Polytechnique Mathématiques 2 MP 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

Trigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents.

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BanqueX-ENS Année2003 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales X-ENS MP Mathématiques X-ENS MP 2003 MP Mathématiques Mathématiques 2003

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Présentation du sujet

Difficile

Trigonalisation simultanée d'un groupe d'endomorphismes unipotents

Le problème établit un théorème de trigonalisation simultanée des éléments d'un groupe d'endomorphismes unipotents. Il part de l'étude du commutant de matrices orthogonales, puis introduit la notion de partie irréductible de L(E) avant de démontrer, pour un sous-groupe d'éléments unipotents, l'existence d'une base commune de trigonalisation.

1Première partieÉtude du commutant de matrices diagonales puis de SO(n,R) dans M(n,R).
2Deuxième partieNotion de partie irréductible de L(E) et commutant d'une partie irréductible dans le cas complexe.
3Troisième partieEndomorphismes unipotents, sous-algèbre engendrée par un sous-groupe unipotent et démonstration du théorème de trigonalisation simultanée.
4Quatrième partieDémonstration par l'absurde du résultat admis à la question 12, à l'aide de projecteurs et d'applications linéaires auxiliaires.

Difficile. Le rapport indique que certaines questions étaient difficiles voire très difficiles, plusieurs questions de la dernière partie ayant été très peu abordées ou mal réussies, pour une moyenne de 9,32/20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,32 / 20 · écart-type 3,81 · 1 450 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,32/ 20
Écart-type: 3,81
Copies: 1 450

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Oubli de vérifier l'orthonormalité de la base · Confusion sur le corps de base · Question 13 mal posée par récurrence

L'épreuve a été dans l'ensemble réussie, mais certaines questions, en particulier en fin de sujet, se sont révélées difficiles voire très difficiles : une dizaine de candidats seulement a traité complètement les questions 16 et 17. Les meilleurs candidats ont su manipuler des notions abstraites comme le passage au quotient, les projecteurs et les polynômes d'endomorphismes, tandis que les étudiants limités au calcul matriciel ont souffert dès la troisième partie.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Oubli de vérifier l'orthonormalité de la baseQ4
À la question 4, de nombreux candidats construisent une base adaptée sans préciser qu'elle est orthonormale, ou utilisent des endomorphismes dont le déterminant ne vaut pas 1.
2
Confusion sur le corps de baseQ7
À la question 7, un tiers des candidats invoque à tort le contre-exemple de la question 3.b, sans percevoir que la preuve de la question 6 nécessite que le corps soit algébriquement clos.
3
Question 13 mal posée par récurrenceQ13
Beaucoup de candidats affirment ou admettent à tort que le groupe G est commutatif, ce qui ne leur rapporte aucun point ; d'autres posent mal la récurrence sur la dimension.
4
Erreur classique sur la décomposition en somme directeQ16
À la question 16, de nombreux candidats croient à tort qu'une décomposition en somme directe particulière est automatiquement vraie, ce qui leur fait perdre tous les points prévus au barème, y compris sur les questions suivantes.
5
Maniement délicat du projecteurQ17
À la question 17, jugée difficile, certains candidats ont la bonne intuition mais ne savent pas manier correctement le projecteur introduit en quatrième partie.
« onteulabonneintuitionetontcommencé »

Ce qui a été bien réussi

Les questions 15.a, 15.b et 18.a, 18.b, 18.c, plus faciles, ont été très bien réussies, même par des candidats médiocres.
Les meilleurs candidats ont développé des trésors d'ingéniosité qui ont fait plaisir aux correcteurs, notamment en passant au conjugué pour la structure hermitienne à la question 14.

Conseils du jury

Bien maîtriser les notions abstraites d'algèbre linéaire (passage au quotient, projecteurs, polynômes d'endomorphismes), au-delà du seul calcul matriciel.
Ne pas négliger les questions faciles mais un peu fastidieuses en début de sujet : elles rapportent des points difficiles à rattraper ensuite.
Vérifier systématiquement les hypothèses annexes d'un résultat (orthonormalité d'une base, déterminant, corps algébriquement clos) avant de l'appliquer.
Éviter les affirmations péremptoires non démontrées, en particulier sur des propriétés qui semblent triviales mais ne le sont pas.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Trigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents

Notations. On désignera par

K

le corps des réels ou celui des complexes; pour tout entier

n ⩾ 1

, on note

M(n, K)

l'espace des matrices à

n

-lignes et

n

-colonnes à coefficients dans

K

et on l'identifie à l'espace des endomorphismes de

K^n

. On note

SO(n, R)

le sous-ensemble de

M(n, R)

formé des matrices orthogonales de déterminant 1 .

La lettre

E

désignera toujours un

K

-espace vectoriel de dimension

n ⩾ 1; L(E)

désignera l'ensemble des endomorphismes de

E

GL(E)

désignera celui des endomorphismes inversibles. On dit qu'une partie

F

E

est laissée stable par un endomorphisme

T

si l'on a

T(F) \subset F

On appelle commutant d'une partie

X

d'une algèbre

Y

l'ensemble des éléments de

Y

qui commutent à tous les éléments de

X

Première partie

Soit $A$ une matrice de $M(n, R)$ , diagonale avec coefficients diagonaux $a_1, \dots, a_n$ ; on suppose qu'il existe deux indices $i$ et $j$ tels que $a_i \neq a_j$ . Vérifier que si une matrice $B$ commute à $A$ , on a $b_(i, j) = 0$ .
Déterminer le commutant de $SO(2, R)$ dans $M(2, R)$ .
3.a) Montrer que, si $n ⩾ 3$ , le commutant de $SO(n, R)$ dans $M(n, R)$ est formé de matrices diagonales.
b) Déterminer ce commutant.

