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Présentation du sujet

Approximation uniforme par des polynômes à coefficients entiers
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Le problème étudie quelles fonctions continues sur un segment sont limites uniformes de polynômes à coefficients entiers. Il commence par la théorie de la meilleure approximation polynomiale uniforme et la notion de capacité d'un compact, introduit les polynômes de Tchebychev, puis caractérise complètement les fonctions approchables par des polynômes entiers à l'aide des polynômes symétriques et des entiers algébriques, en aboutissant à la notion de noyau de Fekete.

  1. 11. Existence et unicité d'une meilleure approximationMontre l'existence et l'unicité, dans l'espace des polynômes de degré au plus n, du polynôme réalisant la meilleure approximation uniforme d'une fonction continue, à l'aide d'un argument de compacité et d'une propriété d'alternance.
  2. 22. Capacité d'un compactDéfinit, pour un compact infini de R, une suite de polynômes unitaires de norme minimale et montre l'existence d'une limite commune appelée capacité du compact, par deux constructions équivalentes.
  3. 33. Polynômes de TchebychevÉtudie les polynômes de Tchebychev, montre qu'ils réalisent le polynôme unitaire de norme minimale sur [-1,1] et calcule la capacité d'un segment quelconque.
  4. 44. L'approximation par des polynômes à coefficients entiersConstruit, pour un segment de longueur inférieure à 4, un ensemble fini de points caractérisant les fonctions continues limites uniformes de polynômes à coefficients entiers.
  5. 55. Polynômes symétriquesDémontre que tout polynôme symétrique à coefficients entiers s'exprime comme un polynôme en les fonctions symétriques élémentaires, par un argument d'ordre sur les degrés des monômes.
  6. 66. Entiers algébriquesÉtudie les entiers algébriques, leur polynôme minimal, leurs conjugués, et montre que la somme et le produit de deux entiers algébriques sont des entiers algébriques, avant d'introduire le noyau de Fekete d'un intervalle.
  7. 77. Le noyau de FeketeUtilise un argument de réseau et de pavé dans R^n pour montrer que l'ensemble caractérisant les fonctions approchables coïncide exactement avec le noyau de Fekete de l'intervalle.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 6,2 / 20 · 1 083 présents
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Moyenne
6,2/ 20
Présents
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Médiane
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Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

CONCOURS D'ADMISSION 2018
FILIÈRE MPI

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - D - (U)

(Durée : 6 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Notations et objectifs du sujet

Dans tout ce problème, I désigne un intervalle de R de la forme I = [a, b] avec a < b. On note C^0(I, R) l'espace vectoriel des fonctions continues f : I → R. On munit cet espace de la norme ‖ ⋅ ‖_I définie par ‖f‖_I = sup_(x ∈ I)|f(x)|. Si A est une partie de C^0(I, R) et si f ∈ C^0(I, R), on dit que f est une limite uniforme d'éléments de A s'il existe une suite {f_n}_(n ≥ 1) d'éléments de A telle que ‖f − f_n‖_I → 0 quand n → + ∞.
On note N l'ensemble des entiers positifs (ou nuls). Si n ∈ N, on note R_n[X] ⊂ R[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus n. On dit qu'un polynôme p ∈ R[X] est unitaire si p(X) = 1 ou bien s'il existe un entier n ≥ 1 et un polynôme r ∈ R_(n − 1)[X] tels que p(X) = X^n + r(X).
La restriction à I permet de voir R[X] comme un sous-espace vectoriel de C^0(I, R), ce que nous faisons. Nous munissons alors R_n[X] et R[X] de la norme ‖ ⋅ ‖_I.
On rappelle le théorème de Weierstrass.
Théorème. Toute fonction f ∈ C^0(I, R) est limite uniforme d'éléments de R[X].
L'essentiel du problème (les parties 3 à 7) est inspiré par la question suivante : quelles fonctions continues sur I sont limites uniformes de polynômes à coefficients entiers? Le problème comporte sept parties. Les résultats des questions 2.4 à 2.8 ne sont pas utilisés dans la suite. La partie 5 n'utilise pas les résultats des parties précédentes.

