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DE L'ECOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE

L'ADMINISTRATION ECONOMIQUE

- OPTION MATHEMATIQUES -

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

Durée 4 heures

Ce sujet comporte 6 pages. Si le candidat détecte ce qu'il pense être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre
Dans tout le problème, sauf indication contraire, E désigne un espace de Banach réel (i.e. un espace vectoriel réel normé complet) de dimension infinie. On notera E^′ l'ensemble des formes linéaires continues sur E muni de la norme
‖φ‖ = sup_(‖x‖ ≤ 1)|φ(x)|.
Pour simplifier les notations, toutes les normes utilisées sur les différents espaces vectoriels seront notées de la même manière ‖. ‖.
Soit (x_n)_(n ≥ 1) une suite (infinie) de vecteurs non nuls de E. On note F le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs x_n et F¯ son adhérence dans E. L'espace F¯ = G sera appelé "le sous-espace vectoriel fermé engendré par les vecteurs x_n ". On dira que la suite (x_n)_(n ≥ 1) est basique si pour tout vecteur x ∈ F¯, il existe une suite unique (a_n)_(n ≥ 1) de réels telle que la série ∑_(n = 1)^∞a_n x_n converge dans E et soit de somme x.
On dira que la suite (x_n)_(n ≥ 1) vérifie la condition (*) si
∃K > 0, ∀p, q ∈ ℕ, 1 ≤ p ≤ q, ∀(a_k)_(k = 1)^q ∈ ℝ^q, ‖∑_(k = 1)^p a_k x_k‖ ≤ K‖∑_(k = 1)^q a_k x_k‖.
Les cinq parties sont, dans une large mesure, indépendantes. La partie IV) utilise le résultat final de la partie III) et la partie V) utilise les résultats des parties II) et IV).

Partie I

On se propose de montrer ici que E contient une suite infinie de vecteurs non nuls vérifiant (*).
Soient x_1, …, x_n n vecteurs de E vérifiant
∃C > 0, ∀p, q ∈ ℕ, 1 ≤ p ≤ q ≤ n, ∀(a_k)_(k = 1)^q ∈ ℝ^q, ‖∑_(k = 1)^p a_k x_k‖ ≤ C‖∑_(k = 1)^q a_k x_k‖.
Soit ε > 0 fixé. On notera E_n le sous-espace de E engendré par x_1, …, x_n, S_n la sphère unité de E_n et δ = ε/((1 + ε)).
  1. Montrer qu'il existe z_1, …, z_M appartenant à S_n tels que
∀z ∈ S_n, ∃j ∈ {1, …, M}, ‖z − z_j‖ ≤ δ.
On admettra que pour tout z ∈ E tel que ‖z‖ = 1, il existe φ ∈ E^′ tel que ‖φ‖ = 1 et φ(z) = 1. Ainsi,
∀k ∈ {1, …, M}, ∃φ_k ∈ E^′, ‖φ_k‖ = 1, φ_k(z_k) = 1.
  1. Montrer qu'il existe x_(n + 1) ∈ E, ‖x_(n + 1)‖ = 1 et tel que x_(n + 1) ∈ ⋂_(k ∈ {1, …, M})Kerφ_k.
3-a) Soient α_1, …, α_n, α_(n + 1) ∈ ℝ tels que ‖∑_(k = 1)^n α_k x_k‖ = 1. Montrer, en choisissant j_0 ∈ {1, …, M} et en estimant φ_(j_0)(z_(j_0) + α_(n + 1)x_(n + 1)), que
‖∑_(k = 1)^(n + 1)α_k x_k‖ ≥ 1/(1 + ε)
3-b) Montrer que
∀p, q ∈ ℕ, 1 ≤ p ≤ q ≤ n + 1, ∀(a_k)_(k = 1)^(n + 1) ∈ ℝ^(n + 1), ‖∑_(k = 1)^p a_k x_k‖ ≤ C(1 + ε)‖∑_(k = 1)^q a_k x_k‖.
  1. Montrer, en choisissant ε = ε(n) convenablement et en raisonnant par récurrence, qu'il existe une suite infinie de vecteurs non nuls de E vérifiant (*).

