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X ENS Mathématiques B MP 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Autour de la fonction Gamma : formule de Stirling précisée, série divergente, densité des polynômes trigonométriques et dynamique sur le tore
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Le sujet part de la fonction Gamma pour établir une formule de Stirling à deux termes, puis montre qu'une série de rayon nul donne une bonne approximation d'une intégrale. Il prouve ensuite la densité des polynômes trigonométriques en deux variables dans les fonctions continues doublement périodiques, et se termine par l'étude qualitative des trajectoires d'une équation différentielle sur le tore. Les quatre parties sont largement indépendantes et l'énoncé fournit de nombreux résultats intermédiaires.

  1. 1Partie I : formule de Stirling préciséePremières propriétés de Gamma, développement asymptotique d'une intégrale de type Laplace, étude de s - ln(1 + s) et de ses réciproques, puis synthèse vers le développement de Gamma à deux termes.
  2. 2Partie II : une série divergente utileÉtude d'une intégrale sur [1, +∞[ par intégrations par parties successives et contrôle du reste inspiré de la démonstration du critère des séries alternées.
  3. 3Partie III : densité des polynômes trigonométriquesApproximation uniforme des fonctions continues 1-périodiques en deux variables en passant par les fonctions à variables séparées.
  4. 4Partie IV : trajectoires d'une équation différentielle sur le toreComportement de F(t) selon que les composantes de ω sont en rapport rationnel ou non, puis développement asymptotique uniforme de la trajectoire.

Difficile. La moyenne est de 7,08 sur 20 et le jury juge inquiétant le faible nombre de copies à 16 ou plus ; même le peloton de tête n'a traité qu'environ 70 % du sujet.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,08 / 20 · écart-type 3,47 · 1 501 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,08/ 20
Écart-type
3,47
Copies
1 501
moyenne 7,0805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Première question traitée à moitié · Intégration des relations de comparaison mal maîtrisée · Étude de fonction incomplète
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Le sujet guidait pas à pas et mobilisait les notions standard d'analyse, mais les résultats sont faibles. Beaucoup de candidats ont perdu des points sur des questions élémentaires (questions 1 à 3c), y compris parmi les meilleurs. Les parties II et III ont été les plus discriminantes et la partie IV n'a presque jamais été abordée sérieusement.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Première question traitée à moitiéQ1a

    Environ 30 % des candidats n'ont pas eu tous les points de la question 1, souvent pour avoir oublié l'un des trois points demandés. Dans la justification de convergence, e^(-t) t^a n'est pas équivalent à e^(-t).

  2. 2
    Intégration des relations de comparaison mal maîtriséeQ2a, Q2c

    Le développement de f en 0 ne renseigne pas sur l'intégrale loin de 0, et la continuité d'une fonction ne donne pas sa limite. En 2c, il faut ordonner les quantificateurs : ε, puis δ, puis le contrôle du reste.

    « les correcteurs constatent que les théorèmes d’intégration des petits o ne sont pas compris »
  3. 3
    Étude de fonction incomplèteQ3a

    Le graphe demandé doit être tracé ; asymptote et direction asymptotique sont confondues ; la monotonie seule ne donne pas une bijection sans la continuité, et la régularité doit être précisée avant de dériver.

  4. 4
    Composition et dérivation des développements limitésQ3c

    Le résultat étant donné, un calcul effectif de chaque coefficient est attendu. Le développement de la dérivée a presque toujours été obtenu de façon fantaisiste ; cette question pesait 8 % du barème.

    « Les candidats ignorent qu’il est en général interdit de dériver terme à terme un développement limité »
  5. 5
    Critère des séries alternées appliqué à tortQ7

    Le théorème ne s'applique pas ici : il faut reprendre l'idée de sa démonstration tant que |r_N(x)| décroît. Seuls 8 % des candidats réussissent la question.

    « On ne peut pas appliquer le théorème des séries alternées. »
  6. 6
    Rédaction des approximations de la partie IIIQ8 à Q10b

    Approcher f(x)g(y) exige une décomposition explicite de l'écart ; la périodicité ne suffit pas sans la continuité ; un barycentre est une combinaison linéaire de coefficients de somme 1.

