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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES I

DURÉE: 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire

n^\circ

99-018 du 01.02.99.

Le problème proposé a pour but la démonstration d'un théorème relatif aux contractions d'un espace de Banach et l'étude, grâce à ce théorème, d'une équation fonctionnelle.

X

Y

sont des ensembles,

Y^X

désigne l'ensemble des applications de

X

dans

Y

.
Si

X

est un ensemble non vide,

N_\infty

désigne la norme de la convergence uniforme sur l'espace vectoriel des applications bornées de

X

dans

ℝ : N_∞(f) = Sup({|f(x)|/x ∈ X})

Partie I: Convergence uniforme dans $C([0, 1], ℝ)$

Soit

(f_n)_(n \in ℕ)

une suite de Cauchy, pour

N_\infty

, de

C([0, 1], ℝ)

Montrer que, pour tout $x \in [0, 1], (f_n(x))_(n \in ℕ)$ converge. Soit $f$ la limite simple de la suite $(f_n)_(n \in ℕ)$ .
Montrer que $f$ est bornée et que $N_\infty(f_n - f) ⟶ _(n \to \infty)0$ .
Justifier que $(C([0, 1], ℝ), N_\infty)$ est un espace de Banach.
Soit $(u_n)_(n \in ℕ)$ la suite de $C([0, 1], ℝ)$ définie par: $u_n(x) = e^(x^n)$ pour tout $x \in [0, 1]$ . Montrer que, pour tout $x \in [0, 1], (u_n(x))_(n \in ℕ)$ converge. La suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ est-elle de Cauchy pour $N_\infty$ ?
Soit $(v_n)_(n \in ℕ)$ la suite de $C([0, 1], ℝ)$ définie par: $v_n(x) = \int_0^x e^(t^n) dt$ pour tout $x \in [0, 1]$ . Montrer que $(v_n)_(n \in ℕ)$ converge uniformément sur $[0, 1]$ vers un élément $v$ de $C([0, 1], ℝ)$ .

Partie II: Théorème du point fixe de Banach

Soit

(E, ‖ \cdot ‖)

un espace de Banach réel, soit

A

un sous-ensemble fermé non vide de

E

et soit

T \in A^A

vérifiant: il existe

α \in [0, 1[

tel que

‖T(x) - T(y)‖ ⩽ α‖x - y‖

pour tout

(x, y) \in A^2

(on dit que

T

est contractante ou encore que

T

est une contraction).

Soit $(x, y) \in A^2$ tel que: $T(x) = x, T(y) = y$ . Montrer que $x = y$ .
Soit $a \in A$ , on définit $(a_n)_(n \in ℕ)$ par: $a_0 = a, a_(n + 1) = T(a_n)$
2.1 Montrer que: $‖a_(n + 1) - a_n‖ ⩽ α^n‖a_1 - a_0‖$ . En déduire que si $(n, p) \in ℕ \times ℕ^*$ on a:

‖a_(n + p) - a_n‖ ⩽ ‖a_1 - a_0‖(\sum_(i = 0)^(p - 1)α^(n + i)).

2.2 Montrer que

(a_n)_(n \in ℕ)

est convergente et que sa limite est élément de

A

.
2.3 Montrer que

T

possède un unique point fixe qui est la limite de

(a_n)_(n \in ℕ)

. On établit ainsi le théorème du point fixe de Banach: «Toute contraction

T

d'un fermé non vide

A

d'un espace de Banach possède un point fixe unique, de plus si

a \in A

, la suite

(a_n)_(n \in ℕ)

définie par

a_0 = a, a_(n + 1) = T(a_n)

, converge vers ce point fixe ».
3. On suppose que

A = E

, soit alors,

U \in E^E

définie par:

U(x) = x + T(x)

.
3.1 Montrer que

U

est une bijection continue de

E

sur

E

.
3.2 Montrer que, pour tout

(x, y) \in E

on a:

‖U^(- 1)(x) - U^(- 1)(y)‖ < (1 - α)^(- 1)‖x - y‖

(

U

est donc un homéomorphisme de

E

sur

E

).
4. Soit

L(E) = {V \in E/

(

V

linéaire et

V

continue)

}

, on note encore

‖V‖ = Sup({‖V(x)‖/‖x‖ ⩽ 1})

la norme subordonnée de

V(V \in L(E))

; soit

I

l'identité de

E

.
4.1 Soit

V \in L(E)

telle que

‖V‖ < 1

, montrer que

V

est contractante.
4.2 Soit

(V_n)_(n \in ℕ)

une suite de

L(E)

et soit

V \in L(E)

tels que:

‖V_n‖ < 1

pour tout

n \in ℕ, ‖V‖ < 1

‖V_n - V‖\to-_(n \to \infty)^0

.
Soit

y \in E

alors, d'après

3, I + V_n

I + V

sont des isomorphismes de

E

; on peut donc définir

(x_n)_(n \in ℕ) = ((I + V_n)^(- 1)(y))_(n \in ℕ)

x = (I + V)^(- 1)(y)

, montrer que:

‖x_n - x‖\to-_(n \to \infty)^0

(on aura intérêt à écrire:

V(x) - V_n(x_n) = (V(x) - V_n(x)) + (V_n(x - x_n)))

Partie III : Une transformation de $C([0, 1], ℝ)$

Soit

φ : [0, 1] \times [0, 1] \times ℝ ⟶ ℝ

, on dira que

φ

est de type

U

si:

φ

est continue et, il existe

r \in ℝ_+

tel que l'on ait:

|φ(x, y, z) - φ(x, y, z^') ⩽ r|z - z^'|

pour tout

(x, y, z, z^') \in [0, 1] \times [0, 1] \times ℝ \times ℝ

Montrer que s'il existe $(Ψ, M) \in C^1(R^3, R) \times ℝ$ , tel que: $φ = Ψ_(|[0, 1] \times [0, 1] \times ℝ)$ et $|(\partialΨ)/(\partialz)(x, y, z)| ⩽ M$ pour tout $(x, y, z) \in [0, 1] \times [0, 1] \times ℝ$ , alors $φ$ est de type $U$ .
On suppose que $φ$ est de type $U$ .
2.1 Soit $u \in C([0, 1], ℝ)$ , montrer que pour tout $x \in [0, 1] : (y ⟼ φ(x, y, u(y))) \in C([0, 1], ℝ)$ .
2.2 Montrer que l'on peut définir $T_φ : C([0, 1], ℝ) ⟶ ℝ^([0, 1])$ par: $(T_φ(u))(x) = \int_0^1 φ(x, y, u(y))dy$ . Montrer que, pour tout $u \in C([0, 1], ℝ), T_φ(u) \in C([0, 1], ℝ)$ .
2.3 Montrer que l'on a:

N_\infty(T_φ(u_1) - T_φ(u_2)) ⩽ rN_\infty(u_1 - u_2)

pour tous

(u_1, u_2) \in C([0, 1], ℝ)^2

.
2.4 On définit, pour

λ \in ℝ, S_((φ, λ)) : C([0, 1], ℝ) ⟶ C([0, 1], ℝ)

par:

S_((φ, λ))(u) = u + λT_φ(u)

. On suppose

r > 0

, montrer que l'on a:

λ \in ] - 1/r, 1/r[ ⟹ S_((φ, λ))

est un homéomorphisme de (

C([0, 1], ℝ), N_\infty

) sur lui même.
3. Soit

μ \in C([0, 1]^2, ℝ)

, soit

φ : [0, 1] \times [0, 1] \times ℝ ⟶ ℝ

définie par:

φ(x, y, z) = μ(x, y)z

; on supposera

μ \neq 0

.
3.1 Montrer que

φ

est de type

U

et que si

λ \in ] - 1/(N_\infty(μ)), 1/(N_\infty(μ))[

alors on a:

S_((φ, h))

est un isomorphisme de (

C([0, 1], ℝ), N_\infty

) sur lui même.
3.2 Soit

(μ_n)

une suite de

C([0, 1]^2, ℝ)

telle que:

N_\infty(μ_n - μ) ⟶ _(n \to \infty)0

. On note

‖ \cdot ‖_\infty

la norme subordonnée, associée à

N_\infty

, définie sur

L(C([0, 1], ℝ))

. Si

(φ_n)_(n \in ℕ)

est la suite de

C([0, 1] \times [0, 1] \times ℝ, ℝ)

définie par

φ_n(x, y, z) = μ_n(x, y)z

, montrer que:

‖T_(φ_n) - T_φ‖\to-_(n \to \infty)^0

Partie IV : Étude d'une application

On considère l'équation intégrale de Fredholm:

(E)w(x) = x + \int_0^1 sin(xy)w(y)dy

.
Une solution de

(E)

(s'il en existe) est donc un élément

w

ℝ^([0, 1])

tel que, pour tout

x \in [0, 1]

, on ait:

w(x) = x + \int_0^1 sin(xy)w(y)dy

. On s'intéresse à la résolution de

(E)

dans

C([0, 1], ℝ)

Montrer, en utilisant III) que ( $E$ ) possède une solution unique $w \in C([0, 1], ℝ)$ .
Soit $(v_n)_(n \in ℕ)$ la suite de $C([0, 1]^2, ℝ)$ définie par: $v_n(x, y) = \sum_(i = 1)^n((- 1)^(i + 1))/((2i - 1)!)(xy)^(2i - 1)$ . Pour $n \in ℕ^*$ on définit l'équation intégrale $(E_n)$ par: $w_n(x) = x + \int_0^1 v_n(x, y)w_n(y)dy$ .
2.1 Montrer que ( $E_1$ ) possède une solution unique $w_1 \in C([0, 1], ℝ)$ et expliciter $w_1$ .
2.2 Montrer que, pour tout $n ⩾ 2$ , la résolution de $(E_n)$ se ramène à celle d'un système linéaire que l'on explicitera.
2.3 Montrer, en utilisant III.3), que si $n ⩾ 2$ alors $(E_n)$ possède une solution unique $w_n \in C([0, 1], ℝ)$ (on aura intérêt à montrer que:

- 1 \in ] - 1/(N_\infty(v_n)), 1/(N_\infty(v_n))[

n ⩾ 2

).
2.4 Montrer que

N_\infty(w_n - w) ⟶ _(n \to \infty)0

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Partie II: Théorème du point fixe de Banach

Partie III : Une transformation de C([0, 1], ℝ)

Partie IV : Étude d'une application

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 MP 2000

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Partie I: Convergence uniforme dans $C([0, 1], ℝ)$

Partie III : Une transformation de $C([0, 1], ℝ)$