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E3A Mathématiques A MP 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Étude de l'application qui à une fonction f associe la solution de l'équation différentielle linéaire y' + cy = f, y(0) = 0, et de sa continuité sur divers sous-espaces normés
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Le problème étudie l'application qui à une fonction f continue sur un intervalle I associe la solution de l'équation différentielle y' + cy = f avec la condition initiale y(0) = 0. Il examine ensuite la continuité éventuelle de cette application sur différents sous-espaces vectoriels normés de fonctions continues, à travers six parties progressives.

  1. 1Partie I : résolution de l'équation différentielleRésolution de y' + cy = f avec y(0) = 0, en s'appuyant sur le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.
  2. 2Partie II : comparaison de normes sur l'espace des fonctions continuesComparaison des normes L1, quadratique et uniforme sur l'espace des fonctions continues.
  3. 3Partie III : cas particulier et calcul de normesÉtude du cas où le paramètre est égal à c, intégrabilité de fonctions associées et calcul de normes de l'application.
  4. 4Partie IV : application des séries entièresUtilisation des propriétés du cours sur les séries entières.
  5. 5Partie V : produit scalaire et endomorphismeÉtablissement d'un produit scalaire sur un espace de fonctions et étude d'un endomorphisme entre espaces vectoriels.
  6. 6Partie VI : coefficients et théorème de ParsevalCalcul de coefficients associés à f et utilisation du théorème de Parseval.

Difficile. La moyenne obtenue sur 3259 copies est de 9,51/20 avec un écart-type de 3,63, et le rapport relève de nombreuses lacunes de rigueur, notamment sur la justification des hypothèses des théorèmes utilisés.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,51 / 20 · écart-type 3,63 · 3 259 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,51/ 20
Écart-type
3,63
Copies
3 259
moyenne 9,5105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Type linéaire de l'équation non reconnu · Dimension de l'espace de fonctions mal identifiée · Majorations imparfaites
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Les cinq premières parties ont souvent été abordées, la dernière un peu moins. Le jury a apprécié un effort de soin dans la présentation et la mise en valeur des résultats, mais note que les candidats, s'ils ont souvent un assez bon niveau de connaissances, manquent de rigueur dans la mise en forme de leurs raisonnements.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Type linéaire de l'équation non reconnuPartie I

    Les candidats ne reconnaissent pas explicitement le caractère linéaire de l'équation différentielle et ne justifient donc pas toujours l'utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, ni n'en rappellent les hypothèses. L'unicité de la solution est souvent oubliée.

  2. 2
    Dimension de l'espace de fonctions mal identifiéePartie II

    Une partie des candidats pense à tort que l'espace des fonctions continues sur I est de dimension finie, ce qui rendrait toutes les normes équivalentes.

  3. 3
    Majorations imparfaitesPartie II

    Les majorations proposées oublient souvent les modules ou le signe négatif d'un paramètre.

  4. 4
    Cas particulier oublié, division par zéro implicitePartie III

    Le cas où le paramètre étudié est égal à c est oublié dans une copie sur deux, ce qui revient à diviser par zéro sans s'en apercevoir.

  5. 5
    Intégrabilité non justifiéePartie III

    La justification de l'intégrabilité des fonctions associées n'est pas maîtrisée dans une copie sur deux.

  6. 6
    Produit scalaire et endomorphisme mal établisPartie V

    Peu de candidats établissent complètement le caractère de produit scalaire de l'application étudiée, et la notion d'endomorphisme entre deux espaces vectoriels distincts est mal comprise.

Ce qui a été bien réussi

  • La comparaison des normes L1, quadratique et uniforme a été bien étudiée à la première question de la partie II.
  • La deuxième question de la partie IV sur les séries entières a souvent été traitée correctement.
  • Le calcul des coefficients et l'utilisation du théorème de Parseval ont souvent été bien menés en partie VI.

