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SESSION 2000

Filière MP

MATHÉMATIQUES

(Épreuve commune aux ENS : Ulm et Cachan)
Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d'admissibilité, sauf pour les épreuves de français et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Préambule

Dans tout le problème, D désigne le disque fermé de centre 0 et de rayon 1 de ℝ^2, et D^∘ son intérieur. On notera B l'espace vectoriel normé des fonctions continues de D dans ℝ, muni de la norme
‖u‖_∞ = sup_(z ∈ D)|u(z)|.
On conviendra de noter indifféremment u(z) ou u(x, y) l'image par un élément u ∈ B du vecteur z = (x, y). Sur l'espace vectoriel orienté ℝ^2 muni de sa structure euclidienne canonique, on note SO(ℝ^2) l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de déterminant 1 et S(ℝ^2) celui des endomorphismes symétriques (c'est-à-dire autoadjoints). On notera ⟨z_1, z_2⟩ le produit scalaire de deux vecteurs z_1 et z_2 de ℝ^2, et det(z_1, z_2) leur déterminant dans une base orthonormée directe.
On s'intéresse, pour des applications T : B → ℝ, aux propriétés suivantes:
(P1) ∀u ∈ B, ∀R ∈ SO(ℝ^2), T(x ↦ u(x)) = T(x ↦ u(Rx)).
(P2) ∀(u, v) ∈ B^2, (∀x ∈ D, u(x) ⩽ v(x)) ⟹ T(u) ⩽ T(v).
(P3) ∀u ∈ B, ∀g : ℝ → ℝ croissante continue, T(g ∘ u) = g(T(u)).
Les trois parties du problème sont très largement indépendantes.
Seule la question III.8. utilise des résultats de la partie II.

Première partie

Dans cette partie, pour toute fonction f de ℝ dans ℝ, on notera m(f) l'ensemble (éventuellement vide) des points de ℝ où f atteint un minimum absolu.

− A −

Soit f : ℝ → ℝ une fonction convexe, c'est-à-dire telle que
∀(x, y) ∈ ℝ^2, ∀λ ∈ ]0, 1[, f(λx + (1 − λ)y) ⩽ λf(x) + (1 − λ)f(y).
I.1.a. Montrer que si t et t^′ sont deux éléments de m(f) tels que t < t^′, alors [t, t^′] ⊂ m(f).
I.1.b. En déduire que m(f) est un intervalle de ℝ, et montrer qu'il peut être vide.
1.2. Montrer que pour tous réels a, b, c tels que a < b < c, on a
(f(b) − f(a))/(b − a) ⩽ (f(c) − f(a))/(c − a) ⩽ (f(c) − f(b))/(c − b).
I.3. En déduire que f est continue sur ℝ.
1.4. On suppose de plus que lim_(+ ∞)f = lim_(− ∞)f = + ∞. Montrer que m(f) n'est pas vide.
1.5. Soient n un entier naturel non nul et y_1, y_2, …y_n des nombres réels. On pose, pour p ∈ [1, + ∞[ et x ∈ ℝ,
f_p(x) = ∑_(i = 1)^n|x − y_i|^p
I.5.a. Montrer que pour tout p > 1, m(f_p) est un singleton.
I.5.b. Calculer m(f_2).
I.5.c. Soit σ une permutation de {1, 2, …n} telle que
y_(σ(1)) ⩽ y_(σ(2)) ⩽ … ⩽ y_(σ(n)).
Montrer que si n est impair, alors
m(f_1) = {y_(σ((n + 1)/2))}
Calculer m(f_1) lorsque n est pair.

— B —

Soit u un élément de B. On désigne par ∬_D u(x, y)dxdy l'intégrale double de u sur D, soit
∬_D u(x, y)dxdy = ∫_0^(2π)(∫_0^1 u(rcosθ, rsinθ)rdr)dθ
On considère la fonction h définie sur ℝ par
h(t) = ∬_D|t − u(x, y)|dxdy
I.6. Montrer que m(h) ⊂ [min_D u, max_D u].
I.7.a. Montrer que
∀(a, b) ∈ ℝ^2, ∀λ ∈ ]0, 1[, |λa + (1 − λ)b| ⩽ λ|a| + (1 − λ)|b|,
et qu'il y a égalité si et seulement si ab ⩾ 0.
I.7.b. En déduire que h est une fonction convexe, puis que m(h) est un singleton. Dans toute la suite, on notera M(u) l'unique élément de m(h) ( M est donc une application de B dans ℝ ).
I.8. Montrer que M vérifie la propriété ( P 1 ), et que M(− u) = − M(u).
I.9. On définit, pour δ réel non nul,
χ_δ(t) = (|t + δ| − |t|)/δ
Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes:
(i) t ⩾ M(u)
(ii) ∀δ > 0, ∬_D χ_δ(t − u(x, y))dxdy ⩾ 0
(iii) ∃α > 0, ∀δ ∈ ]0, α[, ∬_D χ_δ(t − u(x, y))dxdy ⩾ 0
I.10. Montrer que M vérifie la propriété (P2).
I.11.a. On considère une fonction g continue croissante de ℝ dans ℝ Montrer que
∀K > 0, ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀(s, t, δ) ∈ ℝ × [ − K, K] × ]0, α[, χ_δ(g(s) + ε − g(t)) ⩾ χ_δ(s − t).
I.11.b. En déduire que g(M(u)) + ε ⩾ M(g ∘ u), puis que M vérifie la propriété ( P 3 ).
I.12. Dans cette question, on considère, pour α réel, la fonction
F(α) = M((x, y) ↦ x + α/2y^2)
1.12.a. Montrer que F est impaire. En déduire F(0).
I.12.b. Montrer que
∀r ∈ ℝ, ∀s > 0, lim_(δ → 0)∫_(− s)^s χ_δ(r − x)dx = 2A(r, s)
où A(r, s) = {s, si, r ⩾ s,; r, si, − s ⩽ r ⩽ s,; − s, si, r ⩽ − s.
I.12.c. En déduire que
∫_(− 1)^1 A(F(α) − α/2y^2, √(1 − y^2))dy = 0
I.12.d. Montrer que F(α) ∼ _(α → 0)α/6.

