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ENS Mathématiques Lyon Cachan MP PC 2004, épreuve LCSujet et corrigé

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Filière MP (groupes M/MP/MI)
Épreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan

Filière MP (groupe I)Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Filière PC (groupe I)Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Soit d un entier ≥ 1. On note M_d(C) l'espace des matrices d × d à coefficients dans C. Le produit scalaire hermitien dans C^d est donné par ⟨x, y⟩ = ∑_(i = 1)^d x¯_i y_i. On munit C^d de la norme ‖x‖ = ⟨x, x⟩^(1/2) et M_d(C) de la norme ‖A‖ = sup_x(‖Ax‖)/(‖x‖).
L'adjointe d'une matrice A est la matrice A^∗ dont les coefficients sont (A^∗)_(i, j) = A_(j, i)^–. Une matrice U est unitaire si U^∗ U = UU^∗ = I, où I est la matrice identité.
Une conjugaison unitaire est une application φ de M_d(C) dans lui-même de la forme φ(A) = U^∗ AU où U est une matrice unitaire. Une telle matrice U est dite associée à φ.
On appelle groupe d'Arveson une famille (φ_t)_(t ∈ R) de telles conjugaisons unitaires qui est un groupe continu à un paramètre ; c'est-à-dire
  1. φ_0(A) = A, pour tout A ∈ M_d(C),
  2. φ_t ∘ φ_s = φ_(t + s), pour tous s, t ∈ R,
  3. (t ↦ φ_t(A)) est une application continue de R dans M_d(C), pour tout A ∈ M_d(C).
Si T est un sous-groupe de R, on appelle groupe unitaire (indexé par T ), toute famille (V_t)_(t ∈ T) de matrices unitaires telle que
i) V_0 = I,
ii) V_(s + t) = V_s V_t, pour tous s, t ∈ T.
On dit que (V_t)_(t ∈ T) est continu si de plus l'application ( t ∈ T ↦ V_t ) est continue, c'est-à-dire : pour tous t ∈ T, ε > 0, il existe δ > 0 tel que s ∈ T, |s − t| < δ impliquent ‖V_s − V_t‖ < ε.
Le but de ce problème est de démontrer le théorème suivant.
Théorème [Théorème d'Arveson en dimension finie] Pour tout groupe d'Arveson (φ_t)_(t ∈ R), il existe un groupe unitaire continu (V_t)_(t ∈ R) tel que
φ_t(A) = V_t^∗ AV_t
pour tout t ∈ R et tout A ∈ M_d(C).
On pose S^1 = {z ∈ C; |z| = 1}, le cercle unité de C.

