ENS Mathématiques Lyon Cachan MP 2001, épreuve LCSujet et corrigé

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Mathématiques, épreuve commune ENS Lyon/Cachan MP 2001 : algèbres involutives de matrices et algèbres de Clifford

Le sujet étudie l'espace des matrices carrées complexes muni de sa structure hermitienne. La première partie caractérise la norme usuelle d'opérateur comme l'unique norme compatible avec l'involution adjointe. La deuxième étudie les commutants successifs d'une sous *-algèbre de matrices et démontre le théorème du bicommutant. La troisième construit une algèbre de Clifford à l'aide d'opérateurs de création et d'annihilation indexés par les parties d'un ensemble fini, et étudie une limite liée à une loi normale.

1Partie I : normesOn étudie la norme usuelle d'opérateur sur les matrices complexes et on montre qu'elle est l'unique norme vérifiant m(A*A) = m(A)^2.
2Partie II : commutantsOn étudie les commutants successifs d'une sous *-algèbre de matrices, les sous-espaces invariants associés, et on démontre le théorème du bicommutant qui donne S = S''.
3Partie III : algèbres de CliffordOn construit une algèbre de Clifford à partir d'opérateurs de création et d'annihilation indexés par les parties d'un ensemble fini, et on étudie la limite d'une espérance liée à une exponentielle d'opérateurs quand la dimension tend vers l'infini.

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SESSION 2001

Filière MP

MATHÉMATIQUES

(Épreuve commune aux ENS: Lyon et Cachan)

Durée : 4 heures

L'espace

C^n

est considéré muni de sa structure hermitienne, c'est à dire du produit hermitien

< x, y>=\sum_(i = 1)^n x_i^-y_i

et de la norme

‖x‖ = ⟨x, x⟩^(1/2).

On note

M_n(C)

l'espace des matrices

n \times n

à coefficients dans

C

. On identifie

M_n(C)

à l'espace

L(C^n)

des applications linéaires de

C^n

dans

C^n

. On munit

M_n(C)

de sa structure naturelle d'algèbre involutive, c'est à dire:

de sa structure de C-espace vectoriel,
du produit usuel des matrices,
de l'involution $A \mapsto A^*$ avec

(A^*)_(i, j) = A_(j, i)^-.

On rappelle que

A^*

comme opérateur sur

C^n

est caractérisé par

< x, Ay>=<A^* x, y >

pour tous

x, y \in C^n

. On a alors,

(A^*)^* = A

(AB)^* = B^* A^*

, pour toutes matrices

A, B \in M_n(C)

. Une matrice

A

est dite auto-adjointe si elle vérifie

A^* = A

.
On rappelle que toute matrice auto-adjointe a ses valeurs propres réelles et se diagonalise dans une base orthonormée pour le produit hermitien.

On rappelle enfin que la norme usuelle sur

M_n(C)

est donnée par

‖A‖‖ = sup{‖Av‖; v ∈ C^n, ‖v‖ = 1}.

I. Normes

a) Calculez la norme d'une matrice $A \in M_n(C)$ qui est diagonale dans la base canonique.
b) Soit $A \in M_n(C)$ et $D = A^* A$ . Montrez que toutes les valeurs propres de $D$ sont positives.
c) Montrez que pour tout $A \in M_n(C)$ on a

‖|A|‖ = √(max{μ_j; j = 1, …, n})

où

μ_1, \dots, μ_n

sont les valeurs propres de

D = A^* A

.
d) Montrez que

‖|A^* A||| = ‖A|‖^2

, pour tout

A \in M_n(C)

.
2) Soit

m

une norme sur

M_n(C)

telle que

m(A^* A) = m(A)^2

pour tout

A \in M_n(C)

. Soit

A \in M_n(C)

D = A^* A

.
a) Soient

μ_1 \geq \dots \geq μ_n \geq 0

les valeurs propres de

D

. Montrez que

μ_1 = inf{r ∈ R^+; lim_(l → + ∞)m((1/rD)^(2^l)) = 0}

b) Montrez que la seule norme sur

M_n(C)

qui vérifie

m(A^* A) = m(A)^2

, pour tout

A \in M_n(C)

, est la norme usuelle

||| \cdot |||

II. Commutants

Soit

S

une sous-algèbre de

M_n(C) = L(C^n)

. On dit que

S

est auto-adjointe si pour tout

A \in S

on a

A^* \in S

S

est une sous-algèbre de

M_n(C)

, contenant la matrice identité

I

, et que

S

est auto-adjointe, on dit que

S

est une sous *-algèbre de

M_n(C)

.
Pour toute sous *-algèbre

S

M_n(C)

, on pose

S^′, = {A ∈ M_n(C); AS = SA pour tout S ∈ S}; S^(′′), = (S^′)^′; ⋮; S^((m + 1)), = (S^((m)))^′; ⋮

Montrez que $S^'$ est une sous *-algèbre de $M_n(C)$ .
Montrez que

S \subset S^('') = S^((4)) = \dots = S^((2n)) = \dots

et que

S^' = S^(''') = \dots = S^((2n + 1)) = \dots

Soit $E$ un sous-espace de $C^n$ et $P_E$ le projecteur orthogonal de $C^n$ sur $E$ . On dit que $E$ est invariant par $S$ si $AE \subset E$ pour tout $A \in S$ (avec $AE = {Av; v \in E}$ ).
Montrez que $E$ est invariant par $S$ si et seulement si $P_E \in S^'$ .
Soit $K = C^(n^2)$ . On identifie $K$ à $C^n \times \dots \times C^n$ en identifiant le vecteur ( $x_1, \dots, x_(n^2)$ ) au vecteur $(X_1, \dots, X_n)$ , où $X_i = (x_((i - 1)n + 1), \dots, x_(in))$ . On identifie ainsi $L(K) = M_(n^2)(C)$ à $M_n(M_n(C))$ (les matrices $n \times n$ à coefficients dans $M_n(C)$ ).
Soit

Π : M_n(C), \to L(K); A, \mapsto (A, 0, \dots, 0; 0, A, \dots, 0; \dots, \dots, \dots, \dots; 0, 0, \dots, A).

