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Centrale Mathématiques 2 MP 2000Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

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Méthode de Jacobi : diagonalisation approchée d'une matrice symétrique réelle
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Le problème étudie la méthode de Jacobi, une méthode de calcul approché du spectre d'une matrice symétrique réelle. Il construit d'abord une norme sur l'espace des matrices, puis établit des résultats généraux de diagonalisation avant d'étudier la convergence d'une suite de matrices vers une forme diagonalisée de la matrice de départ, illustrée sur un exemple en dimension 3.

  1. 1Partie I : Une norme sur Mat(n, IR)Construire un produit scalaire et une norme sur l'espace des matrices carrées, avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
  2. 2Partie II : Diagonalisation pour n=2Étudier la diagonalisation d'une matrice symétrique 2x2 à l'aide de la trigonométrie.
  3. 3Partie III : Quelques résultats générauxÉtablir des résultats généraux sur l'orthogonalité et le calcul des coefficients liés à la diagonalisation.
  4. 4Partie IV : Suites dans un espace vectoriel normé de dimension finieÉtudier des suites de matrices dans un espace vectoriel normé de dimension finie.
  5. 5Partie V : Méthode de JacobiÉtudier la convergence d'une suite de matrices vers une diagonalisée de la matrice de départ.
  6. 6Partie VI : Étude d'un exemple pour n=3Appliquer la méthode de Jacobi à un exemple concret en dimension 3.

Accessible. Le rapport précise que l'énoncé était très progressif et très détaillé, avec peu de questions réellement délicates, et que les capacités requises ne dépassaient pas, ou rarement, le niveau des techniques les plus élémentaires.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Axiomes du produit scalaire mal connus · Cauchy-Schwarz rarement bien établi · Lacunes en trigonométrie élémentaire
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L'énoncé privilégiait une rédaction très progressive et détaillée, avec peu de questions réellement délicates et des capacités requises ne dépassant pas, ou rarement, le niveau des techniques élémentaires. Malgré cela, une grande majorité des copies présente de criantes insuffisances, en particulier sur des notions de base comme le produit scalaire, la trigonométrie ou l'orthogonalité.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Axiomes du produit scalaire mal connusI.B

    L'énoncé des axiomes du produit scalaire n'est exact que dans moins d'une copie sur deux, avec souvent une propriété manquante ou en trop, et une confusion fréquente entre une norme et son carré.

    « l’énoncé des axiomes du produit scalaire est exact dans moins d’une copie sur deux »
  2. 2
    Cauchy-Schwarz rarement bien établiI.C

    L'inégalité de Cauchy-Schwarz n'est obtenue que dans 20 % des copies, et la définition de la norme subordonnée est rarement abordée, encore plus rarement de façon concluante.

  3. 3
    Lacunes en trigonométrie élémentaireII.C, II.D

    Les lacunes en trigonométrie élémentaire compliquent inutilement les méthodes utilisées, et l'imparité de la fonction attendue est inconnue de nombreux candidats.

  4. 4
    Valeurs approchées à la place d'un calcul algébriqueII.C, II.D

    Les candidats se cantonnent à fournir des valeurs approchées dans l'application numérique là où un calcul algébrique était attendu.

  5. 5
    Orthogonalité peu vérifiéeIII.A

    L'orthogonalité n'est évoquée qu'une fois sur deux et la vérification est souvent aberrante.

  6. 6
    Partie IV délaisséePartie IV

    La partie IV a été le parent pauvre du sujet : la négation du prédicat est déjà un écueil insurmontable, et peu de candidats poursuivent au-delà en citant simplement un grand mot comme compacité ou complétude.