Conseils du jury

  • Bien connaître les théorèmes clés du programme et les énoncer complètement.
  • Vérifier systématiquement toutes les hypothèses nécessaires à l'application d'un théorème.
  • Être rigoureux dans la mise en forme des raisonnements, en particulier lors des majorations.
  • Toujours envisager les cas particuliers susceptibles d'annuler un dénominateur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Epreuve de Mathématiques A MP durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage des calculatrices est interdit

Notations

Soit I un intervalle de ℝ contenant 0 . C^0(I) désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues de I dans ℝ et on note : désigne
‖f‖_∞ = sup_(x ∈ I)|f(x)|
On désigne par C^1(I) l'espace vectoriel réel des fonctions de classe C^1 de I dans ℝ et on note :
L^1(I) = {f ∈ C^0(I); ∫_I|f| existe } et, ∀f ∈ L^1(I), ‖f‖_1 = ∫_I|f|; L^2(I) = {f ∈ C^0(I); ∫_I|f|^2 existe } et, ∀f ∈ L^2(I), ‖f‖_2 = √(∫_I|f|^2)

Partie I

1 - Soit f dans C^0(I) et c un réel strictement positif. Démontrer que l'équation :
y^′ + cy = f
admet une unique solution, notée φ(f), dérivable sur I, et qui vérifie :
φ(f)(0) = 0
Démontrer :
∀x ∈ I, φ(f)(x) = e^(− cx)∫_0^x e^(ct)f(t)dt
2 - Exprimer φ^′(f) en fonction de f et φ(f) et démontrer que φ(f) est de classe C^1 sur I.
Prouver que l'application φ : f ↦ φ(f) est linéaire sur C^0(I).

Partie II

On suppose dans cette partie que l'intervalle I est un segment [a, b] avec a ⩽ 0 < b.
1 - Démontrer qu'il existe des réels positifs M_1 et M_2 tels que :
∀f ∈ ℭ^0(I), ‖f‖_1 ⩽ M_1‖f‖_2 ⩽ M_2‖f‖_∞
2 - Démontrer qu'il existe un réel positif M_0 tel que :
∀f ∈ ℭ^0(I), ‖φ(f)‖_∞ ⩽ M_0‖f‖_∞
3 - Démontrer qu'il existe un réel A positif tel que :
∀f ∈ ℭ^0(I), ∀x ∈ I, |φ(f)(x)| ⩽ A‖f‖_1
4 - Démontrer qu'il existe un réel B positif tel que :
∀f ∈ ℭ^0(I), ∀x ∈ I, |φ(f)(x)| ⩽ B‖f‖_2
En déduire :
∃K ∈ ℝ^+, ∀f ∈ ℭ^0(I), ‖φ(f)‖_2 ⩽ K‖f‖_2
5 - L'application φ de C^0([a, b]) dans lui-même est-elle continue
a) lorsque C^0([a, b]) est muni de la norme ‖‖_∞ ?
b) lorsque ℭ^0([a, b]) est muni de la norme ‖‖_1 ?
c) lorsque ℭ^0([a, b]) est muni de la norme ‖‖_2 ?

Partie III

Dans cette partie, I désigne l'intervalle [0, + ∞[ et pour tout réel λ > 0, f_λ est la fonction définie sur I par :
∀x ∈ I, f_λ(x) = e^(− λx)
1 - Déterminer φ(f_λ).
2 - Démontrer que f_λ et φ(f_λ) sont intégrables sur I.
Calculer ‖f_λ‖_1 et ‖φ(f_λ)‖_1.
3 - Démontrer que f_λ^2 et φ(f_λ)^2 sont intégrables sur I.
Calculer ‖f_λ‖_2 et ‖φ(f_λ)‖_2.
4 - Démontrer que φ est un endomorphisme continu de L^1(I) et calculer :
|‖φ‖_1 = sup_(f ∈ L^1(I); ‖f‖_1 ⩽ 1)‖φ(f)‖_1
5 - On pose g = φ(f). On a donc f = g^′ + cg.
Démontrer :
∀X > 0, (g^2(X))/2 + c∫_0^X g^2(t)dt = ∫_0^X f(t)g(t)dt
En déduire que φ est un endomorphisme continu de L^2(I) et calculer :
|‖φ‖_2 = sup_(f ∈ L^2(I); ‖f‖_2 ⩽ 1)‖φ(f)‖_2

Partie IV

Soit R un réel strictement positif. On note G l'espace vectoriel réel des fonctions développables en série entière sur l'intervalle ] − R, R[.
1 - Démontrer que φ est un endomorphisme de G.
2 - Pour f élément de G, on note (a_n)_(n ∈ ℕ) et (b_n)_(n ∈ ℕ) les suites réelles pour lesquelles :
∀x ∈ ] − R, R[, f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n et φ(f)(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)b_n x^n
Exprimer, pour tout entier naturel n, b_n en fonction des termes de la suite (a_k)_(k ∈ ℕ).
On pourra utiliser la relation f = φ(f)^′ + cφ(f).

