CCINP Mathématiques 2 MP 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

Calculs des distances entre une matrice et certaines parties de Mn(R)

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de $M_n(ℝ)$

Notations

Dans ce sujet,

n

est un entier naturel non nul et on note :

M_n(ℝ)

: la

ℝ

-algèbre des matrices carrées réelles d'ordre

n

M_(n, 1)(ℝ)

: le

ℝ

-espace vectoriel des matrices à

n

lignes et à une colonne.
Pour une matrice

A

M_n(ℝ), ^t A

est sa matrice transposée, rang

(A)

son rang et

Tr(A)

sa trace.

I_n

: la matrice unité de

M_n(ℝ)

S_n(ℝ)

: le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de

M_n(ℝ)

A_n(ℝ)

: le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de

M_n(ℝ)

S_n^+(ℝ)

: l'ensemble des matrices positives de

S_n(ℝ)

c'est-à-dire des matrices

A

S_n(ℝ)

vérifiant : pour toute matrice

X \in M_(n, 1)(ℝ), ^t XAX \geq 0

GL_n(ℝ)

: le groupe des matrices inversibles de

M_n(ℝ)

O_n(ℝ)

: le groupe des matrices réelles orthogonales c'est-à-dire des matrices

M

M_n(ℝ)

vérifiant :

^t MM = I_n

.
Pour

p

entier naturel,

Δ_p

est l'ensemble des matrices de

M_n(ℝ)

de rang supérieur ou égal à

p

\nabla_p

est l'ensemble des matrices de

M_n(ℝ)

de rang inférieur ou égal à

p

Objectifs

Le but du sujet est de calculer la distance (par la norme de Schur définie à la question II.3.) d'une matrice à :
dans la partie II.,

S_n(ℝ)

A_n(ℝ)

par le théorème de projection orthogonale,
dans la partie III.,

O_n(ℝ)

par le théorème de décomposition polaire,
dans la partie IV.,

Δ_p

par des notions de densité,
dans la partie V.,

\nabla_p

par le théorème de Courant et Fischer.
La partie I. traite un exemple qui sera utilisé dans les différentes parties.
Remarque : dans le texte, le mot «positif» signifie «supérieur ou égal à 0 ».

I. Exercice préliminaire

Soit la matrice $Γ = (1, 2, 1; - 2, - 1, - 1; - 1, - 1, - 2)$ de $M_3(ℝ)$ , on pose $H = ^t ΓΓ$ .

Diagonaliser la matrice

H

et déterminer une matrice

P

O_3(ℝ)

et une matrice diagonale

D

à termes tous positifs telles que

D^2 = P^(- 1)HP

.
2. On pose

S = PDP^(- 1) \in S_3^+(ℝ)

, montrer que la relation

Γ = US

définit une matrice

U \in O_3(ℝ)

et calculer cette matrice.

II. Calcul de la distance de $A$ à $S_n(ℝ)$ et à $A_n(ℝ)$

Soit $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(ℝ)$ , on pose $(A|B) = Tr(^t AB)$ .

Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur

M_n(ℝ)

.
La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée :

‖A‖ = ((A|A))^(1/2)

.
Dans tout le sujet, si

Π

est une partie non vide de

M_n(ℝ)

, la distance d'une matrice

A

M_n(ℝ)

à la partie

Π

est le réel

d(A, Π) = inf_(M \in Π)‖A - M‖

.
4. Montrer que

M_n(ℝ) = S_n(ℝ) \oplus A_n(ℝ)

et que cette somme directe est orthogonale.
5. Si

A

est une matrice de

M_n(ℝ)

, montrer que

d(A, S_n(ℝ)) = ‖1/2(A - ^t A)‖

et déterminer de même

d(A, A_n(ℝ))

.
6. Calculer

d(Γ, A_3(ℝ))

où

Γ

est la matrice exemple de la partie I .

III. Calcul de la distance de $A$ à $O_n(ℝ)$

A. Théorème de la décomposition polaire

Montrer qu'une matrice $S$ de $S_n(ℝ)$ appartient à $S_n^+(ℝ)$ si et seulement si toutes les valeurs propres de $S$ sont positives ou nulles.
Si $A$ est une matrice de $M_n(ℝ)$ montrer que la matrice $^t AA \in S_n^+(ℝ)$ .
Soit $A$ une matrice de $M_n(ℝ)$ , on suppose qu'il existe une matrice diagonale $D = diag(d_1, d_2, \dots, d_n)$ à termes positifs telle que $^t AA = D^2$ . On note $A_1, A_2, \dots, A_n$ les matrices de $M_(n, 1)(ℝ)$ qui forment les colonnes de la matrice $A$ .
a. Pour tout couple ( $i, j$ ) d'entiers naturels compris entre 1 et $n$ , évaluer $^t A_i A_j$ . En particulier, si $i$ est un entier pour lequel $d_i = 0$ , que vaut $A_i$ ?
b. Montrer que l'on peut trouver une base orthonormée ( $E_1, E_2, \dots, E_n$ ) de $M_(n, 1)(ℝ)$ (par rapport au produit scalaire canonique $⟨X, Y⟩ = ^t XY$ de $M_(n, 1)(ℝ)$ ) telle que, pour tout entier naturel $i$ entre 1 et $n, A_i = d_i E_i$ .
c. En déduire qu'il existe une matrice $E$ de $O_n(ℝ)$ telle que $A = ED$ .
Soit $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(ℝ)$ vérifiant $^t AA = ^t BB$ .
a. Montrer qu'il existe une matrice diagonale $D$ à termes positifs et une matrice orthogonale $P$ telles que : $P^(- 1t)AAP = P^(- 1t)BBP = D^2$ .
b. Montrer qu'il existe une matrice $U$ de $O_n(ℝ)$ telle que $A = UB$ .
Déduire des questions précédentes le théorème de décomposition polaire:

Pour toute matrice

A

M_n(ℝ)

, il existe une matrice

U

O_n(ℝ)

et une matrice

S

S_n^+(ℝ)

telles que

A = US

.
(Remarque : on peut également établir l'unicité de la matrice

S

S_n^+(ℝ)

et même l'unicité de la matrice

U

O_n(ℝ)

A

est de plus inversible dans cette décomposition mais ce ne sera pas utile pour la suite du problème).

B. Calcul de $d(A, O_n(ℝ))$

Montrer que, pour toute matrice $M$ de $M_n(ℝ)$ et pour toute matrice $Ω$ de $O_n(ℝ)$ , $‖MΩ‖ = ‖ΩM‖ = ‖M‖$ .
Dans la suite de cette partie, soit $A$ une matrice de $M_n(ℝ)$ , soit $U \in O_n(ℝ)$ et $S \in S_n^+(ℝ)$ telles que $A = US$ ; il existe une matrice diagonale $D$ et une matrice $P$ de $O_n(ℝ)$ telles que $S = PDP^(- 1)$ .
a. Montrer que, pour toute matrice $Ω$ de $O_n(ℝ), ‖A - Ω‖ = ‖S - U^(- 1)Ω‖$ et en déduire que $d(A, O_n(ℝ)) = d(S, O_n(ℝ))$ .
b. Montrer que $d(A, O_n(ℝ)) = d(D, O_n(ℝ))$ .
On note $D = diag(λ_1, λ_2, \dots, λ_n)$ .
a. Montrer que pour toute matrice $Ω$ de $O_n(ℝ), ‖D - Ω‖^2 = \sum_(i = 1)^n λ_i^2 - 2Tr(DΩ) + n$ .
b. Montrer que pour toute matrice $Ω$ de $O_n(ℝ), Tr(DΩ) \leq \sum_(i = 1)^n λ_i$ .
c. Conclure que $d(D, O_n(ℝ)) = ‖D - I_n‖$ .
Montrer que $d(A, O_n(ℝ)) = ‖A - U‖$ .
Calculer $d(Γ, O_3(ℝ))$ où $Γ$ est la matrice exemple de la partie I .

IV. Calcul de la distance de $A$ à $Δ_p$

Un résultat de densité.
a. Soit $M$ un élément de $M_n(ℝ)$ , montrer qu'il existe un réel $α > 0$ tel que pour tout réel $λ$ vérifiant $0 < λ < α$ , la matrice $M - λI_n$ est inversible.
b. En déduire que $GL_n(ℝ)$ est dense dans $M_n(ℝ)$ .
Soit $A$ un élément de $M_n(ℝ)$ , déterminer, pour tout entier naturel $p \leq n, d(A, Δ_p)$ .

V. Calcul de la distance de $A$ à $\nabla_p$

A. Théorème de Courant et Fischer

Soit

A

une matrice de

S_n(ℝ)

. On notera

λ_1 \geq λ_2 \geq \dots \geq λ_n

ses valeurs propres, on notera

D = diag(λ_1, λ_2, \dots, λ_n), P

la matrice de

O_n(ℝ)

vérifiant

A = PD^t P

C_1, C_2, \dots, C_n

les matrices de

M_(n, 1)(ℝ)

formant les colonnes de la matrice

P

k

est un entier entre 1 et

n

, on note

Ψ_k

l'ensemble des sous-espaces vectoriels de

M_(n, 1)(ℝ)

de dimension

k

. Nous allons montrer que :

λ_k = max_(F ∈ Ψ_k)min_(X ∈ F − {0})(^t XAX)/(^t XX)

(théorème de Courant et Fischer).
19. Soit

X

un vecteur de

M_(n, 1)(ℝ)

de coordonnées (

x_1, x_2, \dots, x_n

) dans la base orthonormée

(C_1, C_2, \dots, C_n)

M_(n, 1)(ℝ)

. Calculer en fonction des

x_i

λ_i

(

i

compris entre 1 et

n

^t XAX

^t XX

et pour

k

entier entre 1 et

n, (^t C_k AC_k)/(^t C_k C_k)

.
20. Soit

k

entier entre 1 et

n

, on pose

F_k = vect{C_1, C_2, …, C_k}

Montrer que pour tout

X

non nul de

F_k, (^t XAX)/(^t XX) \geq λ_k

et déterminer

min_(X ∈ F_k − {0})(^t XAX)/(^t XX)

.
21. Soit

F \in Ψ_k

,
a. montrer que

dim(F ∩ vect{C_k, C_(k + 1), …, C_n}) ≥ 1

.
b. Si

X

est un vecteur non nul de

F ∩ vect{C_k, C_(k + 1), …, C_n}

, montrer que

(^t XAX)/(^t XX) \leq λ_k

.
22. Conclure.

