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Mines Mathématiques 2 MP 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Inégalité sur le déterminant de la somme de deux matrices symétriques
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Le problème établit l'inégalité det(A+B) inférieure ou égale au maximum sur les permutations sigma du produit des (a_k + b_sigma(k)), pour A et B symétriques réelles de valeurs propres a_k et b_k. Les préliminaires mobilisent la décomposition M_n(R) = S_n plus A_n, la trace, l'exponentielle de matrice et la continuité du polynôme caractéristique, avant que la démonstration proprement dite n'utilise la compacité du groupe orthogonal, puis qu'une dernière partie explicite la permutation qui réalise le maximum.

  1. 1I. PréliminairesOutils d'algèbre et d'analyse : décomposition en matrices symétrique/antisymétrique, trace, exponentielle de matrice, continuité des coefficients du polynôme caractéristique.
  2. 2II. Démonstration de l'inégalité (1)Utilisation de la compacité du groupe orthogonal pour distinguer les cas où A+B0 est inversible ou singulière.
  3. 3III. Une permutation qui réalise le maximumConstruction explicite, par récurrence, d'une permutation qui réalise le maximum du produit dans l'inégalité.

Difficile. Plusieurs questions de la seconde moitié du sujet n'ont été réussies que par une minorité de candidats : environ un dixième pour la question 8, moins de la moitié pour les questions 10 et 12, et très peu pour les questions 19 et 20.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Réponse « d'après le cours » sans démonstration · Définition de la matrice orthogonale mal connue · Développement limité de l'exponentielle mal justifié
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Le sujet, qui mobilisait une large partie du programme d'algèbre et d'analyse, a bien départagé les candidats : il y avait de très bonnes copies et toute l'échelle de la notation était représentée. Le jury rappelle qu'une réponse invoquant seulement le cours, sans démonstration correcte, n'est jamais prise en compte.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Réponse « d'après le cours » sans démonstration

    Le jury rappelle qu'une telle réponse n'est jamais prise en compte si elle n'est pas étayée par une démonstration correcte.

    « la réponse d'après le cours à une question n'est pas prise en compte s'il n'y a pas une démonstration correcte pour étayer l'affirmation »
  2. 2
    Définition de la matrice orthogonale mal connueQ11

    Beaucoup de candidats pensent à tort qu'une matrice orthogonale est une matrice carrée de déterminant égal à 1 ou moins 1.

    « Beaucoup de candidats ne connaissent pas la signification de matrice orthogonale »
  3. 3
    Développement limité de l'exponentielle mal justifiéQ5

    Substituer la matrice M dans le développement limité scalaire de l'exponentielle en 0 sans majoration sur les normes de matrices n'est pas une démonstration suffisante.

    « n'est pas une démonstration suffisante »
  4. 4
    Construction de N0 rarement aboutieQ8

    Seule une petite proportion des candidats a su construire la matrice N0 attendue dans le cas où M n'est pas inversible.

    « Environ un dixième des candidats a réussi à résoudre cette question »
  5. 5
    Lien entre sous-suite convergente et la matrice B non vuQ19

    Les candidats n'ont pas vu que la suite des B_k admettait une sous-suite convergente ni fait le lien avec la matrice B.

    « Très peu de candidats ont résolu cette question correctement »
  6. 6
    Justifications fantaisistes de la continuitéQ6

    Pour justifier la continuité de l'application donnant les coefficients du polynôme caractéristique, de nombreuses réponses invoquent des arguments hors sujet ou incorrects.

    « montrent un manque de sérieux et de réflexion chez certains »

Ce qui a été bien réussi

  • La plupart des candidats démontrent correctement que M_n(R) est somme directe de A_n et S_n (question 1).
  • Une bonne partie des candidats répond correctement à la question 2.
  • Les questions 13 et 14 ont été en général bien menées ou traitées correctement dans la majorité des copies.
  • Les candidats qui ont abordé la question 17 l'ont souvent bien maîtrisée.

