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Centrale Mathématiques 1 MP 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Étude de l'équation différentielle y' - y + f(x) = 0 à travers un problème de théorie du signal
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Le sujet étudie, sur une famille de six situations de plus en plus générales, l'équation différentielle du premier ordre y' - y + f(x) = 0, en cherchant à chaque fois une solution du même type que le second membre. Deux exemples préparent le cas général de la partie III, puis les parties IV à VI, largement indépendantes, appliquent cette construction aux fonctions bornées, périodiques et polynomiales.

  1. 1Partie I : étude d'un premier exempleRésolution de l'équation avec un second membre cosinus ou sinus sur le plan engendré par ces deux fonctions.
  2. 2Partie II : étude d'un deuxième exempleRésolution avec un second membre en 1/x et étude géométrique des courbes solutions.
  3. 3Partie III : la transformation ΦMise en place de l'application Φ associant à f la solution particulière f1 dans un cadre général.
  4. 4Partie IV : fonctions bornéesÉtude de Φ sur l'espace des fonctions continues bornées et de sa continuité.
  5. 5Partie V : fonctions périodiquesÉtude de Φ sur l'espace des fonctions périodiques, lien avec les coefficients de Fourier.
  6. 6Partie VI : fonctions polynomialesÉtude de Φ comme endomorphisme sur l'espace des fonctions polynomiales de degré borné.

Difficile. Le rapport parle d'un caractère décevant de l'épreuve, avec une forte tendance des candidats à ne traiter qu'une ou deux questions par partie et de nombreuses notions du cours mal assimilées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Traitement partiel des parties (zapping) · Notion de fonction intégrable mal maîtrisée · Théorème de Cauchy-Lipschitz mal utilisé
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Le texte était relativement long mais sans difficulté majeure a priori. La répétition de certaines questions entre parties consécutives et l'apparente facilité de certaines d'entre elles ont provoqué une forte tendance au zapping, les questions délicates étant rarement résolues et souvent abandonnées. Le jury constate que certaines notions ne sont pas assimilées, que certains énoncés ne sont pas compris et que certaines techniques ne sont pas maîtrisées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Traitement partiel des parties (zapping)

    De nombreuses copies n'abordent qu'une ou deux questions, toujours les mêmes, dans chacune des parties du problème.

    « de nombreuses copies nʼabordent quʼune où deux questions - toujours les mêmes - dans chacune des parties »
  2. 2
    Notion de fonction intégrable mal maîtrisée

    La continuité de la fonction est oubliée dès que l'intervalle d'intégration n'est pas compact, seule la domination étant retenue, ce qui conduit à des erreurs d'intégrabilité.

    « La notion de fonction intégrable est très floue : de façon générale la continuité est oubliée dès que lʼintervalle dʼintégration nʼest pas compact »
  3. 3
    Théorème de Cauchy-Lipschitz mal utilisé

    Le théorème est souvent évoqué mais rarement utilisé à bon escient ; certains candidats l'invoquent pour justifier une solution ayant un comportement donné à l'infini, assimilé à tort à une condition initiale.

    « dʼune solution ayant un comportement donné à lʼinfini, cela constituant à leurs yeux une « condition initiale »
  4. 4
    Dualité, chapitre oubliéIV.C, V.C

    Sur les questions abordées par tous les candidats, personne ne remarque que l'application évaluée en une limite est une forme linéaire non nulle.

    « La dualité est un chapitre oublié »
  5. 5
    Écriture canonique de l'oscillateur harmonique inconnueI.C.2

    Très peu de candidats reconnaissent l'écriture canonique d'un oscillateur harmonique dans ce contexte.

    « Lʼécriture canonique dʼun oscillateur harmonique nʼest connue que dʼun très petit nombre de candidats »
  6. 6
    Application d'un théorème sans vérifier ses hypothèses

    Après avoir énoncé les hypothèses du théorème de Dirichlet, certains candidats l'appliquent tout de même à une fonction seulement continue.

    « de voir que, dans la question suivante, la rédaction proposée commence par lʼécriture du développement en série de FOURIER dʼune fonction qui nʼest supposée que »

Ce qui a été bien réussi

  • La présentation des copies est jugée globalement satisfaisante, certains candidats soignant particulièrement la rédaction de leur travail.