B. Calcul de $d(A, \nabla_p)$

Dans toute cette partie : A est une matrice de

M_n(ℝ)

de rang

r

p

est un entier naturel,

p < r

.
23. Montrer qu'il existe deux matrices

E

P

O_n(ℝ)

et une matrice diagonale

D

à termes positifs telles que

A = EDP

. En déduire que le rang de la matrice

^t AA

est encore

r

. (On pourra utiliser les résultats de la question 9.)
24. Si on note les valeurs propres de la matrice symétrique réelle

^t AA

de rang

r

μ_1 \geq μ_2 \geq \dots \geq μ_r > 0

μ_(r + 1) = \dots = μ_n = 0

, si on pose

D = diag(\sqrt(μ_1), \sqrt(μ_2), \dots, \sqrt(μ_r), 0, \dots, 0)

, si pour

1 \leq l \leq n

on note

M_l

la matrice de

M_n(ℝ)

dont la

l

-ième colonne est celle de la matrice

E \in O_n(ℝ)

de la question 23., tous les autres termes de

M_l

étant nuls, on a clairement :

ED = \sum_(l = 1)^n\sqrt(μ_l)M_l

.
Montrer alors qu'il existe une famille orthonormale (

R_1, R_2, \dots., R_n

) de matrices de

M_n(ℝ)

(pour le produit scalaire

(A|B) = Tr(^t AB)

M_n(ℝ)

), toutes de rang un, et telles que

A = \sum_(l = 1)^n\sqrt(μ_l)R_l = \sum_(l = 1)^r\sqrt(μ_l)R_l

.
25. Avec les notations de la question

24

, on pose

N = \sum_(l = 1)^p\sqrt(μ_l)R_l

Montrer

que

rang(N) \leq p

puis que

d(A, \nabla_p) \leq \sqrt(μ_(p + 1) + \dots + μ_r)

.
26. Soit

M

une matrice de rang

p

(

p < r

), on note

α_1 \geq α_2 \geq \dots \geq α_n \geq 0

les valeurs propres de la matrice

^t(A - M)(A - M)

et on pose

G = KerM \cap Im(^t AA)

. Soit

k

un entier compris entre 1 et

r - p

.
a. Montrer que

dimG \geq r - p

.
b. Soit

F

un sous-espace vectoriel de

G

de dimension

k

, montrer que :

α_k ≥ min_(X ∈ F − {0})(^t X^t AAX)/(^t XX)

.
c. On note (

V_1, V_2, \dots, V_n

) une base de

ℝ^n

formée de vecteurs propres de la matrice

^t AA

, le vecteur

V_i

étant associé à la valeur propre

μ_i

de telle sorte que :

μ_1 \geq μ_2 \geq \dots \geq μ_r > 0

μ_(r + 1) = \dots = μ_n = 0

.
Montrer que

dim(G ∩ vect{V_1, V_2, …, V_(k + p)}) ≥ k

.
d. En déduire que

α_k \geq μ_(k + p)

.
27. En déduire

d(A, \nabla_p)

.
28. Calculer, pour

p ∈ {0, 1, 2, 3}, γ_p = d(Γ, ∇_p)

où

Γ

est la matrice exemple de la partie I .

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MATHEMATIQUES 2

Les calculatrices sont interdites.

Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de M_n(ℝ)

Notations

Objectifs

I. Exercice préliminaire

II. Calcul de la distance de A à S_n(ℝ) et à A_n(ℝ)

III. Calcul de la distance de A à O_n(ℝ)

A. Théorème de la décomposition polaire

B. Calcul de d(A, O_n(ℝ))

IV. Calcul de la distance de A à Δ_p

V. Calcul de la distance de A à ∇_p

A. Théorème de Courant et Fischer

B. Calcul de d(A, ∇_p)

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Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de $M_n(ℝ)$

II. Calcul de la distance de $A$ à $S_n(ℝ)$ et à $A_n(ℝ)$

III. Calcul de la distance de $A$ à $O_n(ℝ)$

B. Calcul de $d(A, O_n(ℝ))$

IV. Calcul de la distance de $A$ à $Δ_p$

V. Calcul de la distance de $A$ à $\nabla_p$

B. Calcul de $d(A, \nabla_p)$