I. Cocycles

  1. a) Montrer que deux matrices unitaires U et V sont associées à une même conjugaison φ si et seulement si U = λV pour un λ ∈ S^1.
    b) Soit (φ_t)_(t ∈ R) un groupe d'Arveson. Montrer que φ_t est de la forme φ_t(A) = U_t^∗ AU_t où les matrices unitaires U_t vérifient U_(t + s) = α(t, s)U_t U_s pour une famille {α(s, t); s, t ∈ R} de points de S^1 telle que
α(0, t) = α(t, 0), = 1; α(t, s)α(t + s, u), = α(t, s + u)α(s, u)
pour tous s, t, u ∈ R.
Une famille {α(s, t); s, t ∈ R} de points de S^1 vérifiant les propriétés ci-dessus sera appelée cocycle.
2) On considère un cocycle quelconque α et on note α˜ la restriction de α aux indices s, t qui sont dans N. On dit qu'une suite (u_n)_(n ∈ N) dans S^1 détermine α˜ si
α˜(m, n) = (u_m u_n)/(u_(n + m))
pour tous n, m ∈ N.
a) Montrer que si (u_n)_(n ∈ N) et (v_n)_(n ∈ N) sont deux suites qui déterminent α˜ alors il existe a ∈ S^1 tel que u_n = a^n v_n pour tout n ∈ N.
b) Montrer que α˜ est entièrement fixé lorsque l'on connaît les valeurs α˜(1, n), n ∈ N.
c) En déduire qu'il existe toujours une suite (u_n)_(n ∈ N) qui détermine α˜.
3) a) Montrer que, pour tout k ∈ N, on peut construire une suite (u_k^((n)))_(k ∈ N) qui détermine la famille {α˜_n(ℓ, k) = α(ℓ/2^n; k/2^n); ℓ, k ∈ N} et telle que
u_2^((n + 1)) = u_1^((n))
pour tout n ∈ N.
b) En déduire qu'alors u_(2k)^((n + 1)) = u_k^((n)) pour tous k, n ∈ N.
c) Soit D_+l'ensemble des nombres dyadiques positifs : D_+ = {k/2^n; k, n ∈ N} (noter que D_+est stable par l'addition). Soit α un cocycle, montrer qu'il existe une application t ↦ u_t de D_+dans S^1 telle que
α(t, s) = (u_t u_s)/(u_(t + s))
pour tous s, t ∈ D_+.
4) Montrer que la famille (V_t = u_t U_t)_(t ∈ D_+), est un semigroupe, c'est-à-dire V_s V_t = V_(s + t) pour tous s, t ∈ D_+.
On a ainsi construit un semigroupe de matrices unitaires (V_t)_(t ∈ D_+), telles que φ_t(A) = V_t^∗ AV_t pour tout t ∈ D_+et tout A ∈ M_d(C).
5) Soit D ⊂ R le sous-groupe des nombres dyadiques (positifs ou négatifs) : D = {k/2^n; k ∈ Z, n ∈ N}. Montrer qu'il existe un groupe unitaire (V_t)_(t ∈ D) tel que φ_t(A) = V_t^∗ AV_t pour tout t ∈ D et tout A ∈ M_d(C).
6) Montrer que si le groupe (V_t)_(t ∈ D), ci-dessus est continu alors le théorème d'Arveson est démontré.
On va s'attacher dans la suite à obtenir cette continuité.

II. Continuité

On se donne maintenant un semigroupe quelconque de matrices unitaires (V_t)_(t ∈ D_+) telles que φ_t(A) = V_t^∗ AV_t pour tout t ∈ D_+, tout A ∈ M_d(C).
Dans ce qui suit, les limites portant sur t s'entendent pour t ∈ D_+.
  1. a) Déduire de la propriété de continuité de φ que pour tout Ψ ∈ C^d de norme 1 on a lim_(t → 0)|⟨Ψ, V_t Ψ⟩|^2 = 1.
    b) En déduire que V_t Ψ est de la forme e^(iθ_t)Ψ + ε(t) avec lim_(t → 0)ε(t) = 0.
  2. Soit Ψ et Ψ^′ deux vecteurs de C^d, de norme 1 . On pose, pour tout t ∈ D_+, a_t = ⟨Ψ, V_t Ψ⟩ et b_t = ⟨Ψ^′, V_t Ψ^′⟩. Montrer que lim_(t → 0)(a_t)/(b_t) = 1.
  3. En déduire que s'il existe un Ψ ∈ C^d non nul tel que lim_(t → 0)V_t Ψ = Ψ alors cette propriété sera vraie pour tout Ψ ∈ C^n.
Notre but est maintenant de démontrer qu'on peut changer (V_t)_(t ∈ D_+), pour qu'il existe un tel Ψ.

