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ENS Mathématiques Paris Cachan MP 2004, épreuve PCSujet et corrigé

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Espaces de Sobolev périodiques H^s, opérateurs pseudo-différentiels et application aux équations différentielles
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Le problème étudie des espaces de fonctions périodiques définis à partir de leurs coefficients de Fourier, notés H^s, et des opérateurs qui agissent sur eux à l'aide de symboles. La première partie établit des inégalités entre différentes normes et compare les espaces H^s aux espaces de fonctions continûment dérivables. La deuxième partie introduit les opérateurs T_a associés à un symbole d'ordre m et étudie leur continuité entre espaces H^s. La troisième partie étudie la composition de deux tels opérateurs et son symbole.

  1. 1Partie I : premières propriétés des espaces H^sÉtablir des inégalités entre les normes N_p et la norme H^s, comparer les espaces H^s aux espaces de fonctions continûment dérivables sur un exemple explicite, et munir C_per^infini d'un produit hermitien associé à la norme H^s.
  2. 2Partie II : opérateurs T_a associés à un symboleDéfinir les opérateurs T_a associés à un symbole d'ordre m, étudier des exemples explicites, et établir leur continuité entre espaces H^s selon l'ordre du symbole.
  3. 3Partie III : composition de deux opérateurs T_a et T_bÉtudier le symbole du produit de deux symboles et de la composée des opérateurs associés, avec un calcul explicite dans le cas où l'un des symboles est polynomial en la variable de fréquence.
  4. 4Applications : résolution approchée d'une équation différentielleRéécrire une équation différentielle du second ordre à coefficients variables sous la forme T_a phi = psi, étudier l'inversibilité du symbole associé, et construire des solutions approchées de régularité croissante.

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SESSION 2004

Filière MP

MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Paris et Cachan

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
L'objectif de ce problème est d'étudier les propriétés de quelques espaces de fonctions périodiques et de quelques transformations opérant entre ces espaces. Dans tout l'énoncé, C_(per)^0 désigne l'ensemble des fonctions continues périodiques sur ℝ, à valeurs dans ℂ, de période 2π, et plus généralement pour tout s ∈ ℕ, C_(per)^s est l'ensemble des fonctions s fois continument dérivables, périodiques de période 2π. Enfin C_(per)^∞ est l'ensemble des fonctions infiniment dérivables.
Pour tout n ∈ ℤ on définit sur ℝ la fonction e_n par e_n(x) = e^(inx). Pour une fonction φ ∈ C_(per)^0, on définit pour tout n ∈ ℤ, son n-ième coefficient de Fourier par
c_n(φ) = 1/(2π)∫_0^(2π)φ(x)e_n(− x)dx
On rappelle que pour de telles fonctions,
∫_0^(2π)|φ(x)|^2 dx = 2π∑_(n ∈ ℤ)|c_n(φ)|^2
On utilisera également les deux résultats suivants:
Résultat 1: Soit f(n, m) une application de ℤ^2 vers ℂ. Soit
a_n = ∑_(m ∈ ℤ)|f(n, m)|.
Si ∑_(n ∈ ℤ)a_n converge alors
∑_(m ∈ ℤ)(∑_(n ∈ ℤ)f(n, m)) = ∑_(n ∈ ℤ)(∑_(m ∈ ℤ)f(n, m)).
Résultat 2: Soit f(x, n) une application continue par morceaux de [0, 2π] × ℤ vers ℂ. On suppose que la série de fonctions ∑_(n ∈ ℤ)f(⋅, n) converge simplement sur [0, 2π] vers une fonction continue par morceaux notée f. On suppose que la série ∑_(n ∈ ℤ)∫_0^(2π)|f(x, n)|dx converge. Alors,
∫_0^(2π)f(x)dx = ∑_(n ∈ ℤ)∫_0^(2π)f(x, n)dx
Introduisons maintenant quelques notations. Pour φ ∈ C_(per)^0 et pour p ∈ [1, + ∞[, on note
N_p(φ) = (∫_0^(2π)|φ(x)|^p dx)^(1/p)
On note de plus
N_∞(φ) = sup_(0 ≤ x ≤ 2π)|φ(x)|.
Pour s ∈ ℝ et pour φ ∈ C_(per)^0, on définit ‖φ‖_s par
‖φ‖_s = √(∑_(n ∈ ℤ)|c_n(φ)|^2(1 + n^2)^s)
si cette série converge et par ‖φ‖_s = + ∞ sinon. Enfin, on pose:
H^s = {φ ∈ C_(per)^0 | ‖φ‖_s < + ∞}

Partie I.