1. Existence et unicité d'une meilleure approximation

Soit n ∈ N et soit f ∈ C^0(I, R). On pose m = inf_(p ∈ R_n[X])‖f − p‖_I.
1.1. Montrer que l'ensemble C des g ∈ R_n[X] tels que ‖f − g‖_I ≤ 1 + m est un compact non vide de R_n[X].
1.2. Montrer qu'il existe un élément p ∈ R_n[X] tel que ‖f − p‖_I = m. En déduire que si m = 0, on a alors f ∈ R_n[X].
On suppose dans la suite de cette partie que m > 0.
1.3. Soit k le nombre de solutions dans I de l'équation |f(x) − p(x)| = m; on suppose que k ≤ n + 1 et on note ces solutions x_1 < ⋯ < x_k, avec x_i ∈ I.
Montrer qu'il existe un polynôme q ∈ R_n[X] tel que q(x_i) = f(x_i) pour tout i ∈ {1, …, k}.
1.4. Pour δ > 0, on pose
U_δ = {x ∈ I|∃i ∈ {1, …, k} |x − x_i|<δ}.
Soit ε > 0. Montrer qu'il existe δ > 0 tel que |f(x) − q(x)| < ε pour tout x ∈ U_δ.
1.5. Soit ℓ = ‖p − q‖_I et soit ε > 0, à ajuster ensuite. Soit δ comme à la question 1.4. Pour t ∈ ]0, 1[, on pose p_t = (1 − t)p + tq. Montrer que pour tout x ∈ I, on a
|f(x) − p_t(x)| ≤ {(1 − t)m + tε, si x ∈ U_δ; tℓ + sup_(y ∈ I∖U_δ)|f(y) − p(y)|, si x ∈ I∖U_δ
1.6. Montrer que pour un choix convenable de ε > 0, il existe t ∈ ]0, 1[ tel que ‖f − p_t‖_I < m. En déduire que l'équation |f(x) − p(x)| = m admet au moins n + 2 solutions distinctes dans I.
1.7. On suppose qu'il existe p_1, p_2 ∈ R_n[X] tels que ‖f − p_1‖_I = ‖f − p_2‖_I = m. Montrer que p_1 = p_2 (on pourra appliquer la question 1.6 à (p_1 + p_2)/2).

2. Capacité d'un compact

Soit K une partie compacte de R. Si f ∈ C^0(K, R), on pose ‖f‖_K = sup_(x ∈ K)|f(x)|. On suppose que K est un ensemble infini.
2.1. Montrer que si n ≥ 1 est un entier, il existe un polynôme q ∈ R[X], unitaire de degré n, tel que ‖q‖_K = inf_p‖p‖_K, où p parcourt l'ensemble des polynômes unitaires de degré n à coefficients dans R. On pose t_n = ‖q‖_K = inf_p‖p‖_K.
Montrer que si a < b et K = [a, b], un tel polynôme q est unique. On le note T_n^K.
2.2. Soit {ℓ_n}_(n ≥ 1) une suite de réels telle que pour tout m, n ≥ 1, on a
ℓ_(m + n) ≤ ℓ_n n/(m + n) + ℓ_m m/(m + n)
Soit ℓ = inf_(n ≥ 1)ℓ_n ∈ { − ∞} ∪ R. Montrer que ℓ_n → ℓ quand n → + ∞.
2.3. Montrer que la suite {t_n^(1/n)}_(n ≥ 1) admet une limite, notée d_1(K).
2.4. On pose w_1 = 1 et, pour tout n ≥ 2, on pose w_n = sup_((x_1, …, x_n) ∈ K^n)∏_(1 ≤ i < j ≤ n)|x_i − x_j|. Montrer que la suite {w_n^(2/(n(n − 1)))}_(n ≥ 2) est décroissante. En déduire qu'elle converge ; on notera d_2(K) sa limite.
2.5. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, on a t_n ≤ w_(n + 1)/w_n.
On pourra montrer qu'il existe x_1, …, x_n ∈ K tels que w_n = ∏_(1 ≤ i < j ≤ n)|x_i − x_j|, puis considérer p(X) = (X − x_1)⋯(X − x_n) et choisir judicieusement x_(n + 1) ∈ K.
2.6. Montrer qu'il existe x_1, …, x_(n + 1) ∈ K tels que pour tout polynôme unitaire p ∈ R[X] de degré n, on a
w_(n + 1) = |dét(1, ⋯, x_1^(n − 1), p(x_1); ⋮, ⋱, ⋮, ⋮; 1, ⋯, x_(n + 1)^(n − 1), p(x_(n + 1)))|.
En déduire que w_(n + 1) ≤ (n + 1)w_n t_n.
2.7. Soit {u_n}_(n ≥ 1) une suite de réels qui converge vers une limite u. Pour n ≥ 1, on pose z_n = (u_1 + ⋯ + u_n)/n. Montrer que z_n → u quand n → + ∞.
2.8. Montrer que d_1(K) = d_2(K).
Remarque. Cette limite commune est appelée la capacité de K.

