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ENS Mathématiques D MP 2017Sujet et corrigé

Pas encore noté
  • Suites récurrentes et systèmes dynamiques discrets
  • Fonctions monotones par morceaux
  • Séries entières et rayon de convergence
  • Réduction des matrices et valeurs propres
  • Convergence uniforme de suites de fonctions
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Mathématiques D, épreuve commune ENS MP 2017 : dynamique itérative, nombre de plis et entropie topologique
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Le sujet étudie l'itération de fonctions monotones par morceaux et leur complexité mesurée par le nombre de plis de leurs itérées. La partie I étudie l'ensemble borné K_c pour les polynômes x^2+c, dont la topologie dépend de c. La partie II étudie une famille de fractions rationnelles conjuguées à x^2-1 et la densité des points périodiques. La partie III définit l'entropie topologique h(f) comme limite du taux de croissance du nombre de plis. La partie IV relie cette entropie au rayon de convergence d'une série entière comptant les plis, avec un exemple donnant le nombre d'or.

  1. 1Partie I : ensembles bornés pour x^2 + cOn étudie la topologie de l'ensemble K_c des points dont l'orbite reste bornée sous l'itération de x^2+c, qui est un segment pour c dans [-2, 1/4] et un ensemble de Cantor pour c < -2.
  2. 2Partie II : une famille de fractions rationnelles et densité des points périodiquesOn étudie la famille f_a, conjuguée à f_0(x) = 2x^2 - 1 par une fonction croissante, et on montre que la densité des points périodiques dépend de la valeur du paramètre a par rapport à 3/5.
  3. 3Partie III : entropie topologiqueOn définit l'entropie h(f) comme limite du taux de croissance logarithmique du nombre de plis des itérées, on la calcule pour un polynôme cubique via une matrice de transition, et on démontre qu'elle vaut log p pour les applications tentes de pente p.
  4. 4Partie IV : séries entières et nombre de plisOn construit des séries entières associées au signe des itérées par rapport au point critique, on relie leur rayon de convergence à l'entropie, et on calcule explicitement l'entropie du polynôme x^2 - 7/4, égale au logarithme du nombre d'or.

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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - D - (U)

(Durée : 6 heures)

Abstract

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée.

Dans tout ce qui suit, la variable n désignera toujours un entier naturel et [ [0, n] ] désignera l'ensemble des entiers naturels j tels que 0 ⩽ j ⩽ n.
On considérera des applications f : I → I où I est un intervalle de ℝ, et on notera (x_n)_(n ⩾ 0) toute suite définie par x_0 ∈ I et la relation de récurrence :
x_(n + 1) = f(x_n) pour tout entier naturel n.
On définit la suite (f^(∘ n) : I → I)_(n ⩾ 0) par
f^(∘ 0)(x) = x et f^(∘ (n + 1))(x) = f(f^(∘ n)(x))
de sorte que x_n = f^(∘ n)(x_0) pour tout n ⩾ 0. S'il le souhaite, le candidat pourra utiliser la notation f^n à la place de la notation f^(∘ n).
Pour tout ensemble J ⊂ I et n ⩾ 0, on pose
f^(− n)(J) = {x ∈ I; f^(∘ n)(x) ∈ J}
Un point x ∈ I est un point fixe de f si f(x) = x, et un point périodique de f s'il existe un entier p ⩾ 1 tel que f^(∘ p)(x) = x. La suite (x_n)_(n ⩾ 0) est périodique si x_0 est un point périodique de f.
On dit que f est monotone par morceaux s'il existe un ensemble fini C ⊂ I tel que f soit strictement monotone sur chaque intervalle inclus dans I∖C (qui est une réunion finie d'intervalles disjoints). On dit que x ∈ I est un point critique de f si on ne peut pas trouver d'intervalle ouvert J ⊂ I contenant x tel que f soit monotone sur J (en particulier, si I est un intervalle fermé borné, ses extrémités sont des points critiques). On note C_f l'ensemble des points critiques de f. Un pli de f est une composante connexe de I∖C_f, c'est-à-dire un intervalle contenu dans I∖C_f dont les extrémités sont des points critiques ou des extrémités de I. C'est un intervalle ouvert maximal sur lequel f est monotone. Si f est monotone par morceaux, on note λ(f) le nombre de plis de f (voir Figure 1).
Figure 1: Le nombre de plis de f, f^(∘ 2) et f^(∘ 3) pour f(x) = x^2 − 5/4.

