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Sujet X ENS Mathématiques B MP 2014

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Présentation du sujet

X ENS Mathématiques B MP 2014

Groupe de Heisenberg, exponentielle de matrices, formule de Trotter-Kato et chemins de Carnot

Le sujet de Mathématiques B MP de l'X 2014 étudie le groupe de Heisenberg, groupe de matrices 3x3 non commutatif, et ses chemins de Carnot définis par une équation différentielle linéaire. Il établit d'abord un isomorphisme entre ce groupe et son algèbre de Lie via l'exponentielle, prouve la formule de Trotter-Kato dans une partie largement indépendante, puis étudie l'existence des chemins de Carnot et l'accessibilité de tout point du groupe.

  1. 1Première partie : l'exponentielle comme isomorphisme de groupesExponentielle des matrices triangulaires supérieures strictes, nouvelle loi de groupe sur l'algèbre L et isomorphisme avec le groupe H (questions 1 à 5).
  2. 2Deuxième partie : produit d'exponentielles et formule de Trotter-KatoFormule exp(A)exp(B) quand A et B commutent avec leur commutateur, morphisme vers un groupe de matrices (questions 6 et 7), puis formule de Trotter-Kato pour deux matrices quelconques (questions 8 à 10).
  3. 3Troisième partie : chemins de CarnotExistence et unicité des chemins de Carnot, étude de leurs extrémités qui forment une surface de révolution et accessibilité de tout point du groupe (questions 11 à 16).
Difficile

Le jury décrit un sujet long, avec une moyenne de 7,55 et des questions de la fin de la troisième partie quasiment pas abordées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne
7,55 / 20
Écart-type
3,73
Copies corrigées
1 475

Entrez la note sur 20 obtenue à ce sujet en conditions de concours.

Estimation à partir de la moyenne (7,55) et de l'écart-type (3,73) officiels, en supposant une répartition des notes proche d'une loi normale.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant).

Ce qu'a observé le jury

Le sujet était long, avec un nombre important de questions accessibles et une grande part de calculs à mener et justifier. Les correcteurs insistent sur la non-commutativité des matrices, source de la plupart des erreurs, et sur la vérification complète des axiomes de groupe. Ils sanctionnent les calculs escamotés et les invocations de théorèmes généraux sans précision.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1.Associativité oubliée ou bâclée2a, 5 et 7b

    Pour montrer qu'un ensemble est un groupe, tous les axiomes doivent être vérifiés ; en 2a l'associativité de la nouvelle loi ne découle pas de celle des matrices et seuls 36 % des candidats ont réussi.

    « L’associativité ne découle pas simplement de l’associativité de la somme et du produit de matrices. »
  2. 2.Oublier la non-commutativité3, 4, 8b, 9b et 11b

    exp(A+B) n'est pas toujours égal à exp(A)exp(B), et l'identité remarquable sur An - Bn ne s'applique pas à des matrices qui ne commutent pas.

  3. 3.Initiative en 6a6a

    Première question demandant de l'initiative, réussie par seulement 10 % des candidats ; une récurrence sur le commutateur de A avec les puissances de B permettait de conclure.

    « Seuls 10% des candidats ont réussi »
  4. 4.Formule des équations scalaires appliquée aux matrices6c

    Pour une équation matricielle à coefficients non constants, on ne peut pas recopier la solution exponentielle valable pour les équations numériques ; il faut vérifier une solution puis invoquer l'unicité.

  5. 5.Passage à la limite insuffisamment justifié8a

    Savoir que chaque terme tend vers 0 ne suffit pas : il faut couper la somme en deux en utilisant la convergence de la série, ou une convergence dominée correctement posée.

    « l’absence de maîtrise de ces techniques classiques d’analyse et de raisonnement est très fortement corrélée »
  6. 6.Existence négligée dans Cauchy-Lipschitz11a

    Beaucoup ne justifient que l'unicité ; l'existence sur tout l'intervalle demande de remarquer que l'équation est linéaire.

    « l’aspect « existence » est tout aussi essentiel ! »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 a été réussie par plus de 90 % des candidats.
  • La question 2b a été réussie par 80 % des candidats.
  • La question 9a a été bien traitée par plus de la moitié des candidats.
  • Une dizaine de candidats ont obtenu la note maximale de 20.

Conseils du jury

  • Mener jusqu'au bout les calculs demandés, de façon concise et argumentée : un calcul inachevé qui aboutit au résultat de l'énoncé ne rapporte rien.
  • Pour prouver qu'un ensemble est un groupe, chercher d'abord à en faire un sous-groupe d'un groupe connu.
  • Garder en tête les propriétés des réels qui tombent en défaut pour les matrices.
  • Approfondir une question difficile plutôt que la sauter, car elle peut débloquer toute une série de questions.
  • Repérer les parties indépendantes signalées par l'énoncé pour organiser son temps.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de maths B de l'X MP 2014 ?

