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Mines Physique 2 MP 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Mouvement à force centrale
  • Lois de Kepler
  • Perturbation d'une orbite képlérienne
  • Moment cinétique
  • Méthode des moindres carrés
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Annales Mines MP PhysiqueMines MP 2006MP PhysiquePhysique 2006

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Présentation du sujet

Difficile
Redécouverte de Neptune : perturbation d'une orbite képlérienne et méthode de Le Verrier
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Le problème retrace la découverte de Neptune par Le Verrier à partir des perturbations observées sur la trajectoire d'Uranus. Il traite d'abord le problème direct : établir les équations perturbatives d'une orbite képlérienne et leur solution. Il esquisse ensuite le problème inverse, qui consiste à retrouver les paramètres de la planète perturbatrice à partir des observations.

  1. 1I - Mise en place de l'étudePrésente les observations et données, le mouvement d'une particule dans un champ gravitationnel et la perturbation d'une orbite képlérienne.
  2. 2II - Étude du problème directÉtablit les équations perturbatives aux ordres les plus bas, étudie la solution forcée puis complète, et revient sur les lois de Kepler et le moment cinétique.
  3. 3III - Esquisse du problème inverseAborde les difficultés de l'ajustement des paramètres à partir des observations : masquage de l'effet prépondérant et ambiguïté.

Difficile. Le rapport indique que si le sujet se rapporte au programme de première année, son développement est du niveau d'une classe de deuxième année, et que les notes sont très étalées avec un écart type important.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Troisième loi de Kepler mal énoncée · Erreurs de signe et force parasite · Loi des aires à l'ordre 2 rarement justifiée
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Le sujet, bien que se rapportant au programme de première année, se développe à un niveau de deuxième année, et certains candidats semblent avoir oublié cette partie du programme. L'ensemble des candidats a traité plus de la moitié des questions avec plus ou moins de succès, et les notes sont très étalées avec un écart type important.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Troisième loi de Kepler mal énoncée1

    La troisième loi de Kepler est rarement énoncée dans son intégralité et se résume trop souvent à une formule sans explication.

    « La troisième loi de Kepler est rarement énoncée dans son intégralité »
  2. 2
    Erreurs de signe et force parasite5

    Des erreurs de signe apparaissent souvent, et certains candidats ajoutent à tort le poids de la planète aux forces d'interaction.

    « Parfois, en plus des forces d’interactions on trouve le poids de la planète »
  3. 3
    Loi des aires à l'ordre 2 rarement justifiée9

    La relation attendue est généralement trouvée mais peu de candidats justifient que la loi des aires reste vraie à l'ordre 2.

    « seuls quelques rares candidats ont justifié que la loi des aires est vraie à l’ordre 2 »
  4. 4
    Développements limités mal maîtrisés13

    Beaucoup de candidats se perdent dans les développements limités et obtiennent le résultat sans rigueur apparente.

    « Beaucoup se perdent dans les développements limités et arrivent au résultat comme par magie »
  5. 5
    Méthode des moindres carrés peu connue22

    Le principe d'obtention des paramètres par la méthode des moindres carrés est inconnu de la plupart des candidats.

    « La méthode des moindres carrés est peu connue »

Ce qui a été bien réussi

  • Le jury a pu apprécier la grande qualité de certaines copies.
  • Plusieurs questions isolées (3, 8, 11, 17, 21, 24) ont été jugées bien traitées quand elles ont été abordées.

Conseils du jury

  • Numéroter les réponses conformément au texte, sauter une ligne entre chaque réponse, écrire lisiblement et encadrer les résultats.
  • Réviser l'ensemble du programme de première et de deuxième année, car les sujets peuvent porter sur les deux.
  • Privilégier une rédaction claire, nette et concise plutôt que des réponses longues.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de la calculette est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE II -MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
  • Notations : le vecteur unitaire de la coordonnée c est noté e⃗_c; la norme du vecteur V⃗ est notée |V⃗|.

Redécouvrons la planète Neptune!