Question préliminaire

Montrer que si f : I → I est monotone par morceaux, alors pour tout entier naturel n la fonction f^(∘ n) : I → I est monotone par morceaux.
Un des objectifs de ce problème est d'étudier le comportement asymptotique de la suite (λ(f^(∘ n)))_(n ⩾ 1) quand n tend vers l'infini.

Partie I

Dans cette partie, on considère le cas où I = ℝ et f : I → I est de la forme
f : x ↦ f_c(x) = x^2 + c où c ∈ ℝ est fixé.
On étudie la topologie de l'ensemble K_c défini par
K_c = {x_0 ∈ ℝ; la suite (x_n)_(n ⩾ 0) est bornée }.
L'étude dépend des valeurs de c ∈ ℝ. On commence par étudier le cas particulier c = 0 pour lequel on peut donner une formule explicite de x_n en fonction de x_0. On considère ensuite le cas général.
  1. On suppose que c = 0. Exprimer x_n en fonction de n. Déterminer K_0 ainsi que la limite de la suite (x_n)_(n ⩾ 0) en fonction de x_0 ∈ ℝ.
On se place maintenant dans le cas général c ∈ ℝ.
2. Déterminer les points fixes de f_c : ℝ → ℝ en fonction des valeurs de c ∈ ℝ.
3. On suppose que c > 1/4. Montrer que pour tout x_0 ∈ ℝ, la suite (x_n)_(n ⩾ 0) est croissante. En déduire que K_c = ∅.
Dans le reste de la partie I , on suppose que c ⩽ 1/4 et on note β_c ∈ ℝ le plus grand point fixe de f_c.
4. Lorsque c ∈ [ − 2, 1/4], montrer que K_c = [ − β_c, β_c].
5. On suppose finalement que c < − 2.
(a) Montrer que K_c = ⋂_(n ⩾ 0)f_c^(− n)([ − β_c, β_c]). En déduire que K_c est un compact non vide.
On souhaite montrer que K_c est totalement discontinu, c'est-à-dire que tout intervalle contenu dans K_c est réduit à un point. On suppose donc que [a, b] ⊂ K_c et on veut conclure que a = b. On définit les suites (a_n)_(n ⩾ 0), (b_n)_(n ⩾ 0) et (L_n)_(n ⩾ 0) par
a_n = f_c^(∘ n)(a), b_n = f_c^(∘ n)(b) et L_n = |∫_(a_n)^(b_n)(dx)/(√(1 − x^2/c^2))|
(b) Montrer que pour tout n ⩾ 0, la fonction f_c est strictement monotone sur le segment (a_n, b_n) d'extrémités a_n et b_n (c'est-à-dire l'intervalle ( a_n, b_n ) = [a_n, b_n] quand a_n ⩽ b_n et (a_n, b_n) = [b_n, a_n] quand b_n ⩽ a_n ).
(c) Montrer que L_n est bien défini et que L_(n + 1) ⩾ 2L_n pour tout n ⩾ 0, puis conclure.

