rayon $r_o$ , déterminer sa vitesse $v_c$ .

Pour la suite, le satellite est lancé à une distance

r_o

, avec une vitesse orthoradiale (orthogonale au rayon vecteur) de module

v_o = α\sqrt((GM_t)/(r_o)) avec 1 < α < \sqrt2

a) Montrer que le mouvement est plan. Celui-ci est repéré en coordonnées polaires ( $r, θ$ ) dans son plan ; montrer que la quantité $r^2(dθ)/(dt)$ est constante. Déterminer la valeur de cette constante que l'on notera $C$ .
b) Montrer que la trajectoire est bornée.
c) Montrer que l'équation polaire de la trajectoire peut s'écrire $r = p/(1 + ecos(θ))$ avec $p = (C^')/(GM_t)$ où $C^'$ est une constante que l'on déterminera
En outre, il est rappelé que dans le cas d'une trajectoire elliptique l'énergie mécanique vaut $E = (- GM_t m)/(2a)$ avec $a$ le demi grand axe.
d) Déterminer le paramètre $p$ de la trajectoire du satellite en fonction de $r_o$ .
e) Déterminer l'excentricité de la trajectoire en fonction de $α$ seulement.
f) Calculer les rayons au périgée et à l'apogée. Représenter la trajectoire en précisant le point de départ, l'axe polaire, les foyers.
a) Exprimer l'énergie cinétique du satellite en fonction de $G, M_t, p, e$ et $θ$ .
b) Exprimer de même l'énergie potentielle $Ep$ en fonction de $G, M_t, p, e$ et $θ$ .
c) Déduire du théorème du viriel que $< cos(θ)>= - e$ . Ce résultat vous surprend-t-il ? Que pensez-vous de $< sin(θ) >$ ?
Pour mieux cerner le résultat précédent on cherche à évaluer les durées de passage du satellite $Δt_1$ pour un angle $θ$ passant de $- π/2$ à $π/2$ et $Δt_2$ pour un angle $θ$ passant de $π/2$ à $3π/2$ .
a) On rappelle la troisième loi de Kepler $(T^2)/(a^3) = (4π^2)/(GM_t)$ ; exprimer la période $T$ en fonction de $p, C$ et $e$ .
b) Exprimer la durée $Δt$ que met le satellite pour passer d'un angle polaire $θ_1$ à $θ_2$ ; on donnera le résultat en fonction de la période et d'une intégrale sans dimension.
si $e = 0, 5$ le calcul numérique donne le résultat suivant :

\int_((- π)/2)^(π/2)(dθ)/((1 + ecos(θ))^2) = 0, 195

Ce résultat est-il en accord avec celui obtenu au 3c) ?
5. On considère maintenant le mouvement d'un électron dans un atome d'hydrogène en supposant le noyau fixe en O .
L'électron a une masse

m = 9 10^(- 31) kg

et une charge

- q

avec

q = 1, 6 10^(- 19)C

.
a) Pourquoi la trajectoire de l'électron est-elle, en général, une ellipse ?
b) On se place dans un cas où l'excentricité de la trajectoire est faible (

e≪1

Comment s'écrit le moment dipolaire instantané de l'atome d'hydrogène?
Proposer une expression approchée du moment dipolaire moyen en fonction du paramètre de la trajectoire

p_o

et de l'excentricité

e

.
Quelle valeur obtient-on pour

p_o = 0, 05 nm

e = 0, 05

? Le résultat sera donné en Debye :

1D = 1/3 10^(- 29)Cm

.
c) Que vaut réellement le moment dipolaire d'un atome d'hydrogène ? Que pensez-vous du modèle précédent?

L'objectif de ce problème est l'étude de différentes détentes d'un gaz réel et d'un gaz parfait.
Les parties B et C d'une part, D et E d'autre part ne sont pas indépendantes.
La partie A , l'ensemble (

B + C

) et l'ensemble (

D + E

) peuvent être traités séparément.

A - Fonctions d'état d'un système fermé

A.1.On rappelle les expressions des différentielles

dU

dH

des fonctions d'état énergie interne

U(T, V)

et enthalpie

H(T, p)

d'un système fermé :

dU = C_v dT + (ℓ - p)dV; dH = C_p dT + (k + V)dp

A.1.1. Définir les capacités thermiques à volume constant

C_v

et à pression constante

C_p

à partir des fonctions

U(T, V)

H(T, p)

.
A.1.2. Etablir les valeurs des coefficients calorimétriques

ℓ

k

pour un système dont l'énergie interne et l'enthalpie ne sont fonctions que de la température.
A.2.On définit les fonctions d'état énergie libre

