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Séries inconditionnellement convergentes, lemme de Lewis et théorème de Dvoretzky-Rogers dans les espaces de Banach

Le problème étudie la convergence inconditionnelle des séries dans les espaces vectoriels normés. La partie I la caractérise en dimension finie et montre qu'elle diffère de la convergence absolue en dimension infinie. Les parties II et III établissent le lemme de Lewis puis le lemme de Dvoretzky-Rogers. La partie IV en déduit le théorème de Dvoretzky-Rogers : en dimension infinie il existe une série inconditionnellement convergente dont la série des normes diverge. Les parties V et VI étudient l'unicité dans le lemme de Lewis et les opérateurs absolument sommants.

1Partie I : convergence inconditionnelle en dimension finie et infinieCaractérisation de la convergence inconditionnelle par la convergence absolue en dimension finie, puis exemple montrant que cette équivalence est fausse dans l'espace de Banach c0.
2Partie II : lemme de LewisConstruction, par un argument de compacité et d'extremum, d'une application linéaire u0 de l'espace euclidien vers un espace normé de dimension finie, inversible et vérifiant une inégalité de trace optimale.
3Partie III : lemme de Dvoretzky-RogersConstruction, à partir de u0, d'une base orthonormale adaptée puis d'une famille de vecteurs de E dont les combinaisons linéaires sont contrôlées par la norme euclidienne des coefficients.
4Partie IV : théorème de Dvoretzky-RogersDémonstration, dans un espace de Banach de dimension infinie, de l'existence d'une série inconditionnellement convergente dont la série des normes diverge, par découpage en blocs et application du lemme de la partie III.
5Partie V : unicité dans le lemme de LewisÉtude de l'unicité, à un automorphisme orthogonal près, de l'application u0 du lemme de Lewis, à l'aide de la décomposition polaire et de l'inégalité arithmético-géométrique.
6Partie VI : opérateurs absolument sommantsDéfinition et premières propriétés des opérateurs absolument sommants, exemples et contre-exemples (inclusion continu-intégrable, identité de c0), et lien avec la convergence inconditionnelle des séries.

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Si le candidat détecte ce qu'il pense être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans tout le problème, le corps de scalaires est

ℝ

. Si

X

Y

sont deux espaces vectoriels normés, on note

L(X, Y)

l'espace des applications linéaires de

X

dans

Y

et on note

‖|f|‖

la norme opérateur (norme triple) usuelle de toute application linéaire continue

f \in L(X, Y)

. In notera toujours

I

l'application identité, quel que soit l'espace sous-jacent,

Tr(u)

la trace d'un endomorphisme

u

sur un espace vectoriel de dimension finie et

det(u)

son déterminant. Le déterminant d'une matrice carrée

A

sera noté

det(A)

. Enfin,

A^⊥

désignera l'orthogonal (au sens du produit scalaire sous-jacent) d'un sous espace

A

.
Soit

E

un espace normé, on dit qu'une série

\sum_(n \in ℕ)x_n

est inconditionnellement convergente dans

E

si, pour tout choix de signes

(ε_i)_(i ∈ ℕ) ∈ { − 1, 1}^ℕ

, la série

\sum_(n \in ℕ)ε_n x_n

est convergente
dans

E

Partie I.

Démontrer qu'une série de réels $\sum_(n \in ℕ)x_n$ est inconditionnellement convergente si et seule-
ment si $\sum_(n \in ℕ)|x_n|$ est convergente.

2 ) Soit (

E, ‖ \cdot ‖

) un espace vectoriel normé de dimension finie, à quelle condition sur

‖x_n‖

, une série

\sumx_n

E

est inconditionnellement convergente? (on démontrera le résultat annoncé).

On note

c_0

l'espace des suites réelles convergentes vers 0 , que l'on munit de la norme

‖u‖_\infty = sup_(k \in ℕ)|u_k|

, avec

u = (u_k)_(k \in ℕ)

. On rappelle que c'est un espace de Banach.
3) Pour tout

n \in ℕ

, on définit

x^((n)) \in c_0

par

x_k^((n)) = 1/(n + 1)

k = n

et 0 sinon. Montrer que la série

\sum_(n \in ℕ)x^((n))

est inconditionnellement convergente dans

c_0

.
4) Conclure.

Partie II : lemme de Lewis.

