ENS Mathématiques Paris Lyon MP 2000, épreuve PLSujet

Soit f une fonction dans C^∞(ℝ^d, ℝ^d) (définie sur ℝ^d et à valeurs dans ℝ^d ). L'objet de ce problème est l'étude de propriétés qualitatives du système d'équations différentielles

où x est une fonction définie sur un intervalle de ℝ à valeurs dans ℝ^d. La norme euclidienne usuelle de ℝ^d sera notée ‖. et B(x, r) désignera la boule ouverte de centre x et de rayon r. On notera Rez la partie réelle du nombre complexe z. La différentielle de f en un point x_0 ∈ ℝ^d sera notée df(x_0). Soit x_0 ∈ ℝ^d et trois réels t_1 < t_0 < t_2. On dira qu'une solution x ∈ C^1([t_1, t_2], ℝ^d) de ( E ) passe par x_0 à l'instant t_0 si x(t_0) = x_0. Une solution x(t) de ( E ) sera aussi appelée trajectoire de ( E ). On admet le théorème de Cauchy-Lipschitz (avec dépendance C^∞ en les données initiales), qu'on utilisera sans démonstration :

Théorème de Cauchy-Lipschitz. Soit f ∈ C^∞(R^d, R^d) et t_0 ∈ ℝ, x_0 ∈ ℝ^d. Alors il existe τ > 0 et r > 0 et une fonction φ(t, y) de classe C^∞, définie sur ]t_0 − τ, t_0 + τ[ × B(x_0, r), à valeurs dans ℝ^d, telle que

pour tout (t, y) ∈ ]t_0 − τ, t_0 + τ[ × B(x_0, r).
On rappelle d'autre part qu'il existe une unique solution maximale x(t) de (E) passant par x_0 en t_0. Cette solution est définie sur un intervalle ouvert ]a, b[ avec a < t_0 < b et si b < + ∞ (respectivement a > − ∞ ) alors Sup_(t ∈ [t_0, b[)‖x(t)‖ = + ∞ (respectivement Sup_(t ∈ ]a, t_0])‖x(t)‖ = + ∞ ).
Un point x_0 ∈ ℝ^d est dit point critique de f si f(x_0) = 0.
Définition 1 (stabilité d'un point critique). Un point critique x_0 est dit stable s'il existe η > 0 tel que, pour tout x_1 ∈ B(x_0, η), il existe une solution x(t) de ( E ) définie pour tout t ⩾ 0 vérifiant x(0) = x_1 et

Un point critique est dit instable s'il n'est pas stable.
Une solution x(t) de (E) est dite périodique si elle est définie pour tout t ∈ ℝ et s'il existe T > 0 tel que x(t + T) = x(t) pour tout t ∈ ℝ.
Soit

On dit que C est absorbante pour f ∈ C^∞(ℝ^2, ℝ^2) si f(x).x < 0 pour tout x ∈ ℝ^2 tel que |x| = 1 et si f(x).x > 0 pour tout x ∈ ℝ^2 tel que |x| = 1/2.
La première partie du problème établit quelques propriétés de stabilité des points critiques. La seconde partie esquisse une classification topologique des points critiques. La troisième partie est consacrée à la preuve du théorème suivant:

Théorème de Poincaré-Bendixson. Soit f ∈ C^∞(ℝ^2, ℝ^2). On suppose que C est absorbante pour f et que f n'a pas de points critiques dans C. Alors il existe une solution périodique xde(E), non constante, avec x(t) ∈ C, pour tout t ∈ ℝ. Les parties 2 et 3 sont indépendantes.

Soit dans cette partie f ∈ C^∞(ℝ^d, ℝ^d) (avec d ⩾ 2 ) telle que f(0) = 0.
1^∘ ) On suppose dans cette question que les parties réelles des valeurs propres de df(0) sont strictement négatives. Soit λ_0 la plus grande des parties réelles des valeurs propres de df(0).
a) Montrer que pour tout λ > λ_0 il existe un produit scalaire hermitien sur ℂ^d, noté <.|.>, tel que