Problème direct, problème inverse et problèmes d'interprétation

La découverte de Neptune fournit à l'histoire des sciences un exemple remarquable d'histoire et de méthode scientifiques. La trajectoire de la planète Uranus, observée par Herschel en 1781, ne suit pas les lois de Newton même lorsque l'on tient compte, pour la calculer, de l'influence des six autres planètes du système solaire connues en ce temps-là (cette influence est nommée perturbation). Le Verrier et Adams postulent alors l'existence d'une huitième planète, que l'on nommera plus tard Neptune. Leurs prévisions, confrontées aux observations astronomiques, fournissent les paramètres orbitaux de Neptune. La planète sera observée, effectivement, en 1846.
Le problème comprend trois parties, corrélées entre elles par le sens; les résultats essentiels sont souvent donnés. La première partie établit quelques résultats de la mécanique du point dans un champ gravitationnel, la deuxième partie étudie de manière perturbative (c'est-à-dire à l'ordre le plus bas par rapport à un petit paramètre) un aspect du problème à trois corps en interaction gravitationnelle; la troisième partie étudie un problème inverse, dans le sens où l'on s'y propose de déterminer les caractéristiques d'une planète (Neptune) à partir des anomalies de trajectoire qu'elle produit sur une autre planète (Uranus).
Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique.

I - Mise en place de l'étude

Observations et données

Compte tenu de l'influence gravitationnelle du Soleil et de celle des planètes connues avant l'observation de Neptune, la trajectoire d'Uranus peut être considérée avec une excellente
Fig. 1 Anomalie de longitude de la planète Uranus
approximation comme circulaire uniforme, de rayon R_U et de période T_U = (2π)/(Ω_U). La grandeur φ_U = Ω_U t serait dans ce cas (à une constante près, définissant l'origine des temps) la longitude héliocentrique de Neptune, c'est-àdire l'angle entre une direction fixe dans le plan de la trajectoire (plan de l'écliptique) et la demidroite joignant les centres respectifs du Soleil et d'Uranus. L'observation révèle un écart systématique, noté Δφ, entre ce φ_U calculé et la position réelle de la planète. La Fig. 1 montre les données de l'époque ; l'écart résiduel semble être une fonction oscillante du temps, avec une période d'une centaine d'années ; il semble aussi qu'à cette variation se superpose une décroissance vaguement linéaire ; enfin, l’ordre de grandeur de l’écart résiduel est de l'ordre de quelques dizaines de secondes d'angle.
Pour rendre compte de ces observations, on considère le système à trois corps suivant, supposé isolé : S (Soleil), U (Uranus) et N (Neptune) ; l'influence des autres planètes est englobée dans les paramètres orbitaux de la trajectoire circulaire dont on vient de parler.
On exprimera les masses en masses solaires (M_S ≈ 2 × 10^(30) kg), les distances en unités astronomiques UA ( 1UA ≈ 1, 5 × 10^(11) m, demi-grand axe de l'orbite terrestre) et les temps en années (≈ 3 × 10^7 s). La constante de gravitation est notée G. On utilisera les valeurs numériques suivantes:
Rayon de l'orbite d'Uranus R_U = 19, 19UA Masse d'Uranus m_U = 4, 373 × 10^(− 5)M_S
Rayon de l'orbite de Neptune R_N = 30, 08UA Masse de Neptune m_N = 5, 178 × 10^(− 5)M_S

