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Répartition d'ensembles d'entiers dans les progressions arithmétiques et nombres premiers
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Le problème étudie la répartition d'ensembles d'entiers dans les suites arithmétiques à l'aide de la notion de discrépance, d'abord pour des ensembles quelconques puis pour l'ensemble des nombres premiers. En admettant le théorème des nombres premiers, il construit une fonction Phi(x,y) comptant les entiers sans petit facteur premier et l'utilise pour obtenir des résultats fins sur l'espacement entre nombres premiers consécutifs.

  1. 1Partie IÉtude de la discrépance d'un sous-ensemble par rapport à des progressions arithmétiques via un argument de moyenne sur les parties d'un ensemble fini.
  2. 2Partie IIUtilisation des séries de Fourier discrètes et du produit de convolution pour minorer la discrépance maximale d'un ensemble bien réparti.
  3. 3Partie IIIÉtude d'une fonction auxiliaire oméga liée au théorème des nombres premiers et introduction de la fonction Phi(x,y) comptant les entiers sans petit facteur premier.
  4. 4Partie IVApplication des résultats de la partie III à l'étude des écarts entre nombres premiers consécutifs dans des progressions arithmétiques.

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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - D - (U)

(Durée : 6 heures)
L'utilisation des calculatrices électroniques est interdite.
Le problème est consacré à l'étude de la répartition de certains ensembles d'entiers dans les suites arithmétiques. Les deux premières parties sont consacrées à des ensembles arbitraires, et les deux suivantes à l'ensemble des nombres premiers.
Les parties I, II et III sont indépendantes. La partie IV utilise les résultats de la partie III.

Préambule

Le cardinal d'un ensemble fini X est noté |X|. Si E et F sont deux ensembles quelconques, on note E∖F l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à F.
On dira qu'une suite finie a_1, …, a_r d'entiers relatifs est en progression arithmétique si l'on peut trouver deux entiers a et b tels que a_i = a + bi pour i = 1, …, r. L'entier b est alors la raison de cette progression arithmétique.

I

Si E et F sont deux ensembles finis, la discrépance de F par rapport à E est l'entier positif
Δ(E, F) = ||F ∩ E| − |E∖F||
  1. Soit X un ensemble fini de cardinal d. Soit ℙ(X) l'ensemble des sous-ensembles de X.
    (a) Calculer le cardinal de ℙ(X).
    (b) Calculer en fonction de d les sommes
∑_(k = 0)^d k(d/k) et ∑_(k = 0)^d k(k − 1)(d/k).
(c) Calculer les sommes
1/(|ℙ(X)|)∑_(Y ∈ ℙ(X))|Y| et 1/(|ℙ(X)|)∑_(Y ∈ ℙ(X))|Y|^2.
(d) Montrer l'égalité
1/(|ℙ(X)|)∑_(Y ∈ ℙ(X))Δ(X, Y)^2 = d
  1. Si N et q sont deux entiers strictement positifs, et si a est un entier relatif, on note S_(q, a)(N) l'ensemble des éléments de {1, …, N} qui sont congrus à a modulo q. On note ℙ(N) = ℙ({1, …, N}).
    (a) Montrer que pour tous entiers 1 ≤ a ≤ q ≤ N, le cardinal de S_(q, a)(N) est strictement inférieur à 1 + N/q.
    (b) Montrer que pour tous entiers 1 ≤ t ≤ N, on a
1/(|ℙ(N)|)∑_(Y ∈ ℙ(N))∑_(q = 1)^t∑_(a = 1)^q Δ(S_(q, a)(N), Y)^2 ≤ 2Nt.
  1. Déduire de la question précédente qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout entier N strictement positif, il existe un sous-ensemble Y de {1, …, N} vérifiant, pour tout q compris entre 1 et N et tout a entre 1 et q, l'inégalité
Δ(S_(q, a)(N), Y) ≤ CN^(2/3)
On pourra pour cela choisir judicieusement la valeur de t dans l'inégalité ci-dessus.