Partie II

Dans cette partie, on considère le cas où I = [ − 1, 1] et où f : I → I est de la forme
f : x ↦ f_a(x) = (2x^2 + a − 1)/(2ax^2 + 1 − a) où a ∈ [0, 1[ est fixé.
On étudie l'ensemble des points périodiques de f_a selon les valeurs de a.
  1. Vérifier que f_a est définie sur I et que f_a(I) = I.
  2. Montrer que pour tout n ⩾ 1, on a λ(f_a^(∘ n)) = 2^n et que f_a^(∘ n) envoie chaque pli de f_a^(∘ n) sur ] − 1, 1[.
  3. Dans cette question, on suppose que a = 0.
    (a) Montrer que si x_0 = cos(t_0) ∈ I, alors la suite (x_n)_(n ⩾ 0) définie par x_n = f_0^(∘ n)(x_0) vérifie x_n = cos(2^n t_0) pour tout n ⩾ 0.
    (b) En déduire que l'ensemble des points périodiques de f_0 est dense dans I.
On se place de nouveau dans le cas général a ∈ [0, 1[.
4. Montrer qu'il existe une unique fonction h_a : ℝ → ℝ impaire, π-périodique, de classe C^∞ telle que pour tout t ∈ ℝ,
h_a^′(t) = (2√(1 − a^2))/(1 + acos(2t)) − 2
et que si l'on définit F_a : ℝ → ℝ par F_a(t) = 2t + h_a(t), alors on a
f_a(cost) = cos(F_a(t)) pour tout t ∈ ℝ
On pourra considérer la quantité Arccos(f_a(cost)).
5. Pour n ⩾ 0, on définit Φ_n : ℝ → ℝ par
Φ_n(t) = (F_a^(∘ n)(t))/(2^n)
Montrer que la suite de fonctions (Φ_n : ℝ → ℝ)_(n ⩾ 0) converge uniformément sur ℝ vers une fonction continue et croissante Φ : ℝ → ℝ. On pourra considérer la série de fonctions ∑_(n ⩾ 0)(Φ_(n + 1) − Φ_n).
6. En déduire que pour tout a ∈ [0, 1[, il existe une fonction continue et croissante φ : I → I telle que
f_0 ∘ φ = φ ∘ f_a.
  1. Dans cette question, on suppose que a ∈ [0, 3/5[.
    (a) Montrer que F_a^′(t) > 1 pour tout t ∈ ℝ.
    (b) En déduire que Φ : ℝ → ℝ et φ : I → I admettent des applications réciproques continues Ψ : ℝ → ℝ et ψ : I → I.
    (c) En déduire que l'ensemble des points périodiques de f_a est dense dans I.
  2. On suppose pour finir que a ∈ ]3/5, 1 [. Montrer que l'ensemble des points périodiques de f_a n'est pas dense dans I.

Partie III

Dans cette partie, on considère le cas où I = [a, b] ⊂ ℝ est un intervalle borné et où f : I → I est une fonction continue et monotone par morceaux.
  1. Définition de l'entropie h(f). On souhaite montrer que la suite (h_n)_(n ⩾ 0) définie par
h_n(f) = 1/nlogλ(f^(∘ n)) pour tout entier naturel n
converge.
(a) Montrer que la suite (h_n(f))_(n ⩾ 1) est minorée. On définit
h(f) = inf_(n ⩾ 1)h_n(f)