I-1 Particule dans un champ gravitationnel

◻1 - On considère la trajectoire circulaire (rayon R, période T ) d'une particule de masse m dans le champ de gravitation d'une particule de masse M; l'ensemble des deux particules est isolé. Rappeler la troisième loi de Kepler ; exprimer le rapport C = (T^2)/(R^3) en fonction de G et de M; vérifier que, dans le système d'unités convenu, C = 1.
◻2 - Montrer que, dans le système d'unités convenu, la valeur numérique de G est G = 4π^2.
◻3 - On modélise le mouvement de Neptune comme un mouvement circulaire uniforme centré autour du Soleil et situé dans le plan de l'écliptique. La période orbitale de Neptune est T_N, sa fréquence angulaire orbitale (ou pulsation) est notée Ω_N = (2π)/(T_N). Calculer les périodes T_U et T_N d'Uranus et Neptune en années, et leurs fréquences angulaires Ω_U et Ω_N en années ^(− 1). Vérifier que l'ordre de grandeur de la fréquence de battement Ω = Ω_U − Ω_N est 0,0367 année ^(− 1) et que la valeur du rapport r = (Ω_U)/Ω est très proche d'un nombre entier.

Notations pour les questions suivantes

Soit ( S, e⃗_X, e⃗_Y ) un repère orthonormé du plan de l'écliptique, avec le Soleil pour origine (Fig. 2) ; on note e⃗_Z la direction orthogonale au plan de l'écliptique formant un trièdre ( S, e⃗_X, e⃗_Y, e⃗_Z ) orthonormal direct en translation par rapport au référentiel galiléen de Copernic. Le dernier alignement Soleil-Uranus-Neptune (conjonction) a eu lieu en 1822 ; cette année sera prise comme l'origine des temps. En t = 0, le Soleil, Uranus et Neptune sont alignés; le vecteur e⃗_X désigne le vecteur unitaire portant à cette date le vecteur SU^(→−). On note dans (S, e⃗_X, e⃗_Y, e⃗_Z) la longitude héliocentrique d'Uranus φ(t) = SX, SUˆ et on note Δφ_N(t) la correction due à Neptune. On a donc φ(t) = Ω_U t + Δφ_N(t).
◻4 - Le référentiel lié au repère ( S, e⃗_X, e⃗_Y, e⃗_Z ) est-il galiléen?
◻5 - Une origine arbitraire étant fixée, on définit les positions respectives de S par le vecteur r⃗_S, de Uranus par r⃗_U et de Neptune par r⃗_N. Exprimer, dans un référentiel galiléen R, le principe fondamental de la dynamique successivement pour le Soleil, pour Uranus et pour Neptune.
◻6 - On pose ρ⃗_N = r⃗_N − r⃗_S, ρ⃗_U = r⃗_U − r⃗_S, et Gm_N((ρ⃗_N − ρ⃗_U)/(|ρ⃗_N − ρ⃗_U|^3) − (ρ⃗_N)/(|ρ⃗_N|^3)) = f⃗. Montrer que
(d^2 ρ_U^(→−))/(dt^2) + G(M_S + m_U)(ρ⃗_U)/(|ρ⃗_U|^3) = f⃗
◻7 - Dans le repère mobile ( S, e⃗_ρ, e⃗_φ, e⃗_Z ), les coordonnées polaires d'Uranus sont notées [ρ_U(t), φ(t)] et l'on a SU^(→−) = ρ_U e⃗_ρ. Le mouvement non perturbé d'Uranus correspond à f⃗ = 0→(m_N = 0). Les grandeurs non perturbées seront dorénavant repérées par le symbole (0) en exposant. Les coordonnées polaires d'Uranus dans ce mouvement non perturbé sont donc notées [ρ_U^((0))(t), φ^((0))(t)], avec φ^((0))(t) = Ω_U t. Justifier que ρ_U^((0))(t) ≈ R_U.

