X ENS Mathématiques B MP 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

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BanqueX-ENS Année2016 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales X-ENS MP Mathématiques X-ENS MP 2016 MP Mathématiques Mathématiques 2016

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Présentation du sujet

Difficile

Marche aléatoire à pas positifs et petit théorème de renouvellement

Le problème étudie une marche aléatoire à pas positifs, indépendants et de même loi, et montre que le temps moyen pour traverser un intervalle de longueur ℓ loin de l'origine est asymptotiquement ℓ/E, où E est l'espérance d'un pas. Il enchaîne probabilités, séries de fonctions, étude des parties de ]0, +∞[ stables par addition, puis une démonstration du théorème limite.

1Première partie : notations et premiers résultatsÉvénements liés à la marche, loi faible des grands nombres via Bienaymé-Tchebychev, inégalité de Markov, série géométrique et une première inégalité probabiliste délicate.
2Deuxième partie : une équation fonctionnelleConvergence d'une série de fonctions construite sur la marche, formule de transfert, unicité de la solution bornée d'une équation fonctionnelle et régularité de cette solution.
3Troisième partie : parties stables par additionPartie indépendante : une partie non vide de ]0, +∞[ stable par addition est contenue dans un réseau dZ ou est asymptotiquement dense, avec application aux limites de fonctions uniformément continues.
4Quatrième partie : le théorème de renouvellementFonctions vérifiant une propriété de moyenne, limite de la solution de l'équation fonctionnelle et conclusion sur le temps moyen de traversée.

Difficile. Le jury a attribué 18/20 à environ 50 % des points du barème, le meilleur candidat a traité 93 % du sujet et la quatrième partie a été très peu abordée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,71 / 20 · écart-type 3,75 · 1 492 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,71/ 20
Écart-type: 3,75
Copies: 1 492

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Événements supposés indépendants à tort · Confusion entre variables de même loi et indépendantes · Support et image confondus

La proportion de copies correctes est redevenue raisonnable en probabilités, mais la faiblesse sur les questions élémentaires d'analyse reste préoccupante, y compris chez les meilleurs. Le jury montre une nette corrélation entre la connaissance du cours (questions 1a à 3b) et la note finale. Il valorise les copies qui privilégient la qualité à la quantité et pénalise les réponses de quelques lignes à toutes les questions.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Événements supposés indépendants à tortQ3c
Des événements construits sur les mêmes variables ne sont pas indépendants simplement parce qu'ils font intervenir des paramètres différents ; la probabilité d'une intersection n'est pas majorée par le produit.
« les évènements (Sn−1 < x ≤ Sn) et (N(0, l) ≥ k) n'ont aucune raison d'être indépendants »
2
Confusion entre variables de même loi et indépendantesQ6a, Q7a
Pour appliquer la formule de transfert, il fallait choisir le bon couple de variables indépendantes.
« Les variables X et Sn ne sont pas a priori indépendantes, même si Xn+1 suit la même loi que X »
3
Support et image confondusQ4d
Certains confondent le support et l'image d'une fonction, ou pensent que f hérite du support compact de g.
« une fonction positive n'a, a priori, pas de raison d'avoir un support positif. »
4
Suite croissante supposée divergenteQ7b
Une suite strictement croissante ne tend pas forcément vers l'infini, et un passage à la limite sous l'espérance doit être justifié.
« Une erreur courante était d'écrire que (Sn) tend vers +∞ puisqu'elle est strictement croissante »
5
Analyse élémentaire fragileQ9a, Q9c
Majoration uniforme sur un compact, interversion dérivée et somme infinie : ces questions d'analyse ont très peu été réussies.
« n'a été réussie que par 11% des candidats. »
6
Continuité uniforme mal maîtriséeQ9b, Q12b
La continuité uniforme sur tout segment n'entraîne pas la continuité uniforme sur R ; il fallait revenir à la définition.
« la plupart des candidats maîtrisent mal la notion de continuité uniforme. »

Ce qui a été bien réussi

La question 4a a été réussie par presque tous les candidats, et la question 4c a été très bien réussie.
Le jury est agréablement surpris par le bon taux de réussite à la question 4b.
La question 10a a été réussie par près de 80 % des candidats.
Les candidats savent en général ce qu'ils peuvent faire avec des variables aléatoires indépendantes (question 3a).