(b) Montrer que si f : I → I et g : I → I sont deux fonctions monotones par morceaux, alors λ(f ∘ g) ⩽ λ(f) ⋅ λ(g).
(c) Soient n ⩾ k ⩾ 1 deux entiers. Montrer qu'il existe un entier 0 ⩽ r < k tel que:
h_n(f) ⩽ (n − r)/nh_k(f) + r/nh_1(f).
(d) En déduire que
h(f) = lim_(n → + ∞)h_n(f)
(e) Établir que pour tout entier n ⩾ 1, on a
h(f) = 1/nh(f^(∘ n)).
  1. Un premier exemple. Dans cette partie, on se propose de déterminer l'entropie d'un polynôme cubique (que l'on identifie à la fonction polynomiale associée) dont le graphe est représenté sur la Figure 2 ci-dessous.
Figure 2: Le graphe d'un polynôme cubique f(x) = x^3 − 3c^2 x.
(a) Montrer qu'il existe un unique réel c > 0 pour lequel le polynôme cubique f(x) = x^3 − 3c^2 x vérifie f^(∘ 2)(c) = − c.
Dans toute la suite de cette partie, on suppose que f(x) = x^3 − 3c^2 x avec c > 0 et que f^(∘ 2)(c) = − c.
(b) On pose I = [f(c), f(− c)]. Montrer que f(I) = I.
On définit les intervalles J_1, J_2 et J_3 par
J_1 = [f(c), − c], J_2 = [ − c, c] et J_3 = [c, f(− c)].
On considère la matrice carrée M ∈ ℳ_(3, 3)(ℝ) dont le coefficient m_(i, j) est égal à 1 si J_i ⊆ f(J_j) et à 0 sinon. Étant donné n ⩾ 1, on note v_n le vecteur de ℝ^3 dont la i-ème coordonnée est le nombre de plis de f^(∘ n) : I → I contenus dans J_i.
(c) Montrer que pour tout n ⩾ 1, on a v_(n + 1) = M ⋅ v_n.
(d) Déterminer M et les valeurs propres de M.
(e) Montrer que l'entropie de f : I → I est logρ, où ρ est la plus grande valeur propre de M.
3. Cas des applications tentes. On considère maintenant le cas particulier où f : I → I est une application tente, c'est-à-dire une application continue et affine par morceaux (donc dérivable en dehors d'un ensemble fini C ) pour laquelle il existe un réel p > 1 tel que
|f^′(x)| = p pour tout x ∈ I∖C
On souhaite montrer que
h(f) = logp
(a) Montrer que la longueur de n'importe quel pli de f^(∘ n) est au plus |b − a|/p^n. En déduire que h(f) ⩾ logp.
(b) Etant donné un réel ε > 0, montrer qu'il existe a_0 = a < a_1 < ⋯ < a_m = b tels que
  • tous les points critiques de f sont des points a_i;
  • pour tout i ∈ [0, m − 1] et tout j ∈ [0, m − 1],
|a_(i + 1) − a_i| ⩽ (1 + ε)|a_(j + 1) − a_j|.
(c) Montrer qu'alors l'image par f de chaque intervalle [a_i, a_(i + 1)] intersecte au plus (1 + ε) ⋅ p + 2 intervalles [a_j, a_(j + 1)] et en déduire que
h(f) ⩽ log((1 + ε) ⋅ p + 2)
(d) Conclure. On pourra utiliser la relation établie à la question III.1.e.