Partie V

I désigne maintenant un intervalle quelconque de ℝ contenant 0 et H(I) est l'espace vectoriel réel des fonctions f de classe C^1 sur I telles que f et f^′ soient de carrés intégrables sur I :
H(I) = {f ∈ C^1(I), ∫_I|f|^2 et ∫_I|f^′|^2 existent }
1 - a) Démontrer que si f et g sont dans H(I) alors les fonctions fg et f^′ g^′ sont intégrables sur I.
b) Démontrer que l'application :
H(I)^2, → ℝ; φ : (f, g), ↦ φ(f, g) = ∫_I f(t)g(t)dt + ∫_I f^′(t)g^′(t)dt
définit un produit scalaire sur H(I).
c) En déduire que l'application ‖‖_H définie par :
∀f ∈ H(I), ‖f‖_H = √(∫_I f^2(t)dt + ∫_I f^(′2)(t)dt)
est une norme sur H(I).
2 - On suppose dans cette question que φ est un endomorphisme continu de L^2(I).
On pose :
K = {f ∈ H(I), f(0) = 0}
a) Démontrer que, pour tout f dans L^2(I), φ(f)^′ est dans L^2(I), φ(f) est dans K.
Démontrer :
∃A > 0, ∀f ∈ L^2(I), ‖φ(f)‖_H ⩽ A‖f‖_2
b) Démontrer que φ est un isomorphisme de L^2(I) dans K.
c) Démontrer que φ est continue de (L^2(I), ‖‖_2) dans (K, ‖‖_H).
d) Démontrer que φ^(− 1) est continue de (K, ‖‖_H) dans ( L^2(I), ‖‖_2 ).

Partie VI

Dans cette partie, E désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur ℝ et 2π-périodiques muni de la norme :
∀f ∈ E, ‖f‖_E = √(∫_0^(2π)f^2(t)dt)
F désigne l'espace vectoriel réel des fonctions de classe C^1 sur ℝ et 2π-périodiques. F est muni de la norme :
∀f ∈ F, ‖f‖_F = √(∫_0^(2π)f^2(t)dt + ∫_0^(2π)f^(′2)(t)dt)
1 - Démontrer que, pour tout f dans E, il existe une unique solution, notée ψ(f), dans F de l'équation :
y^′ + cy = f
Exprimer ψ(f)(0) en fonction de f et c.
Démontrer que ψ est un isomorphisme de E dans F.
2 - Pour tout f dans E et tout entier relatif k, on pose :
c_k(f) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(t)e^(− ikt) dt et d_k(f) = c_k(ψ(f)) = 1/(2π)∫_0^(2π)ψ(f)(t)e^(− ikt) dt
Exprimer d_k(f) en fonction de c_k(f).
3 - Démontrer que, pour tout f dans E, la série ∑_(k ∈ ℤ)|c_k(f)|^2 converge et :
2π∑_(k = − ∞)^(+ ∞)|c_k(f)|^2 = ‖f‖_E^2
Pour g dans F, calculer ‖g‖_F en fonction des c_k(g).
Comparer ‖f‖_E et ‖ψ(f)‖_F pour f dans E. On pourra distinguer les cas c ⩽ 1 et c > 1.
4 - Démontrer que ψ est continue de (E, ‖‖_E) dans (F, ‖‖_F).
Démontrer que ψ^(− 1) est continue de (F, ‖‖_F) dans (E, ‖‖_E).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de Mathématiques A E3A MP 2006 ?
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Sur quoi porte le sujet de Mathématiques A E3A MP 2006 ?

Le sujet porte sur l'étude d'une équation différentielle linéaire y' + cy = f et de la continuité de l'application solution sur différents sous-espaces normés de fonctions continues.

Ce sujet de Mathématiques A E3A MP 2006 est-il difficile ?

La moyenne obtenue est de 9,51/20 sur 3259 copies, avec un écart-type de 3,63, ce qui traduit une épreuve exigeante et discriminante.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet E3A Maths A MP 2006 ?

Le jury relève un manque de rigueur dans la justification des hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz, une confusion sur la dimension de l'espace des fonctions continues, et l'oubli fréquent d'un cas particulier menant à une division par zéro.

Quelle partie du sujet E3A Maths A MP 2006 est la moins abordée ?

La dernière partie, sur le calcul de coefficients et le théorème de Parseval, a été un peu moins abordée que les cinq premières.

Pas de description pour le moment