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ENS Mathématiques Paris Cachan MP 2002, épreuve PCSujet et corrigé

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Mathématiques, épreuve commune ENS Paris/Cachan MP 2002 : fonctions presque périodiques et généralisation de la formule de Parseval
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Le sujet construit la théorie des fonctions presque périodiques, plus générales que les fonctions périodiques : après deux questions préliminaires, la partie I montre l'équivalence entre presque périodicité et une propriété de normalité par extraction de sous-suites. La partie II définit le spectre d'une fonction presque périodique à partir de moyennes de Bohr, et la partie III établit une formule de Parseval généralisée reliant la moyenne quadratique de la fonction à la somme des carrés de ses coefficients spectraux.

  1. 1Questions préliminairesOn montre qu'une somme de deux exponentielles de fréquences incommensurables n'est pas périodique, puis que toute fonction périodique continue est presque périodique.
  2. 2Partie I : caractérisation des fonctions presque périodiquesOn établit que l'ensemble des fonctions presque périodiques est stable par les opérations usuelles et coïncide avec l'ensemble des fonctions normales, définies par une propriété d'extraction de sous-suites uniformément convergentes.
  3. 3Partie II : spectre d'une fonction presque périodiqueOn définit, par une moyenne temporelle, le spectre d'une fonction presque périodique et on montre qu'il est au plus dénombrable.
  4. 4Partie III : formule de Parseval généraliséeOn démontre que la moyenne quadratique d'une fonction presque périodique est égale à la somme des carrés des modules de ses coefficients spectraux.

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SESSION 2002

Filière MP

MATHÉMATIQUES

(Epreuve commune aux ENS de Paris et Cachan)

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Notations. On note l'ensemble des nombres réels par ℝ, l'ensemble des réels positifs par ℝ_+, l'ensemble des nombres complexes par ℂ, l'ensemble des entiers relatifs par ℤ, des entiers positifs par ℕ et des entiers strictement positifs par ℕ^∗. Pour toute fonction f de ℝ dans ℂ et tout réel a, on note f(⋅ + a) la fonction g définie pour tout réel t par g(t) = f(t + a). On note f¯ la fonction conjuguée de f définie pour tout réel t par f¯(t) = f(t)^–.
On désigne par C(ℝ, ℂ) l'ensemble des fonctions continues de ℝ dans ℂ et par C_b(ℝ, ℂ) l'ensemble des fonctions continues bornées de ℝ dans ℂ. Pour tout f de C_b(ℝ, ℂ) on note ‖f‖ le nombre sup_(t ∈ ℝ)|f(t)|. On dit qu'une suite de fonctions ( f_p; p ≥ 1 ) de ℝ dans ℂ converge uniformément sur ℝ vers une fonction f si et seulement si lim_(p → ∞)‖f_p − f‖ = 0. On rappelle que C_b(ℝ, ℂ) muni de la norme ‖ ⋅ ‖ est un espace vectoriel normé complet.
On rappelle la définition de l'uniforme continuité: on dit qu'une fonction F de ℝ (resp. ℂ ) dans ℂ est uniformément continue sur ℝ (resp. ℂ ) si et seulement si:
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀t, s ∈ ℝ (resp. ℂ), |t − s| ≤ δ ⟹ |F(t) − F(s)| < ε.
En particulier si f est un élément de C_b(ℝ, ℂ), f est uniformément continue si et seulement si:
lim_(h → 0)‖f(⋅ + h) − f‖ = 0
Soit f une application de ℝ dans ℂ. On dit que le réel r est une période de f si r est non-nul et si pour tout réel t, on a f(t + r) = f(t). On note A_r l'ensemble des fonctions de C(ℝ, ℂ) admettant r pour période et on note A la réunion des ensembles A_r, r parcourant l'ensemble des réels non-nuls. A est l'ensemble des fonctions périodiques de C(ℝ, ℂ).
Soient a et b deux réels tels que a ≤ b. Soit I un intervalle d'extrémités a et b. On définit la longueur de I que l'on note ℓ(I) comme le nombre b − a. Pour tout intervalle borné non-vide I on définit d(I) = sup_(x ∈ I)|x|. On admet que:
d(I) ≥ 1/2ℓ(I)
Soit r un réel non-nul et soit g un élément de A_r. On rappelle que pour tout réel T :
∫_(T − r/2)^(T + r/2)g(t)dt = ∫_(− r/2)^(r/2)g(t)dt
Pour tout réel λ, on désigne par e_λ la fonction de C_b(ℝ, ℂ) définie pour tout réel t par e_λ(t) = exp(iλt). Pour tout réel r > 0, tout g de A_r et tout k de ℤ, on définit le k-ième coefficient de Fourier de g par:
c_k(g) = 1/r∫_(− r/2)^(r/2)g(t)e_((2πk)/r)(− t)dt
On rappelle la formule de Parseval:
∀g ∈ A_r, 1/r∫_(− r/2)^(r/2)|g(t)|^2 dt = ∑_(k ∈ ℤ)|c_k(g)|^2
Question préliminaire 1 Montrer que la fonction e_1 + e_(√2) n'est pas dans A.
Soit E un sous-ensemble de ℝ. On dit que E est bien réparti si et seulement si il existe un réel l > 0 tel que tout intervalle de longueur l contient un élément de E.
Soient f dans C(ℝ, ℂ) et ε > 0. On dit qu'un réel r est une ε-quasi période de f si r est non-nul et si:
sup_(t ∈ ℝ)|f(t + r) − f(t)| ≤ ε.
On note E(f, ε) l'ensemble des ε-quasi périodes de f (il est possible que cet ensemble soit vide). On dit qu'une fonction f de ℝ dans ℂ est une fonction presque périodique si et seulement si f est un élément de C(ℝ, ℂ) et E(f, ε) est bien réparti pour tout ε > 0. On désigne par B l'ensemble des fonctions presque périodiques.
Question préliminaire 2 Montrer que A ⊂ B.