    « La partie IV a été le parent pauvre du sujet »

Conseils du jury

  • Connaître exactement les axiomes du produit scalaire, sans en oublier ni en ajouter.
  • Ne pas confondre une norme avec son carré.
  • Fournir un calcul algébrique plutôt qu'une simple valeur approchée quand le calcul exact est demandé.
  • Ne pas utiliser le symbole d'implication à la place de « donc » : il remplace un verbe, pas une conjonction.
  • Soigner la présentation matérielle et l'orthographe de la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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MATHÉMATIQUES II

On se propose dans ce problème d'étudier une méthode de calcul approché des valeurs propres d'une matrice symétrique réelle.
Notations : On désigne par Mat(n, ℝ) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, par S_n(ℝ) le sous-espace des matrices symétriques, par O_n(ℝ) le groupe des matrices orthogonales d'ordre n et par O_n^+(ℝ) le groupe des matrices orthogonales directes (i.e. dont le déterminant vaut 1 ).
On désigne par diag (α_1, …, α_n) la matrice diagonale d'ordre n :
[α_1, …, 0; ⋮, ⋱, ⋮; 0, …, α_n]
La notation A = (a_(i, j)) signifie que la matrice A de Mat(n, ℝ) a pour coefficient a_(i, j) en i-ème ligne et j-ème colonne. Dans ce cas, la transposée de A sera notée ^t A et la trace de A définie par Tr(A) = ∑_(i = 1)^n a_(i, i).
Liens entre les parties du problème : La partie I sert dans tout le problème. La partie II traite d'un cas particulier que l'on aura intérêt à traiter soigneusement avant de poursuivre. La partie IV est indépendante de ce qui précède et sert dans V.D - .

Partie I - Une norme sur Mat(n, IR )

I.A - Montrer que pour tout couple de matrices carrées (A, B),
(Tr(AB)) = Tr(BA).
I.B - Montrer que l'application
φ : Mat(n, ℝ) × Mat(n, ℝ) → ℝ, définie par : φ(A, B) = Tr(A^t B)

Filière MP

est un produit scalaire; calculer en particulier φ(A, A). On note ‖‖ la norme associée à φ. Exprimer ‖A‖^2 en fonction des ( a_(i, j) ).
I.C - Montrer que pour toute matrice A = (a_(i, j))_(i, j) de Mat(n, ℝ), on a :
∑_(i = 1)^n a_(i, i)^2 ≤ n∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n a_(i, j)^2
En déduire la norme de l'application Tr : Mat(n, ℝ) → ℝ (norme subordonnée à la norme ‖‖ ).
I.D - Soit Ω un élément de O_n(ℝ). Montrer que pour toute matrice A, ‖ΩA‖ = ‖A‖. Prouver que si A est une matrice symétrique, la matrice B = ^t ΩAΩ est elle-même symétrique et que l'on a, en notant ( b_(i, j) ) les coefficients de B :
∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n b_(i, j)^2 = ∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n a_(i, j)^2.

Partie II - Diagonalisation pour n = 2

Soient A une matrice de S_2(ℝ), et Ω une matrice de O_2^+(ℝ) définies par:
A = [a_(1, 1), a_(1, 2); a_(1, 2), a_(2, 2)], Ω = [cos(θ), sin(θ); − sin(θ), cos(θ)].
On pose B = ^t ΩAΩ = (b_(i, j)).
II.A - Calculer les termes de la matrice B.
II.B - Montrer que
∑_(i = 1)^2 b_(i, i)^2 + 2b_(2, 1)^2 = ∑_(i = 1)^2 a_(i, i)^2 + 2a_(2, 1)^2.
II.C - On suppose ici que a_(1, 2) ≠ 0. Montrer qu'il existe un réel θ appartenant à ] − π/4, 0[U]0, π/4], et un seul, tel que b_(2, 1) = 0 (penser à distinguer deux cas).
Définir la fonction F qui, à une matrice symétrique non diagonale de S_2(ℝ), associe le réel θ ainsi défini.
II.D - Montrer que pour ce choix de θ, la matrice B est diagonale et que b_(1, 1) et b_(2, 2) sont les valeurs propres de A.
II.E - On donne
A = 1/5[1, 12; 12, − 6]
Calculer θ = F(A) puis la matrice B. En déduire les éléments propres de A.

