ENS Mathématiques Paris Lyon MP 2003, épreuve PLSujet et corrigé

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Structure de groupe sur une courbe elliptique et théorème de Mordell-Weil

Le problème construit une structure de groupe commutatif de type fini sur l'ensemble des points rationnels d'une courbe elliptique y² = x³ - D²x, cas particulier du théorème de Mordell-Weil. Il combine un critère abstrait de finitude via une fonction de hauteur, la construction géométrique de la loi de groupe par alignement de points, et des arguments arithmétiques de divisibilité.

1Partie I : critère de type fini via une hauteurOn établit un critère abstrait selon lequel un groupe commutatif muni d'une hauteur admissible et de type fini modulo 2 est de type fini.
2Partie II : construction de la loi de groupe sur la courbeOn munit la courbe complétée par un point à l'infini d'une structure de groupe commutatif, en s'appuyant sur l'alignement de trois points et une paramétrisation par une fonction elliptique L.
3Partie III : formules explicites pour la loi de groupeOn établit des formules algébriques donnant les coordonnées de la somme, de la différence et du double d'un point de la courbe.
4Partie IV : démonstration du théorème de Mordell-WeilOn construit un morphisme vers un groupe fini pour montrer que le groupe des points rationnels est de type fini modulo 2, puis on construit une hauteur admissible sur ce groupe pour conclure grâce au critère de la partie I.

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SESSION 2003

Filière MP

MATHÉMATIQUES

Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon

Durée : 6 heures

L'usage de toute calculatrice est interdit.
Aucun document n'est autorisé.

Les symboles

C, R, Q, Z

N

désignent respectivement le corps des nombres complexes, le corps des nombres réels, le corps des nombres rationnels, l'anneau des entiers relatifs et l'ensemble des entiers naturels.

Dans tout ce problème, D est un entier impair sans facteur carré. Si

S = {p_1, …, p_s}

, où

s

est le cardinal de S , est l'ensemble des nombres premiers divisant D , alors

2 \notin S

et D est le produit des

p_i

, pour

1 \leq i \leq s

L'objet du problème est l'étude de l'ensemble

C(Q)

des solutions

(x, y) \in Q^2

de l'équation

y^2 = x^3 - D^2 x

, avec

x > 0

. Plus précisément, il s'agit de démontrer que l'on peut munir

C^–(Q) = C(Q) ∪ {∞}

d'une structure de groupe commutatif de type fini (cas particulier du théorème de Mordell-Weil). On note C l'ensemble des solutions dans

R^2

de l'équation

y^2 = x^3 - D^2 x

, avec

x > 0

; on a donc

C(Q) = C \cap Q^2

La partie I donne un critère permettant de montrer qu'un groupe commutatif est de type fini. La partie II munit

C^– = C ∪ {∞}

d'une structure de groupe commutatif. La partie III donne un certain nombre de formules relatives à cette loi de groupe, et la partie IV est consacrée à la démonstration du théorème de Mordell-Weil. Ces 4 parties reposent sur des techniques différentes et peuvent se traiter de manière indépendante (pour la partie III, on n'a besoin que de la définition de la loi d'addition donnée dans la question 6.b de la partie II, et la partie IV utilise de manière intensive les formules de la partie III mais pas leur démonstration).

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. En particulier, il est possible (et même recommandé) d'utiliser des résultats démontrés dans des questions antérieures, mais il faut indiquer la question où le résultat apparaît.

I

Dans cette partie,

Γ

est un groupe commutatif pour une loi notée + . L'élément neutre de

Γ

est noté 0 et l'opposé d'un élément

x

Γ

est noté

- x

. Si

n \in Z

x \in Γ

, on note

nx

l'élément de

Γ

évident (

0x = 0

(n + 1)x = nx + x

n \in Z

On dit que

Γ

est de type fini s'il existe

r \in N

x_1, \dots, x_r \in Γ

tels que tout élément

x

Γ

puisse s'écrire sous la forme

\sum_(i = 1)^r n_i x_i

, avec

n_i \in Z

, si

1 \leq i \leq r

. On dit que

Γ

est de type fini modulo 2 s'il existe un sous-ensemble fini Z de

Γ

tel que tout élément

x

Γ

puisse s'écrire sous la forme

z + 2y

, avec

z \in Z

y \in Γ

On appelle hauteur sur

Γ

une application

h : Γ \to R_+

telle qu'il existe

M \geq 0

tel que, quels que soient

(x, y) \in Γ^2

, on ait

|h(x + y) + h(x - y) - 2h(x) - 2h(y)| \leq M

On dit que

h

est admissible si, quel que soit

B \geq 0

, l'ensemble des éléments

x

Γ

vérifiant

h(x) \leq B

est un ensemble fini.