Sur le groupe de Heisenberg : exponentielle de matrices, isomorphisme avec l'algèbre de Lie, formule de Trotter-Kato et chemins de Carnot définis par une équation différentielle linéaire.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths B de l'X MP 2014 ?

Selon le rapport, la moyenne est de 7,55 avec un écart-type de 3,73 sur 1475 copies.

Quelles erreurs le jury relève-t-il en maths B X MP 2014 ?

Des vérifications incomplètes des axiomes de groupe (associativité en 2a), l'oubli de la non-commutativité des matrices, l'application abusive de formules valables pour les équations différentielles scalaires et des passages à la limite mal justifiés.

Combien de questions fallait-il traiter pour avoir la moyenne en maths B X MP 2014 ?

Le rapport indique que traiter correctement toutes les questions jusqu'à la 7b incluse donnait plus de 10 points, et qu'environ 400 copies ont dépassé 10.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules.

Sujet en PDF

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Toute affirmation doit être justifiée. On prendra soin à la clarté et à la précision de la rédaction.

Notations

Soit d un entier strictement positif. On note M_d(R) l'espace vectoriel des matrices carrées réelles de taille d et I_d désigne la matrice identité. Le produit de deux matrices A et B de M_d(R) est noté A × B ou simplement AB. On appelle commutateur de A et B la matrice
[A, B] = AB − BA
On rappelle que l'exponentielle d'une matrice carrée A ∈ M_d(R) est définie par
exp(A) = I_d + ∑_(n = 1)^∞(A^n)/(n!)
On munit M_d(R) d'une norme d'algèbre ‖ ⋅ ‖, c'est-à-dire que pour toutes matrices A, B de M_d(R),
‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖
On note GL_d(R) le groupe linéaire des matrices de M_d(R) qui sont inversibles, et SL_d(R) le sous-groupe de GL_d(R) formé des matrices de déterminant 1 .
La première et la troisième parties sont consacrées à l'étude de matrices carrées de taille d = 3. La deuxième partie est largement indépendante des autres parties.

Première partie

On considère l'ensemble des matrices carrées de taille 3 triangulaires supérieures strictes :
L = {M_(p, q, r)|(p, q, r) ∈ R^3} où M_(p, q, r) = (0, p, r; 0, 0, q; 0, 0, 0)
On définit H = {I_3 + M|M ∈ L}.
  1. Calculer l'exponentielle de la matrice M_(p, q, r).
2a. Montrer que l'on définit une loi de groupe ∗ sur L en posant pour M, N ∈ L :
M∗N = M + N + 1/2[M, N]
On explicitera l'inverse de M_(p, q, r).
2b. Déterminer les matrices M_(p, q, r) ∈ L qui commutent avec tous les éléments de L pour la loi *. (L, ∗) est-il commutatif?
3. Montrer que pour toutes matrices M, N ∈ L, on a :
(expM) × (expN) = exp(M∗N)
  1. Soient M et N deux éléments de L. Montrer que
exp([M, N]) = exp(M)exp(N)exp(− M)exp(− N)
  1. Montrer que H muni du produit usuel des matrices est un sous-groupe de SL_3(R) et que
exp : (L, ∗) → (H, ×)
est un isomorphisme de groupes.

Deuxième partie

On considère dans cette partie deux matrices A et B de M_d(R).
Dans les questions 6 et 7 , on suppose de plus que A et B commutent avec [A, B].
6a. Montrer que [A, exp(B)] = exp(B)[A, B].
6b. Déterminer une équation différentielle vérifiée par t ↦ exp(tA)exp(tB).
6c. En déduire la formule :
exp(A)exp(B) = exp(A + B + 1/2[A, B])
  1. On note L = Vect(A, B, [A, B]).
7a. Si M, N ∈ L, montrer que [M, N] commute avec M et N.
7b. Soit G = {exp(M)|M ∈ L}. Montrer que ( G, × ) est un groupe et que l'application
Φ : H → G, exp(M_(p, q, r)) ↦ exp(pA + qB + r[A, B]),
est un morphisme de groupes.
Dans toute la suite de cette partie, A et B sont à nouveau deux matrices quelconques de M_d(R).
8. Soit (D_n)_(n ∈ N) une suite de M_d(R) qui converge vers D ∈ M_d(R). Elle est donc bornée : soit λ > 0 tel que pour tout entier n ∈ N, ‖D_n‖ ≤ λ.
8a. Soit k ∈ N. Justifier que (n!)/((n − k)!n^k) → 1 quand n → + ∞ et que si n ≥ k (et n ≥ 1 ),
0 ≤ 1 − (n!)/((n − k)!n^k) ≤ 1
En déduire que
(I_d + (D_n)/n)^n − ∑_(k = 0)^n 1/(k!)(D_n)^k → 0 quand n → + ∞
8b. Montrer que pour tous entiers k ≥ 1 et n ≥ 0,
‖(D_n)^k − D^k‖ ≤ kλ^(k − 1)‖D_n − D‖
8c. Conclure que (I_d + (D_n)/n)^n → exp(D) quand n → + ∞.
9a. Soit D ∈ M_d(R) telle que ‖D‖ ≤ 1. Montrer qu'il existe une constante μ > 0 indépendante de D telle que
‖exp(D) − I_d − D‖ ≤ μ‖D‖^2
9b. Montrer qu'il existe une constante ν > 0, et pour tout n ≥ 1 une matrice C_n ∈ M_d(R), tels que
exp(A/n)exp(B/n) = I_d + A/n + B/n + C_n et ‖C_n‖ ≤ ν/(n^2)
  1. Déduire de ce qui précède que
exp(A + B) = lim_(n → + ∞)(exp(A/n)exp(B/n))^n