Ce qui a été bien réussi

  • Le changement de variable de la question 1b a été trouvé par 70 % des candidats.
  • Le développement en série de ln(1 + s) et son rayon de convergence (question 3b) sont connus de 85 % des candidats.
  • La question de synthèse 11 est bien traitée par ceux qui l'abordent.

Conseils du jury

  • Maîtriser les questions de base avant d'avancer dans le sujet.
  • Vérifier explicitement toutes les hypothèses d'un résultat avant de l'appliquer, comme en question 3e.
  • Quand le résultat est donné, écrire un calcul complet et annoncer par une phrase les changements de variable utilisés.
  • Faire un dessin lorsque l'énoncé y invite.
  • Consacrer son temps à améliorer les parties II et III plutôt qu'à commencer la partie IV ou à chercher des points de grappillage.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.
Les quatre parties sont largement indépendantes les unes des autres.

Première partie

Dans cette partie, on utilisera à plusieurs reprises la fonction Γ : ]0, + ∞[ → ℝ définie par
Γ(y) = ∫_0^∞e^(− t)t^(y − 1)dt
On admettra que Γ(1/2) = √π.
1a. Montrer que Γ est bien définie et que pour tout y > 0, yΓ(y) = Γ(y + 1). En déduire que, pour tout n ∈ ℕ, Γ(n + 1) = n!.
1b. Montrer que pour tout y > 0, on a Γ(y) = y^(− 1)∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^y dt, puis que
Γ(y) = e^(− y)y^y∫_(− 1)^(+ ∞)e^(− yφ(s))ds
où φ est la fonction définie sur ] − 1, + ∞[parφ(s) = s − ln(1 + s).
2. On considère dans cette question une fonction f : ]0, + ∞[ → ℝ continue par morceaux vérifiant les deux propriétés suivantes :
(a) il existe un entier K ⩾ 0 et un réel C > 0 tels que |f(t)| ⩽ Ct^K sur [1, + ∞[,
(b) il existe un entier N ⩾ 0, deux réels λ > 0 et μ > 0 et des réels a_0, …, a_N tels que
f(t) = ∑_(k = 0)^N a_k t^((k + λ − μ)/μ) + o(t^((N + λ − μ)/μ)) quand t → 0
On note ρ_N(t) = f(t) − ∑_(k = 0)^N a_k t^((k + λ − μ)/μ) le reste du développement asymptotique de f.
2a. On fixe δ > 0 et α ∈ ℝ. Montrer que pour tout x > 0, la fonction t ↦ e^(− t/x)t^α est intégrable sur [δ, + ∞[ et que pour tout n ∈ ℕ, on a :
∫_δ^(+ ∞)e^(− t/x)t^α dt = o(x^n) quand x → 0^+
En déduire que pour tout n ∈ ℕ,
∫_δ^(+ ∞)e^(− t/x)ρ_N(t)dt = o(x^n) quand x → 0^+
2b. On fixe ε > 0. Montrer l'existence de δ > 0 et d'une constante C^′ indépendante de ε et δ tels que
∀x > 0, |∫_0^δ e^(− t/x)ρ_N(t)dt| ⩽ C^′ εx^((N + λ)/μ)
2c. En déduire que
∫_0^(+ ∞)e^(− t/x)ρ_N(t)dt = o(x^((N + λ)/μ)) quand x → 0^+
2d. On note F la fonction définie par :
F(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t/x)f(t)dt
Montrer que F est bien définie sur ]0, + ∞[ et qu'elle vérifie la formule asymptotique suivante :
F(x) = ∑_(k = 0)^N a_k Γ((k + λ)/μ)x^((k + λ)/μ) + o(x^((N + λ)/μ)) quand x → 0^+.
  1. On rappelle que la fonction φ a été définie à la question 1b.
3a. Tracer le graphe de φ. Montrer que φ définit par restriction aux intervalles ] − 1, 0 [ et ]0, + ∞[ respectivement
  • une bijection φ_− : ] − 1, 0[ → ]0, + ∞[,
  • une bijection φ_+ : ]0, + ∞[ → ]0, + ∞[.
On notera φ_−^(− 1) : ]0, + ∞[ → ] − 1, 0[ et φ_+^(− 1) : ]0, + ∞[ → ]0, + ∞[ les bijections réciproques.
3b. Montrer que si s ∈ ] − 1, 1[,
φ(s) = s^2∑_(k = 0)^∞((− 1)^k)/(k + 2)s^k
On admet l'existence de deux séries entières ∑_(k ⩾ 1)b_k q^k et ∑_(k ⩾ 1)c_k q^k, de la variable q, et de rayon de convergence strictement positif, où b_1 > 0 et c_1 < 0, et telles que l'on ait, pour q dans un voisinage de 0 dans [0, + ∞[,
φ(∑_(k = 1)^∞b_k q^k) = φ(∑_(k = 1)^∞c_k q^k) = q^2
3c. Calculer b_1, b_2, b_3 et c_1, c_2 et c_3. En déduire les développements asymptotiques suivants quand q → 0, q > 0, pour les fonctions φ_−^(− 1) et φ_+^(− 1) ainsi que leurs dérivées :
φ_+^(− 1)(q) = √(2q) + (2q)/3 + (q^(3/2))/(9√2) + o(q^(3/2)),, φ_−^(− 1)(q) = − √(2q) + (2q)/3 − (q^(3/2))/(9√2) + o(q^(3/2)); (φ_+^(− 1))^′(q) = 1/(√(2q)) + 2/3 + (√q)/(6√2) + o(√q),, (φ_−^(− 1))^′(q) = − 1/(√(2q)) + 2/3 − (√q)/(6√2) + o(√q)
3d. Montrer que
Γ(y) = e^(− y)y^y∫_0^∞e^(− yq)((φ_+^(− 1))^′(q) − (φ_−^(− 1))^′(q))dq
3e. En déduire que
Γ(y) = e^(− y)y^y((2π)/y)^(1/2)(1 + 1/(12y) + o(1/y)) quand y → + ∞