Cette partie est consacrée à l'étude des premières propriétés des fonctions N_p et des ensembles H^s.
  1. Montrer qu'il existe une constante C_∞ telle que:
∀φ ∈ C_(per)^0, N_2(φ) ≤ C_∞N_∞(φ)
  1. Montrer que
∀φ ∈ C_(per)^0, N_4(φ) ≤ N_2(φ)^(1/2)N_∞(φ)^(1/2)
  1. Soit s > 1/2. Montrer qu'il existe une constante C(s) telle que
∀φ ∈ C_(per)^1, N_∞(φ) ≤ C(s)‖φ‖_(H^s)
  1. Soit φ(x) la fonction périodique de période 2π qui vaut π − |x| pour − π < x < π. Calculer c_n(φ). Pour quelles valeurs de p a t on φ ∈ C_(per)^p ? Pour quelles valeurs de s at on φ ∈ H^s ?
  2. Montrer qu'il n'existe pas de constante C telle que
∀φ ∈ C_(per)^0, N_∞(φ) ≤ CN_2(φ)
  1. Montrer que si φ ∈ C_(per)^1, alors φ ∈ H^1.
  2. Donner un exemple de fonction φ ∈ C_(per)^0, telle que ‖φ‖_1 < + ∞ mais qui ne soit pas C_(per)^1.
  3. On fixe s un réel positif.
    8.1) Montrer que C_(per)^∞ ⊂ H^s et que ‖ ⋅ ‖_s définit une norme sur l'espace vectoriel C_(per)^∞.
    8.2) Montrer que ‖ ⋅ ‖_s est une norme associée à un produit hermitien < ⋅, ⋅ > _s sur C_(per)^∞ que l'on précisera.
    8.3) Trouver une famille ( g_n; n ∈ ℤ ) d'éléments de C_(per)^∞ orthonormée pour < ⋅, ⋅ > _s et telle que Vect(g_n; n ∈ ℤ) est dense dans C_(per)^∞ pour ‖ ⋅ ‖_s.
    8.4) Soit p ∈ ℤ. On définit pour tout φ ∈ C_(per)^∞ l'application M_p(φ) = e_p φ. Montrer que M_p est un endomorphisme continu de ( C_(per)^∞, ‖. ‖_s ) et montrer que pour p ≠ ± 1,
sup{‖M_p(φ)‖_s, φ ∈ C_(per)^∞ : ‖φ‖_s = 1} = (1 + p^2)^(s/2)
Calculer la valeur de ce supremum pour p = ± 1.

Partie II

Une fonction de deux variables a(x, ξ), de ℝ × ℝ vers ℂ, périodique de période 2π en la première variable x, est appelée symbole d'ordre m pour m dans ℤ s'il existe une constante A telle que pour tout x ∈ ℝ et tout ξ ∈ ℤ,
|a(x, ξ)| ≤ A(1 + |ξ|)^m
et si de plus pour tous α, β ∈ ℕ, il existe une constante A_(α, β) telle que
|∂_x^β∂_ξ^α a(x, ξ)| ≤ A_(α, β)(1 + |ξ|)^(m − α)
Soit a un symbole d'ordre m. On définit pour tout φ ∈ C_(per)^∞ la fonction T_a φ par
(T_a φ)(x) = ∑_(n ∈ ℤ)a(x, n)c_n(φ)e_n(x)
L'objectif de cette partie est d'étudier les propriétés de T_a.
1.1) Vérifier que T_a est un endomorphisme de C_(per)^∞.
1.2) Dans cette question on suppose que φ est seulement C_(per)^p. Montrer que si p est assez grand par rapport à m, alors T_a φ est correctement définie et est dans C_(per)^0.
2) On suppose que a(x, ξ) = α(x) ne dépend pas de la seconde variable et est une fonction C^∞, 2π-périodique. Vérifier que a est un symbole d'ordre 0. Calculer T_a φ.
3) Vérifier que a(x, ξ) = iξ (avec i^2 = − 1 ) est un symbole d'ordre 1 . Pour φ ∈ C_(per)^∞, calculer T_(iξ)φ. Calculer de même T_(ξ^2)φ.
4) Dans cette question m = 0.
4.1) Soit pour p ∈ ℤ
a^(p, ξ) = 1/(2π)∫_0^(2π)a(x, ξ)e_p(− x)dx
Montrer que pour tout N ∈ ℕ il existe une constante A_N ∈ ℝ telle que
|a^(p, ξ)| ≤ (A_N)/((1 + |p|)^N)
pour tout p et tout ξ.
4.2) Pour tout p ∈ ℤ, on définit sur ℝ × ℝ la fonction f_p(x, ξ) = a^(p, ξ), qui ne dépend donc pas de la première variable. Montrer que pour tout y ∈ ℝ
T_a φ(y) = ∑_(p ∈ ℤ)e_p(y) ⋅ (T_(f_p)φ)(y)
4.3) Montrer qu'il existe une constante C_0, dépendant de a, telle que
‖T_a φ‖_0 ≤ C_0‖φ‖_0, ∀φ ∈ C_(per)^∞.
4.4) Soit s un réel positif. Montrer qu'il existe une constante C_s, dépendant de a, telle que
‖T_a φ‖_s ≤ C_s‖φ‖_s, ∀φ ∈ C_(per)^∞.
  1. Dans cette question, m désigne un entier strictement positif. Soit b(ξ) = 1 + iξ. Exprimer très simplement (T_b)^(− 1) puis calculer T_a(T_b)^(− m). En déduire que pour tout s ≥ 0 il existe une constante C_s telle que
‖T_a φ‖_s ≤ C_s‖φ‖_(s + m), ∀φ ∈ C_(per)^∞.
  1. Dans cette question, m est un entier strictement négatif. Montrer que pour tout s ≥ 0 il existe une constante C telle que pour tout φ ∈ C_(per)^∞,
‖T_a φ‖_s ≤ C‖φ‖_(s + m).