Partie III - Quelques résultats généraux

On définit, pour θ réel, p et q entiers donnés (avec p < q ), une matrice Ω = (ω_(i, j)) de Mat(ℝ, n) en posant:
Ω = [1, 0, …, 0, 0, …; 0, 1, …, 0, 0, …; ⋮, ⋮, ⋱, ⋮, ⋮, …; 0, 0, …, cos(θ), …, sin(θ), …; ⋮, ⋮, ⋱, ⋮, …, ⋮; 0, 0, …, − sin(θ), …, cos(θ), …; ⋮, ⋮, ⋮, ⋮, ⋱, 0; 0, 0, …, 0, …, 0, …]
où ω_(p, p) = ω_(q, q) = cos(θ), ω_(p, q) = sin(θ) et ω_(q, p) = − sin(θ).
On considère A = (a_(i, j)) une matrice de S_n(ℝ) et B = ^t ΩAΩ.
III.A - Justifier que B = (b_(i, j)) est symétrique et que
∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n b_(i, j)^2 = ∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n a_(i, j)^2

III.B - Calcul des coefficients de B

III.B.1) Soit M = (m_(i, j)) = AΩ. Exprimer, en fonction de θ et des coefficients de A, les coefficients m_(i, j), m_(i, p) et m_(i, q) lorsque j est un élément de [ 1, n ] distinct de p et de q, i est quelconque dans [1, n].
III.B.2) Exprimer, en fonction des coefficients de A et de θ les coefficients b_(i, j), puis b_(i, p), b_(i, q) pour i, j tous deux différents de p et de q, ainsi que b_(p, q), b_(p, p) et b_(q, q).
III.B.3) Donner une relation simple entre les matrices.
[b_(p, p), b_(p, q); b_(q, p), b_(q, q)] et [a_(p, p), a_(p, q); a_(q, p), a_(q, q)].
En déduire que
b_(p, p)^2 + b_(q, q)^2 + 2b_(p, q)^2 = a_(p, p)^2 + a_(q, q)^2 + 2a_(p, q)^2.
III.B.4) On suppose que a_(p, q) est non nul, montrer qu'il existe un réel θ_(p, q) appartenant à ] − π/4, 0[ ∪ ]0, π/4] et un seul, tel que b_(p, q) = 0.

Partie IV - Suites dans espace vectoriel normé de dimension finie

Soit E un espace vectoriel normé, de dimension finie, dont la norme est notée ‖‖.
IV.A - On se propose de montrer le résultat suivant: une suite (x_n)_(n ∈ ℕ) de l'espace normé ( E, ‖‖ ) telle que :
(x_n)_(n ∈ ℕ) est bornée,; (x_n)_(n ∈ ℕ) admet un nombre fini de valeurs d'adhérences,; lim_(n → ∞)‖x_(n + 1) − x_n‖ = 0
est convergente.
On considère donc (x_n)_(n ∈ ℕ) qui vérifie les propriétés (1), (2) et (3) et M un entier strictement supérieur à 1 ; on note a_μ pour 1 ≤ μ ≤ M, les valeurs d'adhérence de (x_n)_(n ∈ ℕ).
IV.A.1) Montrer, en raisonnant par l'absurde, que :
∀ε > 0, ∃n_ε ∈ ℕ, ∀k ∈ ℕ, k ≥ n_ε ⇒ x_k ∈ ⋃_(μ = 1)^M B(a_μ, ε)
où B(a_(μ^′)ε) est la boule ouverte de centre a_μ et de rayon ε.
IV.A.2) En déduire, par un choix judicieux de ε, qu'il existe μ ∈ [1, M] et un entier n_0 tels que : k ≥ n_0 ⇒ x_k ∈ B(a_(μ^′)ε), et conclure.