On pourra commencer par le cas df(0) diagonalisable (dans ℂ ), avant de traiter le cas où df(0) est trigonalisable.
b) Montrer que pour tout λ > λ_0 il existe un produit scalaire euclidien (toujours noté < .|. > ) et un réel σ > 0 tel que

pour tout x tel que ‖x‖ ⩽ σ.
c) En déduire que 0 est stable. Montrer que pour tout λ > λ_0, ‖x(t)‖ = O(exp(λt)) quand t ⟶ + ∞. Montrer par un exemple que l'on n'a pas nécessairement ‖x(t)‖ = O(exp(λ_0 t)) quand t ⟶ + ∞.
2^∘ ) On suppose dans cette question que les parties réelles des valeurs propres de df(0) sont strictement positives. Montrer que 0 est un point critique instable.
3^∘ ) Montrer par des exemples que si les valeurs propres de df(0) sont imaginaires pures, alors on ne peut conclure ni à la stabilité ni à l'instabilité de 0 .
4^∘ ) Soit dans toute cette question d = 2 et f ∈ C^∞(ℝ^2, ℝ^2) telle que sa différentielle df(0) en 0 ait une valeur propre réelle strictement positive λ et une valeur propre réelle strictement négative μ.
a) On rappelle que l'exponentielle d'une matrice A est définie par

Soit x_0 ∈ ℝ^2 un vecteur. Vérifier que la dérivée de t ⟼ exp(tA)x_0 est Aexp(tA)x_0.
b) Soit e_μ un vecteur propre correspondant à la valeur propre μ. On note df(0) = A. On définit une suite de fonctions (u_n)_(n ∈ ℕ) par récurrence: u_0(t) = 0 et

Vérifier que la suite est bien définie. Montrer qu'il existe C_0 > 0 et T_0 > 0 tels que ‖u_n(t)‖ ⩽ C_0 exp(μt) pour tout t ⩾ T_0 et pour tout n ⩾ 0.
c) Montrer qu'il existe T_1 ⩾ T_0 tel que la suite de fonctions u_n(t)exp(− μt) converge uniformément pour t ⩾ T_1.
d) En déduire que pour r assez petit il existe deux trajectoires distinctes x_1(t) et x_2(t) de (E) définies pour t ⩾ 0 telles que ‖x_1(0)‖ = ‖x_2(0)‖ = r et telles que x_1(t) ⟶ 0 et x_2(t) ⟶ 0 quand t ⟶ + ∞.
e) Montrer de même que pour r assez petit il existe deux solutions distinctes x_3(t) et x_4(t) de (E) définies pour t ⩽ 0 telles que ‖x_3(0)‖ = ‖x_4(0)‖ = r et telles que x_3(t) ⟶ 0 et x_4(t) ⟶ 0 quand t ⟶ − ∞.

Soient f et g deux fonctions C^∞(ℝ^d, ℝ^d) admettant 0 pour point critique. On désigne par φ et ψ les solutions respectives des équations

On dit que f et g sont topologiquement équivalentes (sous entendu: au voisinage du point critique 0 ) s'il existe un homéomorphisme T (bijection continue d'inverse continue) d'un ouvert de ℝ^d contenant 0 dans un ouvert de ℝ^d contenant 0 , envoyant 0 sur 0 , et ε > 0 et τ > 0, tels que l'égalité suivante ait un sens et ait lieu pour ‖x‖ < ε et |t| < τ :

On dit que f et g sont linéairement équivalentes si f et g sont deux applications linéaires et s'il existe une application linéaire et inversible T telle que T(φ(t, x)) = ψ(t, T(x)) pour tous t ∈ ℝ et x ∈ ℝ^d.
1^∘ ) Soient A et B deux matrices d × d et f, g définies sus ℝ^d par f(x) = Ax et g(x) = Bx pour tout x ∈ ℝ^d. Montrer que f et g sont linéairement équivalentes si et seulement si A et B sont deux matrices semblables.
2^o ) Soient f et g définies comme dans la question précédente.
a) On suppose que les parties réelles de toutes les valeurs propres de A sont strictement négatives et qu'il existe une valeur propre de B réelle strictement positive. Montrer que f et g ne sont pas topologiquement équivalentes.
b) On suppose que A et B n'ont que des valeurs propres de partie réelle nulle. f et g sont elles toujours topologiquement équivalentes?
c) On suppose que les parties réelles des valeurs propres de A et B sont strictement négatives. Montrer que f et g sont topologiquement équivalentes. Peut-on toujours choisir T de classe C^1 ainsi que son inverse?
3^∘ ) Soit f ∈ C^∞(ℝ^d, ℝ^d) telle que sa différentielle df(0) en 0 n'ait que des valeurs propres de partie réelle strictement négative. Montrer que les fonctions f et x ⟼ df(0).x sont topologiquement équivalentes.
4^∘ ) Montrer que pour tout entier N ⩾ 2 il existe f ∈ C^∞(ℝ^2, ℝ^2) telle qu'il existe exactement N solutions maximales distinctes de ( E ) tendant vers 0 quand t tend vers + ∞, et exactement N solutions maximales distinctes tendant vers 0 quand t tend vers − ∞. On pourra se contenter d'un dessin précis donnant l'allure des orbites. En déduire qu'il existe un nombre infini de classes d'équivalence pour la relation «être topologiquement équivalent à».