Partie III

Cette partie est consacrée à l'étude de la composée de deux endomorphismes T_a et T_b où a un symbole d'ordre m et b un symbole d'ordre m^′.
  1. Montrer que a(x, ξ)b(x, ξ) est un symbole. Quel est son ordre?
  2. On suppose dans cette question que a ne dépend que de x et que b ne dépend que de ξ. Vérifier que
T_(ab) = T_a ∘ T_b
Comparer T_(ab) et T_b ∘ T_a (donner des exemples).
3) Cette question est consacrée au calcul de T_a ∘ T_b.
3.1) Montrer que T_a(T_b φ)(x) peut s'écrire sous la forme
T_a(T_b φ)(x) = 1/(2π)∑_m∫_0^(2π)c(x, m)e^(im(x − z))φ(z)dz
où
c(x, m) = 1/(2π)∑_(n ∈ ℤ)a(x, n + m)b^(n, m)e^(ixn)
3.2) Dans le cas où a est un polynôme en ξ (les coefficients étant des fonctions périodiques de x ), montrer que T_c = T_a ∘ T_b où
c = ∑_(n ≥ 0)((∂_ξ^n a) ⋅ (∂_x^n b))/(i^n n!)

Applications

Cette partie est consacrée à l'utilisation des endomorphismes définis dans les parties précédentes pour résoudre des équations
différentielles. Soient f(x) et g(x) deux fonctions C_(per)^∞, et soit ψ(x) ∈ C_(per)^0. On cherche à résoudre l'équation suivante en φ
− f(x)φ^(′′)(x) + g(x)φ(x) = ψ(x)
On suppose de plus que f(x) > 0 et g(x) > 0 pour tout x.
  1. Montrer que (1) peut se réécrire
T_a φ = ψ
et expliciter a. Quel est l'ordre du symbole a ?
2) Vérifier que a^(− 1) est un symbole. Quel est son ordre?
3) Trouver φ_1 tel que T_a φ_1 − ψ ∈ H^1.
4) Montrer que pour tout n ∈ ℕ, il existe φ_n tel que T_a φ_n − ψ ∈ H^n.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths des ENS MP 2004 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths des ENS MP 2004 ?

Il porte sur les séries de Fourier, les espaces de Sobolev périodiques H^s, les opérateurs pseudo-différentiels associés à un symbole, et leur application à la résolution d'équations différentielles.

Les parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties s'enchaînent : la partie I fournit les outils utilisés dans les parties II et III sur les opérateurs T_a, dont les résultats sont réutilisés dans la dernière partie consacrée aux applications.

Qu'est-ce qu'un opérateur T_a étudié dans ce sujet ?

C'est un opérateur qui agit sur les coefficients de Fourier d'une fonction périodique en les multipliant par les valeurs d'une fonction appelée symbole, généralisant la dérivation et d'autres opérateurs différentiels classiques.

Ce sujet permet-il de résoudre des équations différentielles ?

Oui, la dernière partie applique les opérateurs T_a à la résolution approchée d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients variables, en construisant des solutions approchées de régularité croissante.

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