Deuxième partie

On considère dans cette partie la fonction F : ]0, + ∞[ → ℝ définie par
F(x) = ∫_1^(+ ∞)e^(− t/x)t^(− 1)dt
On va voir qu'une série divergente peut être utile pour calculer une valeur approchée de F en un point particulier.
4. Montrer que F est bien définie et de classe 𝒞^∞ sur ]0, + ∞[.
Pour N ∈ ℕ^∗ et x > 0, on pose
r_N(x), = (− 1)^N N!x^(N + 1)e^(− 1/x); S_N(x), = ∑_(k = 1)^N(− 1)^(k − 1)(k − 1)!x^k e^(− 1/x); R_N(x), = (− 1)^N N!x^N∫_1^(+ ∞)e^(− t/x)t^(− (N + 1))dt
  1. Montrer que, pour tout N ⩾ 1 et tout x > 0, F(x) = S_N(x) + R_N(x).
6a. Préciser le domaine de convergence de la série ∑_(k ⩾ 1)(− 1)^(k − 1)(k − 1) ! x^k et montrer que la suite (R_N(x))_(N ⩾ 1) n'est pas bornée.
6b. Montrer que, si N ∈ ℕ^∗ et x > 0,
|R_N(x)| ⩽ |r_N(x)|
En déduire que R_(N + 1)(x) = o(r_N(x)) quand x → 0.
6c. Montrer que le reste est de l'ordre du premier terme négligé, c'est-à-dire que pour tout N ⩾ 1,
R_N(x) ∼ r_N(x) quand x → 0
6d. Montrer que, pour 0 < x < 1/2, la suite (|r_N(x)|)_(N ⩾ 1) est décroissante jusqu'à un certain rang, puis croissante. (On ne demande pas de montrer cela pour la suite (|R_N(x)|)_(N ⩾ 1).)
Quand on utilise S_N(x) comme valeur approchée de F(x), on dit que l'erreur relative est
E_N(x) = |(R_N(x))/(F(x))|
7a. Montrer que, si N est pair : N = 2M avec M ⩾ 1, et si 0 < x ⩽ 1/N, on a S_N(x) ⩾ 0 et
E_N(x) ⩽ (N!x^(N + 1))/(∑_(ℓ = 0)^(M − 1)(1 − (2ℓ + 1)x)(2ℓ)!x^(2ℓ + 1))
7b. Vérifier que E_4(1/(10)) ⩽ 3.10^(− 3).