PARTIE I

1 Soit f dans B. Il existe donc un réel l > 0 tel que tout intervalle de longueur l contient un élément de E(f, 1). Montrer que pour tout k dans ℤ :
sup_(t ∈ [kl, (k + 1)l])|f(t)| ≤ 1 + sup_(t ∈ [ − l, l])|f(t)|.
En déduire que toute fonction presque périodique est dans C_b(ℝ, ℂ).
2-a Montrer que si f est dans B alors f¯, f^2 et |f|^2 le sont également.
2-b Soit F : ℂ ⟶ ℂ uniformément continue. Montrer que F ∘ f est dans B dès que f l'est.
3 Soit ( f_n; n ≥ 1 ) une suite d'éléments de B qui convergent uniformément sur ℝ vers une fonction f. Montrer que pour tout réel a et tout n dans ℕ :
‖f(⋅ + a) − f‖ ≤ 2‖f_n − f‖ + ‖f_n(⋅ + a) − f_n‖.
En déduire que f est dans B.
4 Soit f dans B. Soient h et ε deux réels strictement positifs. Soit a dans E(f, ε). Montrer que pour tout réel t on a:
|f(t + h) − f(t)| ≤ 2ε + |f(t − a + h) − f(t − a)|
En déduire que toute fonction presque périodique est uniformément continue.
On dit qu'une fonction f de C_b(ℝ, ℂ) est normale si et seulement si de toute suite de réels (a_n; n ≥ 1) on peut extraire une sous-suite ( a_(n_j); j ≥ 1 ) telle que la suite de fonctions (f(⋅ + a_(n_j)); j ≥ 1) converge uniformément sur ℝ. On note N l'ensemble des fonctions normales. Le but des questions 5 et 6 est de montrer que B = N.
5 On cherche tout d'abord à montrer que B ⊂ N. On fixe f dans B et ( a_n; n ≥ 1 ), une suite réelle.
5-a Soit ε un réel strictement positif. Il existe l > 0 tel que tout intervalle de longueur l contient un élément de E(f, ε/3). Montrer qu'il existe une suite ( b_n; n ≥ 1 ) à valeurs dans [0, l] telle que d'une part:
a_n − b_n ∈ E(f, ε/3)
et d'autre part:
∀m, n ≥ 1, ‖f(⋅ + a_n) − f(⋅ + a_m)‖ ≤ (2ε)/3 + ‖f − f(⋅ + b_n − b_m)‖.
5-b Montrer que pour tout ε > 0, il existe une sous-suite (a_(n_j); j ≥ 1) (dépendant de ε ) telle que
∀i, j ≥ 1, ‖f(⋅ + a_(n_j)) − f(⋅ + a_(n_i))‖ ≤ ε
(Indication: penser à extraire de ( b_n; n ≥ 1 ) une sous-suite convergente et à utiliser l'uniforme continuité de f.)
