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E3A Mathématiques B MP 2005Sujet et corrigé

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CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B MP durée 3 heures

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Pour n ∈ ℕ^∗, on considère une suite de réels (x_i)_(1 ⩽ i ⩽ n + 1) telle que : x_1 < x_2 < ⋯ < x_(n + 1). On note ℝ_n[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
Soit φ l'application définie par :
φ : ℝ_n[X] × ℝ_n[X], ⟶ ℝ^(n + 1)P(x_i)Q(x_i); (P, Q), ⟼ ∑_(i = 1)^n P(x_i)
  1. Montrer que φ est un produit scalaire sur ℝ_n[X].
  2. On définit la suite (P_k)_(1 ⩽ k ⩽ n + 1) de polynômes de ℝ_n[X] par :
{∀k ∈ {1, …, n},, P_k = ∏_(j = k + 1)^(n + 1)(x_j − X); P_(n + 1), = 1.
(a) Montrer que la famille (P_k)_(1 ⩽ k ⩽ n + 1) est une base B de ℝ_n[X].
(b) Montrer que la base orthonormée B^′, déduite par le procédé de Schmidt de la base B, est la base ( L_1, L_2, …, L_(n + 1) ) où L_i est le i^(ime) polynôme de Lagrange défini par
L_i = ∏_(j = 1; j ≠ i)^(n + 1)(X − x_j)/(x_i − x_j)
  1. (a) Déterminer les coordonnées du polynôme X^k pour k ∈ (0, …, n) dans la base B^′.
    (b) On se propose de calculer det_(B^′)(1, X, …, X^n).
    i. En utilisant des opérations élémentaires, montrer que :
|1, x_1, x_1^2, ⋯, x_1^n; 1, x_2, x_2^2, ⋯, x_2^n; 1, x_3, x_3^2, ⋯, x_3^n; ⋮, ⋮, ⋮; 1, x_(n + 1), x_(n + 1)^2, ⋯, x_(n + 1)^n| = ∏_(i = 2)^(n + 1)(x_i − x_1)|1, x_2, x_2^2, ⋯, x_2^(n − 1); 1, x_3, x_3^2, ⋯, x_3^(n − 1); ⋮, ⋮, ⋮; 1, x_(n + 1), x_(n + 1)^2, ⋯, x_(n + 1)^(n − 1)|
ii. Calculer det_(B^′)(1, X, …, X^n).
(c) Montrer que |det_C(1, X, …, X^n)| est indépendant de la base orthonormée C choisie.
(d) Montrer qu'il existe une base orthonormée D de ℝ_n[X] telle que la matrice des coordonnées des vecteurs (1, X, …, X^n) dans la base D soit triangulaire.
(e) En déduire que :
(∏_(1 ⩽ i < j ⩽ n + 1)(x_j − x_i))^2 ⩽ ∏_(p = 0)^n(∑_(i = 1)^(n + 1)x_i^(2p))

Exercice 2

Le plan affine est rapporté au repère orthonormé direct R = (O, ı⃗, ȷ⃗).
  1. Soit P la courbe d'équation polaire r = 1/(1 − cosθ).
    (a) Etudier et tracer la courbe P.
    (b) Montrer que P est une conique dont on précisera les éléments caractéristiques (foyer et directrice).
  2. A tout point M de P on associe le point K projeté orthogonal de M sur l'axe ( O, ı⃗ ). On appelle N le symétrique de O par rapport à K et H le projeté orthogonal du point O sur la droite (MN). On appelle E l'ensemble des points H.
    (a) Déterminer, en fonction de θ, les coordonnées du point H dans le repère R.
    (b) Lorsque H est distinct de O, on pose φ une mesure de l'angle (ı⃗, OH^(→−)ˆ) modulo 2π. Calculer cosφ et sinφ en fonction de θ.
    (c) Montrer que l'équation polaire de l'ensemble E dans le repère R est r(φ) = (sin2φ)/(1 − sinφ).
  3. Etudier la courbe E d'équation polaire r(φ) = (sin2φ)/(1 − sinφ) dans le repère R.On étudiera en particulier, le signe de r(φ), les branches infinies, les points stationnaires s'ils existent .
  4. Tracer l'ensemble E sur le même graphique que P.

Exercice 3

Soit M une matrice carrée d'ordre 2n à coefficients complexes définie par blocs par M = (A, C; 0, B) où A, B, C sont trois matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes. On suppose que la matrice M est diagonalisable et que AC = CB.
  1. (a) Montrer que pour tout polynôme P à coefficients complexes, il existe une matrice D carrée d'ordre n telle que P(M) = (P(A), D; 0, P(B)).
    (b) Montrer qu'il existe un polynôme P à coefficients complexes scindé à racines simples vérifiant {P(A) = 0; P(B) = 0.
    (c) En déduire que les matrices A et B sont diagonalisables.
  2. Soit N la matrice carrée d'ordre 2n à coefficients complexes définie par blocs par N = (A, 0; 0, B).
    (a) Montrer que MN = NM.
    (b) En déduire qu'il existe une matrice R inversible et deux matrices diagonales D et D^′ telles que:
    M = R^(− 1)DR et N = R^(− 1)D^′ R.
    (c) En déduire que la matrice (0, C; 0, 0) est diagonalisable.
  3. Montrer que la matrice C est nulle .

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