Conseils du jury

Redémontrer les résultats de cours demandés en début d'épreuve, comme la loi faible des grands nombres à partir de Bienaymé-Tchebychev.
Rédiger une double inclusion en entier plutôt que conclure après une seule inclusion.
Justifier toute interversion entre limite, espérance et somme infinie.
Préférer une réponse complète à quelques questions plutôt que des tentatives de quelques lignes sur tout le sujet ; poser des hypothèses restrictives en le disant est accepté.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.
On considère une variable aléatoire

X

discrète définie sur un espace probabilisé (

Ω, 𝒜, ℙ

) dont la loi est donnée par :

\foralli \in ℕ, ℙ(X = x_i) = p_i ⩾ 0 avec \sum_(i = 0)^(+ \infty)p_i = 1

et où

(x_i)_(i ⩾ 0)

est une suite de réels strictement positifs distincts. On suppose que

X

admet une espérance finie notée

m:=𝔼(X) > 0

.
Soit

(X_k)_(k ⩾ 1)

une suite de variables aléatoires définies sur (

Ω, 𝒜, ℙ

), indépendantes et identiquement distribuées, de même loi que

X

. On note

(S_k)_(k ⩾ 0)

ses sommes partielles définies par

S_0 = 0, et pour n ⩾ 1, S_n = \sum_(k = 1)^n X_k

L'objet de ce problème est l'étude du nombre (aléatoire) d'éléments de la suite

(S_n)_(n ⩾ 0)

qui appartiennent à l'intervalle

[a, b]

, défini pour

ω \in Ω

par

𝟙N(a, b)(ω) = Card{k ∈ ℕ|S_k(ω) ∈ [a, b]} = ∑_(k = 0)^(+ ∞)𝟙_((S_k ∈ [a, b]))(ω),

et en particulier le comportement de

N(a, b)

quand

a

b

tendent vers l'infini.

Première partie

1a. Justifier que pour tous

ℓ ⩾ 0

n \in ℕ, (N(0, ℓ) = n + 1) = (S_n ⩽ ℓ < S_(n + 1))

à un ensemble négligeable près. En déduire que, à des ensembles négligeables près,

(S_n ⩽ ℓ) = (N(0, ℓ) ⩾ n + 1) et (S_n ⩾ ℓ) \subset (N(0, ℓ) ⩽ n + 1)

1b. On suppose dans cette question que

X

admet de plus une variance finie

V

. Montrer alors que

\forallε > 0, \foralln ⩾ 1, ℙ(S_n ⩽ n(m - ε)) ⩽ V/(ε^2 n)

Soit $Y$ une variable aléatoire à valeurs dans $ℕ$ presque sûrement, et qui admet une espérance. Montrer que

𝔼(Y) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)ℙ(Y ⩾ k).

3a. Montrer que pour tous

n \in ℕ

ℓ ⩾ 0

ℙ(S_n ⩽ ℓ) ⩽ 𝔼(exp(ℓ - S_n)),

puis que

ℙ(S_n ⩽ ℓ) ⩽ e^ℓ 𝔼(exp(- X))^n.

3b. En déduire que

ℙ(S_n ⩽ ℓ)

tend vers 0 quand

n \to + \infty

et que

𝔼(N(0, ℓ)) ⩽ (e^ℓ)/(1 - 𝔼(exp(- X))).

3c. Montrer que pour tous

x \in ℝ, ℓ ⩾ 0, k \in ℕ^*

n \in ℕ^*

ℙ(S_(n - 1) < x ⩽ S_n, N(x, x + ℓ) ⩾ k) ⩽ ℙ(S_(n - 1) < x ⩽ S_n)ℙ(N(0, ℓ) ⩾ k),

puis que

𝔼(N(x, x + ℓ)) ⩽ (e^ℓ)/(1 - 𝔼(exp(- X))).

