Sujet Polytechnique Mathématiques 1 MP 2003

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Propriétés asymptotiques des solutions d'une équation différentielle induite par une équation intégrale

Le sujet étudie une équation intégrale sur l'espace des fonctions complexes continues bornées sur [1,+∞[, résolue à l'aide d'une série d'opérateurs. Il montre ensuite qu'un cas particulier de cette équation intégrale induit une équation différentielle linéaire du second ordre, puis étudie le comportement asymptotique de ses solutions par des développements à tout ordre.

1Partie I : étude d'un opérateur intégralConstruction d'un opérateur A sur l'espace des fonctions bornées continues et résolution de l'équation intégrale associée par une série d'opérateurs.
2Partie II : de l'équation fonctionnelle à l'équation différentielleÉtude d'un cas particulier de l'équation intégrale et démonstration qu'il induit une équation différentielle linéaire du second ordre.
3Partie III : comportement asymptotique des solutionsConstruction de développements asymptotiques à tout ordre des solutions de l'équation différentielle.

Accessible. Le rapport qualifie ce problème de très abordable, avec une moyenne de 10,34/20 sur 1450 candidats français (écart-type 4,29), même s'il comportait des subtilités que peu d'étudiants ont su percevoir.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,34 / 20 · écart-type 4,29 · 1 450 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,34/ 20
Écart-type: 4,29
Copies: 1 450

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Continuité d'une intégrale à paramètre non identifiée comme difficulté · Convergence normale insuffisamment justifiée · Caractère C-infini des solutions souvent mal traité

Le jury juge ce sujet très abordable, avec peu de difficultés réellement importantes : il s'agissait surtout de repérer certains points nécessitant d'être établis avec discernement plutôt que d'affronter des calculs complexes. Les techniques classiques d'analyse sont généralement maîtrisées, mais le passage à un cadre un peu plus délicat (espaces de dimension infinie, intégrales à paramètre) suscite trop rarement la prudence des candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Continuité d'une intégrale à paramètre non identifiée comme difficulté
Dans la première partie, la principale difficulté consistait à montrer la continuité d'une intégrale généralisée dépendant d'un paramètre. Très peu de candidats ont vu qu'il y avait là une réelle difficulté.
2
Convergence normale insuffisamment justifiéeQ4
À la question 4, si la plupart des candidats ont vu qu'il s'agissait d'une convergence normale, peu ont justifié que celle-ci entraînait la convergence, alors qu'on se trouvait dans un espace complet, ce qui était pourtant un point central.
3
Caractère C-infini des solutions souvent mal traitéQ6
La question demandant de montrer que les solutions de l'équation fonctionnelle sont de classe C-infini a souvent été mal traitée.
4
Majoration grossière au lieu d'une intégration par partiesQ9a
La question 9.a) nécessitait une intégration par parties. Un nombre important de candidats se sont contentés d'une majoration grossière, puis ont effectué une comparaison absurde sans sourciller ; le jury s'est montré particulièrement sévère face à ce choix.
5
Question ouverte déduite d'une question ferméeQ10b-Q10c
Certains candidats ont tenté de trouver la réponse à la question ouverte 10.b) à partir de la question fermée 10.c) qu'elle était censée permettre d'établir, ce qui provoquait souvent des erreurs.

Ce qui a été bien réussi

Les candidats ont fait preuve d'une grande aisance pour utiliser des raisonnements classiques d'analyse.
La plupart des candidats ont bien vu, à la question 4, qu'il s'agissait d'une convergence normale.
La troisième partie, largement composée de questions fermées, a pu être abordée par de nombreux candidats même sans avoir traité les parties précédentes.

Conseils du jury

Se méfier des cadres un peu plus délicats, comme les espaces vectoriels normés de dimension infinie ou les intégrales généralisées dépendant d'un paramètre, qui demandent davantage de prudence.
Ne pas se contenter d'une majoration grossière quand l'énoncé appelle une méthode précise, comme une intégration par parties.
Justifier chaque étape d'un raisonnement plutôt que de chercher à forcer le résultat attendu d'une question fermée.
Ne pas déduire la réponse d'une question ouverte à partir d'une question fermée censée en découler.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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CONCOURS D'ADMISSION 2003

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Propriétés asymptotiques des solutions

d'une équation différentielle

On désigne par

E l'espace vectoriel des fonctions complexes continues bornées sur l'intervalle $J = [1, + \infty[$ , muni de la norme $f \mapsto ‖f‖ = sup_(t \in J)|f(t)|$ ;
$L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes continus de $E$ , muni de la norme

A \mapsto ‖A‖ = sup_(‖f‖ = 1)‖A(f)‖;

$I_E$ l'endomorphisme identité de $E$ ;
$Δ$ le sous-ensemble de $R^2$ formé des couples $(t, τ)$ vérifiant $1 ⩽ t ⩽ τ$ .

Première partie

Dans cette partie on désigne par

k

une fonction complexe continue bornée sur

Δ

et on pose

‖k‖ = sup_((t, τ) \in Δ)|k(t, τ)|

Vérifier que, pour toute fonction $u$ de $E$ , la fonction $t \mapsto \int_t^\inftyk(t, τ)u(τ)(dτ)/(τ^2)$ est bien définie sur $J$ et appartient à $E$ .
Vérifier que, si l'on note $A(u)$ la fonction ainsi définie, on définit un élément $A$ de $L(E)$ ; comparer $‖A‖$ et $‖k‖$ .
Déterminer une constante $K ⩾ 0$ telle que l'on ait, pour tout $n ⩾ 0$ et tout $t \in J$

|(A^n(u))(t)| ⩽ (K^n‖u‖)/(n!t^n).