Conseils du jury

  • Connaître et bien comprendre les théorèmes du cours, qui sont nécessaires pour réussir l'épreuve.
  • Réfléchir à la signification précise des mots employés et savoir construire des contre-exemples pour éviter les non-sens.
  • Avant de conclure trop vite à une erreur d'énoncé, relire sa propre démonstration pour vérifier qu'elle ne contient pas elle-même une erreur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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A 2005 Math MP 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

DEUXIÈME ÉPREUVE

Filière MP

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2 - Filière MP.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Soient A et B deux matrices symétriques de M_n(ℝ) dont les valeurs propres sont notées respectivement (a_k, 1 ≤ k ≤ n) et (b_k, 1 ≤ k ≤ n), répétées suivant leur multiplicité. On veut démontrer l'inégalité :
det(A + B) ≤ max_(σ ∈ 𝔖_n)∏_(k = 1)^n(a_k + b_(σ(k)))
où 𝔖_n désigne le groupe des permutations de l'ensemble {1, ⋯, n}.

Notations

On note par ‖. ‖lanormeeuclidiennecanoniquesurℝ^n et on munit M_n(ℝ) de la norme matricielle subordonnée que, pour alléger les notations, on notera aussi ‖. ‖.PourtoutematricecarréeM, on note M^t sa matrice transposée, det(M) son déterminant et tr(M) sa trace. La matrice identité de M_n(ℝ) est notée I.
Une matrice M ∈ M_n(ℝ) est dite symétrique (respectivement antisymétrique) lorsque M = M^t (respectivement M^t = − M ). On note S_n (respectivement A_n ) le sous-espace vectoriel des matrices symétriques (respectivement anti-symétriques).

Résultats admis

On admet les propriétés suivantes:
P1 - Si A et B sont deux matrices diagonalisables et si elles commutent, il existe une base de diagonalisation commune à A et B.
P2 - Si A et B commutent alors exp(A + B) = exp(A)exp(B).

I. Préliminaires

  1. Montrer que
M_n(ℝ) = S_n ⊕ A_n
  1. On note (E_((i, j)), (i, j) ∈ {1, ⋯, n} × {1, ⋯, n}) la base canonique de M_n(ℝ).
    Pour M ∈ M_n(ℝ), expliciter tr(ME_((i, j))) en fonction des coefficients de M.
  2. Soit M ∈ M_n(ℝ) telle que pour toute matrice T ∈ A_n, tr(MT) = 0. La matrice M est-elle symétrique ou anti-symétrique?
  3. Soit T ∈ A_n, montrer que e^T est orthogonale.
  4. Soit M ∈ M_n(ℝ). Montrer que, pour s au voisinage de 0 ,
e^(sM) = I + sM + O(s^2)
  1. Soit M ∈ M_n(ℝ). Pour j ∈ {0, ⋯, n}, on note α_j(M) le coefficient de X^j dans le polynôme caractéristique de M :
det(M − XI) = ∑_(j = 0)^n α_j(M)X^j
Montrer que pour tout j ∈ {0, …, n}, l'application (M ↦ α_j(M)) est continue.
7) Soit M ∈ M_n(ℝ). Montrer que pour s au voisinage de 0 ,
det(I + sM) = 1 + str(M) + O(s^2)
et que
det(I + sM + O(s^2)) = 1 + str(M) + O(s^2)
  1. On suppose que M ∈ M_n(ℝ) n'est pas inversible. Construire une matrice N_0 de M_n(ℂ) telle que, pour tout s > 0, on ait det(M + sN_0) > 0.
  2. Montrer que l'on peut choisir N_0, à coefficients réels, diagonalisable (respectivement symétrique) si M est diagonalisable (respectivement symétrique).

II. Démonstration de l'inégalité (1)

On rappelle que A et B sont des matrices réelles symétriques.
10) Montrer que si les matrices A et B commutent alors il existe σ ∈ 𝔖_n telle que:
det(A + B) = ∏_(k = 1)^n(a_k + b_(σ(k)))
  1. Soit O_n l'ensemble des matrices orthogonales de M_n(ℝ). Montrer que O_n est une partie compacte de M_n(ℝ).
  2. Pour tout M ∈ M_n(ℝ), on considère la partie O_n(M) de M_n(ℝ) définie par
O_n(M) = {UMU^(− 1); U ∈ O_n}
Montrer qu'il existe B_0 ∈ O_n(B) telle que
det(A + B_0) = sup_(C ∈ O_n(B))det(A + C)