5-c Montrer par récurrence qu'il existe une famille de suites strictement croissantes d'indices (n_j^((p)); j ≥ 1), p ∈ ℕ^∗ telle que:
∀p ≥ 1, {n_j^((p + 1)); j ≥ 1} ⊂ {n_j^((p)); j ≥ 1}
et
∀p, i, j ≥ 1, ‖f(⋅ + a_(n_j^((p)))) − f(⋅ + a_(n_i^((p))))‖ ≤ 1/p.
En déduire que B ⊂ N (considérer la suite (a_(n_p^((p))); p ≥ 1) ).
6 On cherche ensuite à montrer que N ⊂ B. Pour cela, on raisonne par l'absurde: supposons qu'il existe f, un élément de N qui ne soit pas dans B.
6-a Montrer qu'il existe un réel ε_0 > 0 et une suite d'intervalles bornés ( I_n; n ≥ 1 ) tels que ℓ(I_1) ≥ 1 et pour tout n ≥ 1 :
  • I_n est inclus dans le complémentaire de E(f, ε_0);
  • ℓ(I_(n + 1)) > 5(d(I_1) + … + d(I_n)).
    (On rappelle que pour tout intervalle borné I, on a posé d(I) = sup_(x ∈ I)|x|.)
    6-b Montrer qu'il existe une suite de réels ( α_n; n ≥ 1 ) telle que α_1 ∈ I_1 et pour tout n ≥ 1 :
  • α_(n + 1) est dans I_(n + 1) mais pas dans I_1 ∪ … ∪ I_n;
  • l'intervalle fermé de longueur 2(d(I_1) + … + d(I_n)) centré en α_(n + 1) est inclus dans I_(n + 1).
6-c Montrer que pour tous i, j entiers distincts plus grands que 1, α_i ≠ α_j et
α_i − α_j ∉ E(f, ε_0)
Conclure.
7-a Montrer que si f et g sont dans B alors fg et f + g le sont également (utiliser le fait que N = B ) .
7-b On note C l'ensemble des fonctions de la forme a_1 e_(λ_1) + a_2 e_(λ_2) + … + a_n e_(λ_n), pour n variant dans ℕ^∗, a_1, a_2, …a_n dans ℂ et λ_1, λ_2, …, λ_n dans ℝ. Montrer que C ⊂ B.
8-a Soit ( a_n; n ≥ 1 ) une suite à valeurs dans ℂ telle que ∑_(n ≥ 1)|a_n| < ∞. Montrer que la série de fonctions g = ∑_(n ≥ 1)a_n e_(1/n) est bien définie et appartient à B.
8-b Montrer que:
∀n ≥ 1, lim_(T → + ∞)1/(2T)∫_(− T)^T g(t)e_(1/n)(− t)dt = a_n
(Justifier soigneusement la réponse.)
8-c Montrer ensuite que g est périodique si et seulement si la suite ( a_n; n ≥ 1 ) est nulle à partir d'un certain rang.
Dans les parties II et III, on admet que l'ensemble C est dense dans B pour la convergence uniforme sur ℝ, c'est-à-dire:
∀f ∈ B, ∀ε > 0, ∃P ∈ C : ‖f − P‖ ≤ ε.