Deuxième partie

Dans cette partie, on considère une application T de B dans ℝ vérifiant les propriétés (P1), (P2) et (P3). On définit la fonction
ℝ → ℝ; F :, t ⟼ T((x, y) ↦ x + t/2y^2)
et pour h ∈ ]0, 1], on pose
T_h(u) = T(z ↦ u(hz))
Le but de cette partie est d'étudier le comportement de T_h(u) quand h tend vers 0.
II.1.a. Montrer que
∀v ∈ B, ∀(λ, μ) ∈ ℝ^+ × ℝ, T(λv + μ) = λT(v) + μ
II.1.b. Montrer que T est 1-lipschitzienne.
II.1.c. En déduire que F est 1/2-lipschitzienne.
II.2. Soit u un élément de B de classe C^2 sur D^∘. Pour tout z dans D^∘, on note ∇u(z) le vecteur gradient de u en z et D^2 u(z) sa différentielle seconde, considérée comme un élément de S(ℝ^2). Montrer que
∀ε > 0, ∃α ∈ ]0, 1], ∀(h, z) ∈ ]0, α[ × D; |u(hz) − u(0) − h < ∇u(0), z > − (h^2)/2 < D^2 u(0)z, z > | ⩽ εh^2
II.3. Montrer que
T_h(u) = u(0) + G(h∇u(0), h^2 D^2 u(0)) + o_(h → 0)(h^2)
où G est une fonction de ℝ^2 × S(ℝ^2) dans ℝ.
II.4. Soit v un élément de B de classe C^2 sur D^∘ tel que v(0) = 0 et ‖∇v(0)‖ = 1. Montrer qu'il existe un unique élément R de SO(ℝ^2) tel que l'application v^′ = v ∘ R vérifie ∇v^′(0) = (1, 0).
II.5.a. Montrer que ∀ε > 0, ∀(x, y) ∈ D, |xy| ⩽ εy^2 + (x^2)/(4ε).
II.5.b. On note D^2 v^′(0) = (a, b; b, c) ( ℝ^2 étant muni de sa base canonique). Montrer qu'il existe une constante K et un élément v^(′′) de B de classe C^2 sur D^∘ tels que
v^(′′)(0) = 0, ∇v^(′′)(0) = (1, 0), D^2 v^(′′)(0) = (a, 0; 0, c)
et ∀ε > 0, ∀(x, y) ∈ D, |v^(′′)(x, y) − v^′(x, y)| ⩽ K(εy^2 + (x^2)/(4ε)).
II.6.a. Montrer que pour tous réels α et β, il existe une bijection croissante g_(α, β) : ℝ → ℝ de classe C^2 telle que la fonction
D, → ℝ; w_(α, β) :, (x, y), ↦ g_(α, β)(v^(′′)(x, y) + αy^2 + βx^2).
vérifie w_(α, β)(0) = 0, ∇w_(α, β)(0) = (1, 0), et D^2 w_(α, β)(0) = (0, 0; 0, c + 2α).
II.6.b. Etablir que g_(α, β)^(− 1)(t) = t + O_(t → 0)(t^2).
II.7.a. Montrer que T_h(w_(α, β)) = hF(h(c + 2α)) + o_(h → 0)(h^2).
II.7.b. En déduire que
∀(α, β) ∈ ℝ^2, ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀h ∈ [ − δ, δ], |T_h(w_(α, β)) − hF(hc)| ⩽ (ε + α)h^2
II.8. Montrer que si F(0) = 0, alors T_h(v) = hF(hc) + o_(h → 0)(h^2).
II.9. Soit p et q deux fonctions à valeurs réelles, et H(x, y) = (p(x, y), q(x, y)). On appelle divergence de H la fonction
divH = (∂p)/(∂x) + (∂q)/(∂y).
II.9.a. Calculer (div(∇v^′)/(‖∇v^′‖))(0) en fonction de a, b et c.
II.9.b. On suppose que H est de classe C^1 au voisinage de 0 . Montrer que pour tout élément R de SO(ℝ^2), on a
div(R^(− 1) ∘ H ∘ R)(0) = (divH)(0)
II.10. Soit u est un élément de B de classe C^2 sur D^∘ tel que ∇u(0) ≠ 0. Montrer que si F(0) = 0, alors
T_h(u) = u(0) + h‖∇u(0)‖F(h(div(∇u)/(‖∇u‖))(0)) + o_(h → 0)(h^2).
II.11. Soit S l'ensemble des segments fermés du plan, de longueur 2, et dont le milieu est en (0, 0). On considère l'application
B, → ℝ; T :, u → inf_(s ∈ S)sup_((x, y) ∈ s)u(x, y).
Donner, lorsque u est un élément de B de classe C^2 sur D^∘ tel que ∇u(0) ≠ 0, un équivalent de T_h(u) − u(0) quand h tend vers 0.