Deuxième partie

Soit

f : ℝ \to ℝ

une fonction. Si

f

est bornée, on note

‖f‖_\infty = sup_(x \in ℝ)|f(x)|

sa norme uniforme. On appelle support de

f

l'adhérence de

{x \in ℝ|f(x) \neq 0}

. En particulier, si

x

n'appartient pas au support de

f

, alors

f(x) = 0

Soit

K > 0

g : ℝ \to ℝ

une fonction positive bornée à support dans [

0, K

]. On va étudier la suite de fonctions

f_n : ℝ \to ℝ

définies pour

n ⩾ 0

par

f_n(x) = \sum_(k = 0)^n 𝔼(g(x - S_k)).

4a. Montrer que pour tout

x \in ℝ

, la suite

(f_n(x))_(n ⩾ 0)

est croissante. On note

f(x)

sa limite dans

ℝ \cup { + \infty}

4b. Montrer que si

𝟙 g = 𝟙_([0, K])

, alors

f(x) = 𝔼(N(x - K, x))

.
4c. En déduire que pour tous

x \in ℝ

n \in ℕ

0 ⩽ f_n(x) ⩽ ‖g‖_\infty(e^K)/(1 - 𝔼(exp(- X))).

4d. Conclure que la suite de fonctions

f_n

converge simplement vers une fonction

f

positive, bornée et dont le support est inclus dans

ℝ^+

.
5. Soit

Y

une variable aléatoire discrète, indépendante de

X

, et

φ : ℝ^2 \to ℝ

une fonction bornée. Montrer que

𝔼(φ(X, Y)) = \sum_(i = 0)^(+ \infty)p_i 𝔼(φ(x_i, Y))

6a. Montrer que pour tous

n \in ℕ

x \in ℝ

f_(n + 1)(x) = g(x) + \sum_(i = 0)^(+ \infty)p_i f_n(x - x_i)

6b. Montrer que la fonction

f

vérifie l'égalité suivante sur

ℝ

f(x) = g(x) + \sum_(i = 0)^(+ \infty)p_i f(x - x_i)

Soit $h : ℝ \to ℝ$ une fonction bornée qui vérifie $h(x) = \sum_(i = 0)^(+ \infty)p_i h(x - x_i)$ pour tout $x \in ℝ$ .

7a. Montrer que pour tous

x \in ℝ

n \in ℕ

, on a

h(x) = 𝔼(h(x - S_n))

.
7b. En déduire que si de plus le support de

h

est inclus dans

ℝ^+

, alors pour tout

x \in ℝ, h(x) = 0

.
7c. Conclure qu'il existe une unique fonction bornée à support dans

ℝ^+

solution de

(E)

.
8a. Montrer que l'ensemble

Λ_X:=⋃_(n ∈ ℕ){y ∈ ℝ|ℙ(S_n = y) > 0}

est dénombrable et inclus dans

ℝ^+

.
On se donne une énumération de cet ensemble :

Λ_X = {y_i|i ∈ ℕ}

.
8b. Montrer que pour tout

x \in ℝ

f_n(x) = \sum_(k = 0)^n\sum_(i = 0)^(+ \infty)ℙ(S_k = y_i)g(x - y_i)

8c. En déduire qu'il existe une suite de réels positifs

(q_i)_(i ⩾ 0)

telle que pour tout

x \in ℝ

f(x) = \sum_(i = 0)^(+ \infty)q_i g(x - y_i), et \sum_(i \in ℕ, y_i \in [x - K, x])q_i = 𝔼(N(x - K, x)).

9a. Dans la formule précédente, montrer que la convergence de la série est normale sur tout segment de

ℝ

. On pourra utiliser la question 3c,

9b. On suppose que

g

est continue. Montrer que

f

est uniformément continue.
9c. On suppose que

g

est de classe

𝒞^1

. Montrer que

g^'

bornée. En déduire que

f

est de classe

𝒞^1

, que

f^'

est bornée et uniformément continue et que pour tout

x \in ℝ

f^'(x) = g^'(x) + \sum_(i = 0)^(+ \infty)p_i f^'(x - x_i)

Troisième partie

Soit

Λ

un sous-ensemble non vide de

ℝ_*^+

tel que

\forall(x, y) \in Λ^2, x + y \in Λ.