II

Dans cette partie, on note E l'espace vectoriel des fonctions c : ℤ → ℂ qui sont nulles en dehors d'un ensemble fini. Si c est un élément de E, on note cˆ : ℝ → ℂ la fonction
cˆ : x ↦ ∑_(n ∈ ℤ)c(n)e^(2iπnx)
On pourra remarquer que, par définition de l'espace E, le membre de droite de l'expression ci-dessus est une somme finie.
  1. (a) Soit c : ℤ → ℂ un élément de E. Pour tout entier n ∈ ℤ, montrer les égalités
∫_0^1 cˆ(x)e^(− 2iπnx)dx = c(n) et ∫_0^1|cˆ(x)|^2 dx = ∑_(n ∈ ℤ)|c(n)|^2
(b) Soient c et d deux éléments de E. On définit leur produit de convolution c∗d : ℤ → ℂ par la formule
(c∗d)(n) = ∑_((p, q) ∈ ℤ^2, p + q = n)c(p)d(q)
Montrer que c∗d est bien défini et appartient à E.
(c) Avec les notations de la question précédente, montrer l'égalité c∗dˆ = cˆdˆ.
Dans ce qui suit, soit N un entier strictement positif et soit Y un sous-ensemble de {1, …, N} de cardinal r. On note η = r/N.
On note χ : ℤ → ℂ la fonction définie par χ(n) = 1 − η si n ∈ Y, χ(n) = − η si n ∈ {1, …, N}∖Y et χ(n) = 0 sinon.
2. Montrer l'égalité
∑_(n ∈ ℤ)χ(n) = 0
  1. Si E est un sous-ensemble fini de ℤ, on note V(E) la quantité
V(E) = |E ∩ Y| − η|E ∩ {1, …, N}|.
Soit c_(− E) : ℤ → ℂ la fonction caractéristique de − E, qui vaut 1 en n si − n ∈ E, et 0 sinon. Montrer l'égalité
V(E) = (χ∗c_(− E))(0)
Soit s un entier positif inférieur ou égal à N. On s'autorisera plus tard à choisir s de manière adaptée en fonction de N.
4. Soit q un entier strictement positif. On note c_q la fonction caractéristique de l'ensemble
E_q = {n ∈ ℤ, q divise n et |n| ≤ sq}
(a) Soit n ≥ 2 un entier. Soient α_1, …, α_n des nombres réels. Montrer qu'il existe deux entiers distincts i, j ∈ {1, …, n}, et un entier relatif h ∈ ℤ, tels que
|α_i − α_j − h| ≤ 1/n
(b) Soit α un nombre réel, et soit Q un nombre entier strictement positif. Montrer qu'il existe un entier q ∈ {1, …, Q} et un entier h tels que
|qα − h| ≤ 1/Q
(c) Soit α un nombre réel. Montrer qu'il existe une constante K > 0 indépendante de N et de s, et un entier q ≤ 8s tel que
|c_q ˆ(α)| ≥ Ks
  1. Soit p un entier. On note E_(q, p) l'ensemble
E_(q, p) = p + E_q = {n ∈ ℤ, n − p ∈ E_q}
(a) En utilisant la question II.1.(a), montrer l'inégalité
∑_(1 ≤ q ≤ 8s)∑_(p ∈ ℤ)V(E_(q, p))^2 ≥ K^2 η(1 − η)Ns^2
(b) En choisissant judicieusement s, montrer que l'on peut trouver une constante K^′ > 0 indépendante de N et de Y, et un sous-ensemble Z d'éléments de {1, …, N} en progression arithmétique tels que
||Y ∩ Z| − η|Z||≥K^′√(η(1 − η))N^(1/4).