F(T, V)

et enthalpie libre

G(T, p)

d'un système par les relations

F = U - TS

G = H - TS

.
A.2.1. Exprimer les différentielles

dF

dG

d'un système fermé.
A.2.2. On désigne par

S

l'entropie du système. En utilisant les propriétés des différentielles

dS

dF

dG

établir les expressions suivantes des coefficients calorimétriques

ℓ

k

ℓ = T(\partialp/\partialT)_v; k = - T(\partialV/\partialT)_p

B - Détente de Joule et Gay Lussac d'un gaz réel

Dans un certain domaine de température et de pression, l'équation d'état d'une mole de gaz réel s'écrit :

(p + a/TV^2)(V - b) = RT

dans laquelle

a, b

R

sont des constantes (

R =

constante des gaz parfaits).
B.1. Etablir la relation :

(\partialC_v/\partialV)_T = T(\partial^2 p/\partialT^2)_V

B.2. Etablir l'expression de la capacité thermique à volume constant

C_v(T, V)

du gaz sachant qu'elle tend vers une valeur

C_0

, indépendante de

T

, lorsque

V

tend vers l'infini.
B.3. Etablir l'expression de l'énergie interne

U

de ce gaz en fonction de

T

, de

V

et de constantes.
B.4. On fait subir à ce gaz une détente de Joule et Gay Lussac qui fait passer son volume de

V_1

V_2 = 2V_1

.
B.4.1. Préciser les conditions expérimentales qui permettent de réaliser cette détente. En déduire la variation d'énergie interne

ΔU

du fluide.
B.4.2. On note

T_1

la température initiale du gaz et

ΔT

la variation de température qu'il subit au cours de cette détente.
Sachant que l'on peut considérer

ΔT≪T_1

, exprimer

ΔT

en fonction de

T_1, V_1

et de constantes.
B.4.3. Que peut-on dire, a priori, de la variation d'entropie du gaz ? Justifier votre réponse.
B.4.4. Application numérique :

a = 100SI; R = 8, 31 J \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1); T_1 = 300 K; C_0 = 29, 1 J \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1); V_1 = 10 L

.
B.4.4.1. Calculer

ΔT

.
B.4.4.2. Quelle valeur de

ΔT

aurait-on obtenu avec un gaz parfait? Justifier votre réponse.

C - Détente de Joule Thomson (Joule Kelvin) d'un gaz réel

Aux faibles pressions, l'équation d'état du gaz réel défini ci-dessus peut se mettre sous la forme suivante :

pV = RT + B(T)p avec B(T) = b - a/RT^2

C.1.Compte-tenu d'une approximation que l'on peut faire aux basses pressions, montrer que l'enthalpie

H

du gaz peut s'écrire, en fonction des variables

T

p

H = (C_0 + R)T + (b - 3a/RT^2)p

C.2.Le gaz subit une détente de Joule Thomson au cours de laquelle il passe d'une zone où il se trouve à la température

T_1

sous la pression

p_1

dans une zone où la pression est

p_2 = p_1/2

.
C.2.1. Préciser la caractéristique énergétique de la détente de Joule Thomson.
C.2.2. Exprimer la variation de température

ΔT

du gaz dans le cadre des hypothèses ci-dessus en fonction de

T_1, p_1

et de constantes. On considèrera encore

ΔT≪T_1

.
C.2.3. Application numérique :

a = 100SI; R = 8, 31 J \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1); T_1 = 300 K; C_0 = 29, 1 J \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1);; b = 22, 8 \cdot 10^(- 6) m^3 \cdot mol^(- 1); p_1 = 2 bar.; Calculer ΔT.

D - Application des principes de la thermodynamique à un système fermé en mouvement

L'objectif de cette étude est d'établir une expression générale permettant de calculer les variations des grandeurs thermodynamiques caractéristiques d'un gaz qui s'écoule dans un élément mécanique : conduite, tuyère, échangeur thermique, turbine, compresseur, etc.
L'évolution d'un fluide gazeux dans une installation industrielle est schématisée par la figure 1 cidessous.

Figure 1

Le fluide gazeux s'écoule dans la direction et le sens de l'axe horizontal

x^' x

.
Le volume

v

délimité par les plans

A^' B^'

CD

constitue un volume de contrôle qui peut, éventuellement, contenir une machine : compresseur, turbine, etc.
Le fluide entre dans

v

par une conduite cylindrique dont l'aire de la section droite est notée

Σ_1

et dont l'axe, parallèle à

x^' x

, est situé à l'altitude

z_1

dans le champ de pesanteur. Il en ressort par une conduite cylindrique, dont la section droite a une aire