III. Familles presque multiplicatives

Une famille (a_t)_(t ∈ D_+), de nombres complexes est dite multiplicative si |a_t| = 1 pour tout t ∈ D_+et a_t a_s = a_(s + t) pour tous s, t ∈ D_+; presque multiplicative si a_0 = 1, lim_(t → 0)|a_t| = 1 et
lim_(s, t → 0)(a_(s + t))/(a_t a_s) = 1
  1. Montrer que, pour tout Ψ ∈ C^d, la famille (a_t = ⟨Ψ, V_t Ψ⟩)_(t ∈ D_+), est presque multiplicative.
  2. a) Soit (a_t)_(t ∈ D_+), une famille presque multiplicative. Montrer que la famille ((a_t)/(|a_t|)) est encore presque multiplicative.
On suppose donc dans la suite que |a_t| = 1 pour tout t ∈ D_+.
b) On pose b_1 = a_1 et on construit 1/(2^(n + 1)), par récurrence sur n, comme étant la racine carrée de b_(1/(2^n)) la plus proche (pour la topologie usuelle de C ) de a_(1/(2^n + 1)) (dans le cas où les deux racines sont à la même distance, on choisit n'importe laquelle des deux). Enfin, pour tout t = k/2^n on pose b_t = (b_(1/(2^n)))^k.
Montrer que cette définition ne dépend pas de la manière d'écrire t sous la forme k/2^n et qu'elle définit une famille multiplicative b_t, t ∈ D_+.
c) Montrer que
lim_(n → + ∞)(a_(1/(2^n)))/(b_(1/(2^n))) = 1
Indication : soit c_n = (a1/(2^n))/(b1/(2^n)), montrer que Rec_n ≥ 0 et que (c_n)/(c_(n + 1)^2) → 1.
3) Soit (a_t)_(t ∈ D_+), une famille presque multiplicative telle que a_(1/(2^n)) tend vers 1 quand n tend vers + ∞. On veut montrer l'inégalité suivante pour n assez grand:
sup_(t ∈ [0, 1/(2^n)] ∩ D_+)d(a_t, 1) ≤ 1/2d(a_(1/(2^(n − 1))), 1) + 2sup_(s, t ∈ [0, 1/(2^(n − 1))] ∩ D_+)d(a_(s + t), a_s a_t)
où d est la distance usuelle sur S^1 : d(z_1, z_2) = |arg(z_1/z_2)|, tous les arguments étant pris dans ] − π, π]. Dans la suite, on a choisi un N ∈ N tel que le membre de droite de (1) soit majoré par π/10 pour tout n ≥ N. On suppose, pour simplifier, que N = 1.
a) Montrer qu'on peut se ramener au cas a_1 = 1 et à montrer seulement :
sup_(t ∈ [0, 1/2] ∩ D_+)d(a_t, 1) ≤ 2sup_(s, t ∈ [0, 1] ∩ D_+)d(a_(s + t), a_s a_t).
b) Soit ε = sup_(s, t ∈ [0, 1] ∩ D_+)d(a_(s + t), a_s a_t). Supposons que sup_(t ∈ [0, 1/2] ∩ D_+)d(a_t, 1) > 2ε. Montrer qu'il existe un plus petit n_0 ∈ N tel qu'il existe un k ∈ {0, …, 2^(n_0 − 1)} avec d(a_(k/(2^n 0)), 1) > 2ε.
Soit k_0 le plus petit tel k. Soit θ_t ∈ ] − π, π] l'argument de a_t, t ∈ D_+. Supposons que θ_((k_0)/(2^(n_0))) > 0 pour fixer les idées.
c) Montrer que θ_((k_0)/(2^(n_0))) > 2ε et |θ_(j/(2^(n_0)))| ≤ 2ε si j ∈ {0, …, k_0 − 1}.
d) Montrer que θ_((2k_0)/(2^n 0)) > 3ε.
e) Montrer que k_0/2^(n_0) ∈ ]1/4, 1/2].
f) En distinguant les deux cas suivants : (2k_0)/(2^(n_0)) ≤ 1 < (3k_0)/(2^(n_0)) et (3k_0)/(2^(n_0)) ≤ 1 < (4k_0)/(2^(n_0)), montrer que θ_1 > 0 ou que θ_((3k_0)/(2^n 0)) > 4ε (respectivement). En déduire une contradiction et que (1) est démontré.
g) En déduire que pour toute famille presque multiplicative (a_t)_(t ∈ D^+), il existe une famille multiplicative (b_t)_(t ∈ D^+), telle que lim_(t → 0)(a_t)/(b_t) = 1.
4) Terminer la démonstration du théorème d'Arveson.

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