III

  1. Soit ω : [1, ∞[ → ℝ la fonction définie par ω(u) = 1/u si 1 ≤ u ≤ 2 et
ω(u) = 1/u + 1/u∫_1^(u − 1)ω(t)dt
pour u > 2.
(a) Montrer que la formule ci-dessus définit bien une fonction continue sur [1, ∞[, de classe C^1 sur ]2, ∞[.
(b) Montrer que pour tout réel u ≥ 1, on a 1/u ≤ ω(u) ≤ 1.
(c) Montrer que uω^′(u) = − ∫_(u − 1)^u ω^′(t)dt pour tout réel u > 3.
(d) Montrer que pour tout entier k > 0, on a
lim_(u → ∞)u^k ω^′(u) = 0
(e) Montrer que ω admet une limite finie en + ∞. Dans la suite du problème, on notera L cette limite.
(f) Soit ω˜ la fonction u ↦ ω(u) − L. Montrer l'égalité
∀u > 3, uω˜(u) = − ∫_(u − 1)^∞ω˜(t)dt
(g) Montrer que pour tout réel C ≥ 1, il existe deux nombres réels u, v > C tels que ω(u) < L et ω(v) > L.
Dans la suite du problème, si x est un nombre réel strictement positif, on notera π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. On admettra dans la suite le théorème suivant, dit théorème des nombres premiers.
Théorème III.1. Il existe une constante C > 0 telle que
∀x > 1, |π(x) − x/(lnx)| ≤ Cx/((lnx)^2)
Dans la suite, on notera P l'ensemble des nombres premiers.
2. Montrer l'existence d'une constante K > 0 telle que pour tous réels 1 < a ≤ b, on ait
|π(b) − π(a) − ∑_(a ≤ n ≤ b)1/(lnn)| ≤ Kb/((lnb)^2)
  1. Soit f : ]1, ∞[ → [0, ∞[ une fonction, et soient 1 < a ≤ b deux nombres réels. Soit a^− le plus grand entier strictement inférieur à a, et soit b^0 le plus grand entier inférieur ou égal à b, c'est-à-dire la partie entière de b.
    (a) Montrer l'égalité
∑_(p ∈ P, a ≤ p ≤ b)f(p) = ∑_(a ≤ n ≤ b)π(n)[f(n) − f(n + 1)] − π(a^−)f(1 + a^−) + π(b^0)f(1 + b^0).
(b) Montrer l'égalité
∑_(a ≤ n ≤ b)(f(n))/(lnn) = ∑_(a ≤ n ≤ b)ψ(n)[f(n) − f(n + 1)] − π(a^−)f(1 + a^−) + ψ(b^0)f(1 + b^0)
où l'on définit, pour tout réel x entre a et b,
ψ(x) = π(a^−) + ∑_(a ≤ k ≤ x)1/(lnk)
(c) En déduire l'inégalité
|∑_(p ∈ P, a ≤ p ≤ b)f(p) − ∑_(a ≤ n ≤ b)(f(n))/(lnn)| ≤ K(bf(1 + b^0))/((lnb)^2) + K∑_(a ≤ n ≤ b)n/((lnn)^2)|f(n + 1) − f(n)|,
où K est la constante introduite dans la question 2.
(d) Soit k un entier supérieur ou égal à 2 . Montrer que la série ∑_(n ≥ 2)1/(n(lnn)^k) converge et que pour tout réel a > 1, on a
∑_(n ≥ a)1/(n(lnn)^k) ≤ 1/((k − 1)(lna)^(k − 1)) + 1/(a(lna)^k)
(e) En utilisant les questions précédentes, montrer qu'il existe une constante K^′ > 0 telle que pour tout réels 1 < a < b, on ait
∑_(p ∈ P, a ≤ p ≤ b)1/(p(lnp)^2) ≤ 1/(2(lna)^2) + (K^′)/((lna)^3)
  1. Montrer l'existence d'une constante K^(′′) > 0 telle que pour tout réel x > 1, on ait
∑_(2 ≤ n ≤ x)1/((lnn)^2) ≤ K^(′′)x/((lnx)^2)
Si x et y sont deux réels strictement positifs, on notera Φ(x, y) le nombre d'entiers compris entre 1 et x au sens large dont tous les facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à y. En particulier, pour tout réel y > 0, on a Φ(1, y) = 1.
5. Pour tous réels 1 < y < x tels que √x < y, montrer l'inégalité
|Φ(x, y) − π(x) + π(y)| ≤ 1
et en déduire qu'il existe une constante D_1 > 0 telle que pour tout réel x > 1 et tout réel y satisfaisant √x ≤ y < x, on ait
|Φ(x, y) − x/(lnx)| ≤ D_1(x/((lnx)^2) + y/(lny))
  1. Soient x et y deux réels strictement positifs. Pour tout y^′ ≥ y, montrer l'égalité
Φ(x, y) = Φ(x, y^′) + ∑_(p ∈ P, y ≤ p < y^′)Φ(x/p, p)
  1. (a) Pour tout réel x > 1 et tout réel y satisfaisant x^(1/3) ≤ y < √x, montrer l'égalité
1 + ∫_y^(√x)(lnxdt)/(t(lnt)^2(ln(x)/ln(t) − 1)) = (lnx)/(lny)ω((lnx)/(lny))
(b) Montrer l'existence d'une constante D_2 > 0 telle que pour tout réel x > 1 et tout réel y satisfaisant x^(1/3) ≤ y < √x, on ait
|Φ(x, y) − x/(lny)ω((lnx)/(lny))| ≤ D_2 x/((lny)^2)
On appliquera la question III. 6 avec y^′ = √x.
(c) Montrer l'existence d'une constante D > 0 telle que pour tous réels 1 < y < √x , on ait
|Φ(x, y) − x/(lny)ω((lnx)/(lny))| ≤ Dx/((lny)^2)
On pourra pour cela raisonner par récurrence sur l'unique entier n ≥ 2 tel que x^(1/(n + 1)) ≤ y < x^(1/n).