3. Polynômes de Tchebychev

Dans toute cette partie, n est un entier strictement positif.
3.1. Montrer qu'il existe un et un seul polynôme T_n tel que T_n(cos(θ)) = cos(nθ) pour tout θ ∈ R. Quel est son degré ?
3.2. Montrer que 2^(1 − n)T_n est un polynôme unitaire qui admet n + 1 extrema dans l'intervalle [ − 1, 1].
3.3. Soit I = [ − 1, 1], soit f la fonction définie par f(x) = x^n et soit q un élément de R_(n − 1)[X] tel que ‖f − q‖_I = inf_(p ∈ R_(n − 1)[X])‖f − p‖_I (cf. la question 1.2). On suppose que ‖f − q‖_I < 2^(1 − n).
Montrer que le polynôme 2^(1 − n)T_n − (f − q) a au moins n racines distinctes dans I. En déduire que si I = [ − 1, 1], alors T_n^I = 2^(1 − n)T_n (le polynôme T_n^I est défini à la question 2.1).
3.4. Calculer T_n^([a, b]) et en déduire que ‖T_n^([a, b])‖_([a, b]) = 2((b − a)/4)^n puis que d_1([a, b]) = (b − a)/4 (où d_1 est défini à la question 2.3).
3.5. Montrer que si I = [a, b] avec b − a ≥ 4, et que p est un polynôme non constant à coefficients entiers, alors ‖p‖_I ≥ 2.
3.6. En déduire que si b − a ≥ 4, une fonction f ∈ C^0(I, R) est une limite uniforme de polynômes à coefficients entiers si et seulement si f est elle-même un polynôme à coefficients entiers.

4. L'approximation par des polynômes À coefficients entiers

On suppose dans le reste du problème que I = [a, b] avec b − a < 4.
4.1. Montrer qu'il existe un polynôme unitaire non constant p ∈ R[X] tel que ‖p‖_I < 1.
4.2. Soit r ∈ R[X] un polynôme de degré d ≥ 1. Montrer que si s ∈ R[X], il existe n ≥ 0 et b_0, …, b_n ∈ R_(d − 1)[X] tels que
s(X) = b_0(X) + b_1(X)r(X) + ⋯ + b_n(X)r(X)^n.
4.3. Soit d le degré du polynôme p construit à la question 4.1 et soient ℓ_0 ≥ 1 et k ≥ ℓ_0 des entiers; on pose m = ℓ_0 d. Montrer qu'il existe des réels b_(i, ℓ) ∈ [0, 1] pour 0 ≤ i ≤ d − 1 et pour ℓ ≥ ℓ_0, tels que l'on peut écrire p(X)^k = r_k(X) + z_k(X) + p_k(X), où
r_k(X) = ∑_(0 ≤ i ≤ d − 1; ℓ ≥ ℓ_0)b_(i, ℓ)X^i p(X)^ℓ
où z_k est un polynôme unitaire de degré kd à coefficients entiers et où p_k est un polynôme de degré au plus m − 1 et à coefficients dans [0, 1].
4.4. Choisir soigneusement ℓ_0 et montrer qu'il existe alors deux entiers k^′ > k tels que q = z_(k^′) − z_k est un polynôme unitaire non constant à coefficients entiers vérifiant ‖q‖_I < 1.
Définition. Soit J(I) l'ensemble des x ∈ I tels que p(x) = 0 pour tout polynôme p à coefficients entiers vérifiant ‖p‖_I < 1. Par la question 4.4, l'ensemble J(I) est fini.
4.5. Déterminer J(I) lorsque I = [a, b] avec − 1 < a < b < 1, puis lorsque I = [ − 1, 1].
4.6. Soit f ∈ C^0(I, R) une fonction qui est une limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. Montrer qu'il existe un polynôme p à coefficients entiers tel que f(x) = p(x) pour tout x ∈ J(I).
4.7. Montrer qu'il existe un polynôme unitaire q à coefficients entiers tel que ‖q‖_I < 1 et que, si x ∈ I vérifie q(x) = 0, alors x ∈ J(I).
Notation. Dans le reste de cette partie, q désigne un tel polynôme et n son degré.
4.8. Montrer qu'il existe une constante M > 0 telle que pour tout p ∈ R[X], il existe p~ ∈ Z[X] vérifiant ‖p − p~‖_I ≤ M. On pourra utiliser la question 4.2.
4.9. Soit f ∈ C^0(I, R) une fonction telle que pour tout x ∈ I vérifiant q(x) = 0, il existe δ > 0 tel que f(y) = 0 pour tout y ∈ I vérifiant |x − y| < δ.
Soit ε > 0. En appliquant le théorème de Weierstrass (rappelé dans l'introduction) à f/q^k pour k grand, montrer qu'il existe un polynôme p à coefficients entiers tel que ‖f − p‖_I < ε.
4.10. Soit f ∈ C^0(I, R) une fonction telle que pour tout x ∈ I vérifiant q(x) = 0, on a f(x) = 0. Montrer que f est une limite uniforme de polynômes à coefficients entiers.
4.11. Montrer qu'une fonction f ∈ C^0(I, R) est une limite uniforme de polynômes à coefficients entiers si et seulement s'il existe un polynôme p à coefficients entiers tel que f(x) = p(x) pour tout x ∈ J(I).
4.12. Montrer qu'une fonction f ∈ C^0([ − 1, 1], R) est une limite uniforme de polynômes à coefficients entiers si et seulement si f(− 1) ∈ Z, f(0) ∈ Z, f(1) ∈ Z et f(− 1) et f(1) sont de même parité.