I-2 Perturbation d'une orbite képlérienne

Soit une orbite képlérienne circulaire. L'excentricité de la trajectoire est nulle ( e^((0)) = 0 ), le demi grand axe est égal au rayon de la trajectoire (a^((0)) = R) et la fréquence angulaire est notée ω On considère une orbite képlérienne voisine, version perturbée de cette orbite circulaire. L'orbite perturbée est une ellipse de demi grand axe a^((1)) = R + Δa et d'excentricité e^((1)) = e^((0)) + Δe = Δe. Cette orbite peut être vue comme résultant de la composition de deux classes indépendantes de perturbations :
  • Classe I : l'orbite reste circulaire, mais avec un rayon différent : a = R + Δa, e = 0.
  • Classe II : l'orbite devient elliptique, le grand axe reste inchangé : a = R, e = Δe ≠ 0.
Avec des notations standard, le mouvement perturbé est décrit en coordonnées polaires par ρ(t) = R + u(t) et φ(t) = ωt + (v(t))/R, ce qui définit les fonctions u et v. La pulsation instantanée du mouvement est (dφ)/(dt) = ω + 1/R(dv)/(dt) = ω + Δω(t).
◻8 - Pour une orbite perturbée de classe I (orbite circulaire), u(t) = Δa est constant. Déduire de la troisième loi- loi de Kepler [a^3 ω^2 = C^(te)] que (dv)/(dt) = − 3/2ωΔa.
◻9 - Justifier que, pour la perturbation de classe II, la période du mouvement ne change pas; déduire de la loi des aires [ρ^2((dφ)/(dt)) = C^(te)] que, à l'ordre le plus bas, (dv)/(dt) = − 2ωu.

II - Étude du problème direct

On affirme dans cette partie l'existence de Neptune et on détermine comment cette planète affecte la trajectoire d'Uranus. On se réfère donc, à partir de maintenant à l'équation du mouvement de la question 6 .

II-1. Équations perturbatives aux ordres les plus bas

◻10 - Dans quelle mesure la force f⃗ peut-elle être évaluée (a priori tout au moins) à partir du mouvement non perturbé des planètes Uranus et Neptune ? On admettra dans la suite l'expression
f⃗ = Gm_N((ρ⃗_N^((0)) − ρ⃗_U^((0)))/(|ρ⃗_N^((0)) − ρ⃗_U|^3) − (ρ⃗_N^((0)))/(|ρ⃗_N^((0))|^3))
11 - Dans le repère mobile ( S, e⃗_ρ, e⃗_φ, e⃗_Z ), le mouvement non perturbé d'Uranus est décrit par le vecteur SU^(→−) = ρ_U^((0))e⃗_ρ = R_U e⃗_ρ. Exprimer, dans ce repère, les composantes de ρ⃗_N^((0)) et de ρ⃗_N^((0)) − ρ⃗_U^((0)) en fonction de R_U, R_N et Ω = Ω_U − Ω_N.
En déduire les expressions des composantes de f⃗ : f⃗ = f_ρ e⃗_ρ + f_φ e⃗_φ, sous la forme f_ρ = εF_ρ et f_φ = εF_φ, avec
F_ρ, = ((cosΩt − k))/((1 − 2kcosΩt + k^2)^(3/2)) − cosΩt et; F_φ, = − (sin(Ωt))/((1 − 2kcosΩt + k^2)^(3/2)) + sin(Ωt)
Exprimer ε et k en fonction de G, m_N, R_U et R_N.
Numériquement (voir Fig. 3) ε ≈ 2, 26 × 10^(− 6) UA. (année) ^(− 2) et k ≈ 0, 638.
12 - En comparant les ordres de grandeur respectifs de |f⃗| et de (GM_S)/(ρ_U^2), vérifier la légitimité de l'approximation faite surf⃗ à la question 10 .
Fig. 3. Forces réduites en fonction de la phase Ωt. Les « F » sont de l'ordre de l'unité, ce qui montre que ε calibre effectivement la force |f|.
13 - On pose ρ_U(t) = ρ_U^((0))(t) + u(t) et φ(t) = φ^((0))(t) + (v(t))/(R_U). Montrer que u et v obéissent au système différentiel linéarisé suivant, noté [C-13] (C pour complet et 13 pour numéro de la question) :
u¨ − 2Ω_U v˙ − 3Ω_U^2 u, = εF_ρ; v¨ + 2Ω_U u˙, = εF_φ

