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ENS Mathématiques Paris Lyon MP 2001, épreuve PLSujet et corrigé

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Mathématiques, épreuve commune ENS Ulm/Lyon MP 2001 : sommes de Gauss et loi de réciprocité quadratique
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Le sujet démontre la loi de réciprocité quadratique à l'aide des sommes de Gauss tau_n. Après des préliminaires sur les carrés modulo un nombre premier et une partie générale sur les entiers algébriques, la partie 3 étudie les entiers des corps quadratiques. Les parties 4 et 5 calculent tau_n par deux méthodes indépendantes, l'une analytique par une intégrale de Fresnel, l'autre algébrique par diagonalisation d'un endomorphisme. La partie 6 combine ces résultats pour démontrer la loi de réciprocité quadratique par deux méthodes, avec une application à la caractérisation des carrés parfaits.

  1. 1Partie 1 : préliminaires sur les carrés modulo pOn démontre le critère d'Euler qui caractérise, par une puissance, si un élément de (Z/pZ)* est un carré.
  2. 2Partie 2 : généralités sur les entiers algébriquesOn définit les corps de nombres, les endomorphismes entiers et l'anneau des entiers d'un corps de nombres, avec leurs propriétés de stabilité.
  3. 3Partie 3 : entiers des corps quadratiquesOn étudie les corps quadratiques Q[racine(D)] et on détermine explicitement leur anneau d'entiers en fonction d'un entier d sans facteur carré.
  4. 4Partie 4 : calcul analytique de la somme de Gauss tau_nOn calcule tau_n à l'aide d'une intégrale de Fresnel et on en déduit une formule explicite selon le reste de n modulo 4.
  5. 5Partie 5 : calcul algébrique de la somme de Gauss tau_nOn retrouve tau_n comme trace d'un endomorphisme de transformation de Fourier discrète sur Z/nZ, diagonalisé explicitement.
  6. 6Partie 6 : démonstration de la réciprocité quadratiqueOn démontre par deux méthodes indépendantes la loi de réciprocité quadratique à l'aide des sommes de Gauss et des entiers des corps quadratiques, avec une application arithmétique finale.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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SESSION 2001

Filière MP

MATHÉMATIQUES

(Épreuve commune aux ENS: Ulm et Lyon)
Durée : 6 heures
La calculatrice n'est pas autorisée
Tournez la page S.V.P.

Avertissement

La qualité de la rédaction sera un facteur important d'appréciation des copies. On invite en particulier le candidat à produire des raisonnements précis et concis. Le candidat peut utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes. Chaque partie est d'ailleurs largement indépendante des précédentes, une fois admis les résultats qui y sont démontrés.
Plus précisément, la partie 1 n'est utilisée que dans la partie 6. Les parties 4 et 5 sont mutuellement indépendante: ainsi qu'essentiellement du reste du problème : seules les formules équivalentes obtenues dans les question 4.5 et 5.t sont utilisées dans la partie 6 .

Notations

Soit ζ un nombre complexe. On note Q[ζ] le Q-espace vectoriel engendré par {ζ^n, n ∈ N} : c'est une Q-algèbre On note Z[ζ] le sous-groupe additif de Q[ζ] engendré par {ζ^n, n ∈ N}.
Un sous-corps de C qui est de dimension finie (vu comme Q-espace vectoriel) est appelé un corps de nombres.
Soient n, k deux entiers. Si ζ est une racine n-ième de l'unité, le complexe ζ^k ne dépend que de la classe x de k dans Z/nZ et sera noté ζ^x.
Dans le cas particulier où ζ = exp((2iπ)/n), on notera τ_n la somme
τ_n = ∑_(x ∈ Z/nZ)ζ^(x^2)

1. Préliminaires

Soit p un nombre premier impair et y ∈ (Z/pZ)^∗. On dit que y est un carré s'il existe z ∈ (Z/pZ)^∗ tel que y = z^2
1.1. Montrer l'égalité
∏_(x ∈ (Z/pZ)^∗)x = {− y^((p − 1)/2), si y est un carré,; y^((p − 1)/2), sinon.
[Indication : regrouper deux à deux dans le produit les termes x, y/x, x ∈ (Z/pZ)^∗ ].
1.2. En déduire les égalités
{y^((p − 1)/2) = 1, si y est un carré,; y^((p − 1)/2) = − 1, sinon.