On dit que

Λ

est stable par addition.

10a. Montrer si

(x, y) \in Λ^2, (k, n) \in ℕ \times ℕ^*

k ⩽ n

, alors

nx + k(y - x) \in Λ

.
On définit

Γ = {z ∈ ℝ_+^∗|∃(x, y) ∈ Λ, z = y − x}, et r(Λ) = infΓ.

10b. Donner deux exemples de tels ensembles

Λ

, l'un pour lequel

r(Λ) > 0

et l'autre pour lequel

r(Λ) = 0

.
11. Dans cette question, on suppose que

r(Λ) > 0

11a. Montrer qu'il existe

(a, b) \in Λ^2

tels que

b - a \in [r(Λ), 2r(Λ)[

.
On note

d = b - a

.
11b. Soient

k, n \in ℕ

tels que

k ⩽ n - 1

. Montrer que

Λ \cap [na + kd, na + (k + 1)d] = {na + kd, na + (k + 1)d}

11c. Montrer qu'il existe

n_0 \in ℕ

tel que

n_0 a + n_0 d > (n_0 + 1)a

puis qu'il existe

k \in ℕ

tel que

a = kd

.
11d. En déduire que

Λ \subset dℤ

, où

dℤ = {kd|k \in ℤ}

.
12. On suppose maintenant que

r(Λ) = 0

12a. Soit

η > 0

. Montrer qu'il existe

A ⩾ 0

tel que pour pour tout

x > A

Λ \cap [x, x + η] \neq \emptyset

12b. Soit

f : ℝ \to ℝ

une fonction uniformément continue. On suppose que pour toute suite

(x_n)_(n ⩾ 0)

à valeurs dans

Λ

telle que

x_n \to + \infty, f(x_n) \to 0

quand

n \to + \infty

. Montrer que

f(x) \to 0

quand

x \to + \infty

Quatrième partie

On suppose dans cette partie que pour tout

d ⩾ 0

ℙ(X \in dℤ) < 1

On considère une fonction $h$ uniformément continue et bornée sur $ℝ$ telle que pour tout $x \in ℝ$ , $h(x) ⩽ h(0)$ et

h(x) = \sum_(i = 0)^(+ \infty)p_i h(x - x_i)

On rappelle que pour tous

x \in ℝ

n \in ℕ, h(x) = 𝔼(h(x - S_n))

(question 7a).
13a. Montrer que pour tout

n \in ℕ

x ⩾ 0

tels que

ℙ(S_n = x) > 0

, on a

h(- x) = h(0)

.
13b. Montrer que l'ensemble

Λ_X

défini à la question

8a

est stable par addition et que

r(Λ_X) = 0

.
13c. En déduire que

h(- x) \to h(0)

quand

x \to + \infty

.
13d. Conclure que

h

est une fonction constante.
On suppose dans toute la suite que

g

est de classe

𝒞^1

, à support dans

[0, K]

avec

K > 0

. On rappelle que

f

est la limite croissante des fonctions

f_n

et l'unique solution bornée et uniformément continue de l'équation (E).

14a. Prouver que la fonction

x \mapsto sup_(t ⩾ x)f^'(t)

admet une limite finie quand

x \to + \infty

. On note

c:=lim_(x \to + \infty)sup_(t ⩾ x)f^'(t)

14b. Montrer qu'il existe une suite

y_n \to + \infty

telle que

f^'(y_n) \to c

quand

n \to + \infty

.
On admet qu'il existe une sous-suite

(t_k)_(k ⩾ 0)