PARTIE II

Dans cette partie on utilise (ii) pour donner une caractérisation nécessaire des fonctions qui s'obtiennent comme limite uniforme sur ℝ de fonctions périodiques continues. Pour tout réel λ, toute fonction f de B et tout réel T > 0, on pose:
a(f, λ, T) = 1/(2T)∫_(− T)^T f(t)e_λ(− t)dt
1-a Montrer que pour tout P de C et tout réel λ, lim_(T → ∞)a(P, λ, T) existe.
1-b Montrer que pour tout réel λ et tout élément f de B, lim_(T → ∞)a(f, λ, T) existe. On note a(f, λ) cette limite et on définit le spectre de f, noté Spec(f), par:
Spec(f) = {λ ∈ ℝ : a(f, λ) ≠ 0}.
1-c Soit P un élément de C. Calculer explicitement Spec(P) et a(P, λ) pour tout réel λ.
1-d Soit ( f_n; n ≥ 1 ) une suite d'éléments de B qui converge uniformément vers f. Montrer que pour tout réel λ :
lim_(n → ∞)a(f_n, λ) = a(f, λ).
2 Soit f dans B et P_k = ∑_(m = 1)^(n_k)a_m^((k))e_(ℓ_m^((k))), k ≥ 1 une suite d'éléments de C telle que ‖f − P_k‖ ≤ 1/k.
2-a Montrer que si λ n'est pas dans {ℓ_m^((k)); k ≥ 1; n_k ≥ m ≥ 1}, alors a(P_k, λ) = 0 pour tout k ∈ ℕ^∗.

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2-b Montrer que Spec(f) est au plus dénombrable.
3-a Soient r un réel non-nul et g un élément de A_r. Pour tout n ∈ ℕ^∗, on pose Q_n = ∑_(k = − n)^n c_k(g)e_(2πk/r). Montrer que pour tout réel λ on a:
|a(Q_n, λ) − a(g, λ)| ≤ (∑_(|k| > n)|c_k(g)|^2)^(1/2)
3-b En déduire Spec(g) (une justification soigneuse est demandée).
4 Soit f une fonction définie sur ℝ à valeurs dans ℂ telle qu'il existe une suite ( f_p; p ≥ 1 ) d'éléments de A satisfaisant:
lim_(p → ∞)‖f − f_p‖ = 0
4-a Montrer que les éléments de Spec(f) sont tous des multiples rationnels d'un même réel.
4-b On suppose que Spec(f) contient un élément non-nul. Il existe une suite ( r_p; p ≥ 1 ) de réels non-nuls telle que f_p ∈ A_(r_p), pour tout p ≥ 1. Montrer qu'il existe un certain rang p_0 tel que les périodes r_p, p ≥ p_0 sont toutes des multiples rationnels d'un même réel.
4-c Donner un exemple simple de fonction presque périodique qui n'est pas limite uniforme de fonctions périodiques continues.

