Centrale Mathématiques 1 MP 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Moyenne de fonctions, pseudo produit scalaire et fonctions presque périodiques

Le sujet repose sur la notion de moyenne d'une fonction bornée et continue par morceaux, qui fournit un pseudo produit scalaire sur l'espace des fonctions comparables. La partie I établit les propriétés de base de cette moyenne. Les parties II et III utilisent ensuite cette notion pour étudier respectivement des résultats relatifs aux fonctions presque périodiques, avec leurs coefficients de Fourier-Bohr, et aux fonctions stationnaires.

1Partie IÉtudier les propriétés de base de la moyenne d'une fonction (linéarité, invariance par translation, cas des fonctions périodiques) et introduire un pseudo produit scalaire.
2Partie IIÉtudier les fonctions presque périodiques et leurs coefficients de Fourier-Bohr à l'aide du pseudo produit scalaire introduit en partie I.
3Partie IIIÉtudier les fonctions stationnaires et leurs propriétés.

Difficile. Le rapport indique que le sujet n'a été traité de façon pertinente que très partiellement, la partie I assurant l'essentiel de la note d'un grand nombre de copies, tandis que la partie II n'a été abordée avec réussite que sur une partie de ses questions et que la partie III n'a pas été abordée sérieusement, sauf exception.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Manipulation fantaisiste des nombres complexes · Fonctions circulaires malmenées · Existence d'une limite non justifiée avant de l'utiliser

Le texte s'est avéré un bon sujet d'analyse couvrant une large partie du programme, avec un assez grand nombre de questions permettant de classer les candidats. La partie I, mettant en jeu des raisonnements relativement élémentaires, présente un terrain familier à la plupart des candidats. La partie II, pourtant progressive, a généré des difficultés importantes dès l'introduction des coefficients de Fourier-Bohr, de nombreux candidats n'ayant pas su s'approprier l'outil du pseudo produit scalaire introduit en fin de partie I.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Manipulation fantaisiste des nombres complexes
Les développements de x+iy au carré relèvent de la plus haute fantaisie, et l'inégalité de Cauchy-Schwarz est présentée dans de nombreuses copies en sous-entendant que les nombres complexes seraient comparables.
2
Fonctions circulaires malmenées
Pour de très nombreux candidats, la fonction t vers exponentielle de it est considérée comme 2π-périodique, et une somme de fonctions périodiques est dite périodique de période le ppcm des périodes des fonctions.
3
Existence d'une limite non justifiée avant de l'utiliser
De nombreux candidats ne semblent pas avoir compris qu'il faut justifier l'existence d'une limite avant d'écrire le symbole lim, et que ce n'est pas en commençant par écrire lim que l'on établira cette existence.
4
Information de l'énoncé non exploitéeI.E.1
À la question I.E.1, le texte indiquait déjà que l'application proposée est un pseudo produit scalaire, information non retenue par la majorité des candidats qui perdent alors un temps considérable, souvent en vain, à redémontrer ce résultat dans la question suivante.
5
Rédaction confuse des démonstrations
Certains candidats rédigent très mal leurs démonstrations, multipliant les flèches et les bulles explicatives sans indiquer les articulations logiques du raisonnement.

Ce qui a été bien réussi

La partie I, mettant en jeu des raisonnements élémentaires (limites, découpage d'expressions, intégrales sur un segment, suites de Cauchy), a été traitée par la plupart des candidats.
L'ensemble des questions de la sous-partie II.A a été abordé avec une certaine réussite.

Conseils du jury

Maîtriser parfaitement les outils et définitions de base ainsi que les théorèmes fondamentaux du cours.
S'approprier les outils introduits en début de sujet (comme le pseudo produit scalaire) pour les réutiliser dans les parties suivantes plutôt que de continuer à manipuler intégrales et limites de façon purement formelle.
Justifier l'existence d'une limite avant d'utiliser le symbole lim.
Fournir des réponses claires et précises, rédigées en langue française, avec des raisonnements dont les articulations logiques sont explicites.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES I

On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l'ensemble

ℬ

des fonctions bornées et continues par morceaux de

ℝ

dans

ℂ

: c'est un espace vectoriel sur

ℂ

. Il est muni de la norme uniforme définie par

‖x‖_\infty = sup_(t \in ℝ)|x(t)|

Pour tout

ω

appartenant à

ℝ

, on note

e_ω

la fonction définie sur

ℝ

par la formule :

e_ω(t) = e^(iωt)

.
On note

U

la fonction définie par

U(t) = 1sit > 0, = 0sinon

. Tous les sous-espaces vectoriels considérés seront des

ℂ

-espaces vectoriels. On notera

x^*

la conjuguée complexe de

x

, c'est-à-dire la fonction :

t \mapsto x(t)^-

Partie I -

Soit

x

une fonction appartenant à

ℬ

. On appelle moyenne de

x

, s'il existe, le nombre

M(x) = lim_(T \to \infty)M_T(x) avec M_T(x) = 1/T\int_0^T x(t)dt

On dira alors que la fonction

x

est moyennable.

