E3A Mathématiques A MP 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

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BanqueE3A Année2007 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales E3A MP Mathématiques E3A MP 2007 MP Mathématiques Mathématiques 2007

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Présentation du sujet

Difficile

Distance d'un vecteur à un hyperplan dans un espace vectoriel normé

Le problème étudie, dans un espace vectoriel normé réel, la distance d'un vecteur à un hyperplan. La partie I traite un exemple dans l'ensemble des matrices carrées, la partie II le cas de la dimension finie et le fait qu'un hyperplan est fermé ou dense, la partie III le cas des hyperplans denses, et la partie IV un exemple d'hyperplan fermé.

1Partie I : exemple dans l'ensemble des matrices carréesÉtude d'un hyperplan de matrices défini par un produit scalaire, calcul de distance et diagonalisation associée.
2Partie II : cas de la dimension finieExistence de la distance à un hyperplan en dimension finie, puis caractérisation des hyperplans fermés ou denses.
3Partie III : cas des hyperplans densesCalcul de la distance d'un vecteur à un hyperplan dense dans un espace préhilbertien.
4Partie IV : exemple d'hyperplan ferméÉtude détaillée et guidée d'un exemple concret d'hyperplan fermé.

Difficile. Le rapport indique que la deuxième partie, sur les bornes supérieures et inférieures, a été très mal traitée, et souligne des écarts importants entre les candidats.

Ce qu'a observé le jury

3 erreurs relevées

Formules de projection mal appliquées · Somme directe supposée automatique via le théorème du rang · Bornes supérieures et inférieures non comprises

Le problème a donné lieu à des écarts importants entre les candidats. De très bonnes copies, soignées et précises, ont été observées, mais le nombre de copies très faibles était en augmentation, certains candidats apprenant par cœur des résultats qu'ils sont incapables de mettre en œuvre dans des situations simples.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Formules de projection mal appliquéesPartie I
Peu de candidats savent appliquer les formules du cours concernant la projection sur un espace de dimension finie.
« Peu de candidats sont capables d’appliquer les formules du cours concernant la projection sur un espace de dimension finie. »
2
Somme directe supposée automatique via le théorème du rangPartie I
De nombreux candidats pensent à tort que le noyau et l'image d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie sont toujours en somme directe.
3
Bornes supérieures et inférieures non comprisesPartie II
Les candidats récitent des propriétés sur les bornes supérieures et inférieures sans en comprendre la signification.
« les notions fondamentales de bornes supérieures et inférieures dans les réels ne sont pas »

Ce qui a été bien réussi

Les candidats qui ont abordé la troisième partie, sur les hyperplans denses, l'ont en général bien traitée.
La quatrième partie, très détaillée, a permis au plus grand nombre de récupérer des points.

Conseils du jury

Traiter correctement une partie entière plutôt que de survoler le problème en grappillant quelques points.
Soigner la présentation de la copie et éviter les ratures.
Raisonner et justifier correctement chaque résultat plutôt que de réciter des propriétés apprises par cœur.
S'entraîner à manipuler concrètement les notions de cours, en particulier la somme directe et les bornes supérieures et inférieures.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Épreuve de Mathématiques A MP

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

Objectifs.

Le but du problème est d'étudier, dans un

ℝ

-espace vectoriel normé, la distance d'un vecteur à un hyperplan.

Dans la partie

I

, on étudie un exemple dans l'ensemble

M_n(ℝ)

des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients réels.

Dans la partie II, on étudie le cas de la dimension finie, puis on montre que les hyperplans sont fermés ou denses.

Dans la partie III, on étudie le cas des hyperplans denses.
Dans la partie IV, on étudie un exemple d'hyperplan fermé.
Les quatre parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie I.

M_n(ℝ)

est l'ensemble des matrices carrées d'ordre

n ⩾ 2

, à coefficients réels, on le munit du produit scalaire défini par :

(A|B) = tr(^t AB)

où

A

B

sont deux matrices de

M_n(ℝ), ^t A

est la transposée de la matrice

A

tr(^t AB)

est la trace de la matrice

^t AB

Soit

F = (f_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n)

la matrice de

M_n(ℝ)

définie par :

1 ⩽ j ⩽ n

{f_(i, i) = 1, pour 1 ⩽ i ⩽ n; f_(i, 1) = 1 pour 2 ⩽ i ⩽ n; f_(i, n) = 1 pour 1 ⩽ i ⩽ n − 1; f_(i, j) = 0 dans tous les autres cas.