Troisième partie

Soit T un réel strictement positif. On note E(T) l'ensemble constitué des couples ( u, v ) de fonctions continues sur [0, T] à valeurs réelles.
Un chemin de Carnot contrôlé par (u, v) ∈ E(T) est une application γ : [0, T] → M_3(R) de classe C^1 solution de l'équation différentielle matricielle :
{γ^′(t) = u(t)γ(t)M_(1, 0, 0) + v(t)γ(t)M_(0, 1, 0); γ(0) = I_3
où les matrices M_(1, 0, 0) et M_(0, 1, 0) ont été introduites dans la première partie.
11a. Pour tout (u, v) ∈ E(T), justifier l'existence d'un unique chemin de Carnot controlé par (u, v).
11b. Montrer que γ vérifie
∀t ∈ [0, T], γ(t) ∈ H
et calculer explicitement, en fonction de t, u et v les fonctions p(t), q(t) et r(t) telles que
γ(t) = exp(M_(p(t), q(t), r(t)))
  1. Pour tout (θ, φ) ∈ R^2 et t ∈ R, on définit les contrôles
u_(θ, φ)(t) = sin(θ − φt) et v_(θ, φ)(t) = cos(θ − φt)
et on note γ_(θ, φ)(t) = exp(M_(p(t), q(t), r(t))) le chemin de Carnot controlé par ( u_(θ, φ), v_(θ, φ) ).
12a. On suppose φ ≠ 0. Calculer p(t) et q(t) et vérifier que
r(t) = (tφ − sin(tφ))/(2φ^2)
12b. Calculer de même γ_(θ, 0)(t).
La sphère de Carnot est l'ensemble :
B(1) = {(p, q, r) ∈ R^3|∃(θ, φ) ∈ [ − π, π] × [ − 2π, 2π], γ_(θ, φ)(1) = exp(M_(p, q, r))}.
  1. On définit les fonctions f et g sur ]0, 2π] par :
f(s) = (2(1 − coss))/(s^2) et g(s) = (s − sins)/(2s^2).
Montrer que f et g se prolongent par continuité sur [0, 2π]; que f est alors une bijection continue de [0, 2π] sur un ensemble qu'on précisera; et que g atteint son maximum en π.
14. Montrer que si (p, q, r) ∈ B(1) avec r ≥ 0 alors r = g ∘ f^(− 1)(p^2 + q^2). Énoncer et établir une réciproque.
On pourra donner l'allure de la fonction s ↦ g ∘ f^(− 1)(s^2) pour s ∈ [0, 1] et notamment les tangentes en s = 0 et s = 1.
15. Montrer l'existence d'une constante c_1 > 0 telle que pour tout (p, q, r) ∈ B(1), on ait
c_1^(− 1) ≤ p^2 + q^2 + |r| ≤ c_1.
16a. Montrer que pour tout (p, q, r) ∈ R^3∖{(0, 0, 0)}, il existe un unique λ > 0 tel que :
(λp, λq, λ^2 r) ∈ B(1)
16b. En déduire que pour tout point A ∈ H, il existe un réel positif T(A) et des paramètres (θ, φ) (dépendants également de A ) tels que A soit l'extrémité du chemin de Carnot contrôlé par (u_(θ, φ), v_(θ, φ)) ∈ E(T(A)).
16c. Montrer l'existence d'une constante c_2 > 0 telle que pour tout (p, q, r) ∈ R^3,
c_2^(− 1)√(p^2 + q^2 + |r|) ≤ T(exp(M_(p, q, r))) ≤ c_2√(p^2 + q^2 + |r|).

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