Soit

(v_1, \dots, v_n)

une famille d'éléments de

C^n

v = (v_1; ⋮; v_n) \in K.

Soit maintenant

S

une sous *-algèbre de

M_n(C)

. On pose

Π(S)v = {Π(A)v; A \in S}

.
a) Montrez que

Π(S)v

est un sous-espace vectoriel de

K

Soit

P

le projecteur orthogonal de

K

sur

Π(S)v

.
b) Montrez que

P \in Π(S)^'

(le ' est sous-entendu dans

L(K)

).
c) Montrez que

Π(S)^' = M_n(S^')

.
d) Montrez que

Π(S^('')) \subset M_n(S^')^'

.
e) Soit

B \in S^('')

, montrez que

Π(S)v

est invariant par

Π(B)

.
f) En déduire que

S = S^('')

.
5) Soit

S

une sous *-algèbre de

M_n(C)

.
a) Montrez que si

A \in S

vérifie

A^* = A

, alors

A

s'écrit

A = \sum_(k = 1)^l μ_k P_k

où

μ_1, \dots, μ_l \in R

et où les

P_k

sont des projecteurs orthogonaux qui appartiennent à

S

.
b) En déduire que si

S

est une sous *-algèbre de

M_n(C)

qui n'admet pas d'espace invariant

E

autre que

{0}

M_n(C)

, alors

S = M_n(C)

(Indication: Montrez que

S^'

est réduit aux multiples de l'identité).

III. Algèbres de Clifford

Soit

n \in N^*

. Considérons l'algèbre

M_(2^n)(C) = L(C^(2^n))

. On choisit une base orthonormée quelconque de

C^(2^n)

, mais on choisit de l'indexer par

P

, l'ensemble des parties de

{1, \dots, n}

. Soit

{e_A, A ∈ P}

une telle base orthonormée. Pour tout

A \in P

on définit l'application linéaire

a_A

par

a_A e_B = {e_(B∖A), si A ⊂ B; 0, sinon

pour tout

B \in P

a) Dans le cas $n = 1$ , écrire la matrice de $a_({1}) ∈ M_2(C)$ . Dans le cas $n = 2$ , écrire la matrice de $a_({1})$ et de $a_({2}) ∈ M_4(C)$ .
b) Dans le cas général, montrez que $a_A^*$ est donné par

a_A^∗ e_B = {e_(B ∪ A), si A ∩ B = ∅; 0, sinon

c) On considère

S_n

le sous-espace de

M_(2^n)(C)

formé par les combinaisons linéaires de matrices de la forme

a_A^* a_B, A, B \in P

. Montrez que

S_n

est une sous *-algèbre de

M_(2^n)(C)

.
d) Montrez que

S_n = M_(2^n)(C)

.
2) Dans le cas

n = 1

, on note

Ω = e_∅, a = a_({1})

w(z) = exp(za^* - z¯a)

, pour

z \in C

Dans le cas général on note

Ω_n = e_\emptyset

B_n = 1/(√n)(a_({1}) + … + a_({n}))

W_n(z) = exp(zB_n^* - z¯B_n)

, pour

z \in C

.
a) Montrez que

W_n(z) = exp((za_({1})^∗ − z¯a_({1}))/(√n))…exp((za_({n})^∗ − z¯a_({n}))/(√n))

.
b) Montrez que, pour tous polynômes

P_1, P_2, \dots, P_n

à une variable, on a

< Ω_n, P_1((za_({1})^∗ − z¯a_({1}))/(√n))…P_n((za_({n})^∗ − z¯a_({n}))/(√n))Ω_n>=; =<Ω, P_1((za^∗ − z¯a)/(√n))Ω > … < Ω, P_n((za^∗ − z¯a)/(√n))Ω >

c) En déduire que

< Ω_n, W_n(z)Ω_n>=<Ω, w(z/\sqrtn)Ω > ^n

.
d) En déduire

lim_(n \to + \infty) < Ω_n, W_n(z)Ω_n >

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths ENS Lyon/Cachan MP 2001 ?

Il porte sur les espaces hermitiens, la réduction des matrices auto-adjointes, les normes d'algèbre et les sous-algèbres de matrices, avec une ouverture vers les algèbres de Clifford.

Les trois parties sont-elles indépendantes ?

La partie II réutilise la caractérisation de la norme usuelle établie en partie I, et la partie III s'appuie sur le théorème du bicommutant démontré en partie II.

Qu'est-ce que le théorème du bicommutant démontré dans ce sujet ?

C'est le résultat de la partie II selon lequel toute sous *-algèbre S de matrices vérifie S = S'', où S' désigne l'ensemble des matrices qui commutent avec tous les éléments de S.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Non, il suppose une bonne maîtrise de la réduction des matrices auto-adjointes et des structures d'algèbre, notions approfondies en deuxième année.

Pas de description pour le moment

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