Montrer que la série $\sum_(n = 0)^(+ \infty)A^n$ est convergente dans $L(E)$ , et calculer le produit $(I_E - A)\sum_(n = 0)^(+ \infty)A^n$ .

On fixe une fonction

u_0

E

et on considère l'équation intégrale

u(t) = u_0(t) + \int_t^\inftyk(t, τ)u(τ)(dτ)/(τ^2)

où

u

est une fonction inconnue dans

E

.
5. Quel est le nombre de solutions de (1)?

Deuxième partie

On s'intéresse maintenant à l'équation (1) où l'on prend

u_0(t) = e^(εit), k(t, τ) = λsin(t - τ)

(ε \in { +, - }, λ \in C)

. On note

u_ε

sa solution.
6. Montrer que

u_ε

est de classe

C^\infty

.
7. Vérifier que

u_ε

est solution sur

J

de l'équation différentielle

u^('')(t) + (1 + λ/(t^2))u(t) = 0

Le couple ( $u_+, u_-$ ) est-il une base de l'espace vectoriel des solutions de (2) dans $E$ ?

Troisième partie

On se propose d'étudier le comportement asymptotique de la fonction

u = u_+

lorsque

t \to + \infty

. On dit qu'une fonction

f

E

admet un développement asymptotique à l'ordre

k ⩾ 0

s'il existe des constantes

α_0, \dots, α_k

telles que l'on ait

f(t) = \sum_(j = 0)^k α_j 1/(t^j) + O(1/(t^(k + 1)))

(ce qui signifie que la fonction

t^(k + 1)(f(t) - \sum_(j = 0)^k α_j 1/(t^j))

est bornée).
On admettra qu'une telle famille

(α_0, \dots, α_k)

, si elle existe, est unique. On dit qu'une fonction

f

E

admet un développement asymptotique à l'ordre

\infty

si elle admet un développement asymptotique à tout ordre

k

.
9. On se propose ici de construire un développement asymptotique à l'ordre

\infty

pour chacune des fonctions

φ_n(t) = e^(- it)\int_t^\inftysin(t - τ)(e^(iτ))/(τ^(n + 2)) dτ (n entier ⩾ 0, t \in [1, + \infty[)

développement asymptotique que l'on écrira

φ_n(t) = \sum_(j = 1)^k α_(n, j)1/(t^(n + j)) + O(1/(t^(n + k + 1)))

a) Vérifier que, pour tout entier

m ⩾ 1

, on a

\int_t^\infty(e^(iτ))/(τ^m) dτ = O(1/(t^m))

.
b) Établir, pour tous entiers

n ⩾ 0, k ⩾ 1

, la formule

φ_n(t) = 1/((n + 1)!)[\sum_(j = 1)^k((n + j - 1)!)/((2i)^j t^(n + j)) - ((n + k)!e^(- 2it))/((2i)^k)\int_t^\infty(e^(2iτ))/(τ^(n + k + 1)) dτ]

c) Conclure.
10. On se propose maintenant de construire un développement asymptotique à l'ordre

\infty

pour la fonction

e^(- it)u(t)

; on a donc, par définition

u(t) = e^(it) + λ\int_t^\inftysin(t - τ)u(τ)(dτ)/(τ^2)

On écrira ce développement asymptotique sous la forme

e^(- it)u(t) = \sum_(j = 0)^k γ_j 1/(t^j) + O(1/(t^(k + 1)))

a) Vérifier que l'on a

e^(- it)u(t) = 1 + O(1/t)

b) Supposant construits

γ_0, \dots, γ_n

, écrire

γ_(n + 1)

en fonction de

γ_0, \dots, γ_n

et des divers

α_(p, q)

.
c) Vérifier que l'on a

γ_(n + 1) = 1/(2i)(n + λ/(n + 1))γ_n

d) Quel est le rayon de convergence de la série entière

\sum_(n = 0)^(+ \infty)γ_n x^n

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le premier sujet de mathématiques MP de l'X 2003 ?

Il porte sur une équation intégrale sur un espace de fonctions bornées, son lien avec une équation différentielle, et le développement asymptotique des solutions : intégrales à paramètre, séries d'opérateurs, équations différentielles et développements asymptotiques.

Ce sujet de maths MP Polytechnique 2003 est-il difficile ?

Le rapport le qualifie de très abordable, avec une moyenne de 10,34/20 sur 1450 candidats français, même s'il comportait des subtilités que peu d'étudiants ont perçues.

Faut-il traiter les trois parties du sujet X maths MP 2003 dans l'ordre ?

Non, le rapport indique que la troisième partie, composée de nombreuses questions fermées, pouvait être abordée sans avoir traité les parties précédentes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus sévèrement sanctionnées dans ce sujet X maths MP 2003 ?

Les raisonnements forcés pour aboutir artificiellement au résultat attendu d'une question fermée, notamment en se contentant d'une majoration grossière là où une intégration par parties était nécessaire.

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Commentaires• Polytechnique Mathématiques 1 MP 2003

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