On note $Γ_(tors)$ l'ensemble des $x \in Γ$ tels qu'il existe $n \in Z - {0}$ tel que $nx = 0$ .
1.a. Montrer que $Γ_(tors)$ est un sous-groupe de $Γ$ .
1.b. Le groupe $Γ_(tors)$ est-il nécessairement fini?
Soit $h$ une hauteur sur $Γ$ .
2.a. Montrer que, si $x \in Γ$ , la suite de terme général $4^(- n)h(2^n x)$ tend vers une limite $hˆ(x)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ , et qu'il existe $M^' \geq 0$ tel que $|h(x) - hˆ(x)| \leq M^'$ , quel que soit $x \in Γ$ .
2.b. Montrer que $hˆ$ vérifie l'identité:

hˆ(x + y) + hˆ(x - y) = 2hˆ(x) + 2hˆ(y) quels que soient x, y \in Γ.

2.c. Calculer

hˆ(nx)

en fonction de

hˆ(x)

, si

n \in Z

.
3. On suppose que l'on peut munir

Γ

d'une hauteur admissible

h

.
3.a. Montrer que

hˆ

est une hauteur admissible sur

Γ

.
3.b. Montrer que

hˆ(x) = 0

si et seulement si

x \in Γ_(tors)

.
3.c. Montrer que

Γ_(tors)

est fini.
3.d. Montrer que, si

x = z + 2y

, alors

hˆ(y) \leq 1/2(hˆ(x) + hˆ(z))

.
3.e. Montrer que si

Γ

est de type fini modulo 2 , alors il est de type fini.

II

On rappelle que C est l'ensemble des solutions

(x, y) \in R^2

de l'équation

y^2 = x^3 - D^2 x

avec

x > 0

. (Il n'est probablement pas inutile de faire un dessin grossier de C .)

Si(x_0, y_0) \in

C , la tangente à C en

(x_0, y_0)

est la droite d'équation

2y_0(y - y_0) = (3x_0^2 - D^2)(x - x_0)

(u, v) \in R^* \times R

, notons (

u^', v^'

) le couple défini par

u^' = 1/u, v^' = - v/u

, et

P_(u, v)

Q_(u^', v^')

les polynômes définis par

P_(u, v)(x) = x^3 - D^2 x - (ux + v)^2 et Q_(u^', v^')(y) = (u^' y + v^')^3 - D^2(u^' y + v^') - y^2.

On note

D_(u, v)

la droite d'équation

y = ux + v

. On pourra utiliser sans démonstration les équivalences (I1)

\Leftrightarrow

(I2)

\Leftrightarrow

(I3), avec
(I1)

(x, y) \in D_(u, v) \cap C

(I2)

x > 0, P_(u, v)(x) = 0

y = ux + v

(I3)

Q_(u^', v^')(y) = 0

x = u^' y + v^' > 0

et, si

(x_0, y_0) \in C \cap D_(u, v)

, les équivalences (T1)

\Leftrightarrow

(T2)

\Leftrightarrow

(T3), avec

(T1)D_(u, v)

est tangente à C en

(x_0, y_0)

(T2)

P_(u, v)

a un zéro double en

x_0

(T3)

Q_(u^', v^')