2. Généralités

2.1. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i) Il existe un polynôme P unitaire à coefficients rationnels annulant ζ;
(ii) La Q-algèbre Q[S] est un corps de nombres.
Soit V un Q-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de V. Si v_1, ⋯, v_n sont des éléments d V, on note Zv_1 + ⋯ + Zv_n l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiers des v_i, i = 1, ⋯, n.
2.2. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes:
(i) Il existe un polynôme P unitaire à coefficients entiers annulant f;
(ii) Il existe un entier n et des vecteurs v_i, i = 1, ⋯, n engendrant V tels que
f(Zv_1 + ⋯ + Zv_n) ⊂ Zv_1 + ⋯ + Zv_n
[Indication : pour (ii) ⟹ (i), on pourra introduire une matrice carrée dont les coefficients a_(i, j) vérifient
f(v_j) = ∑_(i = 1)^n a_(i, j)v_i, i = 1, ⋯, n
et considérer son polynôme caractéristique].
Un tel endomorphisme est dit entier.
2.3. Montrer que le composé et la somme de deux endomorphismes entiers f, g de V qui commutent ( ie tels que f ∘ g = g ∘ f ) sont entiers. [Indication : on pourra montrer qu'on peut choisir un entier n, des vecteurs v_i, i = 1, ⋯, n comme dans (ii) de (2.2) qui conviennent à la fois pour f et g ]. Montrer que ce n'est plus le cas en général si on ne suppose pas que les endomorphismes commutent.
Soit K un corps de nombre, muni de sa structure de Q -espace vectoriel de dimension finie. On dira que x ∈ K est entier si l'endomorphisme de multiplication
m_x : {K, →, K; y, ↦, xy
est entier. On note O_K l'ensemble des éléments de K qui sont entiers, qui est donc un sous-anneau de K d'après la question 2.3.
2.4. Montrer l'égalité O_K ∩ Q = Z.

3. Entiers des corps quadratiques

Soit D ∈ Q qui n'est pas le carré d'un rationnel. Si D est négatif, on notera √D le complexe i√(− D). Un corps de la forme Q[√D] (avec D non carré) est dit corps quadratique. On remarque que (1, √D) est une base de Q[√D]. On note σ l'isomorphisme de corps
σ : {Q[√D], →, Q[√D]; a + b√D, ↦, a − b√D
3.1. Montrer que les seuls isomorphismes de corps de Q[√D] dans lui-même sont l'identité et σ.
3.2. Soit D^′ ∈ Q^∗. Montrer que Q[√D] = Q[√(D^′)] si et seulement si D/D^′ ∈ Q^2.
3.3. Montrer qu'il existe un unique d ∈ Z sans facteur carré tel que Q[√D] = Q[√d].
3.4. Soit K un sous-corps de C de dimension 2 sur Q. Montrer que K est un corps quadratique.
Soit d un entier sans facteur carré et K = Q[√d].
3.5. Montrer que x ∈ O_K si et seulement si x ∈ K et
{x + σ(x) ∈ Z; xσ(x) ∈ Z.
Soit ω ∈ O_K défini par
ω = {(1 + √d)/2, si d ≡ 1 mod4; √d, sinon
3.6. Montrer que l'application
{Z^2, →, O_K; (x, y), ↦, x + yω
est un isomorphisme de groupes abéliens.

4. Un calcul analytique de τ_n.

On se donne n un entier ≥ 1. Pour k = 0, ⋯, n − 1, on note f_k la fonction
f_k : {[0, 1], →, C; t, ↦, exp((2iπ(t + k)^2)/n)
et f = f_0 + ⋯ + f_(n − 1).

Tournez la page S.V.P.

4.1. Montrer que la suite de terme général
u_k = ∑_(m = − k)^k∫_0^1 f(t)exp(− 2iπmt)dt
converge vers τ_n.
4.2. Montrer que la fonction de R^+dans C qui à un réel x associe
∫_(− x)^x exp((2iπt^2)/n)dt
admet une limite I_n ∈ R en + ∞.
4.4. Comparer I_n et I_1.
4.5. Montrer la formule
τ_n = (1 + i^(− n))/(1 + i^(− 1))√n
4.6. Soit K un corps quadratique. Montrer qu'il existe une racine de l'unité ξ telle que K ⊂ Q[ξ].

