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Sujet Polytechnique Mathématiques 1 MP 2003

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CONCOURS D'ADMISSION 2003

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Propriétés asymptotiques des solutions

d'une équation différentielle

On désigne par
  • E l'espace vectoriel des fonctions complexes continues bornées sur l'intervalle J = [1, + ∞[, muni de la norme f ↦ ‖f‖ = sup_(t ∈ J)|f(t)|;
  • L(E) l'espace vectoriel des endomorphismes continus de E, muni de la norme
A ↦ ‖A‖ = sup_(‖f‖ = 1)‖A(f)‖;
  • I_E l'endomorphisme identité de E;
  • Δ le sous-ensemble de R^2 formé des couples (t, τ) vérifiant 1 ⩽ t ⩽ τ.

Première partie

Dans cette partie on désigne par k une fonction complexe continue bornée sur Δ et on pose ‖k‖ = sup_((t, τ) ∈ Δ)|k(t, τ)|.
  1. Vérifier que, pour toute fonction u de E, la fonction t ↦ ∫_t^∞k(t, τ)u(τ)(dτ)/(τ^2) est bien définie sur J et appartient à E.
  2. Vérifier que, si l'on note A(u) la fonction ainsi définie, on définit un élément A de L(E); comparer ‖A‖ et ‖k‖.
  3. Déterminer une constante K ⩾ 0 telle que l'on ait, pour tout n ⩾ 0 et tout t ∈ J
|(A^n(u))(t)| ⩽ (K^n‖u‖)/(n!t^n).
  1. Montrer que la série ∑_(n = 0)^(+ ∞)A^n est convergente dans L(E), et calculer le produit (I_E − A)∑_(n = 0)^(+ ∞)A^n.
On fixe une fonction u_0 de E et on considère l'équation intégrale
u(t) = u_0(t) + ∫_t^∞k(t, τ)u(τ)(dτ)/(τ^2)
où u est une fonction inconnue dans E.
5. Quel est le nombre de solutions de (1)?

Deuxième partie

On s'intéresse maintenant à l'équation (1) où l'on prend
u_0(t) = e^(εit), k(t, τ) = λsin(t − τ)
(ε ∈ { +, − }, λ ∈ C). On note u_ε sa solution.
6. Montrer que u_ε est de classe C^∞.
7. Vérifier que u_ε est solution sur J de l'équation différentielle
u^(′′)(t) + (1 + λ/(t^2))u(t) = 0
  1. Le couple ( u_+, u_−) est-il une base de l'espace vectoriel des solutions de (2) dans E ?

Troisième partie

On se propose d'étudier le comportement asymptotique de la fonction u = u_+lorsque t → + ∞. On dit qu'une fonction f de E admet un développement asymptotique à l'ordre k ⩾ 0 s'il existe des constantes α_0, …, α_k telles que l'on ait
f(t) = ∑_(j = 0)^k α_j 1/(t^j) + O(1/(t^(k + 1)))
(ce qui signifie que la fonction t^(k + 1)(f(t) − ∑_(j = 0)^k α_j 1/(t^j)) est bornée).
On admettra qu'une telle famille (α_0, …, α_k), si elle existe, est unique. On dit qu'une fonction f de E admet un développement asymptotique à l'ordre ∞ si elle admet un développement asymptotique à tout ordre k.
9. On se propose ici de construire un développement asymptotique à l'ordre ∞ pour chacune des fonctions
φ_n(t) = e^(− it)∫_t^∞sin(t − τ)(e^(iτ))/(τ^(n + 2)) dτ (n entier ⩾ 0, t ∈ [1, + ∞[)
développement asymptotique que l'on écrira
φ_n(t) = ∑_(j = 1)^k α_(n, j)1/(t^(n + j)) + O(1/(t^(n + k + 1)))
a) Vérifier que, pour tout entier m ⩾ 1, on a ∫_t^∞(e^(iτ))/(τ^m) dτ = O(1/(t^m)).
b) Établir, pour tous entiers n ⩾ 0, k ⩾ 1, la formule
φ_n(t) = 1/((n + 1)!)[∑_(j = 1)^k((n + j − 1)!)/((2i)^j t^(n + j)) − ((n + k)!e^(− 2it))/((2i)^k)∫_t^∞(e^(2iτ))/(τ^(n + k + 1)) dτ]
c) Conclure.
10. On se propose maintenant de construire un développement asymptotique à l'ordre ∞ pour la fonction e^(− it)u(t); on a donc, par définition
u(t) = e^(it) + λ∫_t^∞sin(t − τ)u(τ)(dτ)/(τ^2)
On écrira ce développement asymptotique sous la forme
e^(− it)u(t) = ∑_(j = 0)^k γ_j 1/(t^j) + O(1/(t^(k + 1)))
a) Vérifier que l'on a
e^(− it)u(t) = 1 + O(1/t)
b) Supposant construits γ_0, …, γ_n, écrire γ_(n + 1) en fonction de γ_0, …, γ_n et des divers α_(p, q).
c) Vérifier que l'on a
γ_(n + 1) = 1/(2i)(n + λ/(n + 1))γ_n
d) Quel est le rayon de convergence de la série entière ∑_(n = 0)^(+ ∞)γ_n x^n ?

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