Partie IV

On se place maintenant dans le cas où λ(f) = 2. Plus précisément, I = [a, b] est un intervalle borné, c_0 ∈ ]a, b[, et f : I → I est continue, strictement décroissante sur [a, c_0] et strictement croissante sur [c_0, b], avec f(a) = f(b) = b. On définit l'application ε : I → { − 1, 0, 1} par
ε(x) = {− 1, si x < c_0; 0, si x = c_0; + 1, si x > c_0
  1. La série entière Θ_x(z). A chaque point x ∈ I, on associe la série entière Θ_x(z) définie par
Θ_x(z) = ∑_(n ⩾ 0)θ_n(x) ⋅ z^n avec θ_n(x) = ∏_(i = 0)^n ε(f^(∘ i)(x)).
(a) Montrer que le rayon de convergence de Θ_x est supérieur ou égal à 1 .
(b) Exprimer Θ_a(z) et Θ_b(z) sur leurs disques de convergence sous la forme de fractions rationnelles.
(c) On suppose que n ⩾ 1 et que [x, y] ⊆ I et que θ_j(x) = θ_j(y) pour j ∈ [ [0, n − 1] ]. Montrer que f^(∘ n) est monotone sur [x, y], que son sens de variation dépend du signe de θ_(n − 1)(x) = θ_(n − 1)(y), puis que θ_n(x) ⩽ θ_n(y).
(d) En déduire que pour tout réel z ∈ [0, 1/2], l'application x ↦ Θ_x(z) est croissante sur I.
2. Discontinuités de x ↦ Θ_x(z). Pour x ∈ I, on définit
Θ_x^+(z) = ∑_(n ⩾ 0)θ_n^+(x) ⋅ z^n avec θ_n^+(x) = lim_(y → x; y > x)θ_n(x)
et
Θ_x^−(z) = ∑_(n ⩾ 0)θ_n^−(x) ⋅ z^n avec θ_n^−(x) = lim_(y → x; y < x)θ_n(x)
(a) Montrer que pour tout x ∈ I, on a
Θ_x = (Θ_x^− + Θ_x^+)/2
(b) Montrer que Θ_x^− ≠ Θ_x^+si et seulement s'il existe n ⩾ 0 tel que f^(∘ n)(x) = c_0 et que dans ce cas, si n_0 ⩾ 0 est le plus petit de ces entiers, on a
Θ_x^+(z) − Θ_x^−(z) = z^(n_0) ⋅ (Θ_(c_0)^+(z) − Θ_(c_0)^−(z))
  1. L'invariant Δ_f. On pose
Δ_f = (Θ_(c_0)^+ − Θ_(c_0)^−)/2
(a) Montrer que
Δ_f(z) = ∑_(n ⩾ 0)δ_n ⋅ z^n avec δ_n = {1, si f^(∘ n)(c_0) = c_0; δ_(n − 1), si f^(∘ n)(c_0) > c_0; − δ_(n − 1), si f^(∘ n)(c_0) < c_0
(b) Pour tout entier naturel n ⩾ 0, on note γ_n le cardinal de l'ensemble des points x ∈ I où f^(∘ n) − c_0 change de signe. Montrer que γ_n ⩽ 2^n.
(c) En déduire que le rayon de convergence de la série entière Γ_f(z) définie par
Γ_f(z) = ∑_(n ⩾ 0)γ_n ⋅ z^n
est supérieur ou égal à 1/2.
(d) Etablir que l'égalité suivante est valide sur le disque D(0, 1/2) :
Θ_b − Θ_a = 2Δ_f ⋅ Γ_f
  1. Le nombre de plis. On considère finalement la série entière Λ_f(z) définie par
Λ_f(z) = ∑_(n ⩾ 1)λ(f^(∘ n)) ⋅ z^n
(a) Montrer que le rayon de convergence de Λ_f est R_f = exp(− h(f)) où
h(f) = lim_(n → + ∞)1/nlogλ(f^(∘ n)) = inf_(n ⩾ 1)1/nlogλ(f^(∘ n))
est l'entropie de f. En déduire que R_f ⩾ 1/2.
(b) Montrer que pour tout entier naturel n ⩾ 1, on a
λ(f^(∘ n)) = 1 + ∑_(m = 0)^(n − 1)γ_m
(c) En déduire que si |z| < R_f, on a
Λ_f(z) = z/((1 − z)^2 Δ_f(z)) + z/(1 − z)
  1. Un exemple. On va déterminer l'entropie du polynôme f(x) = x^2 − 7/4. Cette application a trois points périodiques de période 3 qui forment un cycle pour f :
α_0 ↦ ^f α_1 ↦ ^f α_2 ↦ ^f α_0.
Les points α_i sont les trois racines du polynôme 8α^3 + 4α^2 − 18α − 1 = 0 avec α_0 ∼ − 0.0549…, α_1 ≃ − 1.7469… et α_2 ≃ 1.3019… De plus, en posant c_0 = 0, c_1 = f(0) = − 7/4 et c_2 = f(− 7/4) = 21/16, on a
f([α_0, − α_0]) = [c_1, α_1], f([c_1, α_1]) = [α_2, c_2] et f([α_2, c_2]) ⊂ [α_0, 0[.
(a) Donner une expression explicite de Δ_f(z) pour tout z ∈ ℂ vérifiant |z| < R_f.
(b) En déduire que si |z| < R_f, on a
Λ_f(z) = (2z)/((1 − z)(1 − z − z^2))
(c) Déterminer le rayon de convergence de Λ_f (on pourra utiliser une décomposition en éléments simples) et en déduire que
h(f) = log(1 + √5)/2
(d) Déterminer une expression de λ(f^(∘ n)) en fonction de n.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths D ENS MP 2017 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths D ENS MP 2017 ?

Il porte sur les suites récurrentes et les systèmes dynamiques discrets, les séries entières, la réduction des matrices et la convergence uniforme de suites de fonctions.

Les quatre parties sont-elles indépendantes ?

Les parties I et II peuvent être traitées séparément, mais la partie III introduit l'entropie utilisée dans la partie IV, qui s'appuie sur les notions générales posées en préambule.

Qu'est-ce que l'entropie topologique étudiée dans ce sujet ?

C'est la limite, quand n tend vers l'infini, de (1/n) log(nombre de plis de f composée n fois), qui mesure la complexité dynamique de l'itération de f.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Non, il mobilise les séries entières, la réduction des matrices et des notions avancées d'analyse (convergence uniforme, compacité) qui relèvent du programme de deuxième année et au-delà.

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