Conseils du jury

  • Lire attentivement le texte du problème et garder en tête la nature exacte des objets mathématiques manipulés.
  • Ne pas se contenter d'un raisonnement formel : préciser clairement la structure de l'espace des solutions avant de conclure.
  • Vérifier systématiquement les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer, en particulier pour Cauchy-Lipschitz et Dirichlet.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES I

Dans tout le problème I désigne un intervalle non majoré de ℝ.
Le but du problème est l'étude des solutions de l'équation différentielle
E_f : y^′ − y + f(x) = 0
où f est une application continue définie sur I et à valeurs réelles ou complexes.
On verra que l'espace des solutions contient une solution f_1 ayant un comportement particulier en + ∞.
Les parties I et II portent sur deux exemples. La partie III met en place l'application Φ : f ↦ f_1 dans un cadre général. Les Parties IV à VI envisagent diverses propriétés de la fonction f et sont largement indépendantes.
Les symboles ℝ et ℂ désignent respectivement les corps des nombres réels et des nombres complexes.

Partie I - Étude d'un premier exemple

I.A - Pour x ∈ ℝ, montrer l'existence et donner la valeur des expressions suivantes:
e^x∫_x^(+ ∞)e^(− t)costdt, e^x∫_x^(+ ∞)e^(− t)sintdt
I.B - On considère l'équation différentielle
y^′ − y + cosx = 0, x ∈ ℝ
Déterminer une fonction Y_0 bornée et une fonction g telles que la solution générale sur ℝ de cette équation différentielle puisse se mettre sous la forme
Y_λ(x) = λg(x) + Y_0(x), où λ ∈ ℝ
Donner sans démonstration le résultat analogue relatif à l'équation différentielle y^′ − y + sinx = 0.
I.C - Soit Π le plan vectoriel engendré par les fonctions cosinus et sinus dans l'espace vectoriel des fonctions de ℝ dans ℝ, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions de la forme
x ↦ αcosx + βsinx

Filière MP

où α et β sont des nombres réels. Pour tout f ∈ Π, on définit f_1 par la formule
∀x ∈ ℝ, f_1(x) = e^x∫_x^(+ ∞)e^(− t)f(t)dt
I.C.1) Montrer que la transformation f ↦ f_1 définit une application Φ : Π → Π. La linéarité de Φ étant considérée comme évidente, donner la matrice de Φ dans la base de Π constituée des fonctions cosinus et sinus.
I.C.2) On munit Π de la norme
‖f‖_∞ = sup_(x ∈ ℝ)|f(x)|
Déterminer une constante k > 0 telle que, pour tout f ∈ Π, on ait
‖f_1‖_∞ ≤ k‖f‖_∞
Pour f ∈ Π, on définit par récurrence la suite (f_n)_(n ∈ ℕ^∗) où f_1 = Φ(f) et pour tout n ∈ ℕ^∗, f_(n + 1) = Φ(f_n).
Étudier l'existence de la limite de cette suite relativement à la norme définie sur Π et déterminer la valeur de cette limite.

Partie II - Étude d'un deuxième exemple

On donne, pour x > 0, l'équation différentielle
y^′ − y + 1/x = 0
II.A - Montrer qu'il existe sur l'intervalle ]0 + ∞[ une unique solution Y_0 bornée quand x tend vers l'infini et exprimer Y_0(x) sous forme d'une intégrale.
Quelle expression donner à la solution générale Y_λ, où λ ∈ ℝ, l'indexation étant telle que pour λ = 0, on ait la solution bornée Y_0 ? Étudier le comportement de Y_λ(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.
On note 𝒞_λ la courbe représentative de la solution Y_λ.
II.B - Pour tout point m(x_m, y_m) du demi-plan x > 0, on note Y_m la solution de l'équation vérifiant Y_m(x_m) = y_m et 𝒞_m sa courbe représentative.
II.B.1) Déterminer l'ensemble ℋ des points m tels que Y_m^′(x_m) = 0. Même question pour l'ensemble ℱ des m tels que Y^(′′)_m(x_m) = 0. Donner sans démonstration une interprétation géométrique pour chacun des ensembles ℋ et ℱ.
II.B.2) Quelle est la place de la courbe 𝒞_0 représentative de la solution Y_0 par rapport aux courbes ℋ et ℱ ?
(on pourra faire des intégrations par parties sur Y_0(x) = e^x∫_x^(+ ∞)(e^(− t))/tdt ).
II.B.3) Tracer sans explication sur un même dessin des ébauches des courbes ℋ, ℐ, 𝒞_0, 𝒞_(λ_1), 𝒞_(λ_2), où λ_1 et λ_2 sont des réels respectivement négatif et positif.