I.A -

I.A.1)

Montrer que

M_T

est une forme linéaire sur

ℬ

, que l'ensemble des fonctions moyennables

ℳ_1

est un sous-espace vectoriel de

ℬ

, et que

M

est une forme linéaire sur

𝒰_1

. On notera de façon équivalente

Mx

M(x)

cette moyenne.
I.A.2) Vérifier que

M_T

M

sont lipchitziennes pour

‖.‖_\infty

.
I.B - Montrer que la moyenne est invariante par translation : si

τ \in ℝ

x \in ℳ_1

on pose

x_τ(t) = x(t - τ)

, alors

x_τ

est moyennable et

Mx = Mx_τ

I.C -

I.C.1) Soit

x

une fonction de

ℬ

de période

P(P > 0)

. Montrer que pour tout

a \in ℝ, \int_a^(a + P)x(t)dt = \int_0^P x(t)dt

. En déduire que

x

est moyennable, et que

M(x)

est égale à la moyenne sur n'importe quel intervalle de longueur

P

Filière MP

I.C.2) En particulier montrer que

M(e_ω) = 0

pour

ω

réel non nul, et

M(e_0) = 1

。
I.C.3) Montrer que si

lim_(t \to \infty)x(t) = c

, alors

x

est moyennable et

M(x) = c

.
I.C.4) Soit

x_0

la fonction définie par

x_0(t) = U(t)e^(iln(t + 1))

. Vérifier que

x_0 \in ℬ

, calculer

M_T(x_0)

. Examiner le comportement de

M_T(x_0)

lorsque

T \to \infty

, et en déduire que

x_0

n'est pas moyennable.
I.D - La fonction

x

est dite de carré moyennable si

T \mapsto M_T|x|^2

admet une limite lorsque

T

tend vers

+ \infty

. Cette limite est appelée moyenne quadratique de

x

M|x|^2 = lim_(T \to \infty)M_T(|x|^2)

On notera

𝒰_2

l'ensemble des fonctions de

ℬ

de carré moyennable.
I.D.1) Montrer que toute fonction qui tend vers 0 à l'infini est aussi de moyenne quadratique nulle.
I.D.2) Pour

x, y \in ℳ_2

, donner une majoration de

|M_T(|x|^2) - M_T(|y|^2)|

|M|x|^2 - M|y|^2|

en fonction de

‖x‖_\infty, ‖y‖_\infty, ‖x - y‖_\infty

.
I.D.3) Montrer, à l'aide de

x_0

U

, que

ℳ_2

n'est pas un espace vectoriel.
I.E - On dira que deux fonctions,

x, y

𝒰_2

sont comparables si existe

⟨x, y⟩ = M(xy^*) = lim_(T \to \infty)M_T(xy^*)

I.E.1) Si

E

est un espace vectoriel inclus dans

ℳ_2

, montrer que deux fonctions

x, y \in E

sont comparables (développer

|x + y|^2

|x + iy|^2

). Il en résulte que sur

E, (x, y) \mapsto ⟨x, y⟩

est un «pseudo-produit scalaire» (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier

M|x + y|^2 = M|x|^2 + M|y|^2 + 2Re < x, y >

I.E.2) On dira que deux fonctions

x, y \in ℳ_2

, sont orthogonales si

⟨x, y⟩ = 0

Que vaut alors

M|x + y|^2

?
I.E.3) Écrire l'inégalité de Schwarz (on ne demande pas de la démontrer).
I.F - Soit

P

un réel strictement positif. Montrer que l'ensemble des fonctions

P

périodiques de

ℬ

est un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et comparables.
I.G - Soit

