CCINP Mathématiques 1 MP 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE

Notations :

On note

E

l'espace vectoriel des applications continues de

[ - 1, 1]

dans

ℝ

.
On désigne par

E_n

l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de

[ - 1, 1]

dans

ℝ

de degré inférieur ou égal à

n

où

n

est un entier naturel.
On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale.
Si

f

est un élément de

E

, on pose

‖f‖_\infty = sup_(x \in [ - 1, 1])|f(x)|

.
Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la partie I.

I. Polynômes de Tchebychev

Dans toute cette partie,

n

désigne un entier naturel.

Existence et unicité
a) Déterminer un polynôme $T$ à coefficients réels de degré $n$ vérifiant la propriété (*):

(^*) : \forallθ \in ℝ, T(cosθ) = cos(nθ).

(on pourra remarquer que

cos(nθ)

est la partie réelle de

(cosθ + isinθ)^n

).
b) Montrer qu'un polynôme vérifiant (*) est unique.

On l'appelle le polynôme de Tchebychev d'indice

n

, on le note

T_n

.
On définit alors une fonction polynomiale sur

[ - 1, 1]

par :

\forallx \in [ - 1, 1], T_n(x) = cos(narcosx).

a) Montrer que $\forallx \in [ - 1, 1], T_(n + 2)(x) = 2xT_(n + 1)(x) - T_n(x)$ (on pourra calculer $T_(n + 2)(x) + T_n(x)$ ).
b) Calculer $T_0, T_1, T_2, T_3$ .
c) Donner le coefficient du terme de plus haut degré de $T_n$ .
Racines et extrema
a) Montrer que $\forallx \in [ - 1, 1], T_n(x) = 2^(n - 1)\prod_(k = 0)^(n - 1)(x - cosθ_k)$ où $θ_k = ((2k + 1)π)/(2n)$ .
b) On pose pour $k$ dans ${0, 1, …, n}, c_k = cos((kπ)/n)$ .

Calculer

‖T_n‖_\infty

puis montrer que :

∀k ∈ {0, 1, …, n}, |T_n(c_k)| = ‖T_n‖_∞

et que:

∀k ∈ {0, 1, …, n − 1}, T_n(c_(k + 1)) = − T_n(c_k)

.
Les

n + 1

réels

c_0, c_1, \dots, c_n

sont appelés points de Tchebychev.
c) Dessiner le graphe de

T_3

, préciser sur le graphe les réels

c_0, c_1, c_2, c_3

II. Polynômes de Tchebychev et orthogonalité

Orthogonalité des

T_n

4. Montrer que pour toute fonction

h

E

, l'application

t \mapsto (h(t))/(\sqrt(1 - t^2))

est intégrable sur

] - 1, 1[

Pour

f

g

éléments de

E

, on pose

⟨f, g⟩ = \int_(- 1)^1(f(t)g(t))/(\sqrt(1 - t^2)) dt

.
5. a) Soit

h

une fonction positive de

E

, montrer que si

\int_(- 1)^1(h(t))/(\sqrt(1 - t^2)) dt = 0

alors

h

est la fonction nulle.
b) Montrer que

⟨

é ⟩définitunproduitscalairesurE

Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur

E

: pour tout élément

h

E

, on pose

‖h‖_2 = \sqrt(⟨h, h⟩).

Calculer $⟨T_n, T_m⟩$ selon les valeurs des entiers naturels $m$ et $n$ . En déduire pour tout entier naturel $n$ que la famille $(T_0, T_1, \dots, T_n)$ est une base orthogonale (pour $⟨$ , $⟩)deE_n$ .

Polynôme de meilleure approximation quadratique

Dans toute la suite de la partie II.,

f

désignera un élément de

E

n

un entier naturel.
On pose

d_2(f, E_n) = inf{‖f − Q‖_2, Q ∈ E_n}

Le but de la suite de la partie II. est d'exprimer

‖f‖_2

en fonction des

(⟨f, T_k⟩)/(‖T_k‖_2)

.
7. a) Enoncer un théorème justifiant l'existence et l'unicité d'un vecteur

t_n(f)

dans

E_n

tel que

‖f - t_n(f)‖_2 = d_2(f, E_n)

.
b) Exprimer

t_n(f)

à l'aide des polynômes de Tchebychev.

On dit que

t_n(f)

est le polynôme de meilleure approximation quadratique de

f

sur

E_n

.
8. Montrer que

d_2(f, E_n) = \sqrt(‖f‖_2^2 - \sum_(k = 0)^n(⟨f, T_k⟩^2)/(‖T_k‖_2^2))

.
9. a) En déduire que la série

\sum_(k \geq 0)(⟨f, T_k⟩^2)/(‖T_k‖_2^2)

est convergente.
b) Que pensez-vous de la limite de

\int_(- 1)^1(f(t)T_n(t))/(\sqrt(1 - t^2)) dt

lorsque

n

tend vers

+ \infty

Convergence en norme quadratique

a) Soit $h$ un élément de $E$ , montrer que $‖h‖_2 \leq \sqrtπ‖h‖_\infty$ .
b) Montrer en utilisant un théorème de Weierstrass que : $lim_(n \to + \infty)‖f - t_n(f)‖_2 = 0$ .
a) En déduire que $‖f‖_2 = \sqrt(\sum_(k = 0)^(+ \infty)(⟨f, T_k⟩^2)/(‖T_k‖_2^2))$ .
b) Application : un théorème des moments.