(y_n)_(n ⩾ 0)

telle que la suite de fonctions

(ξ_k)_(k ⩾ 0)

définies par

ξ_k : ℝ \to ℝ, t \mapsto ξ_k(t) = f^'(t + t_k)

converge uniformément sur tout segment de

ℝ

vers une fonction notée

ξ

.
14c. Montrer que

ξ

est constante, égale à

c

.
14d. Conclure que

c = 0

.
On montrerait de même que

lim_(x \to + \infty)inf_(t ⩾ x)f^'(t) = 0

, résultat que l'on admet dans toute la suite.
14e. En déduire que

f^'(t) \to 0

quand

t \to + \infty

.
14f. Montrer alors que pour tout

ℓ ⩾ 0, f(t + ℓ) - f(t) \to 0

quand

t \to + \infty

.
On suppose dans toute la suite de cette partie que seul un nombre fini de

p_i

sont strictement positifs, et on pose

g_0(x) = {ℙ(X > x), si x ⩾ 0; 0, si x < 0

On admet que

g_0

est continue par morceaux et à support dans un segment de

ℝ^+

, intégrable sur

ℝ

, et que

\int_0^(+ \infty)g_0(t)dt = 𝔼(X)

.
On note

ℱ

l'ensemble des fonctions positives, bornées et à support dans un segment de

ℝ^+

. En utilisant la deuxième partie, pour tout

g \in ℱ

, on note

Lg

l'unique solution de

(E)

bornée à support dans

ℝ^+

Nous dirons que la suite

(t_k)_(k ⩾ 0)

satisfait la propriété (

𝒫

) si

t_k \to + \infty

et s'il existe une fonction continue bornée

μ : ℝ^+ \to ℝ^+

, telle que pour toute fonction

g

ℱ

continue par morceau,

Lg(t_k) \to \int_0^(+ \infty)g(t)μ(t)dt quand k \to + \infty

On admet que pour toute suite

(x_n)_(n ⩾ 0)

tendant vers l'infini, il existe une sous suite

(t_k)_(k ⩾ 0)

(x_n)_(n ⩾ 0)

qui satisfait la propriété (

𝒫

).
15a. Montrer, en utilisant la question 14f que pour tous

g \in ℱ \cap 𝒞^1(ℝ, ℝ^+)

ℓ ⩾ 0

\int_0^(+ \infty)g(t)(μ(t + ℓ) - μ(t))dt = 0

15b. En déduire que

μ

est constante.
16a. Montrer que

Lg_0(x) = 1

pour

x ⩾ 0

Lg_0(x) = 0

pour

x < 0

.
16b. En déduire que

μ(t) = 1/(𝔼(X))

pour tout

t ⩾ 0

.
17. Conclure que pour tout

g

ℱ

continue par morceaux,

\sum_(k = 0)^(+ \infty)𝔼(g(x - S_k)) \to 1/(𝔼(X))\int_(- \infty)^(+ \infty)g(t)dt quand x \to + \infty

Soit $ℓ > 0$ fixé. Déterminer le comportement de $𝔼(N(x, x + ℓ))$ quand $x \to + \infty$ . Interpréter le résultat. Ce résultat est-il vrai s'il existe $d > 0$ tel que $ℙ(X \in dℤ) = 1$ ?

Questions fréquentes

4 questions

Quelle est la moyenne de l'épreuve X Maths B MP 2016 ?

Le rapport donne une moyenne de 8,71 sur 1492 copies, avec un écart-type de 3,75.

Sur quels chapitres porte le sujet X-ENS Maths B MP 2016 ?

Sur les probabilités discrètes (indépendance, espérance, inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, formule de transfert), les séries de fonctions, la continuité uniforme et les propriétés de la borne inférieure.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en X Maths B MP 2016 ?

Des indépendances d'événements affirmées sans raison, la confusion entre support et image, des interversions limite-somme non justifiées et une mauvaise maîtrise de la continuité uniforme.

Comment était noté le sujet X Maths B MP 2016 ?

Les parties 1 à 4 pesaient 17 %, 33 %, 17 % et 33 % du barème, et la note de 18/20 correspondait à environ 50 % des points. Traiter les parties 1 et 2 en entier donnait 17.7 sur 20.

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