5. Polynômes symétriques

Définitions. Soit n ≥ 1. On considère des polynômes en les n variables T_1, …, T_n et à coefficients dans Z, c'est à dire p(T_1, …, T_n) = ∑_(i_1, …, i_n ≥ 0)a_(i_1, …, i_n)T_1^(i_1)⋯T_n^(i_n) avec a_(i_1, …, i_n) ∈ Z et où la somme est finie. L'ensemble de ces polynômes est noté Z[T_1, …, T_n] et forme un anneau.
Un monôme est un polynôme de la forme a_(i_1, …, i_n)T_1^(i_1)⋯T_n^(i_n) avec a_(i_1, …, i_n) ≠ 0. Son degré est le n-uplet i_– = (i_1, …, i_n) ∈ N^n. Nous dirons qu'un n-uplet i_– ∈ N^n est plus petit qu'un n-uplet j_– ∈ N^n si ∑_k i_k < ∑_k j_k ou bien si ∑_k i_k = ∑_k j_k et qu'il existe k tel que i_1 = j_1, …, i_(k − 1) = j_(k − 1) et i_k < j_k.
5.1. Montrer que si i_– ∈ N^n et j_– ∈ N^n sont des n-uplets avec i_– ≠ j_–, alors soit i_– est plus petit que j_–, soit j_– est plus petit que i_–.
5.2. Montrer que si l'on se donne un n-uplet i_– ∈ N^n, l'ensemble des n-uplets j_– ∈ N^n qui sont plus petits que i_– est fini.
Définitions. Si p(T_1, …, T_n) = ∑_(i_1, …, i_n ≥ 0)a_(i_1, …, i_n)T_1^(i_1)⋯T_n^(i_n) est un polynôme non nul, on note dom(p) le coefficient a_(i_1, …, i_n) du monôme a_(i_1, …, i_n)T_1^(i_1)⋯T_n^(i_n), où ( i_1, …, i_n ) est le plus grand des degrés pour lesquels a_(i_1, …, i_n) ≠ 0. Le degré ( i_1, …, i_n ) correspondant est le degré de p, noté deg (p).
Si π est une permutation de l'ensemble {1, …, n} et si p ∈ Z[T_1, …, T_n], on note p^π le polynôme p(T_(π(1)), …, T_(π(n))). On dit que p est un polynôme symétrique si p^π = p pour toute permutation π. Les éléments S_1, …, S_n de Z[T_1, …, T_n] sont définis par la formule ∏_(i = 1)^n(X − T_i) = X^n − S_1 X^(n − 1) + ⋯ + (− 1)^(n − 1)S_(n − 1)X + (− 1)^n S_n. Ce sont donc des polynômes symétriques. On a S_k = ∑_(1 ≤ i_1 < ⋯ < i_k ≤ n)T_(i_1)⋯T_(i_k).
5.3. Soit p ∈ Z[T_1, …, T_n] un polynôme symétrique non nul et soit ( i_1, …, i_n ) le degré de p. Montrer que i_1 ≥ i_2 ≥ ⋯ ≥ i_n.
5.4. Soit p un polynôme comme dans la question précédente. On pose
d_1 = i_1 − i_2, d_2 = i_2 − i_3, …, d_(n − 1) = i_(n − 1) − i_n, d_n = i_n.
Montrer que
  • ou bien p = dom(p) ⋅ S_1^(d_1)⋯S_n^(d_n);
  • ou bien deg(p − dom(p) ⋅ S_1^(d_1)⋯S_n^(d_n)) est plus petit que deg(p).
    5.5. Montrer que si p ∈ Z[T_1, …, T_n] est un polynôme symétrique, il existe un polynôme q ∈ Z[T_1, …, T_n] tel que p = q(S_1, …, S_n).

