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E3A Mathématiques B MP 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B MP

durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Exercice 1.

Soit ∑_(n ⩾ 0)(− 1)^n u_n une série alternée avec :
i) ∀n ∈ N, u_n > 0,
ii) lim_(n → + ∞)(u_(n + 1))/(u_n) = 1,
iii) la suite ( u_n ) converge en décroissant vers 0 ,
iv) ∀n ∈ N, u_(n + 2) − u_(n + 1) ⩾ u_(n + 1) − u_n.
Soit R_n = ∑_(k = n)^(+ ∞)(− 1)^k u_k.
  1. Vérifier que : ∀n ∈ N, |R_n| + |R_(n + 1)| = u_n.
  2. Vérifier que : ∀n ∈ N, |R_n| − |R_(n + 1)| = ∑_(p = 0)^(+ ∞)(− 1)^p[u_(n + p) − u_(n + 1 + p)].
En déduire la monotonie de la suite (|R_n|)_(n ⩾ 0).
3. Montrer que : ∀n ∈ N, (u_n)/2 ⩽ |R_n| ⩽ (u_(n − 1))/2.
4. En déduire qu'au voisinage de l'infini : R_n ∼ _(+ ∞)(− 1)^n(u_n)/2.

5. Application :

Déterminer un équivalent au voisinage de l'infini de : a_n = ∑_(k = n)^(+ ∞)(− 1)^k(lnk)/k.

Exercice 2.

Soient deux suites (a_n)_(n ∈ N) et (b_n)_(n ∈ N) à termes strictement positifs et telles que : a_n→−_(+ ∞)^∼b_n.
On suppose d'autre part que la fonction f : t ↦ f(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n t^n est définie sur R.
  1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction g : t ↦ g(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)b_n t^n ?
  2. Justifier l'existence d'une suite (γ_n)_(n ∈ N) convergeant vers 0 et telle que :
∀n ∈ N, a_n = b_n(1 + γ_n)
  1. Soit m ∈ N.
    3.1. Prouver l'existence de δ_m = sup_(n ⩾ m)|γ_n|.
    3.2. Montrer que :
∀t > 0, ∀m ∈ N, |(f(t))/(g(t)) − 1| ⩽ δ_m + 1/(b_(m + 1)t^(m + 1))∑_(n = 0)^m|γ_n|b_n t^n
3.3. En déduire que : f(t) ∼ _(+ ∞)g(t).

Applications :

  1. Soit h la fonction définie par: t ↦ h(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((1 + 1/(n + 1))^(n + 1))/(n!)t^n.
    4.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction h.
    4.2. Trouver un équivalent de h(t) au voisinage de + ∞.
  2. Soit (E) l'équation différentielle définie sur R :
ty^(′′)(t) + (1 − t)y^′(t) = 1
5.1. Démontrer que (E) possède une unique solution z développable en série entière à l'origine telle que : z(0) = 0 et z^′(0) = 1.
Préciser les coefficients de ce développement.
5.2. Donner une expression simple de z^′(t) pour t > 0.
5.3. Trouver un équivalent de z(t) au voisinage de l'infini.

Exercice 3.

Soit n ∈ N^∗ et E = M_n(C). La matrice identité de E est notée I_n.
Soit F = (f_(ij)) la matrice de E définie par : {∀i ∈ {1, …, n − 1}, f_(i, i + 1) = 1; f_(n, 1) = 1; f_(ij) = 0 sinon

Question 1.

  1. Déterminer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de F.
On note {λ_k, 1 ⩽ k ⩽ n} les valeurs propres de F.
2. La matrice F est-elle diagonalisable dans E ? La matrice F est-elle inversible ?
3. Soit G = {F^p, p ∈ Z}.
Montrer que G est un groupe cyclique d'ordre n pour la multiplication des matrices.
Préciser tous les éléments générateurs du groupe G.
4. Déterminer la dimension et une base de Vect(G).
5. Calculer la trace d'un élément de G.

Question 2.

Soit le polynôme p = ∑_(k = 1)^n kX^(k − 1) et A = p(F).
  1. Montrer que l'ensemble des valeurs propres de la matrice A est :
{(n(n + 1))/2} ∪ {n/(λ_k − 1), 1 ⩽ k ⩽ n − 1}.
  1. Vérifier que : det(A) = (− 1)^(n − 1)((n + 1)n^(n − 1))/2.

Question 3.

On se propose dans cette question de déterminer l'inverse de la matrice A.
  1. Prouver que : A^(− 1) ∈ Vect({A^k, 0 ⩽ k ⩽ n − 1}).
  2. En déduire qu'il existe des scalaires (u_j)_(0 ⩽ j ⩽ n − 1) tels que : A^(− 1) = ∑_(k = 0)^(n − 1)u_k F^k.
  3. Montrer que : (F − I_n)^2 A = n(F − I_n).
  4. Prouver que : {u_2 = u_3 = … = u_(n − 1); u_2 − u_0 = 1/n; u_1 − u_2 = 1/n
  5. En calculant de deux façons différentes la trace de la matrice A^(− 1), déterminer la valeur de u_0. 6. En déduire A^(− 1).

Fin de l'épreuve.

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