Σ_2

et dont l'axe, parallèle à

x^' x

, est situé à l'altitude

z_2

dans le champ de pesanteur.
On désigne par

w

le vecteur vitesse des particules fluides et on admet que la viscosité du fluide est négligeable, le vecteur vitesse reste donc constant en tout point d'un plan de section droite perpendiculaire à l'écoulement.
On désigne par

m, p, T, E, E_c, E_p, U, H

S

, respectivement, la masse, la pression, la température, l'énergie totale, l'énergie cinétique macroscopique, l'énergie potentielle de pesanteur, l'énergie interne, l'enthalpie et l'entropie du fluide. Les valeurs massiques des différentes grandeurs extensives seront représentées par des lettres minuscules.
Ces grandeurs seront affectées de l'indice 1 ou de l'indice 2 suivant qu'elles caractériseront l'état du gaz à l'entrée ou à la sortie du volume

v

.
D.1. Définir l'énergie totale

E

d'un système thermodynamique.
D.2. Ecrire le premier principe de la thermodynamique, sous sa forme générale, pour un système fermé, en mouvement dans le champ de pesanteur, qui, au cours d'une transformation ouverte, reçoit les quantités d'énergie

Q

par transfert thermique et

W

par transfert mécanique.
D.3.A l'instant

t

le système fermé considéré, désigné par

S(t)

sur la figure 1 , occupe le volume compris entre les plans

AB

CD

. Il comprend le fluide contenu dans

v

à cet instant et le fluide qui va entrer dans

v

pendant la durée

dt

. Son énergie totale est notée

E(t)

.
A l'instant

t + dt

ce même système, désigné par

S(t + dt)

, occupe le volume délimité par les plans

A^' B^'

C^' D^'

. Il comprend le fluide contenu dans

v

à l'instant

t + dt

et le fluide qui est sorti de

v

pendant la durée

dt

. Son énergie totale est notée

E(t + dt)

.
Entre les instants

t

t + dt

le fluide gazeux reçoit les quantités algébriques d'énergie

δQ

par transfert thermique (chaleur),

δW^'

par transfert mécanique dû au travail des forces de pression d'entrée et de sortie et

δW

par transfert mécanique avec une machine qui se trouve dans

v

.
On suppose que le régime stationnaire est atteint et on admet que les pressions

p_1

p_2

, respectivement en amont de l'entrée dans

v

et en aval de la sortie de

v

, restent constantes au cours du transfert du fluide. Les vitesses

w_1

w_2

du fluide, dans les conduites d'entrée et de sortie, sont constantes.
D.3.1.

ρ_1, w_1, Σ_1; ρ_2, w_2, Σ_2

désignent la masse volumique, la vitesse du fluide et l'aire de la section droite des conduites, respectivement, à l'entrée et à la sortie de

v

.
Montrer, à partir d'un bilan de masse sur le système fermé considéré, entre les instants

t

t + dt

, que l'on a :

ρ_1 Σ_1 w_1 = ρ_2 Σ_2 w_2.

L'expression

ρΣw

représente le flux de masse à travers la section droite

Σ

d'une conduite dans laquelle le fluide s'écoule avec la vitesse

w

, c'est-à-dire le débit massique

q_m

du fluide exprimé en

kg.s^(- 1)

.
D.3.2. On désigne par

δm

la masse de fluide qui traverse le volume

v

pendant la durée

dt

On note

g

l'intensité du champ de pesanteur et on fixe l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur au niveau

z = 0

.
Par application du premier principe de la thermodynamique au fluide gazeux, entre les instants

t

t + dt

, établir la relation :

δm{[(1/2)w_2^2 + gz_2 + h_2] − [(1/2)w_1^2 + gz_1 + h_1]} = δQ + δW

D.3.3. A partir de l'expression établie à la question D.3.2, définir les conditions expérimentales qui permettent de faire subir au fluide une détente de Joule Thomson.

E - Détente d'un fluide gazeux dans une tuyère

Le fluide gazeux se détend, de manière adiabatique, dans une tuyère dans laquelle sa vitesse varie. La tuyère est constituée d'un tube de révolution autour d'un axe horizontal

x^' x

(figure 2 ci-contre).
La section droite, d'abscisse

x

, de la tuyère a une aire

Σ(x)

variable le long de l'axe

x^' x

. On admet que cette variation est assez lente pour que le vecteur vitesse des éléments de volume du gaz qui s'écoule reste, pratiquement, parallèle à

x^' x

, de même sens et que sa composante

w(x)

ait la même valeur pour tous les éléments de volume situés dans une tranche de gaz, d'abscisse

x

, perpendiculaire à

x^' x

Figure 2

On suppose que le régime d'écoulement stationnaire est atteint et on néglige toute perte d'énergie, par frottement, le long des parois de la tuyère.
On note

H(x)

l'enthalpie d'une mole de gaz sous la pression

p(x)

, à la température

T(x)