Partie V - Méthode de Jacobi : une suite de matrices convergeant vers une diagonalisée de A

Soit A un élément de S_n(ℝ). On note ( λ_1, …, λ_n ) ses valeurs propres, éventuellement répétées avec leur multiplicité.
On définit par récurrence une suite de matrices A_k = (a_(i, j)^((k))) en posant A_0 = A, et A_(k + 1) = ^t Ω_k A_k Ω_k où Ω_k est construite de la façon suivante :
si A_k est diagonale, Ω_k est la matrice unité,
sinon la matrice Ω_k est définie comme dans la partie III, en choisissant :
(1) deux entiers p et q tels que p < q et a_(p, q)^((k)) = sup_(i ≠ j)|a_(i, j)^((k))|
(2) θ = θ_k, dans ] − π/4, 0[U]0, π/4] tel que cotan(2θ_k) = (a_(q, q)^((k)) − a_(p, p)^((k)))/(2a_(p, q)^((k))).
On observera que p et q dépendent de k et on pourra noter, si le besoin s'en fait sentir, p = p_k et q = q_k.
V.A - Donner une conséquence du choix de θ_k pour la matrice A_(k + 1).
V.B - On pose A_k = D_k + B_k avec D_k = diag(a_(i, i)^k) et ε_k = ‖B_k‖^2, la norme étant définie comme dans la partie I.
V.B.1) Montrer que ε_k ≤ n(n − 1)|a_(p, q)^((k))|^2.
V.B.2) Montrer, en utilisant la question III.B.3, que ε_(k + 1) = ε_k − 2|a_(p, q)^((k))|^2.
V.B.3) En déduire que
ε_(k + 1) ≤ 1 − 2/(n(n − 1))ε_k, puis que lim_(k → ∞)ε_k = 0.
Que peut-on dire de la suite (B_k)_(k ∈ ℕ) dans l'espace normé ( Mat(ℝ, n), ‖‖ ) ?
V.C - On veut montrer que la suite des matrices diagonales (D_k)_(k ∈ ℕ) admet un nombre fini de valeurs d'adhérence dans E = (Mat(ℝ, n), ‖‖), qui sont toutes des matrices de la forme diag(λ_(σ_1), …, λ_(σ_n)) où la suite finie ( λ_(σ_1), …, λ_(σ_n) ) est obtenue par permutation des valeurs propres de A. Pour cela considérons une suite extraite que nous noterons (D_(k_l))_(l ∈ ℝ,) convergeant vers une matrice Δ dans l'espace E((k_l)_(l ∈ ℕ) désigne une suite d'entiers naturels strictement croissante).
V.C.1) Montrer que la limite Δ est une matrice diagonale.
V.C.2) Montrer que A et Δ ont le même polynôme caractéristique.
V.C.3) Conclure.

V.D - Convergence de la méthode

V.D.1) Montrer que la suite ( D_k ) est bornée et que lim_(k → ∞)(D_(k + 1) − D_k) = 0.
V.D.2) Montrer que les suites ( D_k ) et ( A_k ) convergent dans ( Mat(ℝ, n), ‖‖ ) et dire en quoi l'algorithme ainsi défini permet d'obtenir une valeur approchée des valeurs propres de A.

Partie VI - Étude d'un exemple pour n = 3

On donne ici
A = [15, 4, 3; 4, 6, 12; 3, 12, − 1], et on définit la suite A_k comme dans V - .
VI.A - Déterminer θ_0 puis Ω_0. Donner les valeurs rationnelles des coefficients (a_(i, j)^((1))).
VI.B - Calculer de la même façon θ_1, Ω_1 et les coefficients (a_(i, j)^((2))) de A_2.
VI.C - Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A. Observation?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 2 MP 2000 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 2 MP 2000 ?

Il porte sur le produit scalaire et les normes sur les matrices, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, la réduction des matrices symétriques, les suites dans un espace vectoriel normé de dimension finie et la méthode de Jacobi.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Des axiomes du produit scalaire mal connus, une inégalité de Cauchy-Schwarz obtenue dans seulement 20 % des copies, des lacunes en trigonométrie élémentaire et un usage abusif du symbole d'implication.

Ce sujet Centrale maths 2 MP 2000 est-il accessible en prépa MP ?

Le rapport le décrit comme progressif et détaillé, avec peu de questions réellement délicates, même si l'exécution par les candidats a révélé de nombreuses insuffisances.

Qu'est-ce que la méthode de Jacobi étudiée dans ce sujet ?

C'est une méthode de calcul approché du spectre d'une matrice symétrique réelle, fondée sur une suite de matrices convergeant vers une forme diagonalisée.

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