ENS Mathématiques Lyon Cachan MP PC 2003, épreuve LCSujet et corrigé

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Annales X-ENS MP/PC Mathématiques X-ENS MP/PC 2003 MP/PC Mathématiques Mathématiques 2003

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Caractérisation des endomorphismes de l'espace des matrices préservant le rang 1, le groupe linéaire ou le groupe unitaire

Le problème caractérise les endomorphismes de l'espace vectoriel des matrices carrées Mn(C) qui préservent certaines propriétés remarquables. La partie I montre que les endomorphismes envoyant toute matrice de rang 1 sur une matrice de rang 1 sont exactement les applications A → PAQ et A → P(tA)Q pour P, Q inversibles. La partie II montre qu'un endomorphisme envoyant GLn(C) dans GLn(C) appartient au même ensemble d'applications. La partie III montre le même résultat pour les endomorphismes envoyant le groupe unitaire dans lui-même.

1Partie I : endomorphismes préservant les matrices de rang 1Étude des sous-espaces de dimension n constitués de matrices de rang au plus 1 (de la forme XL ou CV), et démonstration que tout endomorphisme envoyant R1 dans R1 s'écrit A → PAQ ou A → P(tA)Q.
2Partie II : endomorphismes préservant le groupe linéaireDémonstration qu'un endomorphisme envoyant GLn(C) dans GLn(C) préserve le rang des matrices, puis qu'il appartient à l'ensemble caractérisé dans la partie I.
3Partie III : endomorphismes préservant le groupe unitaireÉtude des décompositions d'endomorphismes unitaires en somme de composantes de rang 1 à l'aide d'adjoints hermitiens, pour démontrer que tout endomorphisme envoyant le groupe unitaire dans lui-même appartient également à l'ensemble caractérisé en partie I.

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SESSION 2003

Filière MP (groupes M/MP/MI)

Épreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan

Filière MP (groupe I)

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Filière PC (groupe I)

Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

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Introduction

Soit

n

un entier naturel non-nul. On note

M = M_(n, n)(C)

l'espace vectoriel de dimension

n^2

des matrices carrées

n \times n

a coefficients dans le corps

C

des nombres complexes. On note

C = M_(n, 1)(C)

l'espace vectoriel de dimension

n

des matrices colonne à coefficients dans

C

, et

L = M_(1, n)(C)

l'espace vectoriel de dimension

n

des matrices ligne. Enfin, on note

R_1

le sous-ensemble de

M

constitué des matrices de rang 1 .

P

Q

sont deux éléments du groupe linéaire

GL_n(C)

, on note

φ_(P, Q)

l'endomorphisme de l'espace vectoriel

M

défini, pour

A \in M

, par

φ_(P, Q)(A) = PAQ

On note

T

l'endomorphisme transposition de

M

, c'est-à-dire l'endomorphisme de

M

défini par

T(A) = ^t A

pour

A \in M

. On note alors

G = {φ_(P, Q); P, Q ∈ GL_n(C)}; G^′ = {T ∘ φ_(P, Q); P, Q ∈ GL_n(C)}

G = G \cup G^'

Première partie

On va montrer dans cette partie que les endomorphismes

f

de l'espace vectoriel

M

, tels que

f(R_1) \subset R_1

, sont précisément les éléments de

G

Montrer que si $f \in G$ , et si $A \in R_1$ , alors $f(A) \in R_1$ .
Montrer que toute matrice de rang 1 est produit d'un élément de $C$ par un élément de $L$ .
Soient $X, X^' \in C$ et $V, V^' \in L$ . On suppose que $XV + X^' V^'$ est de rang $\leq 1$ , et que $V$ et $V^'$ sont linéairement indépendants dans $L$ .

3-a) Montrer qu'il existe

Y, Y^' \in C

, tels que

VY = 1, V^' Y = 0, VY^' = 0

V^' Y^' = 1

.
3-b) En déduire que

X

X^'

sont liés dans

C

.
4) Soient

F, F_1, F_2

trois sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel

E

. On suppose que

F \subset F_1 \cup F_2

. Montrer que

F \subset F_1

F \subset F_2

.
5) Si

X \in C - {0}

, on note

XL = {XV; V \in L}

. De même, on note

CV = {XV; X \in C}

pour

V \in L - {0}

5-a) Montrer qu'il s'agit là de sous-espaces vectoriels de

M

, de dimension

n

et constitués de matrices de rang inférieur ou égal à 1 .

5-b) Soit

F

un sous-espace vectoriel de

M

, de dimension

n

, et constitué de matrices de rang inférieur ou égal à 1 . Montrer que

F

est soit de la forme

XL

pour

X \neq 0

, soit de la forme

CV

pour

V \neq 0

5-c) Calculer, pour

X, X^′ ∈ C − {0}

V, V^′ ∈ L − {0}

, les intersections

XL \cap X^' L

CV \cap CV^'

XL \cap CV

On se donne, jusqu'à la fin de cette partie, un endomorphisme

f

sur l'espace vectoriel

M

, tel que

f(R_1) \subset R_1

.
6) Montrer que l'image par

f

d'un sous-espace vectoriel de

M

, de dimension

n

, et constitué de matrices de rang inférieur ou égal à 1, est du même type.
7) On suppose qu'il existe

X_1, X_2 ∈ C − {0}

, non colinéaires, tels que

f(X_1 L) = Y_1 L

f(X_2 L) = Y_2 L

avec

Y_1, Y_2 ∈ C − {0}

7-a) Montrer qu'il existe

Q \in GL_n(C)