.
On désigne par

M

la masse molaire du gaz et par

ρ(x)

sa masse volumique à l'abscisse

x

w_1, p_1, T_1, H_1, ρ_1; w_2, p_2, T_2, H_2, ρ_2

désignent, respectivement, les valeurs de:

w(x), p(x)

T(x), H(x), ρ(x)

dans la section droite d'entrée de surface

Σ_1

et dans la section droite de sortie de surface

Σ_2

.
E.1. On considère l'évolution d'une mole de gaz entre son entrée dans la tuyère et son passage dans la tranche d'abscisse

x

.
A partir de la relation générale établie à la question D.3.2 et compte tenu des conditions de fonctionnement de la tuyère, établir la relation que vérifient

M, w_1, w(x), H_1, H(x)

.
E.2. Aucune hypothèse n'est faite sur l'équation d'état du gaz.

On admet que chaque élément de volume du gaz subit, dans la tuyère, une détente adiabatique réversible. Montrer que, dans ces conditions :

(1/2)w^2(x) - (1/2)w_1^2 + \int_(p_1)^(p(x))dp/ρ(x) = 0

E.3. On suppose, maintenant, que le gaz est un gaz parfait pour lequel le rapport

γ = C_p/C_v

est indépendant de la température et on admet que son évolution, dans la tuyère, se produit de manière adiabatique et réversible.
On pose

ε = p(x)/p_1

et on désigne par

C_p

la capacité thermique molaire à pression constante du gaz.
E.3.1. Exprimer

w^2(x)

en fonction de :

w_1, C_p, T_1, M, γ

ε

.
E.3.2. Exprimer le débit massique

q_m

du gaz, à l'abscisse

x

, en fonction de :

ρ_1, ε, γ, Σ(x)

w(x)

.
E.3.3. On suppose que la section d'entrée de surface

Σ_1

de la tuyère est très grande. On peut alors considérer

w_1 \sim 0

.
E.3.3.1. Montrer que, dans ces conditions, le débit massique s'écrit:

q_m = K_1 Σ(x)f(ε)

, expression dans laquelle

K_1

ne dépend que des caractéristiques du gaz et des valeurs des paramètres relatifs à l'entrée de la tuyère et

f(ε)

est une fonction de

ε

. On explicitera

K_1

f(ε)

.
E.3.3.2. On admet que

p(x)

décroît de manière monotone quand

x

croît.

Après avoir étudié les variations de la fonction

f(ε)

pour

0 \leq ε \leq 1

, montrer que :
E.3.3.2.1. Si

p_2/p_1

est supérieur à une valeur

ε_0

que l'on précisera, la section

Σ(x)

de la tuyère doit être une fonction décroissante de

x

(tuyère convergente).
E.3.3.2.2. Si

p_2/p_1

est inférieur à

ε_0

, la section de la tuyère doit, d'abord, être une fonction décroissante de

x

puis devenir une fonction croissante de

x

(tuyère convergente - divergente).
Dans ce cas on note

w_0

p_0

les valeurs de

w(x)

p(x)

dans la section la plus étroite de la tuyère.
Exprimer

p_0

en fonction de

p_1

γ

w_0

en fonction de

γ, R, T_1

M

.
E.3.3.3. Application numérique

Le gaz parfait considéré est de l'air pour lequel

γ = 1, 4; M = 29 g.mol^(- 1)

. On rappelle que

R = 8, 31 J \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1)

.
E.3.3.3.1. Sachant que

p_1 = 20

bar et

T_1 = 2000K

, calculer

w_0

p_0

.
E.3.3.3.2. Calculer, dans les mêmes conditions, la vitesse du gaz, à la sortie de la tuyère, où

p_2 = 1

bar.

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de Physique 1 CCINP MP 2006 ?

Le sujet mêle mécanique (oscillateurs, théorème du viriel, mouvement à force centrale) et thermodynamique (fonctions d'état, détentes de Joule Gay-Lussac et de Joule Thomson, système ouvert).

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Physique 1 CCINP MP 2006 ?

Des erreurs de signe et d'homogénéité en mécanique, une mauvaise maîtrise du roulement sans glissement, et des bilans entropiques incorrects en thermodynamique.

Le sujet Physique 1 CCINP MP 2006 est-il difficile ?

Le rapport le qualifie de classique et sans grosse difficulté, mais les résultats obtenus ont été décevants faute de rigueur.

Faut-il traiter la mécanique ou la thermodynamique en priorité dans ce sujet CCINP MP 2006 ?

Le rapport note que les candidats ont consacré trop de temps à la mécanique et ont délaissé la thermodynamique, alors que cette dernière donnait de bons résultats quand elle était traitée avec rigueur.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Physique 1 MP 2006

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