𝒫 = {x : x(t) = ∑_(k = 1)^N c_k e^(iω_k t) N ∈ ℕ, c_k ∈ ℂ, ω_k ∈ ℝ distincts }

l'ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques).
Montrer que

𝒫

est stable par produit de fonctions, et que l'application

(x, y) \mapsto ⟨x, y⟩

définit un produit scalaire sur

𝒫

En particulier, pour

x = \sum_(k = 1)^N c_k e_(ω_k)

, établir que

M|x|^2 = \sum_(k = 1)^N|c_k|^2

.
I.H - Soit une suite

x_n \in ℳ_1

qui converge uniformément vers

x \in ℬ

.
I.H.1) Montrer l'existence de

m = lim_(n \to \infty)M(x_n)

(utiliser I.A.2).
I.H.2) En déduire que

x \in ℳ_1

M(x) = m

(pour

ε > 0

, on choisira

n

tel que

‖x - x_n‖_\infty < ε

|m - M(x_n)| < ε)

.
I.I - Soit une suite

x_n \in ℳ_2

qui converge uniformément vers

x \in ℬ

.
I.I.1)

Montrer que

K = sup{‖x_n‖_∞, ‖x‖_∞(n ∈ ℕ)} < + ∞

.
I.I.2) Montrer que

lim_(n \to \infty)M|x_n|^2 = m_2

existe.
I.I.3) En suivant la méthode du I.H.2), en déduire que

x \in ℐ_2

M|x|^2 = m_2

Partie II -

On appelle

𝒬

l'ensemble des limites uniformes sur

ℝ

de suites de fonctions appartenant à

𝒫

.
II.A - Montrer les propriétés suivantes :
II.A.1)

𝒬

est un espace vectoriel inclus dans

ℳ_1 \cap ℳ_2

, et fermé pour

‖.‖_\infty

.
II.A.2) Toutes les fonctions de

𝒬

sont comparables, et continues.
II.A.3) Si

x \in 𝒬

, alors

\forallτ \in ℝ x_τ \in 𝒬

MATHÉMATIQUES I

II.A.4)

Si\sum_(k = 0)^\infty|c_k| < + \infty

ω_k \in ℝ

, la série de fonctions

x = \sum_(k = 0)^\inftyc_k e_(ω_k) converge normalement sur ℝ et x \in 𝒬.

II.A.5)

𝒬

est stable par produit des fonctions.
II.A.6) Soit

x, x \in 𝒬

, à valeurs réelles, et

y : ℝ \to ℂ

continue. Montrer que

y \circ x \in 𝒬

(le montrer d'abord lorsque

y

est une fonction polynomiale à coefficients complexes).
II.B - Les coefficients de Fourier-Bohr de

x \in 𝒬

sont définis, pour une fréquence

ω \in ℝ, parc(ω) = ⟨x, e_ω⟩

.
Si

P_n

est une suite de

𝒫

convergeant uniformément vers

x

, la réunion

Ω

des fréquences présentes dans chacun des

P_n

est un ensemble fini ou dénombrable que l'on énumère donc selon le cas

Ω = {ω_k, 0 ≤ k ≤ m}

Ω = {ω_k, k ∈ ℕ}

.On pose

«é»P_n = ∑_k c_(n, k)e_(ω_k) et d(n) = max{k : c_(n, k) ≠ 0}, «degré» de P_n

Montrer que pour tout réel

ω, c(ω)

existe et vaut

c(ω) = lim_(n \to \infty)⟨P_n, e_ω⟩

. En déduire que :
si

ω \notin Ω

alors

c(ω) = 0

, et pour tout

k, c(ω_k) = c_k = lim_(n \to \infty)c_(n, k)

.
II.C - Si

Ω

est fini, montrer que

x(t) = \sum_(k = 0)^m c_k e^(iω_k t)

. En déduire la formule de Parseval :

M|x|^2 = \sum_(k = 0)^m|c_k|^2

.
II.D - On se propose d'établir la formule de Parseval dans le cas où

Ω

est infini. On construit la suite

n_j

définie par

n_0 = 0, n_k = min(n : d(n) > d(n_(k - 1)))

. Soit

q_k(t) = P_(n_k)(t)

, on a donc

d_k = d(n_k)

suite strictement croissante vers

+ \infty

(le fait que la suite

n_j

existe est admis).
II.D.1) On pose

S_N = \sum_(k = 0)^N c_k e_(ω_k)