a un zéro double en

y_0

Soit $n(u, v)$ le cardinal de l'intersection de C avec la droite $D_(u, v)$ d'équation $y = ux + v$ .
1.a. Montrer que $n(u, v) \leq 3$ .
1.b. Montrer que $U = {(u, v) ∈ R^∗ × R, n(u, v) = 3}$ est un ouvert de $R^2$ .
1.c. Montrer que, si $n(u, v) \geq 2$ et si $D_(u, v)$ n'est pas tangente à C , alors $n(u, v) = 3$ .
1.d. Montrer que, si $(a, b) \in R^2$ , il n'existe qu'un nombre fini de points P de C tels que la tangente à C en P passe par ( $a, b$ ).
Si $P = (x, y) \in C$ , on pose $x(P) = x$ et $y(P) = y$ .
2.a. Montrer que, si $t \in R$ , il existe un unique point $P(t)$ de C vérifiant $y(P(t)) = t$ , et que, si on pose $F(t) = x(P(t))$ , alors C est l'ensemble des couples ( $F(y), y$ ), avec $y \in R$ .
2.b. Montrer que $F(y) \geq D$ quel que soit $y \in R$ , que F est paire, que l'on a $F(y_1) = F(y_2)$ si et seulement si $y_1 = \pm y_2$ , et que F est de classe $C^1$ sur $R$ .
2.c. Montrer que $|y|^(- 2/3) F(y)$ tend vers 1 quand $y$ tend vers $+ \infty$ ou vers $- \infty$ .
2.d. Soient $a \in R^*$ et $t \in R - {0, a, - a}$ . Notons $D(a, t)$ la droite joignant $P(t)$ à $P(a)$ et $H_a(t)$ l'élément de $R$ défini par

atH_a(t) = - ((t - a)/(F(t) - F(a)))^3[((t F(a) - a F(t))/(t - a))^3 - D^2(t F(a) - a F(t))/(t - a)].

Montrer que l'on a les équivalences suivantes:
(i)

H_a(t) ∉ {a, t} ⇔ P(H_a(t))

est le troisième point d'intersection de C et

D(a, t)

;
(ii)

H_a(t) = a \Leftrightarrow D(a, t)

est la tangente à C en

P(a)

;
(iii)

H_a(t) = t \Leftrightarrow D(a, t)

est la tangente à C en

P(t)

.
2.e. Calculer la limite de

H_a(t)

quand

t

tend vers

+ \infty

. Que devient la droite

D(a, t)

?
3. On déduit des questions 2.b et 2.c la convergence absolue de l'intégrale

\int_(- \infty)^(+ \infty)(2dt)/(3 F(t)^2 - D^2)

. On note

Ω

la valeur de l'intégrale

\int_(- \infty)^(+ \infty)(2dt)/(3 F(t)^2 - D^2)

, et on définit une fonction

y \mapsto L(y)

par la formule

L(y) = \int_(- \infty)^y(2dt)/(3 F(t)^2 - D^2)

3.a. Montrer que L induit une bijection de

R

sur

]0, Ω[

.
3.b. Calculer

L(y) + L(- y)

y \in R

.
4. Soient

x_1, \dots, x_n

, des nombres complexes distincts deux à deux.
4.a. Montrer que, si

Q \in C[X]

est de degré

\leq n - 1

, alors

Q(X) = \sum_(i = 1)^n Q(x_i)(\prod_(j \neq i)(X - x_j)/(x_i - x_j)).

4.b. Montrer que, si

P(X) = \prod_(i = 1)^n(X - x_i)

, alors

\sum_(i = 1)^n(x_i^k)/(P^'(x_i)) = 0

k \in {0, \dots, n - 2}

(avec la convention

0^0 = 1

) et calculer

\sum_(i = 1)^n(x_i^(n - 1))/(P^'(x_i))

.
5.
5.a. Soit I un intervalle ouvert de

R

, et soient

t \mapsto y_1(t), t \mapsto y_2(t)

t \mapsto y_3(t)

des fonctions de classe

C^1

de I dans

R

telles que, quel que soit

t \in I

, les points

P_i(t) = (x_i(t), y_i(t)) = P(y_i(t)), i ∈ {1, 2, 3}

, soient distincts deux à deux et alignés. Montrer que la fonction

t \mapsto G(t) = L(y_1(t)) + L(y_2(t)) + L(y_3(t))

est constante sur I. (On introduira l'équation

y = u(t)x + v(t)

de la droite contenant les

P_i(t)

et on commencera par vérifier que

u

v

sont de classe

C^1

sur I.)
5.b. Montrer que, si

H_a(t)

est la quantité introduite à la question 2.d, alors

L(a) + L(t) + L(H_a(t)) = 2Ω

quels que soient

a > 0

t > a

.
5.c. Montrer que, si

y_1, y_2, y_3

sont trois éléments de

R

, distincts deux à deux, tels que

P(y_1), P(y_2)