Troisième partie

On considère un réel τ strictement positif et une application
C : ℝ × ]0, τ[, →, ℝ^2; (r, t), ↦, C(r, t)
de classe C^4, 1-périodique par rapport à r, et telle que (∂C)/(∂r) ne s'annule jamais. Ainsi, en tout point C(r, t) on peut définir le vecteur unitaire tangent, noté T(r, t), le vecteur normal N(r, t) (image de T(r, t) par la rotation vectorielle d'angle + π/2 ), et la courbure κ(r, t) de l'arc paramétré r ↦ C(r, t). On dira alors que C est solution de (P) si
∀(r, t) ∈ ℝ × ]0, τ[, (∂C)/(∂t)(r, t) = κ(r, t)N(r, t)
III.1. Déterminer toutes les fonctions ρ(t) telles que C(r, t) = ρ(t)(cos2πr, sin2πr) soit solution de (P).
III.2.a. On pose v(r, t) = ‖(∂C)/(∂r)(r, t)‖. Montrer qu'il existe une unique application φ : ℝ × ]0, τ[ → ℝ telle que
∀(s, t) ∈ ℝ × ]0, τ[, ∫_0^(φ(s, t))v(r, t)dr = s
et que φ est de classe C^3 sur ℝ × ]0, τ[.
III.2.b. Pour toute fonction Γ : ℝ × ]0, τ[ → ℝ, on note Γ^ la fonction définie sur ℝ × ]0, τ[parΓ^(s, t) = Γ(φ(s, t), t). Montrer que si Γ est C^1, alors
∀(s, t) ∈ ℝ × ]0, τ[, (∂Γ)/(∂r)(φ(s, t), t) = v^(s, t)(∂Γ^)/(∂s)(s, t).
III.3.a. Dans toute la suite, on suppose que C est solution de (P). Montrer que
(∂v)/(∂t) = − vκ^2
III.3.b. Montrer que si Γ : ℝ × ]0, τ[ → ℝ est de classe C^2, on a
∂/(∂t)(1/v(∂Γ)/(∂r)) = κ^2 1/v(∂Γ)/(∂r) + 1/v∂/(∂r)((∂Γ)/(∂t))
III.3.c. En déduire que
(∂T)/(∂t) = 1/v(∂κ)/(∂r)N et (∂N)/(∂t) = − 1/v(∂κ)/(∂r)T
III.4. Montrer qu'il existe n ∈ ℤ tel que
∀t ∈ ]0, τ[, ∫_0^1 κ(r, t)v(r, t)dr = 2πn
III.5. Soit L(t) le périmètre de r ↦ C(r, t) sur une période. Montrer que L est dérivable et que
L^′(t) = ∫_0^1 − κ^2(r, t)v(r, t)dr
En déduire que L(t)L^′(t) ⩽ − 4π^2 n^2.
III.6. Soit
A(t) = 1/2∫_0^1 det(C(r, t), (∂C)/(∂r)(r, t))dr
Montrer que A^′(t) = − 2πn.
III.7. On suppose que n = 1, que lim_(t → τ)A(t) = 0 et que
∀t ∈ ]0, τ[, (L^2(t))/(A(t)) ⩾ 4π
Montrer que
lim_(t → τ)(L^2(t))/(A(t)) = 4π.
III.8. Soit u : ℝ^2 × ]0, τ[ → ℝ de classe C^2 telle que
∀(r, t) ∈ ℝ × ]0, τ[, u(C(r, t), t) = 0.
Montrer qu'en tout point (r, t) tel que ∇u_t(C(r, t)) ≠ 0, on a
(∂u)/(∂t)(C(r, t), t) = (‖∇u_t‖div(∇u_t)/(‖∇u_t‖))(C(r, t)),
où u_t désigne la restriction de u à t fixé, c'est-à-dire la fonction de deux variables réelles u_t : (x, y) ↦ u(x, y, t), et div est l'opérateur défini au II.9.

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