Dans cette partie, (

E, ‖ \cdot ‖

) un espace vectoriel normé de dimension

n

, où

n \in ℕ∖{0}

. On définit

ℓ_2^n

comme l'espace

ℝ^n

muni de sa structure euclidienne canonique. La norme est donc

‖(x_i, \dots, x_n)‖_2 = (\sum_(k = 1)^n x_k^2)^(1/2)

. On note

β_0

la base canonique de

ℝ^n

Soit
On fixe une base

β

E

. Pour

u \in L(ℓ_2^n, E)

, on définit

Φ(u) = |det(A)|

où

A

est la matrice représentative de

u

dans les bases

β_0

β

Montrer qu'il existe $u_0 \in K$ tel que $sup_(u \in K)Φ(u) = Φ(u_0)$
Montrer que $u_0$ est inversible.
On fixe $v \in L(ℓ_2^n, E)$ et $ε > 0$ . Montrer que $|det(I + εu_0^(- 1) \circ v)| ⩽ (1 + ε‖|v|‖)^n$ .
Soit $f \in L(ℝ^n)$ . Montrer que pour tout réel $t$ , on a $det(I + tf) = 1 + tTr(f) + o(t)$ .
En déduire que $u_0$ vérifie : pour tout $v \in L(ℓ_2^n, E)$ , on a $Tr(u_0^(- 1) \circ v) ⩽ n‖‖v‖$ Que vaut $sup{Tr(u_0^(− 1) ∘ v)|v ∈ L(ℓ_2^n, E)$ avec $‖|v|‖ ⩽ 1}$ ?

Partie III : lemme de Dvoretzky-Rogers.

On reprend les notations de la partie II.

Soit $i \in {1, \dots, n - 1}$ . Soit $F$ un sous-espace de $ℓ_2^n$ de dimension $i$ . On note $P \in L(ℓ_2^n)$ la projection orthogonale sur $F^⊥$ .

1-a) Montrer que $(n - i)/n ⩽ ‖|u_0 \circ P|‖$ .
1-b) En déduire qu'il existe $y \in F^⊥$ tel que $‖u_0(y)‖ ⩾ (n - i)/n$ et $‖y‖_2 = 1$ .

Construire une base orthonormale $(y_1, \dots, y_n)$ de $ℓ_2^n$ telle que $‖u_0(y_j)‖ ⩾ (n - j + 1)/n$ pour tout $j \in {1, \dots, n}$ .
Soit $m = [n/2] + 1$ où $[n/2]$ désigne la partie entière de $n/2$ . On définit les vecteurs de $E$ : $v_i = ‖u_0(y_i)‖^(- 1).u_0(y_i)$ pour $1 ⩽ i ⩽ m$ .
Montrer que pour tous $a_1, \dots, a_m \in ℝ, ‖\sum_(i = 1)^m a_i v_i‖ ⩽ 2(\sum_(i = 1)^m a_i^2)^(1/2)$

Partie IV : théorème de Dvoretzky-Rogers.

Dans cette partie, (

X, ‖

é ‖)désigneunespacedeBanachdedimensioninfinie.

On fixe une suite de réels positifs

(c_n)_(n \in ℕ)

telle que

\sum_(n = 0)^\inftyc_n^2

converge. On pose

c = 2(\sum_(n = 0)^\inftyc_n^2)^(1/2)

Montrer qu'il existe une suite strictement croissante d'entiers $(n_j)_(j \in ℕ)$ avec $n_0 = 0$ vérifiant $\sum_(n ⩾ n_k)c_n^2 ⩽ c^2 4^(- k)$ pour tout entier $k$ .
Montrer qu'il existe une suite $(v_n)_(n \in ℕ)$ de vecteurs de $X$ de norme 1 telle que pour tout entier $k$ et pour tous réels $a_(n_k + 1), \dots, a_(n_(k + 1)) \in ℝ, ‖\sum_(i = n_k + 1)^(n_(k + 1))a_i v_i‖ ⩽ 2(\sum_(i = n_k + 1)^(n_(k + 1))a_i^2)^(1/2)$
Montrer qu'il existe une suite $(x_n)_(n \in ℕ)$ de vecteurs de $X$ telle que $‖x_n‖ = c_n$ et telle que la série $\sumx_n$ soit inconditionnellement convergente dans $X$
En déduire que dans un espace de Banach de dimension infinie, il existe une suite $(x_n)_(n \in ℕ)$ de vecteurs telle $\sumx_n$ est inconditionnellement convergente dans $X$ et la série $\sum‖x_n‖$ diverge.

Partie V : "unicité" dans le lemme de Lewis.

On reprend les notations de la partie II. On rappelle que

ℓ_2^n = ℝ^n

, muni de sa tructure euclidienne canonique.

u_0

est l'application construite dans la partie II.

Montrer que pour tout endomorphisme orthogonal $w$ de $ℝ^n, u_0 \circ w$ a les mêmes propriétés que $u_0$ : on rappelle que $u_0$ est inversible, $‖|u_0|‖ = 1$ et pour tout $v \in L(ℓ_2^n, E)$ , on a $Tr(u_0^(- 1) \circ v) ⩽ n‖|v|‖$ .
Soit $f \in GL(ℝ^n)$ (on rappelle qu'il s'agit de l'ensemble des endomorphismes inversibles de $ℝ^n$ ).