Troisième partie

Soit d ⩾ 1 un entier. On considère l'espace 𝒞_(per)(ℝ^d) des fonctions f : ℝ^d → ℂ continues et 1-périodiques en chacune de leurs variables, c'est-à-dire que si l'on note e_j les vecteurs de la base canonique de ℝ^d, on a
∀θ ∈ ℝ^d, ∀j ∈ {1, …, d}, f(θ + e_j) = f(θ)
𝒞_(per)(ℝ^d) est muni de la norme uniforme :
‖f‖_∞ = sup_(θ ∈ ℝ^d)|f(θ)|
On appelle polynôme trigonométrique (en d variables) toute fonction de la forme
θ = (θ_1, …, θ_d) ↦ ∑_(k ∈ K)c_k e^(2iπk ⋅ θ)
où K est une partie finie de ℤ^d et on a noté pour k = (k_1, …, k_d), k ⋅ θ = k_1 θ_1 + ⋯ + k_d θ_d le produit scalaire canonique sur ℝ^d; la norme associée est notée ‖k‖ = √(k_1^2 + ⋯ + k_d^2).
L'objectif de cette partie est de montrer que les polynômes trigonométriques en d variables sont denses dans 𝒞_(per)(ℝ^d), c'est-à-dire que si on se donne f ∈ 𝒞_(per)(ℝ^d) et ε > 0, il existe un polynôme trigonométrique Q tel que
‖f − Q‖_∞ ⩽ ε
On admet que ce résultat est vrai en dimension d = 1, et on va en déduire la preuve dans le cas de la dimension d = 2. On constatera qu'elle se généralise aisément à toutes les dimensions d ⩾ 2.
Dans toute la suite de cette partie, on se place donc en dimension d = 2. On introduit le sous-espace vectoriel 𝒞_(sep)(ℝ^2) de 𝒞_(per)(ℝ^2) constitué des fonctions de la forme
θ = (θ_1, θ_2) ↦ ∑_(i = 1)^n f_i(θ_1)g_i(θ_2),
où n ∈ ℕ^∗ et f_1, …, f_n, g_1, …, g_n ∈ 𝒞_(per)(ℝ).
8. Montrer que l'ensemble des polynômes trigonométriques en deux variables est dense dans 𝒞_(sep)(ℝ^2).
On considère, pour j ⩾ 2 un entier, la fonction ψ_j : ℝ → ℝ1-périodique définie sur ] − 1/2, 1/2] par
∀t ∈ ] − 1/2, 1/2], ψ_j(t) = max(0, 1 − j|t|)
En outre, pour les entiers 0 ⩽ k < j, on définit les fonctions ψ_(j, k) : ℝ → ℝ par
∀t ∈ ℝ, ψ_(j, k)(t) = ψ_j(t − k/j)
  1. Montrer que ψ_(j, k) ∈ 𝒞_(per)(ℝ).
  2. On se donne f ∈ 𝒞_(per)(ℝ^2) et j ⩾ 2 un entier, et on pose
S_j(f)(θ_1, θ_2) = ∑_(k_1 = 0)^(j − 1)∑_(k_2 = 0)^(j − 1)f((k_1)/j, (k_2)/j)ψ_(j, k_1)(θ_1)ψ_(j, k_2)(θ_2).
10a. Montrer que S_j(f) ∈ 𝒞_(sep)(ℝ^2) et coïncide avec f aux points ((ℓ_1)/j, (ℓ_2)/j) pour (ℓ_1, ℓ_2) ∈ ℤ^2.
10b. Soient j ⩾ 2, k_1 et k_2 deux entiers tels que 0 ⩽ k_1, k_2 < j, et
θ ∈ [(k_1)/j, (k_1 + 1)/j[ × [(k_2)/j, (k_2 + 1)/j[.
Exprimer Sj(f)(θ) comme un barycentre des points f((ℓ_1)/j, (ℓ_2)/j) où ℓ_1 ∈ {k_1, k_1 + 1} et ℓ_2 ∈ {k_2, k_2 + 1}. En déduire que ‖S_j(f) − f‖_∞ → 0 quand j → + ∞.
11. Conclure que l'ensemble des polynômes trigonométriques en deux variables est dense dans 𝒞_(per)(ℝ^2).