IV

Dans cette partie, si q est un entier strictement supérieur à 1 , on note φ(q) le nombre d'entiers n ∈ {1, …, q} qui sont premiers à q.
  1. (a) Soit y > 2 un nombre réel. On note q(y) le produit des nombres premiers strictement inférieurs à y. Montrer que, quand x tend vers + ∞, on a
Φ(x, y) ∼ x(φ(q(y)))/(q(y)).
(b) En utilisant la partie précédente, en déduire
lim_(y → ∞)(φ(q(y)))/(q(y))lny = L,
où L est le nombre réel défini dans la question III.1.(e).
(c) En utilisant les questions 3 et 4 de la partie précédente, montrer par ailleurs que quand y tend vers + ∞, on a
lnq(y) ∼ y.
  1. Soit y > 2 un nombre réel. Afin d'alléger les notations, on notera q = q(y). Soient m et n deux entiers strictement positifs. On considère la matrice rectangulaire M(m, n, q) de taille n × m dont le coefficient d'indice ( i, j ) est
M(m, n, q)_(ij) = i + (m + j)q
pour (i, j) ∈ {1, …, n} × {1, …, m}, et l'on suppose n < q.
(a) Montrer que le nombre de lignes de M(m, n, q) contenant au moins un nombre premier est inférieur ou égal à Φ(n, y).
(b) Soit N le nombre de nombres premiers apparaissant comme coefficients de la matrice M(m, n, q). Montrer l'égalité
N = ∑_(1 ≤ j ≤ m)[π(n + (m + j)q) − π((m + j)q)].
(c) On note M_s la quantité
M_s = 1/mN,
et M_a la quantité
M_a = 1/(Φ(n, y))N.
Supposant N > 0, montrer l'égalité
M_s(n/(ln(mq)))^(− 1) × M_a^(− 1)(mq)/(φ(q)ln(mq)) = (Φ(n, y))/nq/(φ(q)).
  1. En appliquant les résultats ci-dessus à des valeurs de m et n bien choisies en fonction de y, montrer que l'un des deux énoncés suivants est vrai:
  • Soit α_0 > 0 un nombre réel. On peut trouver un nombre réel α > α_0, une constante λ > 1 et une infinité d'entiers x > 1 tels que
(lnx)(π(x + (lnx)^α) − π(x)) > λ(lnx)^α
  • Soit β_0 > 0 un nombre réel. On peut trouver un nombre entier β > β_0, une constante λ > 1 et une infinité d'entiers q > 1 tels qu'il existe une suite d'entiers a_1, …, a_(q^β) premiers à q, en progression arithmétique de raison q, avec q^β < a_1 < 2q^(β + 1), pour laquelle le nombre de nombres premiers parmi les a_i soit strictement inférieur à
λ^(− 1)(q^β)/(ln(q^β)φ(q))
On commencera par estimer le membre de droite dans l'égalité de la question précédente, et on appliquera la question 1.(g) de la partie 3.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet ENS maths D MP 2015 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet ENS maths D MP 2015 ?

Le sujet porte sur le dénombrement, les séries de Fourier discrètes, la convolution et l'arithmétique des nombres premiers.

Quelles parties sont indépendantes ?

Les parties I, II et III sont indépendantes entre elles. La partie IV utilise les résultats établis dans la partie III.

Le théorème des nombres premiers est-il à démontrer ?

Non, le théorème des nombres premiers avec reste est admis dès la partie III et sert de point de départ aux estimations qui suivent.

Ce sujet est-il centré sur l'analyse ou sur l'arithmétique ?

Les deux premières parties relèvent d'analyse combinatoire et de séries de Fourier, tandis que les parties III et IV portent sur l'arithmétique fine des nombres premiers.

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