2-a) Montrer qu'il existe un endomorphisme $s$ de $ℝ^n$ , symétrique défini positif tel que $f^* \circ f = s \circ s$ .
2-b) Montrer qu'il existe un endomorphisme orthogonal $u$ de $ℝ^n$ et un endomorphisme $s$ symétrique défini positif tel que $f = u \circ s$ .

On suppose qu'il existe

u_1 \in L(ℓ_2^n, E)

ayant les mêmes propriétés que

u_0 : u_1

est inversible,

‖|u_1|‖ = 1

et pour tout

v \in L(ℓ_2^n, E)

, on a

Tr(u_1^(- 1) \circ v) ⩽ n‖|v|‖

.
3) Montrer qu'il existe un automorphisme orthogonal

u

ℝ^n

et un endomorphisme

s

symétrique défini positif tel que

u_1 = u_0 \circ u \circ s

.
4) Montrer que

det(s) = 1

et que

Tr(s^(- 1)) ⩽ n

.
5) Montrer que si

t_1, \dots, t_n > 0

, alors

(\prod_(k = 1)^n t_k)^(1/n) ⩽ 1/n\sum_(k = 1)^n t_k

. Etudier le cas d'égalité.
6) Conclure.

Partie VI : Opérateurs absolument sommants.

Soient

X

Y

deux espaces vectoriel normés dont on note respectivement les normes

‖

. et

‖.‖^'

. Soit

T \in L(X, Y)

, on note

Λ(T)

l'ensemble des constantes

C ⩾ 0

telles que pour tout choix d'un nombre fini de vecteurs

x_1, \dots, x_p \in X

, on a

∑_(j = 1)^p‖T(x_j)‖^′ ⩽ Csup{‖∑_(j = 1)^p ε_j x_j‖; ε_1, …, ε_p ∈ { − 1, 1}}

On dit que

T \in L(X, Y)

est absolument sommante si

Λ(T)

est non vide.

Soit $T \in L(X, Y)$ absolument sommante. Montrer que $Λ(T)$ admet un plus petit élément que l'on notera $π(T)$
Soit $T \in L(X, Y)$ absolument sommante. Montrer que $T$ est continue et comparer $‖|T|‖$ et $π(T)$
Soient $X$ et $Y$ deux espaces vectoriels normés. Montrer que l'ensemble des applications absolument sommantes de $X$ dans $Y$ est un sous espace vectoriel de $L(X, Y)$ et que $T \mapsto π(T)$ est une norme sur cet espace.
Soit $X$ l'espace des fonctions continues sur $[0, 1]$ à valeurs réelles muni de la norme sup usuelle : $‖f‖_\infty = sup_(x \in [0, 1])|f(x)|$ . On désigne par $Y$ l'espace des fonctions continues sur [ 0,1 ] à valeurs réelles muni de la norme $‖f‖_1 = \int_0^1|f(x)|dx$ . Soit $J$ l'application de $X$ dans $Y$ qui à toute fonction continue sur $[0, 1]$ associe elle-même. Montrer que $J$ est absolument sommante et calculer $π(J)$ .
Montrer (de façon élémentaire) que l'identité de $c_0$ n'est pas absolument sommante.
Soient ( $E, ‖$ . $é ‖)unespacevectorielnorméetunesuite(x_n)_(n \in ℕ)$ de vecteurs de $E$ .

6-a) Montrer que $(M_p)_(p \in ℕ)$ est croissante, où $M_P = sup{‖∑_(j = 0)^p ε_j x_j‖; ε_0, …, ε_p ∈ { − 1, 1}}$
6-b) En déduire que si la série $\sum_(n \in ℕ)x_n$ est inconditionnellement convergente dans $E$ alors
la suite $(M_p)_(p \in ℕ)$ est bornée.
6-c) Soient $T \in L(X, Y)$ absolument sommante et une série $\sum_(n \in ℕ)x_n$ inconditionnellement convergente dans $X$ . Que peut on dire de $(‖T(x_j)‖^')_(j \in ℕ)$ ?

A quelle condition nécessaire et suffisante l'identité d'un espace de Banach est absolument sommante?

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques ENSAE MP 2001 ?

Le sujet porte sur l'analyse fonctionnelle : espaces de Banach, séries dans un espace normé, applications linéaires continues, pour établir le théorème de Dvoretzky-Rogers sur la convergence inconditionnelle des séries.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties II, III, IV et V s'enchaînent logiquement : chaque partie utilise les résultats établis dans la précédente (le lemme de Lewis de la partie II sert à construire le lemme de Dvoretzky-Rogers de la partie III, utilisé à son tour dans la partie IV).

Qu'est-ce que le théorème de Dvoretzky-Rogers démontré dans ce sujet ?

C'est le résultat, établi en partie IV, selon lequel dans tout espace de Banach de dimension infinie, il existe une série inconditionnellement convergente dont la série des normes des termes diverge, ce qui distingue fondamentalement la dimension infinie de la dimension finie.

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