Partie III - La transformation Φ

On suppose maintenant que I est un intervalle ouvert de la forme ]a, + ∞[, a pouvant être égal à − ∞.
Dans le ℂ-espace vectoriel 𝒞^0(I, ℂ) des fonctions continues sur I à valeurs complexes, on considère le sous-ensemble
ε = {f|∃α ∈ ℝ, lim_(x → + ∞)(f(x))/(x^α) = 0}
Autrement dit, ε est l'ensemble des fonctions f négligeables en + ∞ devant une certaine fonction puissance x ↦ x^α ( α dépendant de f ).
III.A - Montrer que ε est un sous-espace vectoriel de 𝒞^0(I, ℂ) Étant donné f ∈ ε et x ∈ I, on considère l'équation différentielle
E_f : y^′ − y + f(x) = 0
III.B - Montrer que E_f admet une unique solution f_1 ∈ ε définie par la formule
∀x ∈ ℝ, f_1(x) = e^x∫_x^(+ ∞)e^(− t)f(t)dt
On définit l'application Φ : E → E par Φ(f) = f_1; elle est évidemment linéaire.
III. C - Soit Φ^n la composée n fois de Φ avec elle-même. Pour f ∈ ε, on pose f_n = Φ^n(f) (avec f_0 = f = φ^0(f) ). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) la suite ( f_n ) converge uniformément sur tout compact de I,
(ii) la suite (f_n) converge uniformément vers une constante sur tout compact de I,
(iii) la série ∑f_n^′ converge uniformément sur tout compact de I.
III.D - Montrer que
∀x ∈ I, ∀n ∈ ℕ^∗, f_(n + 1)(x) = e^x∫_x^(+ ∞)((t − x)^n)/(n!)f(t)e^(− t)dt = ∫_0^(+ ∞)(u^n)/(n!)f(x + u)e^(− u)du
(on pourra raisonner par récurrence en écrivant f_(n + 1) = Φ^n(f_1) et intégrer par parties).
III.E - L'application linéaire
Φ : E → ε, f ↦ f_1
est-elle injective? Montrer que l'image de Φ est l'ensemble des applications g ∈ 𝒞^1(I, ℂ) telles que g ∈ ε et g^′ ∈ ε.

Partie IV - Fonctions bornées

Soit ℬ l'espace des fonctions continues bornées sur ℝ à valeurs complexes. ℬ étant un sous espace vectoriel de ε (défini au III), l'application Φ est définie sur ℬ.
IV.A - Montrer que pour tout f ∈ ℬ, l'équation différentielle E_f a une unique solution bornée f_1.
IV.B - On munit ℬ de la norme
‖f‖_∞ = sup{|f(t)|, t ∈ ℝ}
L'application Φ est-elle continue pour cette norme?
IV.C - Soit ℒ (resp. ℒ_0 ) le sous-espace de ℬ des fonctions ayant une limite (resp. une limite nulle) en + ∞, 𝒦 le sous-espace des fonctions constantes. Montrer que ℒ_0 et 𝒦 sont des sous-espaces supplémentaires de ℒ.
Montrer que ces sous-espaces sont stables par Φ.
IV.D - Montrer, à l'aide du III.D, que pour tout f ∈ ℒ, la suite ( f_n ) converge uniformément sur tout intervalle [a, + ∞[ vers une constante que l'on précisera (couper l'intervalle d'intégration en exprimant que f a une limite en + ∞ ).
IV.E - Montrer que l'application linéaire Φ : f ↦ f_1 est une injection de ℬ dans le sous-espace des fonctions bornées de classe C^1 sur ℝ.
L'application x ↦ sin(x^2) est-elle dans l'image de Φ ? Préciser l'image de Φ.