II-2. Étude de la solution forcée

◻14 - Justifier les développements F_ρ = ∑_(n = 0)^∞a_n cosnΩt et F_φ = ∑_(n = 1)^∞b_n sinnΩt. Pourquoi la solution forcée du système [C-13] est-elle développable en série de Fourier ?
◻15 - On pose u(t) = ε∑_n u_n cosnΩt et v(t) = ε∑_n v_n sinnΩt. Justifier les parités respectives des fonctions u et v. Le calcul conduit à l'identification
u_0 = − (a_0)/(3Ω_U^2), u_n = ((nΩa_n − 2Ω_U b_n))/(nΩ(Ω_U^2 − n^2 Ω^2)) et v_n = (− 2nΩ_U Ωa_n + (3Ω_U^2 + n^2 Ω^2)b_n)/(n^2 Ω^2(Ω_U^2 − n^2 Ω^2)).
Retrouver l'expression de u_0 en procédant à un moyennage judicieux du système [C-13]. Les valeurs numériques de Ω_U et de Ω_N ont été calculées à la question 3. Pour quelle valeur de n, notée r, y a-t-il quasi résonance, c'est-à-dire quasi nullité des dénominateurs ? Dans la suite, on se limitera aux polynômes trigonométriques
u(t) = εu_0 + εu_r cos(rΩt), v(t) = εv_r sin(rΩt)
Fig. 4. Confrontation des données expérimentales à la solution obtenue à la question 16. Il convient donc de revenir sur la résolution du système C-13.
16 - Le calcul donne a_2 = 1, 50 et b_2 = − 1, 18. Déduire de la question 15 que Δφ_N(t) = − γsin(2Ωt); calculer γ en seconde d'arc. La Fig. 4 confronte le résultat de ce calcul et les données expérimentales. C'est évidemment très mauvais; sans doute parce qu'il n'a pas été tenu compte de la solution homogène de [C-13]. Il faut donc revenir sur la résolution de ce système et apprécier le rôle de cette solution homogène ; c'est l'objet de la partie II-3.

II-3. Étude de la solution complète

17- Le système homogène associé à [C-13] peut se réécrire sous la forme du système [H-17] :
u¨ − 2Ω_U v˙ − 3Ω_U^2 u = 0; v¨ + 2Ω_U u˙ = 0 ⇔ v˙ + 2Ω_U u = 2Ω_U A,
où A est une constante d'intégration. Établir que les solutions de ce système sont la somme
  • d'une solution, dite de fréquence angulaire nulle {u^((0)), v^((0))}, faisant intervenir une constante d'intégration B
  • et d'une solution dite de fréquence angulaire Ω_U, faisant intervenir deux autres constantes d'intégration, α et β.
La solution homogène fait ainsi apparaître ainsi quatre constantes d'intégration, A, B, α et β et l'on a :
{u, v} = {u^((0)) + u^((Ω_U)), v^((0)) + v^((Ω_U))}, avec; u^((0)) = 4A; v^((0))(t) = − 6AΩ_U t + B u^((Ω_U))(t) = αsin(Ω_U t) + βcos(Ω_U t); v^((Ω_U))(t) = − 2βsin(Ω_U t) + 2αcos(Ω_U t).

II-4. Retour sur les lois de Képler

◻18 - Supposons que le mouvement d'Uranus dans le référentiel ( S, e⃗_ρ, e⃗_φ, e⃗_Z ) soit circulaire de rayon a = R_U + ΔR_U, où ΔR_U est un terme perturbatif constant ; la perturbation dans ce cas est de classe I, selon la nomenclature introduite au paragraphe I-2. L'équation différentielle liant v˙ à u est alors (cf. la première équation de [H-17]) 2v˙ + 3Ω_U u = 0.
En s'appuyant sur les considérations de la question 8, interpréter la solution de fréquence angulaire nulle de [H-17].
19 - On s'intéresse maintenant à une perturbation de classe II ; le mouvement perturbé est décrit par {u^((Ω_U)), v^((Ω_U))}; il obéit aux lois de Kepler. Montrer qu'il résulte de la troisième loi
de Kepler que la période du mouvement perturbé est égale à la période du mouvement non perturbé, ce dernier étant circulaire uniforme ; on justifie ainsi que la fréquence angulaire de la solution périodique soit Ω_U.

