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ENS Mathématiques Lyon Cachan MP 2000, épreuve LCSujet et corrigé

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Le résultant de deux polynômes et ses applications
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Le problème introduit le résultant de deux polynômes comme déterminant d'une matrice construite à partir de leurs coefficients, et démontre sa propriété fondamentale : il est non nul si et seulement si les deux polynômes sont premiers entre eux. Trois applications indépendantes en découlent : l'obtention de l'équation cartésienne d'une courbe paramétrée, la stabilité de l'ensemble des entiers algébriques par addition, et une version faible du théorème de Bézout bornant le nombre de solutions d'un système de deux équations polynomiales à deux variables complexes.

  1. 1Partie préliminairepremière annéeDéfinition du résultant et vérification de sa stabilité dans un sous-anneau, introduction du degré total d'un polynôme à deux variables.
  2. 2Partie I : la propriété fondamentale du résultantpremière annéeDémonstration que deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si leur résultant est non nul, via une application linéaire dont la matrice est liée à la matrice résultante.
  3. 3Partie II : une courbe unicursalepremière annéeApplication du résultant à l'élimination du paramètre pour obtenir l'équation cartésienne d'une courbe plane paramétrée.
  4. 4Partie III : entiers algébriquespremière annéeUtilisation du résultant pour montrer que la somme de deux entiers algébriques est un entier algébrique, établissant que l'ensemble des entiers algébriques est un sous-anneau de C.
  5. 5Partie IV : équations algébriques, le théorème de Bézout faiblepremière annéeÉtude du nombre de solutions d'un système de deux équations polynomiales à deux variables complexes, et démonstration d'une borne sur ce nombre à l'aide du résultant.

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Les parties II, III et IV sont des applications indépendantes de la partie I. Dans la partie préliminaire ainsi que dans la première partie, K désigne un corps qui peut être quelconque. Dans les trois parties d'applications, K sera égal respectivement à ℝ, à ℚ(X), et enfin à ℂ(X). L'anneau des polynômes à coefficients dans K sera le plus souvent noté K[X] - cependant, il sera noté K[Y] lorsque K sera lui même un corps de fractions rationnelles.
D'autre part, soient m, n deux entiers naturels non-nuls. Si P(X) = ∑_(i = 0)^n a_i X^i et Q(X) = ∑_(j = 0)^m b_j X^j sont deux éléments de K[X] de degrés respectifs n et m, on appelle résultant de P et Q (noté Res_K(P, Q), ou bien Res(P, Q) si aucune confusion n'est possible) le déterminant de la matrice carrée à coefficients dans K de taille ( n + m, n + m ) suivante, dite matrice résultante:
où chaque a_i apparait exactement m fois, et chaque b_j apparait n fois. Noter que les m premiers coefficients diagonaux sont égaux à a_0, et que les n derniers sont égaux à b_m.
Enfin, si A est un sous-anneau de K, on notera A[X] le sous-anneau de l'anneau des polynômes K[X], constitué des polynômes dont tous les coefficients sont dans A.

Partie préliminaire

Soit A un sous-anneau de K.
0-1- Vérifier que A[X] est bien un sous anneau de K[X].
0-2- Montrer que si P, Q sont deux éléments de A[X], alors Res_K(P, Q) reste un élément de A.
0-3- Soit ℂ[X][Y] le sous-anneau de l'anneau des polynômes ℂ(X)[Y] sur le corps ℂ(X) défini dans l'introduction pour A = ℂ[X] et K = ℂ(X). Montrer que tout élément P de ℂ[X][Y] s'écrit de façon unique sous la forme P(X, Y) = ∑_(i, j ⩾ 0)a_(i, j)X^i Y^j avec a_(ij) ∈ ℂ nul sauf pour un nombre fini de couples (i, j). En déduire que si P ≠ 0 est un élément de ℂ[X][Y] s'écrivant comme ci-dessus, alors le nombre d(P) = Max{i + j/a_(i, j) ≠ 0} est un entier naturel bien défini, appelé degré total de P.

Partie I: La propriété fondamentale du résultant.

Soient P(X) = ∑_(i = 0)^n a_i X^i et Q(X) = ∑_(j = 0)^m b_j X^j deux polynômes de K[X] de degrés n et m.
I-1- Montrer que les polynômes P et Q ne sont pas premiers entre eux dans K[X] si, et seulement si, il existe deux polynômes A et B non-nuls de K[X], de degrés degA < m et degB < n, tels que AP = BQ.
I-2- On note K[X]_d le sous-espace vectoriel de K[X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à d.
I-2-a- Quelle est la dimension sur K de K[X]_d ?
I-2-b- Soit f l'application
f : {K[X]_(m − 1) × K[X]_(n − 1), →, K[X]_(m + n − 1); (A, B), ↦, AP + BQ
Montrer que f est une application linéaire, et que sa matrice dans des bases ad-hoc que l'on précisera des espaces vectoriels source et but est la transposée de la matrice résultante de l'énoncé.
I-3- Montrer que P et Q sont premiers entre eux dans K[X] si, et seulement si, Res_K(P, Q) ≠ 0.
I-4- Montrer que pour tout λ non nul, on a
Res_ℂ(λ^n P(X/λ), λ^m Q(X/λ)) = λ^(mn)Res_ℂ(P(X), Q(X)).