Partie II

Question préliminaire: Soient E_1 et E_2 deux espaces de Banach, F ⊂ E_1 un sousespace vectoriel dense dans E_1 et T : F → E_2 une application linéaire continue. Montrer qu'il existe une et une seule application linéaire continue T~ : E_1 → E_2 prolongeant T (i.e. telle que pour tout x ∈ F, T(x) = T~(x)). Vérifier que ‖T~‖ = ‖T‖.
Soit (x_n)_(n ≥ 1) une suite de vecteurs non nuls de E vérifiant (^∗) (avec une constante K ). On note
H = {x ∈ E; ∃(a_n)_(n ≥ 1), a_n ∈ ℝ, x = ∑_(n = 1)^∞a_n x_n}
et on munit H de la norme induite par E.
  1. Montrer que pour tout x ∈ H, la suite ( a_n ) intervenant dans la définition de x comme élément de H est unique.
  2. Pour tout n ∈ ℕ^∗, on définit P_n : H → E par P_n(∑_(k = 1)^∞a_k x_k) = ∑_(k = 1)^n a_k x_k. Montrer que pour tout n ≥ 1, ‖P_n‖ ≤ K et que (P_n)_(n ≥ 1) est une famille de projecteurs linéaires dont on précisera l'image.
Dans toute la suite de cette partie, F et G = F¯ désignent respectivement le sous-espace vectoriel et le sous-espace vectoriel fermé de E engendrés par la suite ( x_n ).
3) En remarquant que F ⊂ H ⊂ G et en utilisant la question préliminaire, montrer que P_n se prolonge de manière unique en une application linéaire continue P~_n de G dans l'image de P_n. Montrer que
∀x ∈ G, P_n~(x) → x quand n → ∞.
  1. Montrer que pour tout x ∈ G,
x = P~_1(x) + ∑_(n = 1)^∞(P~_(n + 1)(x) − P~_n(x))
En déduire que G = H et conclure.

Partie III

Dans cette partie, E désigne un espace vectoriel normé. Deux joueurs, Pierre et Paul jouent au jeu suivant: Pierre choisit un ouvert U_1 non vide de E, puis Paul choisit un ouvert non vide V_1 inclus dans U_1, puis Pierre choisit un ouvert non vide U_2 inclus dans V_1 et ainsi de suite. A la fin de la partie, les deux joueurs ont ainsi défini deux suites décroissantes d'ouverts non vides ( U_n ) et ( V_n ) telles que
∀n ≥ 1, U_(n + 1) ⊂ V_n ⊂ U_n.
1-a) Montrer que ⋂_(n ∈ N^∗)U_n = ⋂_(n ∈ N^∗)V_n.
Notons U cet ensemble. Pierre a gagné la partie si U est vide et Paul si U n'est pas vide. On dit que l'un des joueurs a une stratégie gagnante s'il a une méthode lui permettant de gagner quelle que soit la façon de jouer de son adversaire. Remarquons qu'il n'est pas certain a priori que l'un des deux joueurs en ait une.
1-b) On suppose que l'espace E est une réunion dénombrable de fermés F_n d'intérieur vide. Montrer que Pierre a une stratégie gagnante. Indication: Pierre commence à jouer U_1 = E et à chaque choix V_n de Paul, Pierre répond V_n∖F_n.
1-c) Montrer que si E est complet, alors Paul a une stratégie gagnante. Indication: on rappelle le résultat suivant: si (F_n) est une suite décroissante de fermés non vides de E dont le diamètre tend vers 0 , alors l'intersection des F_n est non vide.
1-d) En déduire qu'un espace de Banach ne peut pas être égal à une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide.
Dans toute la suite de cette partie, E et F désignent deux espaces de Banach et T : E → F une application linéaire continue et bijective. On convient de noter, dans un espace vectoriel normé X, B(x_0, r) la boule ouverte de centre x_0 ∈ X et de rayon r et pour une partie C de X, C¯ son adhérence dans X.
2-a) On pose X_n = nT(B(0, 1))^– = {y ∈ F; ∃x ∈ T(B(0, 1))^–, y = nx}. Montrer que ⋃_(n = 1)^∞X_n = F.
2-b) En déduire qu'il existe c > 0 et y_0 ∈ F tels que B(y_0, 2c) ⊂ T(B(0, 1))^–.
2-c) Montrer que B(0, 2c) ⊂ T(B(0, 1))^–.
2-d) Soit y ∈ F vérifiant ‖y‖ < c. Construire une suite (z_n)_(n ≥ 1) vérifiant
‖z_n‖ < 1/(2^n) et ‖y − T(z_1 + … + z_n)‖ < c/(2^n).
2-e) Montrer que la suite ( x_n ) définie par x_n = z_1 + … + z_n converge dans E vers x = T^(− 1)(y).
2-f) Montrer que T^(− 1) est continue.