On note

H

l'ensemble des matrices

X

M_n(ℝ)

vérifiant

(F|X) = 0

Montrer que $H$ est un hyperplan de $M_n(ℝ)$ .
On note $X = (x_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n)$ , exprimer $(F|X)$ en fonction des $x_(i, j)$ .
On rappelle que la distance d 'une matrice $M$ de $M_n(ℝ)$ à l'hyperplan $H$ est définie par :

d(M, H) = inf_(U \in H)‖M - U‖

où la norme

‖‖

est la norme associée au produit scalaire

(|)

M_n(ℝ)

. Montrer que :

d(M, H) = (|(F|M)|)/(‖F‖)

Calculer $‖F‖$ en fonction de $n$ .
On note $B = F - I_n$ , où $I_n$ désigne la matrice identité d'ordre $n$ .
a) Déterminer le rang de $B$ .
b) Calculer $B^2$ , montrer que $B^2$ et $B$ ont le même rang.
c) On appelle $g$ l'endomorphisme de $ℝ^n$ , tel que la matrice de $g$ dans la base canonique de $ℝ^n$ soit la matrice $B$ .
On rappelle que $Kerg$ et $Img$ désignent respectivement, le noyau et l'image de l'endomorphisme $g$ . Montrer que :

ℝ^n = Kerg \oplus Img

d) En déduire que la matrice

B

est semblable à une matrice du type

(0, 0; 0, B^')

où

B^'

est une matrice carrée d'ordre 2 inversible.
e) Calculer les traces,

tr(B)

tr(B^2)

, des matrices

B

B^2

, en déduire les valeurs propres de

B^'

.
f) En déduire les valeurs propres de

F

ainsi que la dimension des sous-espaces propres associés.
6) Soit

P

un polynôme à coefficients réels de degré

k ⩾ 0

, de la forme

P = \sum_(i = 0)^k a_i X^i

, on définit

P(^t F)

par :

P(^t F) = a_0 I_n + \sum_(i = 1)^k a_i(^t F)^i

Calculer la distance de la matrice

P(^t F)

à l'hyperplan

H

en fonction de

P

. On pourra utilement poser :

S(X) = XP(X)

et calculer

S(^t F)

Partie II.

H

est un hyperplan d'un

ℝ

-espace vectoriel normé

E, h

est une forme linéaire non nulle sur

E

, dont le noyau est égal à

H

Dans cette question, $E$ est un $ℝ$ -espace vectoriel normé de dimension finie, on désigne par $x_0$ un vecteur de $E$ .
a) On note $d(x_0, H)$ la distance de $x_0$ à l'hyperplan $H$ . Montrer qu'il existe une suite $(y_n)_(n ⩾ 0)$ d' éléments de $H$ tels que :

lim_(n \to + \infty)‖x_0 - y_n‖ = d(x_0, H)

b) Montrer qu'il existe une suite

(y_(φ(n)))_(n ⩾ 0)

extraite de la suite

(y_n)_(n ⩾ 0)

qui converge vers un élément de

H

.
c) En déduire qu'il existe

y_0

appartenant à l'hyperplan

H

tel que :

d(x_0, H) = ‖x_0 - y_0‖ \cdot

On dit que la distance de

x_0

à l'hyperplan

H

est atteinte en

y_0

.
2) On suppose dans cette question que

E

est un

ℝ

-espace vectoriel normé de dimension quelconque.
a) Montrer que si

h

est une forme linéaire continue sur

E

alors le noyau, Ker

h

, est fermé dans

E

.
b) Montrer que si le noyau,

Kerh

, de

h

est fermé alors

h

est continue. On pourra montrer que, si

h

n'est pas continue, alors il existe une suite

(t_n)_(n ⩾ 0)

E

telle que :

{lim_(n → + ∞)t_n = 0; h(t_n) = 1, pour tout entier n

Puis, on utilisera la suite

(t_n - t_0)_(n ⩾ 0)

pour mettre en évidence une contradiction.
c) Montrer que si

H

est un hyperplan de

E

alors l'adhérence

H¯

H

est un sous-espace vectoriel de

E

.
d) En déduire que tout hyperplan de

E

est fermé ou dense, c'est à dire

H¯ = H

H¯ = E

Partie III.