. Calculer

M|x - S_N|^2

et en déduire que

\sum_(k = 0)^\infty|c_k|^2 \leq M|x|^2

.
II.D.2) Pour tout

k \geq 0

, montrer que

x - S_(d_k)

est orthogonal au sous-espace vectoriel

E_k

engendré par les

e_(ω_j)

où

0 \leq j \leq d_k

. En déduire que

M|x - q_k|^2 \geq M|x - S_(d_k)|^2 = M|x|^2 - \sum_(j = 0)^(d_k)|c_j|^2

II.D.3) Déduire alors de la convergence uniforme sur

ℝ

P_n

vers

x

que

lim_(k \to \infty)M|x - q_k|^2 = 0

En conclure que

lim_(n \to \infty)M|x - S_n|^2 = 0, M|x|^2 = \sum_(k = 0)^\infty|c_k|^2

Partie III -

Pour une fonction

x \in ℬ

, la fonction de corrélation de

x

est définie (si cela existe) par

τ \in ℝ γ_x(τ)=<x, x_τ>=lim_(T \to \infty)M_T(xx_τ^*)

où * est la conjugaison complexe.
On appellera fonction stationnaire une fonction

x

pour laquelle

\forallτ \in ℝ, γ_x(τ)

existe.
III.A - Montrer qu'une fonction stationnaire appartient à

𝒰_2

.
III.B - Montrer que

|γ_x(τ)| \leq γ_x(0)

, et que

γ_x(- τ) = γ_x(τ)^*

.
III.C - Si

x

est stationnaire, montrer qu'il en est de même de

y = e_ω x

et que, pour tout

τ

appartenant à

ℝ

, on a

γ_y(τ) = γ_x(τ)e^(iωτ)

III.D -

III.D.1) Si

x

appartient à

𝒬

, montrer que

x

est stationnaire. On note

{ω_k, c_k}

ses fréquences et coefficients de Fourier-Bohr, et

S_n

le polynôme trigonométrique défini par :

S_n = \sum_(k = 0)^n c_k e_(ω_k)

III.D.2) Pour tout

τ, τ \in ℝ

, calculer

γ_(S_n)(τ)

.
III.D.3) Montrer que

γ_x

est la somme de la série de fonctions

\sum_(k = 0)^(+ \infty)|c_k|^2 e_(ω_k)

normalement convergente sur

ℝ

et que

γ_x

appartient à

𝒬

(on majorera

|γ_x(τ) - γ_(S_n)(τ)|

en fonction de

M|x - S_n|^2

).
III.E - Soit

x

une fonction 1 -périodique de

ℬ

.
III.E.1) Montrer qu'elle est stationnaire, et que

γ_x

est aussi 1-périodique.
III.E.2) On note

a_k = \int_0^1 x(t)e^(- 2iπkt)dt, k \in ℤ

les coefficients de Fourier complexes de

x

. Montrer que les coefficients de Fourier de

γ_x

sont

c_k = |a_k|^2

.
III.F - Soit

E(t)

la partie entière de

t

F(t) = t - E(t)

sa partie fractionnaire. La fonction

x_1

définie par

x_1(t) = e^(- 2iπaF(t))

où

a

est un réel irrationnel, est une fonction 1 -périodique de

ℬ

, de coefficients de Fourier complexes

a_k

.
III.F.1) Calculer les

a_k

. Que vaut

\sum_(k = - \infty)^\infty|a_k|^2?

III.F.2) Calculer

γ_(x_1)(τ)

pour

τ \in [0, 1[

et vérifier que

γ_(x_1)

est continue sur IR.
III.F.3) En déduire que

γ_(x_1) \in 𝒬

. Calculer

\sum_(k = - \infty)^(+ \infty)((- 1)^k)/(π^2(a + k)^2).

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Centrale MP 2005 ?

Le sujet porte sur les espaces vectoriels normés de fonctions, l'intégration sur un segment, les suites de Cauchy, la notion de pseudo produit scalaire et les fonctions presque périodiques avec leurs coefficients de Fourier-Bohr.

Le sujet de mathématiques 1 Centrale MP 2005 est-il difficile ?

Le rapport indique qu'il n'a été traité que très partiellement, la partie I assurant l'essentiel de la note de nombreuses copies, tandis que les parties II et III ont posé de sérieuses difficultés à la majorité des candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale MP maths 1 2005 ?

Le jury relève une manipulation fantaisiste des nombres complexes, des erreurs sur la périodicité des fonctions circulaires, l'usage du symbole lim sans justifier au préalable l'existence de la limite, et une exploitation insuffisante des informations déjà données dans l'énoncé.

Pas de description pour le moment

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