On se place dans cette partie en dimension d = 2. On dit qu'un segment [a, b] de ℝ^2 est transverse pour f si f(x) ≠ 0 sur ce segment et si f(x) n'est jamais colinéaire au vecteur ab^(→−) quand x ∈ [a, b]. Le candidat est invité à s'aider de dessins dans la recherche des solutions aux questions, en particulier pour les questions 1d et 1e, et pourra utiliser sans démonstration le théorème de Jordan, énoncé ci-après.
Théorème de Jordan. On appelle courbe de Jordan l'image d'une application continue c : [0, 1] ⟶ ℝ^2 telle que c(0) = c(1) et c(t) ≠ c(s) pour 0 ⩽ t < s < 1. Le complémentaire d'une courbe de Jordan a deux composantes connexes («l'intérieur» et «l'extérieur») dont une seule est non bornée.
1^∘ ) Montrer que:
a) Pour tout x ∈ ℝ^2 tel que f(x) ≠ 0, il existe a et b ∈ ℝ^2, avec a ≠ b et x ∈ ]a, b[, tel que le segment [a, b] soit transverse pour f.
b) Soit [a, b] un segment transverse. Toutes les courbes x(t) solutions de ( E ) qui le traversent le traversent dans le même sens.
c) Soit [a, b] un segment transverse. Pour tout x_0 ∈ [a, b] et pour tout ε > 0, il existe τ > 0 vérifiant la propriété suivante: pour toute solution x(t) de (E) passant à l'instant 0 en un point de B(x_0, r), il existe t tel que 0 < t < ε et x(t) ∉ B(x_0, r).
d) Une solution périodique x(t) de (E) coupe un segment transverse en au plus un point.
e) Supposons qu'une solution x(t)(0 ⩽ t ⩽ T) non fermée coupe un segment transverse en un nombre fini de points x_i aux temps respectifs t_i avec 0 ⩽ t_1 ⩽ t_2 < … < t_N < T. Alors les x_i sont ordonnés sur le segment [a, b].
2^∘ ) Soit x(t) une solution de ( E ) définie pour tout t ⩾ 0 et soit C^+la courbe

On suppose de plus que C^+ ⊂ B(0, 1). On définit

Montrer que L(C^+)est fermé et invariant (c'est-à-dire que si x_0 ∈ L(C^+), toute solution x(t) de (E) avec x(0) = x_0 définie sur un intervalle [0, T] vérifie x(t) ∈ L(C^+)pour tout 0 ⩽ t ⩽ T).
3^∘ ) Si C^+et L(C^+)ont un point commun y non singulier, montrer que x(t) est une solution périodique. On pourra considérer un segment transverse passant par y et utiliser les propriétés démontrées en 1.
4^∘ ) Montrer que L(C^+)est le graphe d'une solution périodique de (E).
5^∘ ) En déduire le théorème de Poincaré-Bendixson.
6^o ) Montrer que le théorème de Poincaré-Bendixson est faux si on remplace « f n'a pas de points critiques dans C » par «tous les points critiques de f dans C sont instables» (le candidat pourra se contenter de dessiner soigneusement un contre-exemple et ne vérifiera pas que f ∈ C^∞ ). Trouver une bonne condition sur les points critiques pour que le théorème soit encore vrai.