PARTIE III

Soit f un élément de B. D'après II-2-b, Spec(f) est au plus dénombrable. Si Spec (f) est infini, on en fixe une énumération notée ( λ_n; n ≥ 1 ) et on pose:
∑_(λ ∈ Spec(f))|a(f, λ)|^2 = ∑_(n = 1)^∞|a(f, λ_n)|^2
(cette expression pouvant prendre éventuellement la valeur + ∞ ). Si Spec(f) est vide, on pose
∑_(λ ∈ Spec(f))|a(f, λ)|^2 = 0
Si Spec(f) est fini, la somme ∑_(λ ∈ Spec(f))|a(f, λ)|^2 est définie sans ambiguité. Le but de cette partie est de généraliser la formule de Parseval aux fonctions presque périodiques. Plus précisément, on se propose de montrer le résultat suivant:
∀f ∈ B, lim_(T → ∞)1/(2T)∫_(− T)^T|f(t)|^2 dt = ∑_(λ ∈ Spec(f))|a(f, λ)|^2
1 Soit f ∈ B. Justifier l'existence de
lim_(T → ∞)1/(2T)∫_(− T)^T|f(t)|^2 dt
Montrer que tout élément de A satisfait (iii).
2-a Soient τ_1, τ_2, …, τ_n, n réels distincts. On note C_(τ_1, …, τ_n) l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans ℂ de e_(τ_1), …, e_(τ_n). Soit P = ∑_(k = 1)^n b_k e_(τ_k) un élément de C_(τ_1, …, τ_n). Montrer que a(|f − P|^2, 0) est bien défini et que:
a(|f − P|^2, 0) = a(|f|^2, 0) − ∑_(k = 1)^n|a(f, τ_k)|^2 + ∑_(k = 1)^n|b_k − a(f, τ_k)|^2.
En déduire que inf{a(|f − P|^2, 0); P ∈ C_(τ_1, …, τ_n)} est atteint en un unique élément de C_(τ_1, …, τ_n) à préciser.
2-b Montrer que:
∑_(λ ∈ Spec(f))|a(f, λ)|^2 ≤ a(|f|^2, 0).
2-c Soit ( P_k; k ≥ 1 ) la suite d'éléments de C considérée à la question II-2: d'après II-2-a et II-2-b, on sait que Spec(f) est inclus dans {ℓ_m^((k)); k ≥ 1; n_k ≥ m ≥ 1}. En déduire que:
∀k ≥ 1, ∃S_k fini ⊂ Spec(f) : ∑_(λ ∈ S_k)|a(f, λ)|^2 ≥ a(|f|^2, 0) − 1/(k^2)
En déduire l'assertion (iii).
3-a Soit f une fonction presque périodique à valeurs réelles positives. On suppose qu'elle est non-nulle. Il existe alors un réel x_0 et δ un réel strictement positif, tels que:
inf_(y ∈ ]x_0 − δ, x_0 + δ[)f(y) = c > 0
On introduit un réel l tel que tout intervalle de longueur l contient au moins un élément de E(f, c/2). On peut supposer sans restriction que l ≥ 2δ. Montrer que tout intervalle I de longueur supérieure à l contient un intervalle J de longueur δ tel que:
inf_(y ∈ J)f(y) ≥ c/2.
3-b Déduire de la question précédente que a(f, 0) > 0.
3-c Montrer que:
∀g_1, g_2 ∈ B, (∀λ ∈ ℝ, a(g_1, λ) = a(g_2, λ)) ⟹ g_1 = g_2
3-d Soit f dans B. Soit (λ_n; n ≥ 1) une énumération de Spec(f). On suppose que:
∑_(n = 1)^∞|a(f, λ_n)| < ∞.
Prouver que pour tout réel t,
f(t) = ∑_(n = 1)^∞a(f, λ_n)e_(λ_n)(t)

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths ENS MP 2002 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths ENS MP 2002 ?

Il porte sur les espaces vectoriels normés, la convergence uniforme, les suites et la compacité, ainsi que les séries de Fourier, appliqués aux fonctions presque périodiques.

Les trois parties sont-elles indépendantes ?

Non, la partie II utilise la caractérisation de la partie I, et la partie III s'appuie sur la notion de spectre définie en partie II.

Qu'est-ce qu'une fonction presque périodique ?

C'est une fonction continue dont, pour tout epsilon positif, l'ensemble des epsilon-quasi périodes est bien réparti sur la droite réelle ; toute fonction périodique continue en est un exemple.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Non, il suppose acquises les séries de Fourier et une bonne maîtrise de la convergence uniforme, notions de deuxième année.

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