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Centrale Mathématiques 2 MP 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Étude d'une fonction polynomiale, polynômes de Taylor, raccord de courbes paramétrées et animation géométrique dans un tétraèdre
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Le sujet teste, par le biais de questions variées, l'acquisition des techniques mathématiques de base des deux années de classes préparatoires. Il comprend l'étude d'une fonction polynomiale, l'étude des polynômes de Taylor d'ordre m d'un polynôme, le raccord de deux arcs paramétrés, et une animation géométrique fondée sur des barycentres dans un tétraèdre.

  1. 1Partie I : une fonction polynomialeÉtude des racines, de la monotonie, de la symétrie et de la convexité d'une famille de polynômes.
  2. 2Partie II : les polynômes de TaylorÉtude des polynômes de Taylor d'ordre m en 0 et en 1, et d'un projecteur associé.
  3. 3Partie III : un raccordRaccordement de deux arcs paramétrés à l'aide de développements limités.
  4. 4Partie IV : une animationÉtude de barycentres dans un tétraèdre, de la compacité d'un domaine et d'extrema sur ses faces.

Difficile. Le rapport dénonce une rédaction souvent lacunaire, des résultats de calcul non achevés, et relève que la partie IV a vu le triomphe de la devinette et de l'approximation en matière de démonstration.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Discussion inutile sur la parité et tentatives de récurrence vaines · Fonction auxiliaire non introduite · Égalité d'ensembles réduite à une seule inclusion
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Le sujet privilégiait les questions ouvertes, obligeant les candidats à prendre des initiatives, ce qui a contribué à la sélectivité de l'épreuve. La partie I, plus accessible, a rapporté à elle seule plus de points que les trois autres réunies, alors qu'un survol hâtif de ces questions élémentaires compromettait la suite du problème.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Discussion inutile sur la parité et tentatives de récurrence vainesI.A

    Ces approches, mal adaptées à la question posée, ont fait perdre du temps à de nombreux candidats.

    « une discussion, bien inutile, sur la parité de m »
  2. 2
    Fonction auxiliaire non introduiteI.B2

    Peu de candidats pensent à introduire une fonction auxiliaire pour étudier le signe de la dérivée seconde, ce qui complique inutilement la suite.

    « peu de candidats pensent à introduire une fonction auxiliaire. »
  3. 3
    Égalité d'ensembles réduite à une seule inclusionII.A

    Le noyau et l'image sont rarement établis rigoureusement, les preuves se limitant souvent à une seule inclusion présentée comme une égalité complète.

    « les preuves se bornant souvent à une seule inclusion »
  4. 4
    Forme linéaire confondue avec fonctionnelle affinePartie IV

    Cette confusion s'accompagne d'une distinction quasi générale absente entre extremum local et extremum absolu.

    « La distinction entre forme linéaire »
  5. 5
    Image réciproque d'un compact supposée compactePartie IV

    Les candidats croient à tort que l'image réciproque d'un compact par une application continue est toujours compacte, ce qui n'est pas un résultat général du programme.

    « l’image réciproque d’un compact par une application continue est »

Conseils du jury

  • Achever systématiquement les calculs, en réduisant et ordonnant les polynômes obtenus.
  • Expliciter clairement tout changement de variable plutôt que de le signaler à la volée.
  • Établir rigoureusement une égalité d'ensembles par une double inclusion, et non une seule.
  • Distinguer précisément un extremum local d'un extremum absolu, et une forme linéaire d'une fonctionnelle affine.
  • Ne pas conclure une démonstration par une page de calculs sans issue ou une formule vague.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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MATHÉMATIQUES II

On note ℝ[X] l'algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients réels et, de manière usuelle, tout polynôme est identifié à sa fonction polynôme associée.
Pour tout entier naturel n, ℝ_n[X] est l'espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Pour un P de ℝ[X], on considère, de manière usuelle, les dérivées successives de P : P^((0)) = P, et, pour tout n de ℕ, P^((n + 1)) = [P^((n))]^′.
Pour un polynôme P de ℝ[X], un entier naturel n et un réel a, on définit le polynôme de Taylor d'ordre n de P en a par :
T_(n, a)(P)(X) = ∑_(i = 0)^n(P^((i))(a))/(i!)(X − a)^i.
Soit une fonction f à valeurs réelles définie sur un intervalle de ℝ et de classe C^n. On rappelle qu'elle admet, en tout point a de cet intervalle, un unique développement limité à l'ordre n :
f(x) = ∑_(i = 0)^n(f^((i))(a))/(i!)(x − a)^i + o[(x − a)^n]
La fonction polynôme
[x ↦ ∑_(i = 0)^n(f^((i))(a))/(i!)(x − a)^i]
est appelée partie régulière de ce développement limité.
Dans la troisième partie, on note ℰ_2 le plan affine euclidien usuel muni d'un repère orthonormé ℛ_0 = (O, i⃗, j⃗) et dans la dernière partie, on note ℰ_3 l'espace affine euclidien usuel de dimension 3 muni d'un repère orthonormé, encore noté ℛ_0, (O, i⃗, j⃗, k⃗).
Les éléments de ℰ_2 et ℰ_3 seront indifféremment appelés vecteurs ou points selon l'interprétation que l'on en a.