II-5. Retour sur le moment cinétique

◻20 - Vérifier que la solution {u^((Ω_U)), v^((Ω_U))} vérifie l'équation différentielle suivante [L-20]
v˙^((1)) + 2Ω_U u^((1)) = 0.
Mettre cette observation en perspective du résultat de la question 9.

II-6. Considérations numériques

21 - Expliquer pourquoi il est plus aisé de tester expérimentalement la solution v(t) que la solution u(t).
22 - La solution générale du système [C-13] donne l'expression suivante pour Δφ_N(t)
Δφ_N(t) =, = − γsin2Ωt + 1/(R_U)(− 6AΩ_U t + B − 2βsinΩ_U t + 2αcosΩ_U t); = − γsin2Ωt_()_(Perturbation due à Neptune) + β_1 Ω_U t + β_2_()_(Solution affine de l'équation homogène) + β_3 sinΩ_U t + β_4 cosΩ_U t_()_(Solution périodique de l'équation homogène).
Fig. 5. Meilleur ajustement pour la correction de longitude d'Uranus :
β_1 ≈ − 4, 12^(′′), β_2 ≈ − 23, 6^(′′), β_3 ≈ 867^(′′), β_1 ≈ − 4, 12^(′′) et β_4 ≈ 45, 5^(′′).
Fig. 6 - Battements dans la correction de longitude. La partie en gras, encadrée en pointillés, correspond aux données accessibles entre les années 1690 et 1840 (cf. Fig. 5).
Les quatre paramètres inconnus A, B, α et β (ou β_1, β_2, β_3 et β_4 ) se déduisent des données expérimentales. Plutôt que de considérer les valeurs des fonctions cherchées et de leurs dérivées à un instant donné, nous allons adopter une méthode d'obtention globale des paramètres, en considérant la mesure quadratique d'erreur D_M, définie sur M points par
D_M^2 = 1/M∑_(k = 1)^M[Δφ_N^(calculé)(t_k) − Δφ_N^(mesuré)(t_k)]^2.
Pourquoi cet estimateur donne-t-il des résultats préférables à ceux que donnerait l'ajustement en un point ? Donner, sans développer les calculs, le principe d'obtention des paramètres inconnus. Commenter le résultat du calcul, représenté Fig. 5 (et qui, pour information, correspond à la valeur minimale D_M^∗ = 17, 2 ") ; en particulier, comparer l'ordre de grandeur des oscillations de Δφ_N^(exp)(τ) à l'amplitude γ.
◻23 - Les fréquences angulaires 2Ω et Ω_U dans l'expression de Δφ_N(t) sont quasiment
commensurables ; elles font donc apparaître le phénomène de battement (Fig. 6), de fréquence angulaire Ω_b = Ω_U − 2Ω.
Calculer la période T_b associée à Ω_b. Est-il possible, pour une durée d'observation T très inférieure à T_b, de séparer les composantes oscillatoires de fréquence angulaire 2Ω et Ω_U ?

III - Esquisse du problème inverse

Jusqu'ici, nous avons supposé l'existence de la planète perturbatrice (Neptune) et nous avons étudié la manière dont sa présence affecte la trajectoire d'Uranus. Dans la réalité, il en est allé tout autrement. L'affirmation de l'existence de Neptune est un tour de force de physique théorique. Pour en avoir une idée, nous considérons le modèle simplifié suivant :
Si l'on ne tenait pas compte de la perturbation apportée par la planète Neptune, on trouverait que la trajectoire non perturbée d'Uranus autour du Soleil serait circulaire (orbite képlérienne de grand axe a = R_U d'excentricité e = 0; fréquence angulaire Ω_U, φ(t) = φ^((0))(t) = Ω_U t). Cette trajectoire calculée tient compte des solutions du système homogène (H-17) ; elle n'est évidemment pas observable.
La trajectoire observée semble képlérienne, de grand axe a et d'excentricité e≪1; son équation polaire est
ρ = (a(1 − e^2))/(1 + ecos(φ)) ≈ _(au premier; ordre en e)a[1 − ecos(φ)].
Elle vérifie ρ^2(dφ)/(dt) = R_U^2 Ω_U.
Les parties III-1 et III-2 ci-après sont traitables indépendamment l'une de l'autre.