Quatrième partie

On se donne f : ℝ^2 → ℂ et g : ℝ^2 → ℝ^2 deux fonctions continues et 1 -périodiques en chacun de leurs arguments, et ω ∈ ℝ^2, x ∈ ℝ deux paramètres. On considère le problème suivant
{F^′(t) = f(α(t)); α^′(t) = ω + xg(α(t))
assorti des conditions initiales F(0) = 0 et α(0) = (0, 0), où α : ℝ → ℝ^2 et F : ℝ → ℂ sont les fonctions inconnues.
Si φ : ℝ^2 → ℂ est continue, on admet que
∫_0^1(∫_0^1 φ(θ_1, θ_2)dθ_1)dθ_2 = ∫_0^1(∫_0^1 φ(θ_1, θ_2)dθ_2)dθ_1
On note cette quantité ∫_0^1∫_0^1 φ(θ_1, θ_2)dθ_1 dθ_2 et on l'appelle moyenne de φ.
On suppose dans toute la suite que f est de moyenne nulle, c'est-à-dire
∫_0^1∫_0^1 f(θ_1, θ_2)dθ_1 dθ_2 = 0
On commence par supposer x = 0.
12. Déterminer l'unique solution (F, α) du système (3) avec conditions initiales F(0) = 0 et α(0) = (0, 0).
Le vecteur ω = (ω_1, ω_2) est dit résonnant s'il existe (k_1, k_2) ∈ ℤ^2∖{(0, 0)} tel que
k_1 ω_1 + k_2 ω_2 = 0
  1. Montrer que, si ω est résonnant, il existe une fonction f pour laquelle F(t) = t.
  2. Supposons que ω n'est pas résonnant.
14a. Montrer que, si f est un polynôme trigonométrique, alors F est bornée sur ℝ.
14b. Montrer que plus généralement, si f ∈ 𝒞_(per)(ℝ^2), alors F(t) = o(t) quand t → + ∞.
15. On suppose désormais x ≠ 0 (mais proche de 0 ). L'expression déterminée dans la question 12 n'est généralement plus une solution.
On suppose donnée une solution α : ℝ → ℝ^2 de classe 𝒞^1 : l'objectif de cette dernière question est d'en obtenir un développement asymptotique. Pour cela, on considère une nouvelle fonction inconnue α~ : ℝ → ℝ^2, de la forme
α~(t) = α(t) + xh(α(t)),
où h : ℝ^2 → ℝ^2 est une fonction auxiliaire judicieusement choisie. On cherche h qui soit 1périodique en chacun de ses arguments, de classe 𝒞^1 et de moyenne nulle, et que de plus, pour un certain ν ∈ ℝ^2, elle satisfasse l'équation
∀θ ∈ ℝ^2, dh(θ) ⋅ ω + g(θ) = ν.
(On a noté dh la différentielle de h ).
15a. Déterminer ν en fonction de g. Dans le cas où les deux composantes g_1 et g_2 de g sont des polynômes trigonométriques, en déduire l'existence d'une solution h de l'équation (4), que l'on explicitera.
Dans la suite, on suppose g de classe 𝒞^1, et on admet l'existence d'une telle solution h.
15b. Montrer qu'il existe une fonction ε : ℝ^2 → ℝ^2 telle que
α~^′(t) = ω + xν + xε(x, t)
et sup_(t ∈ ℝ)‖ε(x, t)‖ → 0 quand x → 0.
15c. Soit T > 0 fixé. Montrer qu'il existe une fonction η : ℝ^2 → ℝ^2 telle que
α(t) = (ω + xν)t + x(h(0, 0) − h(ωt)) + xη(x, t)
et sup_(t ∈ [0, T])‖η(x, t)‖ → 0 quand x → 0.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths B X ENS MP 2015 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths B X ENS MP 2015 ?

Sur la fonction Gamma : formule de Stirling à deux termes, approximation d'une intégrale par une série divergente, densité des polynômes trigonométriques en deux variables et trajectoires d'une équation différentielle sur le tore.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths B MP 2015 à l'X ?

La note moyenne est de 7,08 sur 20 avec un écart-type de 3,47, sur 1501 copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths B X MP 2015 ?

Une mauvaise compréhension de l'intégration des petits o, des études de fonction incomplètes, des développements limités dérivés terme à terme sans justification et l'application abusive du critère des séries alternées.

Combien de points rapportaient les premières questions du sujet X maths B 2015 ?

Selon le jury, traiter correctement tout le sujet jusqu'à la question 3c donnait 10,2 points sur 20, et les parties I et II entières assuraient plus de 16. Les questions 1 à 3c plus la partie III rapportaient 14,8 points.

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