Filière MP

Si M est barycentre du système pondéré (A_i, α_i)_(1 ≤ i ≤ n) avec α = ∑_(i = 1)^n α_i non nul,
on a :
M = 1/α(∑_(i = 1)^n α_i A_i).
Chaque point M de ℰ_2 (ou de ℰ_3 ) est identifié à la famille de ses coordonnées (x, y) (ou (x, y, z) ) dans le repère ℛ_0, ce qui est contenu dans la notation M(x, y) (ou M(x, y, z) ). De même chaque vecteur u⃗ est identifié à la famille de ses coordonnées dans la base ℬ_0 du repère ℛ_0.
Dans la première partie, on étudie une famille de polynômes.
Ces polynômes interviennent ensuite dans les trois parties qui suivent dans trois situations différentes.
Si la troisième partie utilise un résultat de la deuxième, pour le reste les trois dernières parties sont indépendantes les unes des autres.

Partie I - Une fonction polynomiale

Un calcul simple qui n'est pas demandé ici (intégrations par parties successives par exemple) donne pour tout m de ℕ :
I_m = ∫_0^1 t^m(1 − t)^m dt = ((m!)^2)/((2m + 1)!)
Pour tout m entier naturel non nul, on considère la fonction polynomiale L_m définie sur ℝ par:
L_m(x) = 1/(I_m)∫_0^x t^m(1 − t)^m dt

I.A -

I.A.1) Donner une expression développée de L_m(x) pour m = 1 et pour m = 2.
I.A.2) Calculer L_m(x) + L_m(1 − x) pour tout x de ℝ. Préciser L_m(1/2).
On vérifie que L_m est à coefficients entiers. Nous l'admettrons.

I.B -

I.B.1) Étudier suivant m l'existence ainsi que l'ordre de multiplicité des éventuelles racines de L_m et de L_m^′ dans l'intervalle [0,1].
I.B.2) En considérant le signe de L_m^(′′)(x), étudier la monotonie de l'application
[x ↦ (L_m(x))/x] sur l'intervalle ]0, 1/2[
I.B.3) Donner une allure de la courbe représentative de L_m sur [0,1]. On précisera les points à tangente horizontale, on montrera l'existence d'un centre de symétrie et on précisera la convexité.
I.C - Les résultats de cette question seront utilisés dans la dernière partie.
I.C.1) Résoudre le système :
{(x, y) ∈ [0, 1]^2; L_m^′(x) = L_m^′(y)
I.C.2) Résoudre le système :
{(α, β, γ) ∈ [0, 1]^3; α + β + γ = 1; L_m^′(α) = L_m^′(β) = L_m^′(γ)
I.C.3) Résoudre le système :
{(α_1, α_2, α_3, α_4) ∈ [0, 1]^4; α_1 + α_2 + α_3 + α_4 = 1; L_m^′(α_1) = L_m^′(α_2) = L_m^′(α_3) = L_m^′(α_4)

Partie II - Les polynômes de Taylor

Dans cette partie, m est un entier naturel non nul et n est un entier tel que n > 3m 。

II.A -

On rappelle et on admet que, pour tout a de ℝ, la famille ((X − a)^p)_(p ∈ ℕ) est une base de ℝ[X].
Vérifier que l'application [P ↦ T_(n, a)(P)] définit un projecteur de ℝ[X].
Préciser son image, vérifier que son noyau est un idéal de ℝ[X] et en donner un générateur.
II.B - Pour (R, S) de (ℝ_m[X])^2, déterminer les polynômes de Taylor d'ordre m en 0 et en 1 du polynôme :
U(X) = R(X)L_m(1 − X) + S(X)L_m(X).
II.C - Pour P de ℝ_n[X], on note respectivement P_0 et P_1 ses polynômes de Taylor d'ordre m en 0 et en 1 et on pose:
[Φ(P)](X) = P_0(X)L_m(1 − X) + P_1(X)L_m(X).
II.C.1) Montrer que l'application [ P ↦ Φ(P) ] est un projecteur de ℝ_n[X].
II.C.2) Préciser les dimensions des sous-espaces propres de cette application et donner pour chacun une base.