Partie V - Fonctions périodiques

Soit 𝒫 l'espace des fonctions continues 2π-périodiques.
V.A - Montrer que pour tout f ∈ 𝒫, l'équation différentielle E_f a une unique solution périodique f_1.
Cette fonction f_1 est-elle somme de sa série de Fourier ?
V.B - Quel lien a-t-on entre les coefficients de Fourier complexes c_k(f) et c_k(f_1) ?
V.C - Soit 𝒫_0 le sous-espace desf ∈ 𝒫 dont la valeur moyenne
c_0(f) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(t)dt
est nulle et 𝒦 le sous-espace des fonctions constantes. Montrer que 𝒫_0 et 𝒦 sont des sous-espaces supplémentaires de 𝒫.
Montrer que pour tout f ∈ 𝒫, la suite ( f_n ) converge uniformément sur ℝ vers une constante que l'on précisera.
V.D - Montrer que l'application linéaire Φ : f ↦ f_1 est une bijection de 𝒫 sur le sous-espace 𝒫_1 des fonctions 2π-périodiques de classe C^1.
V.E - On considère sur 𝒫 et 𝒫_1 les normes N_1 et N_2 suivantes :
N_1(f) = ∫_0^(2π)|f(t)|dt, N_2(f) = √(∫_0^(2π)|f(t)|^2 dt)
Les applications Φ et Φ^(− 1) sont-elles continues pour la norme N_1 ? Même question pour la norme N_2.

Partie VI - Fonctions polynomiales

Soit d un entier naturel et ℱ𝒫_d le ℂ-espace vectoriel de dimension d + 1 des fonctions polynomiales de ℝ dans ℂ à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à d.
VI.A - Soit une famille ξ = (ξ_0, …, ξ_d) de d + 1 nombres réels distincts. Pour tout f ∈ ℱ𝒫_d, on pose
N_ξ(f) = sup_(0 ≤ i ≤ d)|f(ξ_i)|
Montrer que c'est une norme sur ℱ𝒫_d.
VI.B - Soit une suite de fonctions polynomiales de ℱ𝒫_d
x ↦ f_n(x) = a_(d, n)x^d + a_(d − 1, n)x^(d − 1) + … + a_(0, n)
Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) la suite ( f_n ) converge simplement sur ℂ,
(ii) la suite ( f_n ) converge uniformément sur tout compact de ℂ,
(iii) il existe d + 1 nombres réels distincts ξ_0, …, ξ_d tels que, pour tout indice 0 ≤ i ≤ d, la suite (f_n(ξ_i)) converge.
(iv) chacune des d + 1 suites numériques (a_(i, n))_(n ∈ ℕ), pour 0 ≤ i ≤ d, converge.
VI.C - Pour tout f ∈ ℱ𝒫_d, montrer que l'équation différentielle E_f a une unique solution f_1 = Φ(f) dans ℱ𝒫_d.
On note encore Φ : f ↦ f_1; Φ est considéré ici comme un endomorphisme de ℱ𝒫_d.
VI.D - Pour f fonction polynomiale de degré d, on forme la suite de fonctions polynomiales ( f_n ) où f_n = Φ^n(f). Cette suite vérifie-t-elle les conditions équivalentes de VI.B ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte Centrale maths 1 MP 2003 ?
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Sur quels chapitres porte Centrale maths 1 MP 2003 ?

Le sujet porte sur une équation différentielle linéaire du premier ordre, la convergence uniforme de suites de fonctions, les séries de Fourier et l'algèbre linéaire, à travers l'étude d'une transformation sur différents espaces de fonctions.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Centrale maths 1 MP 2003 ?

Une tendance des candidats à ne traiter qu'une ou deux questions par partie, une notion de fonction intégrable mal maîtrisée sur les intervalles non compacts, et un théorème de Cauchy-Lipschitz souvent mal utilisé.

Centrale maths 1 MP 2003 est-il difficile ?

Le jury qualifie l'épreuve de décevante, avec de nombreuses notions du cours mal assimilées et une forte tendance des candidats à zapper les questions délicates.

Le sujet Centrale maths 1 MP 2003 est-il long ?

Le rapport le décrit comme relativement long mais sans difficulté majeure a priori, la répétition de questions entre parties ayant plutôt favorisé un traitement partiel des copies.

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