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Polytechnique Mathématiques 2 MP 2003

Trigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents.

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Algèbre linéaireRéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensNombres complexes et trigonométries, calculs, outils
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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
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Trigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents

Notations. On désignera par le corps des réels ou celui des complexes; pour tout entier , on note l'espace des matrices à -lignes et -colonnes à coefficients dans et on l'identifie à l'espace des endomorphismes de . On note le sous-ensemble de formé des matrices orthogonales de déterminant 1 .
La lettre désignera toujours un -espace vectoriel de dimension désignera l'ensemble des endomorphismes de et désignera celui des endomorphismes inversibles. On dit qu'une partie de est laissée stable par un endomorphisme si l'on a .
On appelle commutant d'une partie d'une algèbre l'ensemble des éléments de qui commutent à tous les éléments de .

Première partie

  1. Soit une matrice de , diagonale avec coefficients diagonaux ; on suppose qu'il existe deux indices et tels que . Vérifier que si une matrice commute à , on a .
  2. Déterminer le commutant de dans .
    3.a) Montrer que, si , le commutant de dans est formé de matrices diagonales.
    b) Déterminer ce commutant.

Deuxième partie

Une partie de sera dite irréductible si et sont les seuls sous-espaces vectoriels de laissés stables par tous les éléments de .
4. Vérifier que, si est irréductible.
5. Vérifier que, si deux éléments et de commutent, tout sous-espace propre de l'un deux est laissé stable par l'autre.
6. Montrer que, si , le commutant d'une partie irréductible de est réduit aux multiples scalaires de l'endomorphisme identité, .
7. Ce résultat subsiste-t-il lorsque ?

Troisième partie

Un élément de est dit unipotent si est nilpotent (c'est-à-dire s'il existe un entier tel que .
On se propose de démontrer que, si et si est un sous-groupe de formé d'éléments unipotents, admet une base dans laquelle tous les éléments de sont représentés par des matrices triangulaires supérieures avec coefficients diagonaux égaux à 1 .
8. Montrer que tout élément unipotent est inversible, et déterminer la somme .
9. Traiter le cas où et où est l'ensemble des puissances d'un élément . Dans ce cas, est-il nécessaire de supposer ?
On suppose maintenant . On rappelle que .
10. Vérifier que le sous-espace vectoriel de engendré par est une sous-algèbre de .
11. Calculer pour .
12. Supposant en outre irréductible, montrer que est réduit à , et préciser la valeur de .
[On pourra utiliser le résultat suivant, qui sera démontré dans la quatrième partie : si et si est une sous-algèbre de , irréductible et contenant id , alors ].
13. Ne supposant plus irréductible, démontrer l'existence d'un vecteur non nul de tel que pour tout .
14. Conclure.

Quatrième partie

Le but de cette partie est de démontrer le résultat admis à la question 12. Procédant par l'absurde, on suppose .
On fixe une base de et on identifie les éléments de à leurs matrices
représentatives dans cette base. Pour tout on désigne par
  • l'ensemble des matrices telles que si ;
  • l'application de dans définie par
  • l'application de dans définie par
Enfin on note l'application linéaire de dans ) définie par
  1. Démontrer les assertions suivantes:
    a) est invariant par tous les et .
    b) .
    c) est nul ou égal à .
  2. Construire un sous-espace vectoriel de , supplémentaire de et laissé stable par tous les .
On note le projecteur de sur parallèlement à ; pour , on pose
  1. Montrer que est un multiple scalaire de , que l'on notera .
  2. Vérifier les égalités suivantes:
    a) .
    b) .
    c) .
  3. Déterminer .
  4. Conclure.

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