Partie III - Un raccord

III.A -

III.A.1)
À l'aide de la première partie, déterminer un polynôme Q_1 tel que :
deg(Q_1) ≤ 3, Q_1(− 1) = 0, Q_1(1) = 1, et Q_1^′(− 1) = Q_1^′(1) = 0.
Existe-t-il d'autres polynômes remplissant ces cinq conditions?
III.A.2) Déterminer de même, sans en donner la forme développée, un polynôme Q_2 tel que :
{deg(Q_2) ≤ 5; Q_2(− 1) = 0, Q_2(1) = 1; Q_2^′(− 1) = Q_2^′(1) = Q_2^(′′)(− 1) = Q_2^(′′)(1) = 0
III.B - Soient g_1 : t ↦ (x_1(t), y_1(t)) de classe C^1 sur ] − ∞, − 1], paramétrage d'un arcγ_1 et g_2 : t ↦ (x_2(t), y_2(t)) de classe C^1 sur [ 1, + ∞ [, paramétrage d'un arc γ_2. Si h_1 est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de x_1 en -1 et h_2 la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de x_2 en 1 , on pose:
x_3(t) = Q_1(− t)h_1(t) + Q_1(t)h_2(t).
De même, si k_1 est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de y_1 en -1 et si k_2 est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de y_2 en 1, on pose:
y_3(t) = Q_1(− t)k_1(t) + Q_1(t)k_2(t).
On obtient ainsi une fonction vectorielle g_3 = (x_3, y_3) et on considère γ, raccord de γ_1 et γ_2, l'arc paramétré par g avec :
g(t) = {g_1(t), si t ∈ ] − ∞, − 1[; g_3(t), si t ∈ [ − 1, 1]; g_2(t), si t ∈ ]1, + ∞[
Montrer brièvement en s'appuyant sur une étude faite dans la deuxième partie que g est de classe C^1 sur ℝ.

III.C - Étude d'un exemple

Ici a est un réel strictement positif et on prend:
{g_1(t) = (− 1 + a(t + 1), 1 − a(t + 1)); g_2(t) = (1 + a(t − 1), 1 + a(t − 1))
III.C.1) Représenter sur un même dessin les arcs γ_1 et γ_2.
III.C.2) Donner l'expression développée de la fonction g_3 (on ne demande pas sa représentation graphique).
III.C.3) Montrer que pour a > 3, le raccord coupe l'axe des ordonnées en deux points distincts que l'on précisera.

Partie IV - Une animation

On note I = {1, 2, 3, 4}.
On considère un ensemble de quatre points {A_1, A_2, A_3, A_4} de ℰ_3 non coplanaires, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de plan affine qui les contienne tous les quatre. On a ainsi un tétraèdre non aplati A_1 A_2 A_3 A_4.
On note (x_i, y_i, z_i) le triplet des coordonnées du point A_i pour i ∈ I.

IV.A -

IV.A.1) Soit i dans I. Justifier l'existence d'un ( u_i, v_i, w_i, h_i ) de ℝ^4 avec (u_i, v_i, w_i) ≠ (0, 0, 0) tel que si l'on pose pour M(x, y, z) de ℰ_3,
g_i(M) = u_i x + v_i y + w_i z + h_i, on ait : ∀j ∈ I, g_i(A_j) = δ_(i, j).
(où de manière usuelle, δ_(i, j) vaut 1 si i = j et vaut 0 sinon).
On admet l'unicité du quadruplet ( u_i, v_i, w_i, h_i ) pour tout i dans I.
IV.A.2) Pour i dans I on considère φ_i la forme linéaire de ℝ^3 définie par:
∀(x, y, z) ∈ ℝ^3, φ_i(x, y, z) = u_i x + v_i y + w_i z.
Quel est le rang de la famille (φ_i)_(1 ≤ i ≤ 4) ?
Soit m ∈ ℕ^∗.
Pour tout i dans I et tout M(x, y, z) de ℰ_3, on pose : G_i(M) = L_m(g_i(M)).
On considère alors :
g = ∑_(i = 1)^4 g_i et G = ∑_(i = 1)^4 G_i.
On appelle Ω l'isobarycentre de {A_1, A_2, A_3, A_4}.
On note Δ = {M(x, y, z) ∈ ℰ_3|∀i ∈ I, 0 ≤ g_i(M) ≤ 1}