P(y_3)

sont alignés, alors

L(y_1) + L(y_2) + L(y_3) ∈ {Ω, 2Ω}

.
5.d. Montrer que, si

y_1 \neq y_2

, et si

P(y_2)

est sur la tangente à C en

P(y_1)

, alors

2 L(y_1) + L(y_2) ∈ {Ω, 2Ω}

.
5.e. Montrer que, si

y_1, y_2, y_3

sont trois éléments de

R

, distincts deux à deux, tels que

L(y_1) + L(y_2) + L(y_3) \in ΩZ

, alors

P(y_1), P(y_2)

P(y_3)

sont alignés.
6. Soit

G

le groupe des nombres complexes de module 1 et soit

E : C^- \to G

l'application définie par

E(\infty) = 1

E(P(y)) = exp((2iπ)/Ω L(y))

y \in R

.
6.a. Montrer qu'il existe, sur

C^-

, une unique loi de groupe commutatif + telle que l'on ait

E(P + Q) = E(P)E(Q)

. Montrer de plus, que, si

P + Q \neq \infty

, alors

L(y(P + Q)) = L(y(P)) + L(y(Q))

L(y(P)) + L(y(Q)) < Ω

L(y(P + Q)) = L(y(P)) + L(y(Q)) - Ω

L(y(P)) + L(y(Q)) > Ω

.
6.b. Montrer que

\infty

est l'élément neutre pour + et que, si

P_1 = (x_1, y_1), P_2 = (x_2, y_2)

P_3 = (x_3, y_3)

sont trois éléments distincts de C , alors

P_1 + P_2 + P_3 = \infty

si et seulement si

P_1, P_2

P_3

sont alignés.
6.c. Montrer que, si

P \in C

, alors l'opposé -P de P pour la loi + est le symétrique de P par rapport à l'axe des

x

.
6.d. Montrer que si

P \in C^-

, l'équation

2Q = P

a toujours des solutions; combien en a-t-elle?
6.e. Montrer que, si

y_1 + y_2 \neq 0

, et si

z_1

tend vers

y_1

z_2

tend vers

y_2

, alors

y(P(z_1) + P(z_2))

tend vers

y(P(y_1) + P(y_2))

. Que se passe-t-il si

y_1 + y_2 = 0

III

Dans les questions 1.b, 2.b et 4, les formules que l'on cherche à établir vont par groupe; dans chaque groupe, on démontrera la formule qui n'est pas entre crochets, et on admettra les autres.

Soient $P_1 = (x_1, y_1)$ et $P_2 = (x_2, y_2)$ deux éléments de C , avec $x_1 \neq x_2$ , et soit $P_3 = (x_3, y_3) \in C$ défini par $P_1 + P_2 + P_3 = \infty$ .
1.a. Montrer que $x_1, x_2, x_3$ sont les racines du polynôme

P(x) = x^3 - D^2 x - (y_1 + (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)(x - x_1))^2.

En déduire que l'on a

x_3 = ((x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 - D^2)/(y_1 + y_2))^2 - x_1 - x_2 et y_3 = (x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 - D^2)/(y_1 + y_2)(x_3 - x_1) + y_1.

(On commencera par supposer que

P_1, P_2

P_3

sont distincts.)
1.b. Établir les formules (la formule entre crochets sera admise sans démonstration):

(x_1 + D)(x_2 + D)(x_3 + D), = (((x_1 + D)y_2 - (x_2 + D)y_1)/(x_2 - x_1))^2; [x_1 x_2 x_3, = ((x_1 y_2 - x_2 y_1)/(x_2 - x_1))^2].

Soit $P = (x, y) \in C$ , avec $y \neq 0$ et $2P = (x^', y^')$ .
2.a. Établir les formules:

x^' = ((3x^2 - D^2)/(2y))^2 - 2x et - y^' = (3x^2 - D^2)/(2y)(x^' - x) + y.

2.b. Montrer que l'on a

x^' = ((x^2 + D^2)/(2y))^2

. On admettra que, de même,

[x^' + D = ((x^2 + 2Dx - D^2)/(2y))^2 et x^' - D = ((x^2 - 2Dx - D^2)/(2y))^2].