III-1. Premier traquenard de l'ajustement : masquage de l'effet prépondérant

◻24 - Établir que, au premier ordre en e,
φ(t) = φ^((1))(t) = Ω_U t + 2esin(Ω_U t)
Avant la découverte de Neptune, il s'agissait seulement d'ajuster e aux données expérimentales.
25 - Il résulte de ce modèle (et du calcul de la question 22) que la seule correction à considérer est, dans le cadre de ce modèle, celle qui est due à Neptune :
Δφ_N(t) = φ(t) − Ω_U t ≈ − γsin2Ωt_()_(Perturbation due à Neptune) ≈ − γsinΩ_U t.
Justifier maintenant l'affirmation suivante :
La trajectoire perturbée ressemble à une orbite képlérienne, avec l'excentricité (incorrecte !) e = − 1/2γ(≈ − 2 × 10^(− 3)). La vraie correction (γ ≈ 900^(′′)) est relativement importante ; il se trouve que, lorsque l'on considère une orbite képlérienne incorrecte, la correction résiduelle est plutôt faible (cf. question 16). L'influence de Neptune peut donc être masquée par une valeur incorrecte de l'excentricité d'Uranus.
26 - Avec quelle précision faut-il mesurer l'excentricité d'Uranus pour être sûr que ses anomalies de trajectoire soient liées à la présence d'un corps étranger ?
27 - On suppose que les paramètres orbitaux de Neptune - planète dont on affirme l'existence - sont inconnus. On se propose de déterminer ces derniers à partir des données expérimentales. Il faut d'abord déterminer les quatre β de la question 22. Quels sont les autres paramètres à introduire ? interviennent-ils linéairement dans l'expression de l'anomalie de longitude?

III-2. Deuxième traquenard de l'ajustement : ambiguïté

28 - Supposons résolus tous les problèmes ; la solution perturbative, limitée à l'harmonique 2, a été optimisée (question 22) ; toutes les valeurs numériques sont connues :
Δφ_N(t) = (v(t))/(R_U) = − γsin2Ωt_()_(Perturbation due à Neptune) + β_1 Ω_2 t + β_2_()_(Solution affine de Íćquation homogène) + β_3 sinΩ_U t + β_4 cosΩ_U t_()_(Solution périodique de l'équation homogène).
Plaçons Neptune sur son orbite. Déplaçons-la maintenant de 180^∘, c'est-à-dire plaçons là diamétralement opposée par rapport à sa position initiale. Cela change-t-il quelque chose à la solution ? Voyez-vous une méthode pour résoudre cette ambiguïté ?

FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE

Source : http://www.cnes.fr/html/107_519.php

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de Physique 2 Mines MP 2006 sur Neptune ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de Physique 2 Mines MP 2006 sur Neptune ?

Le sujet porte sur le mouvement à force centrale, les lois de Kepler, la perturbation d'une orbite képlérienne et la méthode des moindres carrés, à travers la découverte de Neptune par Le Verrier.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines Physique 2 MP 2006 ?

Une troisième loi de Kepler mal énoncée, des erreurs de signe, une justification insuffisante de la loi des aires à l'ordre 2, et une méconnaissance de la méthode des moindres carrés.

Le sujet Mines Physique 2 MP 2006 sur Neptune est-il difficile ?

Le rapport indique que, bien que rattaché au programme de première année, le sujet se développe à un niveau de deuxième année, avec des notes très étalées.

Faut-il réviser la mécanique de première année pour ce sujet Mines MP 2006 ?

Oui, le rapport rappelle que le sujet porte sur le programme de première année et que certains candidats semblent l'avoir oublié.

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