On suppose dans cette partie que

E

est un espace préhilbertien muni du produit scalaire :

E \times E ⟼ ℝ(x, y) ⟼ (x|y)

et que

H

est un hyperplan dense de

E

, c'est à dire

H¯ = E

Déterminer $H^⊥$ , l'orthogonal de $H$ .
Que dire de $H \oplus H^⊥$ ?
Pour tout vecteur $x$ de $E$ , calculer la distance $d(x, H)$ .
La distance $d(x, H)$ est-elle toujours atteinte? Justifier.

Partie IV.

On suppose dans cette partie que

H

est un hyperplan fermé, d'un

ℝ

-espace vectoriel normé

E

de dimension quelconque.

H

est le noyau de la forme linéaire

h

, continue non nulle sur

E.x_0

désigne un vecteur fixé de

E

. On rappelle que la norme de l'application

h

subordonnée à la norme de

E

est définie par :

‖|h|‖ = sup_(x \neq 0)(|h(x)|)/(‖x‖)

a) Montrer que, pour tout élément $y$ de $H$ on a :

‖x_0 - y‖ ⩾ (|h(x_0)|)/(‖|h|‖)

b) En déduire que la distance de

x_0

à l'hyperplan

H

est supérieure ou égale à

(|h(x_0)|)/(‖h‖‖)

.
c) Montrer que

d(x_0, H) = 0

si et seulement si

x_0 \in H

.
d) On considère dans cette question

x_0 \notin H

α

) Montrer qu'il existe une suite

(w_n)_(n ⩾ 0)

d'éléments de

E∖{0}

vérifiant :

‖|h|‖ = lim_(n \to + \infty)(|h(w_n)|)/(‖w_n‖)

β

) Montrer que, pour tout entier

n

, il existe un réel

λ_n

non nul et un vecteur

y_n

H

tel que :

w_n = λ_n x_0 + y_n

γ)

Prouver que, pour tout entier

n

(|h(w_n)|)/(‖w_n‖) ⩽ (|h(x_0)|)/(d(x_0, H))

e) En déduire que, pour tout vecteur

x_0

E

, on a :

d(x_0, H) = (|h(x_0)|)/(‖|h|‖)

Dans cette question, $E$ est l'ensemble des suites réelles de limite nulle, on munit cet ensemble de la norme infinie, c'est à dire que si $u \in E$ alors $u = (u_n)_(n ⩾ 0)$ et $‖u‖_\infty = sup_(n \in ℕ)|u_n|, E$ est ainsi un $ℝ$ -espace vectoriel normé.
$h$ est l'application définie de $E$ dans $ℝ$ par :

h(u) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)(u_n)/(2^(n + 1))

a) Montrer que la série

\sum(u_n)/(2^(n + 1))

est convergente.
b) Montrer que

h

est une forme linéaire continue non nulle sur

E

, en déduire

‖|h|‖ ⩽ 1

.
c) Soit

(v_p)_(p ⩾ 0)

une suite d'éléments de

E

, on notera

v_p(n)

le terme de rang

n

de la suite

v_p

. On définit

v_p

par :

{v_p(n) = 1 si 0 ⩽ n ⩽ p.; v_p(n) = 0 si n ⩾ p + 1.

Calculer

lim_(p \to + \infty)(|h(v_p)|)/(‖v_p‖_\infty)

, en déduire

‖|h|‖

.
d) Montrer qu'il n'existe pas d'élément

u

non nul de

E

telle que :

‖h‖‖ = (|h(u)|)/(‖u‖_\infty)

e) On note

H

le noyau de

h

, vérifier que

H

est un hyperplan fermé de

E

.
f) Montrer que la distance d'un vecteur

x

E

à l'hyperplan

H

n'est pas toujours atteinte.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Mathématiques A E3A MP 2007 ?

Le sujet porte sur la distance d'un vecteur à un hyperplan dans un espace vectoriel normé, à travers un exemple matriciel, le cas de la dimension finie, les hyperplans denses et un exemple d'hyperplan fermé.

Ce sujet de Mathématiques A E3A MP 2007 est-il difficile ?

Le rapport signale que la partie sur les bornes supérieures et inférieures a été très mal traitée et que les écarts entre candidats ont été importants.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet E3A Maths A MP 2007 ?

Le jury relève une mauvaise application des formules de projection en dimension finie, ainsi qu'une confusion selon laquelle noyau et image seraient toujours en somme directe.

Quelle partie du sujet E3A Maths A MP 2007 est la plus accessible ?

La quatrième partie, très détaillée et guidée, a permis au plus grand nombre de candidats de récupérer des points.

Pas de description pour le moment

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