5. Un calcul algébrique de τ_n

Soit n un entier impair > 1 et ζ le complexe ζ = exp((2iπ)/n).
Soit V le C-espace vectoriel de dimension n des fonctions de Z/nZ dans C. Soit φ l'endomorphisme de V qui à la fonction f associe φ(f) définie par
φ(f) : {Z/nZ, →, C; x, ↦, ∑_(y ∈ Z/nZ)f(y)ζ^(xy).
5.1. Soit f ∈ V. Montrer l'égalité
φ ∘ φ(f)(x) = nf(− x) pour tout f ∈ V, x ∈ Z/nZ.
5.2. Diagonaliser φ ∘ φ.
On remarque que
τ_n = ∑_(x ∈ Z/nZ)ζ^(x^2)
est la trace de φ.
5.3. Montrer que le module |τ_n| est √n.
On cherche à calculer τ_n.
Soient a, b, c, d les multiplicités respectives des valeurs propres √n, − √n, i√n, − i√n de φ.
5.4. Montrer les égalités a + b = (n + 1)/2 et c + d = (n − 1)/2 ainsi que (a − b)^2 + (c − d)^2 = 1.
5.5. En calculant det(φ), calculer a, b, c, d en fonction de n.
5.6. Montrer
τ_n = {√n, si, n ≡ 1, mod4,; i√n, si, n ≡ 3, mod4.
(formule compatible avec la question 4.5).

6. Réciprocité quadratique

On considère deux nombres premiers impairs distincts p, q. On note L le corps de nombres Q[exp((2iπ)/p)] et K le corps quadratique Q[τ_p], qui est contenu dans L. On note (q/p) l'entier qui vaut 1 si la classe q modulo p est un carré et -1 sinon. On se propose de montrer par deux méthodes différentes la formule
(p/q)(q/p) = (− 1)^((p − 1)/2(q − 1)/2)
Première méthode
6.1. Montrer l'égalité O_L ∩ K = O_K.
6.2. Montrer la relation τ_p^q − (q/p)τ_p ∈ qO_K.
6.3. Soit n un entier relatif. Montrer que si nτ_p est un élément de qO_K, alors q divise n [Indication : utiliser la question 3.6].
6.4. Montrer l'égalité (1).
Seconde méthode
6.5. Montrer qu'il existe une unique bijection
φ : Z/qZ × Z/pZ → Z/pqZ
telle que
φ((xmodq), (ymodp)) = (xp + yq)modpq
pour tout (x, y) ∈ Z^2.
6.6. Montrer la formule
τ_(pq) = (p/q)(q/p)τ_p τ_q
6.7. En déduire l'égalité (1) [Utiliser les formules obtenues aux questions 4.5 ou 5.6].
6.8. On pose dans cette question K = Q[i]. En étudiant (1 + i)^q dans O_K, montrer l'égalité
(2/q) = (− 1)^((q^2 − 1)/8)
[Indication : on s'inspirera de la question 6.2].
Une application
On admet le résultat difficile suivant :
Etant donnés des entiers a, b non nuls premiers entre eux, l'ensemble {ak + b, k ∈ Z} contient une infinité de nombres premiers.
6.9. Soit n un entier relatif. Soit S un ensemble fini de nombres premiers. On suppose que pour tout nombre premier l ∉ S, la classe de n modulo l est un carré dans Z/lZ. Montrer que n est le carré d'un entier.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths ENS Ulm/Lyon MP 2001 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths ENS Ulm/Lyon MP 2001 ?

Il porte sur l'arithmétique modulaire, la réduction des endomorphismes, les nombres complexes et les intégrales impropres, mobilisés pour démontrer la loi de réciprocité quadratique.

Les parties sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que chaque partie est largement indépendante des précédentes une fois leurs résultats admis, la partie 1 n'étant utilisée que dans la partie 6, et les parties 4 et 5 étant mutuellement indépendantes.

Qu'est-ce que la loi de réciprocité quadratique démontrée dans ce sujet ?

C'est un résultat classique de théorie des nombres qui relie, pour deux nombres premiers impairs distincts p et q, le fait que p soit un carré modulo q à celui que q soit un carré modulo p.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Non, il mobilise des notions avancées d'algèbre (corps de nombres, entiers algébriques) et d'analyse complexe hors du programme usuel de prépa, dans l'esprit d'un sujet de concours très sélectif comme l'ENS.

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