Partie II: Une courbe unicursale.

On considère la courbe plane de ℝ^2 paramétrée par t ∈ ℝ :
{x(t) = t^2 + t; y(t) = t^3 + 2t^2
Quelle est l'équation cartésienne de la courbe dans le plan?

Partie III : Entiers algébriques.

On note O l'ensemble des nombres complexes z pour lesquels il existe un polynôme non-nul P(X) ∈ ℤ[X] (l'anneau des polynômes à coefficients dans ℤ ), qui soit unitaire (c'est-à-dire par définition de coefficient dominant égal à 1), et vérifiant P(z) = 0.
III-1- Soient z_1 et z_2 des éléments de O, annulant les polynômes P_1 et P_2 de degrés respectifs n_1 et n_2. Montrer que le polynme (en X ) Res_(Q(X))(P(X − Y), P(Y)) est un élément de ℤ[X], unitaire de degré n_1 n_2 annulant la somme z_1 + z_2. III-1- Montrer que O est un sous-anneau de ℂ.

Partie IV : Équations algébriques: le théorème de Bézout faible.

On se donne deux polynômes P et Q non nuls de ℂ[X][Y], et on se propose d'étudier le nombre de solutions ( z_1, z_2 ) dans ℂ^2 du système d'équations
{P(z_1, z_2) = 0; Q(z_1, z_2) = 0
On considère les deux conditions suivantes sur P et Q :
(C_1)P et Q sont premiers entre eux dans l'anneau de polynômes ℂ(X)[Y] à coefficients dans le corps ℂ(X).
( C_2 ) En notant les dcompositions de P et Q sous la forme P(X, Y) = ∑_(i = 0)^n P_i(X)Y^i et Q(X, Y) = ∑_(j = 0)^m Q_j(X)Y^j avec P_n(X)Q_m(X) ≠ 0 dans ℂ[X], il n'y a aucun facteur non-constant commun aux n + m + 2 polynômes
P_0(X), P_1(X), …, P_n(X), Q_0(X), …, Q_m(X)
dans l'anneau des polynômes ℂ[X].
Enfin, on note d(P) et d(Q) les degrés totaux de P et de Q définis en 0-3-.
IV-1- Exemples. Parmi les trois couples de polynômes suivants, lesquels vérifient (C_1) ? Lesquels vérifient (C_2) ? Quels sont leurs degrés totaux?
(P_1(X, Y) = XY^2 + X,, Q_1(X, Y) = X^2 Y^3 + XY^2);; (P_2(X, Y) = XY^2 + X + 1,, Q_2(X, Y) = Q_1(X, Y));; (P_3(X, Y) = Y + X,, Q_3(X, Y) = X^2 − Y^2).
IV-2-a- On suppose que P et Q vérifient ( C_1 ). Montrer qu'il existe trois polynômes non nuls A, B ∈ ℂ[X][Y], et C ∈ ℂ[X], tels que AP + BQ = C.
IV-2-b- En déduire que le système étudié n'a qu'un nombre fini de solutions si, et seulement si, P et Q vérifient ( C_1 ) et (C_2).
IV-3- Montrer que, par un changement de variables linéaire en ( x, y ), on peut se ramener au cas où n = d(P) et m = d(Q). IV-4- On pose R(X) = Res_(ℂ(X))(P(X, Y), Q(X, Y)). La fonction polynômiale de ℂ dans ℂ associée à R sera notée R(z). On suppose que n = d(P) et m = d(Q). Montrer que (R(z))/(z^(d(P)d(Q))) admet une limite dans ℂ lorsque |z| ⟶ + ∞.
IV-5- On suppose que P et Q vérifient (C_1) et (C_2). Montrer que le nombre de solutions du système est inférieur ou égal au produit d(P)d(Q).
IV-6- Le système d'équations proposé a-t-il toujours d(P)d(Q) solutions lorsque P et Q satisfont ( C_1 ) et ( C_2 )?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques MP de l'ENS (LC) 2000 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques MP de l'ENS (LC) 2000 ?

Il porte sur l'algèbre des polynômes, en particulier l'arithmétique des polynômes premiers entre eux et le résultant, ainsi que sur ses applications en géométrie (courbes paramétrées), en théorie des nombres (entiers algébriques) et en géométrie algébrique (théorème de Bézout).

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties II, III et IV sont des applications indépendantes les unes des autres de la partie I, qui établit la propriété fondamentale du résultant utilisée dans chacune d'elles.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

L'arithmétique des polynômes (division euclidienne, PGCD, polynômes premiers entre eux), les déterminants et les applications linéaires entre espaces de polynômes, ainsi que les bases de la théorie des anneaux.

Ce sujet est-il accessible en première année de prépa ?

Oui, le sujet mobilise essentiellement l'algèbre des polynômes et l'algèbre linéaire du programme de première année, bien que la partie III sur les entiers algébriques et la partie IV sur les polynômes à deux variables demandent une bonne maîtrise de ces notions.

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