Montrer que $C^-(Q)$ est un sous-groupe de $C^-$ .
Soient $P_1 = (x_1, y_1)$ et $P_2 = (x_2, y_2)$ deux éléments de $C(Q)$ , avec $x_1 \neq x_2$ , et soient $P_3 = P_1 + P_2 = (x_3, y_3)$ et $P_4 = P_1 - P_2 = (x_4, y_4)$ . Établir les formules (la formule entre crochets sera admise sans démonstration):

(x_3 + D)(x_4 + D) = ((x_1 x_2 + D(x_1 + x_2) - D^2)/(x_2 - x_1))^2 et [x_3 x_4 = ((x_1 x_2 + D^2)/(x_2 - x_1))^2]

IV

IV. A

Si $p$ est un nombre premier et $a \in Z - {0}$ , on définit l'entier $v_p(a)$ comme le plus grand entier $n$ tel que $p^n$ divise $a$ (par exemple $48 = 3 \cdot 2^4$ et donc $v_2(48) = 4, v_3(48) = 1$ et $v_p(48) = 0$ si $p \notin {2, 3}$ ). On a $v_p(ab) = v_p(a) + v_p(b)$ , ce qui permet d'étendre $v_p$ à $Q^*$ grâce à la formule $v_p(ab^(- 1)) = v_p(a) - v_p(b)$ . Si $a \in Q^*$ , alors $v_p(a) = 0$ sauf pour un nombre fini de nombres premiers $p$ et, si $a$ est positif, alors $a = \prod_p p^(v_p(a))$ . Si $v \in Z$ , on note $v¯$ son image dans $Z/2Z$ .
1.a. Montrer que $a \in Q^*$ est un carré si et seulement si $a > 0$ et $v_p(a)^- = 0$ quel que soit le nombre premier $p$ .
1.b. Montrer que, si $a, b \in Q^*$ vérifient $v_p(a) < v_p(b)$ , alors $v_p(a + b) = v_p(a)$ .
Soit $P = (x, y) \in C(Q)$ , et soit $c \in {1, 4, 9, 16, \dots}$ le plus petit carré (d'entier) tel que $a = cx \in Z$ .
2.a. Montrer que, si $v_p(c) \geq 1$ , alors $v_p(c) \geq 2$ et $v_p(a) ∈ {0, 1}$ .
2.b. Montrer que $a(a - Dc)(a + Dc)$ est un carré.
2.c. Montrer que, si $p \notin S \cup {2}$ , alors $v_p(a)$ et $v_p(a + Dc)$ sont des nombres pairs.
Soit $φ : C^-(Q) \to (Z/2Z)^(2s + 2)$ l'application qui envoie $\infty$ sur $(0, \dots, 0)$ et $P = (x, y)$ sur

(v_2(x)^-, v_(p_1)(x)^-, \dots, v_(p_s)(x)^-, v_2(x + D)^-, v_(p_1)(x + D)^-, \dots, v_(p_s)(x + D)^-)

3.a. Montrer que

φ

est un morphisme de groupes de

C^-(Q)

dans

(Z/2Z)^(2s + 2)

.
3.b. Montrer que, si

P = (x^', y^') \in C(Q)

est tel que

x^', x^' - D

x^' + D

sont des carrés dans

Q

, et si

Q \in C

est une solution de l'équation

2Q = P

, alors

Q \in C(Q)

.
3.c. Caractériser le noyau de

φ

.
3.d. Montrer que

C^-(Q)

est de type fini modulo 2 .

IV. B

On définit une fonction

h : C^-(Q) \to R_+

en envoyant

\infty

sur 0 et

P = (x, y)

sur

log(a + Dc) = log(c(x + D))

, si

c

est le plus petit carré rendant

a = cx

entier.

Montrer que, quel que soit $P \in C^-(Q)$ , on a

h(2P) \leq 4h(P).