6. Entiers algébriques

Définition. On dit qu'un nombre complexe x est un entier algébrique s'il existe un polynôme unitaire (non nul) à coefficients entiers p ∈ Z[X] tel que p(x) = 0.
6.1. Montrer que si x ∈ Q, alors x est un entier algébrique si et seulement si x ∈ Z.
6.2. Si a(X) = a_0 + a_1 X + ⋯ + a_n X^n ∈ Z[X], on note c(a) le pgcd de a_0, …, a_n. Montrer que si a, b ∈ Z[X], on a alors c(ab) = c(a)c(b).
On pourra montrer que si un nombre premier divise c(ab), alors il divise c(a) ou c(b).
6.3. Montrer que si x est un entier algébrique, il existe un et un seul polynôme p_x ∈ Z[X] unitaire tel que p_x(x) = 0 et tel que p_x est irréductible dans Q[X].
Montrer que p_x est à racines simples dans C.
Définition. Dans les notations de 6.3 , les racines x_1, …, x_n de p_x dans C (y compris x lui-même) s'appellent les conjugués de x. On a alors p_x(X) = (X − x_1)⋯(X − x_n).
6.4. Dans les notations ci-dessus, soit r un élément de Q[X] tel qu'il existe i vérifiant r(x_i) = 0. Montrer que p_x divise r dans Q[X].
6.5. Soient x et y des entiers algébriques et soient y_1, …, y_m les conjugués de y. Montrer (par exemple en utilisant la question 5.5) que les coefficients du polynôme
p_x(X − y_1)⋯p_x(X − y_m)
sont dans Z. En déduire que x + y est un entier algébrique.
6.6. Montrer que si x et y sont des entiers algébriques, alors xy est un entier algébrique.
Définition. Soit I = [a, b] et soit F(I) l'ensemble des x ∈ I qui sont des entiers algébriques dont tous les conjugués appartiennent aussi à I. Cet ensemble s'appelle le noyau de Fekete de I.
6.7. Soit q un polynôme à coefficients entiers tel que ‖q‖_I < 1, soit x un élément de F(I) et soient x_1, x_2, …, x_n ses conjugués. Montrer que ∏_(i = 1)^n q(x_i) est un élément de Z, puis que q(x) = 0. En déduire que F(I) ⊂ J(I).
6.8. En considérant par exemple le polynôme X(X^2 − 1)(X^2 − 2), calculer J(I) pour tout intervalle I = [ − a, a] avec a ≤ 3/2.