Deuxième partie

Une partie

W

L(E)

sera dite irréductible si

{0}

E

sont les seuls sous-espaces vectoriels de

E

laissés stables par tous les éléments de

W

.
4. Vérifier que, si

E = R^n, n ⩾ 2, SO(n, R)

est irréductible.
5. Vérifier que, si deux éléments

A

B

L(E)

commutent, tout sous-espace propre de l'un deux est laissé stable par l'autre.
6. Montrer que, si

K = C

, le commutant d'une partie irréductible de

L(E)

est réduit aux multiples scalaires de l'endomorphisme identité,

id_E

.
7. Ce résultat subsiste-t-il lorsque

K = R

Troisième partie

Un élément

A

L(E)

est dit unipotent si

A - id_E

est nilpotent (c'est-à-dire s'il existe un entier

k > 0

tel que

(A - id_E)^k = 0)

On se propose de démontrer que, si

K = C

et si

G

est un sous-groupe de

GL(E)

formé d'éléments unipotents,

E

admet une base dans laquelle tous les éléments de

G

sont représentés par des matrices triangulaires supérieures avec coefficients diagonaux égaux à 1 .
8. Montrer que tout élément unipotent

A

est inversible, et déterminer la somme

\sum_(n ⩾ 0)(id_E - A)^n

.
9. Traiter le cas où

n = 2

et où

G

est l'ensemble des puissances d'un élément

g_0

. Dans ce cas, est-il nécessaire de supposer

K = C

On suppose maintenant

n ⩾ 1

. On rappelle que

K = C

.
10. Vérifier que le sous-espace vectoriel

W

L(E)

engendré par

G

est une sous-algèbre de

L(E)

.
11. Calculer

Tr(g - id_E), Tr(g), Tr((g - id_E)g^')

pour

g, g^' \in G

.
12. Supposant en outre

G

irréductible, montrer que

G

est réduit à

id_E

, et préciser la valeur de

n

.
[On pourra utiliser le résultat suivant, qui sera démontré dans la quatrième partie : si

K = C

et si

W

est une sous-algèbre de

L(E)

, irréductible et contenant id

_E

, alors

W = L(E)

].
13. Ne supposant plus

G

irréductible, démontrer l'existence d'un vecteur non nul

x

E

tel que

g(x) = x

pour tout

g \in G

.
14. Conclure.

Quatrième partie

Le but de cette partie est de démontrer le résultat admis à la question 12. Procédant par l'absurde, on suppose

W \neq L(E)

On fixe une base

(e_1, \dots, e_n)

E

et on identifie les éléments de

L(E)

à leurs matrices
représentatives dans cette base. Pour tout

i = 1, \dots, n

on désigne par

$V_i$ l'ensemble des matrices $A$ telles que $a_(k, ℓ) = 0$ si $ℓ \neq i$ ;
$L_i$ l'application de $E$ dans $V_i$ définie par

(L_i(x))_(k, ℓ) = δ_(i, ℓ)x_k;

$P_i$ l'application de $L(E)$ dans $V_i$ définie par

(P_i(A))_(k, ℓ) = δ_(i, ℓ)A_(k, i).

Enfin on note

Φ

l'application linéaire de

L(E)

dans

L(L(E)

) définie par

Φ(A)(B) = A \circ B.

Démontrer les assertions suivantes:
a) $V_i$ est invariant par tous les $Φ(A), A \in L(E)$ et $Φ(A)(L_i(x)) = L_i(A(x))$ .
b) $Φ(A) \circ P_i = P_i \circ Φ(A)$ .
c) $W \cap V_i$ est nul ou égal à $V_i$ .
Construire un sous-espace vectoriel $W^'$ de $L(E)$ , supplémentaire de $W$ et laissé stable par tous les $Φ(A), A \in L(E)$ .

On note

π

le projecteur de

L(E)

sur

W

parallèlement à

W^'

; pour

i, j = 1, \dots, n

, on pose

A_(i, j) = L_j^(- 1) \circ P_j \circ π \circ L_i \in L(E).

Montrer que $A_(i, j)$ est un multiple scalaire de $id_E$ , que l'on notera $a_(i, j)id_E$ .
Vérifier les égalités suivantes:
a) $π(id_E) = id_E$ .
b) $\sum_i L_i(e_i) = id_E$ .
c) $P_i(id_E) = L_i(e_i)$ .
Déterminer $a_(i, j)$ .
Conclure.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte la deuxième composition de mathématiques MP Polytechnique 2003 ?

Le sujet porte sur la trigonalisation simultanée d'un groupe d'endomorphismes unipotents, en mobilisant le commutant de matrices, la notion de partie irréductible et les sous-algèbres de L(E).

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 MP Polytechnique 2003 ?

Le jury relève des oublis de vérification (orthonormalité, corps algébriquement clos), des affirmations non démontrées sur la commutativité du groupe, et une erreur classique sur une décomposition en somme directe qui a fait perdre de nombreux points.

Ce sujet de maths 2 MP Polytechnique 2003 est-il difficile ?

Oui, le rapport signale des questions difficiles voire très difficiles en fin de sujet, pour une moyenne de 9,32/20 sur 1450 candidats, même si l'épreuve a été dans l'ensemble réussie.

Ce sujet de Polytechnique MP 2003 est-il accessible aux candidats qui ne maîtrisent que le calcul matriciel ?

Non, le rapport indique que les étudiants pour qui l'algèbre linéaire se limite au calcul matriciel ont souffert dès le début de la troisième partie du problème.

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