Que peut-on dire d'une fonction

h

E

telle que pour tout entier naturel

n

\int_(- 1)^1(h(t)T_n(t))/(\sqrt(1 - t^2)) dt = 0

III. Polynôme de meilleure approximation au sens de Tchebychev

Dans toute cette partie,

n

désigne un entier naturel et

f

un élément de

E

.
On note

d_∞(f, E_n) = inf{‖f − Q‖_∞, Q ∈ E_n}

.
On dit qu'un élément

P

E_n

, est un polynôme de meilleure approximation (on notera en abrégé PMA) au sens de Tchebychev de

f

d'ordre

n

, s'il vérifie une des deux conditions équivalentes :
(i)

‖f - P‖_\infty = d_\infty(f, E_n)

(ii)

\forallQ \in E_n, ‖f - P‖_\infty \leq ‖f - Q‖_\infty

Existence d'un PMA d'ordre $n$ pour $f$

On pose

K = {Q ∈ E_n, ‖f − Q‖_∞ ≤ ‖f‖_∞}

12. a) Montrer que

K

est une partie non vide fermée et bornée de

E_n

.
b) En déduire que

K

est une partie compacte non vide de

E_n

.
13. a) Montrer que

d_\infty(f, E_n) = d_\infty(f, K)

.
b) En déduire qu'il existe un élément

P

E_n

tel que

‖f - P‖_\infty = d_\infty(f, E_n)

P

est donc un PMA d'ordre

n

f

Condition suffisante pour être un PMA

Soit

h

un élément de

E

. On dit que

h

équioscille sur

k + 1

points s'il existe

k + 1

réels

x_0 < x_1 < \dots < x_k

de l'intervalle

[ - 1, 1]

, tels que

∀i ∈ {0, 1, …, k}, |h(x_i)| = ‖h‖_∞ et ∀i ∈ {0, 1, …, k − 1}, h(x_(i + 1)) = − h(x_i).

(on dit que les extrema sont alternés).
14. Exemples
a) Dessiner le graphe d'une fonction

φ

E

telle que

‖φ‖_\infty = 1/2

φ

équioscille sur 4 points. (on ne cherchera pas à expliciter une telle fonction).
b) Montrer que le polynôme

T_(n + 1)

de Tchebychev d'indice

n + 1

équioscille sur

n + 2

points.

Le but de la question 15. est de montrer le résultat suivant:
Si

P

est un élément de

E_n

tel que

f - P

équioscille sur

n + 2

points, alors

P

est un PMA d'ordre

n

f

.
15. Soit

P

un élément de

E_n

tel que

f - P

équioscille sur

n + 2

points que l’on note

x_0 < x_1 < \dots < x_(n + 1)

.
Soit

Q

un élément de

E_n

tel que

‖f - Q‖_\infty < ‖f - P‖_\infty

.
a) Soit

i \in {0, 1, \dots, n + 1}

, montrer que si

f(x_i) - P(x_i) > 0

alors

Q(x_i) - P(x_i) > 0

On a de même, que si

f(x_i) - P(x_i) < 0

alors

Q(x_i) - P(x_i) < 0

.
b) En déduire que

P = Q

et conclure.

Détermination de PMA

Dans cette question, pour $x \in [ - 1, 1]$ , on prend $f(x) = x^(n + 1)$ et on pose:
$q_n(x) = x^(n + 1) - 2^(- n)T_(n + 1)(x)$ .
Montrer que $q_n$ est un PMA d'ordre $n$ de $f$ .
En déduire que pour tout polynôme $P$ unitaire de degré $n + 1$ , on a $2^(- n)‖T_(n + 1)‖_\infty \leq ‖P‖_\infty$ .
a) Dans cette question, $f$ est un polynôme de degré $n + 1$ .

Déterminer un PMA d'ordre

n

f

.
b) Application : déterminer un PMA d'ordre 2 de

f(x) = 5x^3 + 2x - 3

Remarque : On peut montrer l'unicité du PMA.
Il n'existe pas de formule générale qui donne l'expression du PMA d'une fonction quelconque. On peut cependant utiliser un algorithme (de Remes) qui fournit une suite de polynômes qui converge vers le PMA.

Fin de l'énoncé

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UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE

Notations :

I. Polynômes de Tchebychev

II. Polynômes de Tchebychev et orthogonalité

Polynôme de meilleure approximation quadratique

Convergence en norme quadratique

III. Polynôme de meilleure approximation au sens de Tchebychev

Existence d'un PMA d'ordre n pour f

Condition suffisante pour être un PMA

Détermination de PMA

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Existence d'un PMA d'ordre $n$ pour $f$