II. 1 A + B_0 inversible

De cette question à la question 17, on suppose que A + B_0 est inversible. Pour T ∈ A_n et pour tout réel s, on définit ψ_T(s) par
ψ_T(s) = det(A + e^(sT)B_0 e^(− sT))
  1. Montrer que pour s au voisinage de 0 , on a
ψ_T(s) = det(A + B_0)[1 + str((TB_0 − B_0 T)(A + B_0)^(− 1))] + O(s^2).
  1. Montrer que pour tout s réel, on a ψ_T(s) ≤ ψ_T(0).
  2. Montrer l'égalité suivante:
tr(TB_0(A + B_0)^(− 1)) = tr(T(A + B_0)^(− 1)B_0).
  1. Montrer que B_0 commute avec (A + B_0)^(− 1) et A.
  2. Montrer l'inégalité (1).

II. 2A + B_0 singulière

On suppose dorénavant que A + B_0 n'est pas inversible.
18) Montrer qu'il existe deux suites de M_n(ℝ), ( B_k, k > 0 ) et ( N_k, k > 0 ) telles que
(i) N_k converge vers B_0 quand k tend vers + ∞,
(ii) B_k ∈ O_n(N_k) pour tout k > 0,
(iii) det(A + N_k) ≤ det(A + B_k) pour tout k > 0,
(iv) B_k commute avec A pour tout k > 0.
19) Montrer l'inégalité (1).

III. Une permutation qui réalise le maximum

Indépendamment des matrices A et B, étant données deux suites de réels (a_k, 1 ≤ k ≤ n) et (b_k, 1 ≤ k ≤ n), on se propose de préciser l'inégalité (1), en explicitant une permutation σ ∈ 𝔖_n pour laquelle le produit
P(σ) = ∏_(k = 1)^n(a_k + b_(σ(k)))
est maximum. On supposera que les hypothèses suivantes sont vérifiées:
{a_1 ≤ a_2 ≤ … ≤ a_n; b_1 ≤ b_2 ≤ … ≤ b_n; a_i + b_j > 0 pour tout (i, j)
Pour tout entier n ≥ 1, on considère la propriété π(n) suivante: pour toutes les suites ( a_k, 1 ≤ k ≤ n ) et ( b_k, 1 ≤ k ≤ n ) vérifiant (H) et toute permutation σ ∈ 𝔖_n, on a
∏_(k = 1)^n(a_k + b_(σ(k))) ≤ ∏_(k = 1)^n(a_k + b_(n − k + 1))
  1. Établir π(n) pour tout n ≥ 2.
Indication : pour n > 2 et σ ∈ 𝔖_n donnés, on distinguera deux cas :
Cas 1: σ vérifie σ(n) = 1. On montrera qu'il existe alors τ ∈ 𝔖_(n − 1) telle que pour i ∈ {1, ⋯, n − 1}, σ(i) = τ(i) + 1.
Cas 2: Il existe i < n et j > 1 tels que σ(i) = 1 et σ(n) = j et on ramènera l'étude du second cas au premier en factorisant P(σ)par(a_i + b_1)(a_n + b_j).

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Mines MP 2005 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Mines MP 2005 ?

Le sujet porte sur les matrices symétriques et antisymétriques, l'exponentielle de matrice, la continuité du polynôme caractéristique, la compacité du groupe orthogonal et la combinatoire des permutations.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 Mines MP 2005 ?

Le jury signale des réponses invoquant seulement le cours sans démonstration, une définition erronée de la matrice orthogonale, des développements limités de matrices mal justifiés, et des justifications de continuité fantaisistes.

Ce sujet de maths 2 Mines MP 2005 est-il difficile ?

Oui : plusieurs questions de la seconde moitié du sujet n'ont été résolues que par une minorité de candidats, par exemple environ un dixième pour la question 8 et très peu pour les questions 19 et 20.

Le sujet de maths 2 Mines MP 2005 est-il un bon entraînement sur les matrices symétriques ?

Oui, il combine réduction des matrices symétriques, exponentielle de matrice et propriétés du groupe orthogonal, avec des démonstrations qui testent la compréhension fine du cours.

Pas de description pour le moment