IV.B -

IV.B.1) Préciser g(A_i) pour i dans I et en déduire g.
IV.B.2) Vérifier que tout point M de ℰ_3 est le barycentre du système pondéré (A_i, g_i(M))_(1 ≤ i ≤ 4).
IV.B.3) Déterminer α de ℝ tel que pour tout point M de toute arête [ A_i, A_j ] avec (i, j) ∈ I^2, i ≠ j on ait G(M) = α.

IV.C -

IV.C.1) Montrer que Δ est un compact de ℰ_3.
IV.C.2) Montrer que sur chaque face du tétraèdre, G admet un maximum et un minimum. On précisera la valeur de ces extremums, ainsi que les points où ils sont atteints.
On pourra partir du fait que le compact triangulaire limité par trois points non alignés d'un plan est l'ensemble des barycentres à poids positifs des sommets du triangle et que l'on peut toujours supposer que la somme des poids est égal à 1 .
IV.C.3) Calculer G(Ω) et déterminer la différentielle de G en Ω.
IV.C.4) Déterminer les points M de Δ en lesquels la différentielle de G est nulle.
On pourra montrer que la nullité de la différentielle de G en un point M implique une relation linéaire portant sur les φ_i et on utilisera dans ce cas le résultat de IV.A.2 .
IV.C.5) Montrer que la fonction G admet sur Δ un maximum et un minimum et déterminer ces extremums G_(min) et G_(max) de G sur Δ ainsi que les points où ils sont atteints.
IV.D - On prend A_1(1, − 1, − 1), A_2(− 1, 1, − 1), A_3(− 1, − 1, 1) et A_4(1, 1, 1).
Pour m = 1, on obtient, après un calcul qui n'est pas demandé :
G(x, y, z) = 1/8[3(x^2 + y^2 + z^2 − 2xyz) + 5].
On appelle Σ la surface d'équation G(x, y, z) = 1.
On considère B¯(O, √3) la boule fermée de centre O et de rayon √3 pour la norme euclidienne sur ℝ^3 et l'on note S(O, √3) sa frontière, la sphère de centre O et de rayon √3.
On admet que pour tout point M(x, y, z) de S(O, √3), on a |xyz| ≤ 1. (Ceci peut se démontrer en utilisant les coordonnées sphériques de M ).
IV.D.1) Déterminer les points non réguliers de Σ.
IV.D.2) Montrer que pour tout P(a, b, c) de S(O, √3), il existe un et un seul point du segment [OP] qui appartienne à Σ.
On pourra étudier la fonction h(t) = G(ta, tb, tc) sur [0, 1].
IV.D.3) Qu'en déduit-on pour l'intersection Σ^′ de Σ avec B¯(O, √3) ? On précisera les points de contact de cette intersection avec le tétraèdre ainsi qu'avec la sphère S(O, √3).
IV.D.4) Préciser les sections de Σ et de B¯(O, √3) par le plan médiateur de [A_3, A_4], d'équation x + y = 0. Les représenter sur une même figure.
IV.D.5) Décrire l'animation que donne la vue des surfaces de niveau:
S_α = {(M ∈ Δ)/G(M) = α} lorsque α varie de G_(min) à G_(max).
On précisera la position de ces surfaces par rapport au tétraèdre.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de Mathématiques II Centrale MP 2006 ?
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Sur quoi porte le sujet de Mathématiques II Centrale MP 2006 ?

Le sujet porte sur l'étude d'une fonction polynomiale, les polynômes de Taylor, le raccord de courbes paramétrées et une animation géométrique dans un tétraèdre.

Ce sujet de Mathématiques II Centrale MP 2006 est-il difficile ?

Le rapport dénonce une rédaction souvent lacunaire et des calculs inachevés, la dernière partie ayant vu le triomphe de l'approximation en matière de démonstration.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale Maths II MP 2006 ?

Le jury relève une confusion entre forme linéaire et fonctionnelle affine, des égalités d'ensembles réduites à une seule inclusion, et la croyance erronée que l'image réciproque d'un compact est toujours compacte.

Quelle partie du sujet Centrale Maths II MP 2006 rapporte le plus de points ?

La partie I, plus accessible et proche du cours, a rapporté à elle seule plus de points que les trois autres parties réunies.

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