, telle que

f(X_1 V) = Y_1 VQ

pour tout

V \in L

. [Indication : définir

Q

sur une base de

L

7-b) Montrer que

f(X_1 L) \neq f(X_2 L)

. [Indication : raisonner par l'absurde.]
7-c) Montrer que pour tout

V \in L - {0}, f(CV)

est de la forme

CU

avec

U \in L - {0}

7-d) Que dire de

f(XL)

pour

X \in C - {0}

?
7-e) Montrer que pour tout

X \in C - {0}

, il existe

Y \in C - {0}

, telle que pour tout

V \in L

, on ait

f(XV) = YVQ

pour la matrice

Q

obtenue en 7-a).
7-f) Montrer que

f \in G

.
8) Conclure.

Deuxième partie

On va montrer qu'un endomorphisme d'espace vectoriel

f

M

vérifie

f(GL_n(C)) \subset GL_n(C)

si, et seulement si, il est dans

G

Montrer que si $f \in G$ , et si $A \in GL_n(C)$ , alors $f(A) \in GL_n(C)$ .
Soit $A \in M$ , de rang $r \leq n - 1$ .

2-a) Montrer qu'il existe

M \in GL_n(C)

, telle que

M - λA \in GL_n(C)

pour tout

λ \in C

. [Indication : on commencera par traiter le cas où

A

est la matrice par blocs

(0, I_r; 0, 0)

2-b) Montrer qu'il existe

N \in GL_n(C)

, telle que

N - λA

soit non inversible pour exactement

r

valeurs distinctes de

λ

.
3) Soit

f

un endomorphisme de

M

, tel que

f(GL_n(C)) \subset GL_n(C)

3-a) Montrer que si

A

n'est pas inversible, alors

f(A)

non plus.
3-b) Montrer que pour

A \in M

, on a

rangf(A) \geq rangA.

3-c) En déduire que

f

préserve le rang.
3-d) Conclure.

Troisième partie

On note

U_n(C)

le groupe unitaire, c'est-à-dire le groupe des éléments de

M

préservant le produit scalaire hermitien standard

(x, y) = \sum_(i = 1)^n x_i y_i^-

E = C^n

. Si

u

est un endomorphisme de

E

, on note

u^*

l'adjoint de

u

, c'est-à-dire l'unique endomorphisme de

E

vérifiant

(x, u(y)) = (u^*(x), y)

pour tout

x, y \in E

Soit

f

un endomorphisme de

M

, tel que

f(U_n(C)) \subset U_n(C)

. On va montrer qu'alors

f \in G

Montrer que pour tout endomorphisme $u$ sur $E, u^* \circ u$ est un endomorphisme hermitien positif de même rang que $u$ .

Soient

u

v

deux endomorphismes de

E

, tels que

u + λv

soit unitaire pour tout nombre complexe

λ

de module 1 . Montrer que

u^* \circ v = 0

et que

u^* \circ u + v^* \circ v = Id_E

.
2) Soient

u_1, \dots, u_p

des endomorphismes de

E

, tels que

\sum_(i = 1)^p λ_i u_i

soit unitaire pour tous

λ_1, \dots, λ_p

complexes de module 1 .

2-a) Montrer que

u_i^* \circ u_j = 0

pour

i \neq j

, et que

\sum_(i = 1)^p u_i^* \circ u_i = Id_E

.
2-b) Montrer que les espaces vectoriels

Imu_i

sont deux à deux orthogonaux.
2-c) Montrer que

\sum_(i = 1)^p rangu_i = n

.
2-d) Montrer que pour tout endomorphisme unitaire

w \in U_n(C)

, on a

\sum_(i = 1)^p rangf(u_i \circ w) = n

2-e) En déduire que pour tout

1 \leq i \leq p

, le rang de

f(u_i \circ w)

reste constant lorsque

w

décrit

U_n(C)

. On admettra que pour tout

w \in U_n(C)

, il existe une application continue

φ : [0, 1] \to M

, telle que

φ(0) = Id_E, φ(1) = w

, et

φ(t) \in U_n(C)

pour tout

t \in [0, 1]

2-f) Montrer que pour tous endomorphismes unitaires

w_1

w_2

, on a rang

f(w_1 \circ u_i \circ w_2) = rangf(u_i)

.
3) Montrer qu'il existe un entier

p

, et des endomorphismes

u_1, \dots, u_p

de rang 1 , tels que l'hypothèse de la question 2) ci-dessus soit satisfaite.
4) Montrer que

f \in G

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques ENS MP-PC 2003 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire des espaces de matrices : rang, sous-espaces de matrices de rang 1, groupe linéaire et groupe unitaire, pour caractériser certains endomorphismes remarquables de Mn(C).

Les trois parties du sujet sont-elles indépendantes ?

La partie I établit le résultat de base (caractérisation des endomorphismes préservant le rang 1) que les parties II et III utilisent ensuite pour démontrer des résultats analogues sous des hypothèses différentes (préservation de GLn(C) ou du groupe unitaire).

Quel est le résultat final commun aux trois parties ?

Dans les trois cas (préservation des matrices de rang 1, de GLn(C), du groupe unitaire), le sujet démontre que l'endomorphisme étudié est nécessairement de la forme A → PAQ ou A → P(tA)Q, pour des matrices inversibles P et Q.

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