7. Le noyau de Fekete

Le but de cette partie est de montrer que pour tout intervalle I = [a, b] de longueur b − a < 4, on a en fait F(I) = J(I).
Définition. Un pavé est une partie P de R^n de la forme
P = {λ_1 v_1 + ⋯ + λ_n v_n|λ_1, …, λ_n ∈ [ − 1, 1]},
où v_1, …, v_n ∈ R^n. Le volume de P est alors vol(P) = 2^n|dét(V)|, où V est la matrice de v_1, …, v_n dans la base canonique de R^n. Pour h ∈ R^n, on note
h + P = {h + v|v ∈ P}.
Soit Z^n l'ensemble des vecteurs de R^n dont toutes les coordonnées sont entières.
7.1. Montrer que si P est un pavé tel que vol(P) > 1, il existe w ≠ w^′ dans P tels que w − w^′ ∈ Z^n. On pourra observer que dans le cas contraire, h + P et h^′ + P sont disjoints pour tous h ≠ h^′ dans Z^n.
7.2. Soit x ∈ R un entier algébrique et soient x_1 = x, x_2, …, x_m ses conjugués. On suppose que m ≥ 2 et qu'il existe n ∈ {2, …, m} tel que x_1, …, x_(n − 1) ∈ R. On considère la matrice
M = (1, x_1, x_1^2, ⋯, x_1^(n − 1); 1, x_2, x_2^2, ⋯, x_2^(n − 1); ⋮, ⋮, ⋮, ⋮; 1, x_(n − 1), x_(n − 1)^2, ⋯, x_(n − 1)^(n − 1); 1, 1, 1, ⋯, 1)
et on note f : R^n → R^n l'application linéaire correspondante. Si r > 0, on note B(r) l'ensemble des a ∈ R^n tels que |a_n| ≤ r et que |a_i| ≤ 1/2 pour tout i ∈ {1, …, n − 1}.
Montrer que si r est assez grand, il existe h ∈ Z^n∖{0} tel que h ∈ f^(− 1)(B(r)).
7.3. Soit h ∈ Z^n∖{0} comme à la question précédente. On pose
s(X) = h_1 + h_2 X + ⋯ + h_n X^(n − 1)
où h_1, …, h_n sont les coordonnées de h. Montrer que pour tout i ∈ {1, …, n − 1}, on a |s(x_i)| ≤ 1/2 et s(x_i) ≠ 0.
7.4. On conserve les notations de la question 7.2. Soit ε > 0. Montrer que si y_1, …, y_(n − 1) ∈ R, il existe p ∈ Z[X] tel que |p(x_i) − y_i| < ε pour tout i ∈ {1, …, n − 1} (on pourra s'inspirer des questions 4.8 et 4.9).
7.5. Soit à présent S = {x_1, …, x_n} un ensemble de nombres réels deux à deux distincts tel que, pour tout 1 ≤ i ≤ n, le réel x_i est un entier algébrique qui admet au moins un conjugué qui n'est pas dans S. Montrer que si y_1, …, y_n ∈ R et si ε > 0, il existe p ∈ Z[X] tel que |p(x_i) − y_i| < ε pour tout i ∈ {1, …, n}.
7.6. Soit I = [a, b] avec b − a < 4 et soit q un polynôme unitaire à coefficients entiers tel que ‖q‖_I < 1. En écrivant l'ensemble des racines de q dans I comme union disjointe F(I) ∪ S, montrer qu'une fonction f ∈ C^0(I, R) telle que f(x) = 0 pour tout x ∈ F(I) est une limite uniforme de polynômes à coefficients entiers.
7.7. Montrer que F(I) = J(I).

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques D de l'ENS MP 2018 sur l'approximation par des polynômes entiers ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques D de l'ENS MP 2018 sur l'approximation par des polynômes entiers ?

Il porte sur la topologie des espaces vectoriels normés, l'approximation polynomiale uniforme, les polynômes de Tchebychev, les polynômes symétriques et l'arithmétique des entiers algébriques.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

La partie 5 n'utilise pas les résultats des parties précédentes, mais les autres parties s'enchaînent progressivement, les résultats des questions 2.4 à 2.8 n'étant toutefois pas utilisés dans la suite.

Quel est l'objectif final du problème ?

Caractériser précisément, pour un segment de longueur inférieure à 4, les fonctions continues qui sont limites uniformes de polynômes à coefficients entiers, à l'aide de la notion de noyau de Fekete.

Faut-il des connaissances d'arithmétique pour ce sujet ?

Oui, la fin du problème introduit les entiers algébriques, leur polynôme minimal et leurs conjugués, notions qui ne sont pas centrales dans le programme mais définies dans l'énoncé.

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