Partie IV

Dans cette partie, E est un espace de Banach de dimension infinie et (x_n)_(n ≥ 1) est une suite basique d'éléments de E. On note A l'ensemble des suites (a_n)_(n ≥ 1) de réels telles que la série ∑_(n = 1)^∞a_n x_n converge dans E. On munit l'espace vectoriel A de la norme
‖(a_n)‖_A = sup_(N ≥ 1)‖∑_(n = 1)^N a_n x_n‖.
  1. Montrer que A muni de la norme ‖.‖_A est un espace de Banach.
On note G le sous-espace vectoriel fermé de E engendré par les vecteurs (x_n)_(n ≥ 1) et on définit l'application linéaire Φ : A → G par
Φ((a_n)) = ∑_(n = 1)^∞a_n x_n.
2-a) Montrer que Φ est continue et bijective.
2-b) En déduire que la suite (x_n)_(n ≥ 1) vérifie la condition (*).

Partie V

Dans cette partie, on considère un espace de Banach E de dimension infinie et une suite basique ( x_n ) d'éléments de E de norme 1 . La suite ( x_n ) vérifie donc la condition (*) avec une constante K. On note G le sous-espace fermé de E engendré par les vecteurs x_n. On considère enfin une suite ( y_n ) d'éléments de E telle que:
∑_(n = 1)^∞‖x_n − y_n‖ < 1/(2K)
1-a) Montrer que pour tous 1 ≤ p ≤ q ∈ ℕ, max_(p ≤ k ≤ q)|a_k| ≤ 2K‖∑_(k = p)^q a_k x_k‖.
1-b) Montrer que pour toute suite réelle ( a_k ), la série ∑_(k = 1)^∞a_k x_k converge dans E si et seulement si la série ∑_(k = 1)^∞a_k y_k converge dans E.
1-c) Montrer qu'il existe une constante C > 0 telle que:
∀p, q ∈ ℕ, 1 ≤ p ≤ q, ∀(a_k)_(k = 1)^q ∈ ℝ^q, ‖∑_(k = 1)^p a_k y_k‖ ≤ C‖∑_(k = 1)^q a_k y_k‖.
On note Y le sous-espace vectoriel fermé de E engendré par les vecteurs y_n.
1-d) Montrer que l'application T : G → Y définie par T(∑_(k = 1)^∞a_k x_k) = ∑_(k = 1)^∞a_k y_k est un isomorphisme linéaire continu ainsi que son inverse.
On suppose maintenant que G = E et on note id l'application identité de E. Pour tout x = ∑_(k = 1)^∞a_k x_k ∈ E, on pose T(x) = ∑_(k = 1)^∞a_k y_k et u(x) = x − T(x). On note u^0 = id et pour tout k ∈ ℕ^∗, u^k = u ∘ u ∘ … ∘ uk-fois u.
2-a) Montrer que ‖u‖ < 1.
2-b) Montrer que pour tout x ∈ E, la série ∑_(k = 0)^∞u^k(x) converge dans E et que sa somme S(x) définit une application linéaire continue S telle que S ∘ T = T ∘ S = id.
2-c) Déterminer l'espace Y.

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