Soient $P_1 = (x_1, y_1)$ et $P_2 = (x_2, y_2)$ deux éléments de $C(Q)$ , avec $x_1 \neq x_2$ , et soient $P_3 = P_1 + P_2 = (x_3, y_3)$ et $P_4 = P_1 - P_2 = (x_4, y_4)$ . Soit $c_1$ (resp. $c_2$ ) le plus petit carré rendant $a_1 = c_1 x_1$ (resp. $a_2 = c_2 x_2$ ) entier.
2.a. Montrer que, si $d$ divise $T = a_1 a_2 + D^2 c_1 c_2, U = a_1 a_2 - D^2 c_1 c_2 + D(a_1 c_2 + a_2 c_1)$ et $V = a_1 c_2 - a_2 c_1$ , alors $d$ divise aussi $2a_1(a_2 + Dc_2)$ et $2a_2(a_1 + Dc_1)$ ainsi que $4D^2 a_1 c_2^2$ et $4D^2 a_2 c_1^2$ .
2.b. Montrer que, si $p \notin S \cup {2}$ , alors $p$ ne divise pas $4D^2 a_1 c_2^2, 4D^2 a_2 c_1^2$ ou $a_1 a_2 + D^2 c_1 c_2$ (on commencera par montrer que $p$ ne divise ni le p.g.c.d. de $a_1$ et $c_1$ , ni celui de $a_2$ et $c_2$ ).
2.c. Montrer que, si $p \in S \cup {2}$ , alors $p^4$ ne divise pas $4D^2 a_1 c_2^2, 4D^2 a_2 c_1^2$ ou $a_1 a_2 + D^2 c_1 c_2$ .
2.d. Montrer que le p.g.c.d. de $a_1 a_2 + D^2 c_1 c_2, a_1 a_2 - D^2 c_1 c_2 + D(a_1 c_2 + a_2 c_1)$ et $a_1 c_2 - a_2 c_1$ divise $(2D)^3$ .
2.e. Montrer que, si $x_3 x_4 = d/e$ et $(x_3 + D)(x_4 + D) = (d^')/e$ , où $d, d^'$ et $e$ sont des entiers, si $c_3$ (resp. $c_4$ ) est le plus petit carré rendant $a_3 = c_3 x_3$ (resp. $a_4 = c_4 x_4$ ) entier, et si $δ =$ p.g.c.d. $(d, d^', e)$ , alors $(c_3 c_4 δ)/e$ est entier et $h(P_3) + h(P_4) \geq logd^' - logδ$ .
2.f. Montrer que, quels que soient $(P_1, P_2) \in C(Q)^2$ avec $P_1 \pm P_2 \neq \infty$ , on a

h(P_1 + P_2) + h(P_1 - P_2) \geq 2(h(P_1) + h(P_2)) - 2log(2(2D)^3).

On suppose dorénavant que le groupe $C^-(Q)$ est infini.
3.a. Montrer que les seules solutions de l'équation $2P = \infty$ sont $P = \infty$ et $P = (D, 0)$ .
3.b. Montrer que $h(2P) \geq 4h(P) - 6log(2(2D)^3)$ quel que soit $P \in C^-(Q)$ .
3.c. Montrer qu'il existe $A > 0$ tel que, quels que soient $(P, Q) \in C^-(Q)^2$ , on ait

h(P + Q) + h(P - Q) \geq 2(h(P) + h(Q)) - A

3.d. Montrer que

h

est une hauteur sur

C^-(Q)

.
3.e. Montrer que

h

est une hauteur admissible sur

C^-(Q)

.
3.f. Montrer que

C¯(Q)_(tors)

est un groupe fini et que

C¯(Q)

est de type fini.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths MP ENS 2003 ?

Il porte sur la théorie des groupes, l'étude de courbes planes, les intégrales généralisées et l'arithmétique des valuations p-adiques, réunis pour démontrer un cas particulier du théorème de Mordell-Weil.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

L'énoncé précise que les quatre parties reposent sur des techniques différentes et peuvent se traiter de manière indépendante, la partie III n'utilisant que la définition de l'addition donnée en partie II, et la partie IV utilisant les formules de la partie III sans leur démonstration.

Qu'est-ce que le théorème de Mordell-Weil évoqué dans ce sujet ?

C'est le résultat, ici démontré dans un cas particulier, selon lequel le groupe des points rationnels d'une courbe elliptique est un groupe commutatif de type fini.

Ce sujet est-il accessible sans connaître la théorie des courbes elliptiques ?

Oui, l'énoncé construit entièrement les objets nécessaires (loi de groupe, fonction de hauteur, morphisme vers un groupe fini) à partir des programmes d'algèbre, d'analyse et d'arithmétique de la classe préparatoire.

Pas de description pour le moment

Commentaires• ENS Mathématiques Paris Lyon MP 2003, épreuve PL

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