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Chaînes de Markov réversibles et semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck
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La partie I étudie les chaînes de Markov sur un ensemble fini ou dénombrable, en particulier la notion de réversibilité par rapport à une probabilité invariante, l'irréductibilité, et la convergence exponentielle de la loi vers la mesure invariante grâce à une décomposition spectrale dans le cas fini. La partie II construit le semi-groupe de la chaleur puis le semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck à partir de convolutions gaussiennes, et démontre la décroissance exponentielle de la variance sous ce dernier semi-groupe.

  1. 1Partie I : chaînes de MarkovÉtude des matrices de transition, de la réversibilité par rapport à une probabilité, de l'irréductibilité, puis démonstration de la convergence exponentielle de la loi d'une chaîne de Markov vers sa mesure invariante dans le cas d'un espace d'états fini, via l'étude spectrale de l'opérateur de transition.
  2. 2Partie II-A : semi-groupe de la chaleurConstruction du semi-groupe P_t par convolution avec la gaussienne gamma_t, vérification de l'équation de la chaleur satisfaite par P_t f, et estimations de régularité des dérivées de P_t f.
  3. 3Partie II-B : semi-groupe d'Ornstein-UhlenbeckConstruction du semi-groupe Q_t à partir de P_t par changement d'échelle, vérification de l'équation aux dérivées partielles vérifiée par Q_t f, invariance de la moyenne gaussienne sous Q_t, puis démonstration de la décroissance exponentielle de la variance de Q_t f, analogue probabiliste de la partie I.

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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - C - (ULCR)

(Durée : 4 heures)

Abstract

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Les parties I et II sont indépendantes.

1. Partie I

Dans cette partie, E est un ensemble fini ou dénombrable. L'ensemble des probabilités sur E est l'ensemble
P(E) = {μ : E → [0, 1]|∑_(x ∈ E)μ(x) = 1}.
Une matrice de transition sur E est une application P : E × E → [0, 1] telle que pour tout x ∈ E, on a
∑_(y ∈ E)P(x, y) = 1
Le produit PQ de deux matrices de transition P et Q est défini par
∀(x, z) ∈ E × E (PQ)(x, z) = ∑_(y ∈ E)P(x, y)Q(y, z).
On notera I la matrice de transition définie par I(x, y) = {1 si x = y;; 0 si x ≠ y;
1.1. (a) Vérifier que si P et Q sont des matrices de transition, PQ est aussi une matrice de transition.
(b) Vérifier que si P, Q et R sont des matrices de transition, on a (PQ)R = P(QR).
(c) Pour tout entier n ≥ 0 et toute matrice de transition P, on définit P^n par P^0 = I et la relation de récurrence P^(n + 1) = P^n P si n ≥ 0. Vérifier que P^n est bien une matrice de transition.
Étant données μ ∈ P(E), une matrice de transition P et des fonctions bornées f : E → ℝ et g : E → ℝ, on définit les nombres réels suivants
μ[f], = ∑_(x ∈ E)μ(x)f(x),; μP(y), = ∑_(x ∈ E)μ(x)P(x, y), où y ∈ E,; Pf(x), = ∑_(y ∈ E)P(x, y)f(y), où x ∈ E,; ⟨f, g⟩_μ, = μ[fg].
1.2. Soit μ ∈ P(E), soient P et Q des matrices de transition et soit f : E → ℝ une fonction bornée.
(a) Montrer que μP ∈ P(E) et que (μP)Q = μ(PQ).
(b) Montrer que Pf : E → ℝ est une fonction bornée et que μP[f] = μ[Pf].
(c) Montrer que (PQ)f = P(Qf).
Une matrice de transition P sera dite réversible par rapport à un élément π de P(E) si pour tout (x, y) ∈ E^2, on a
π(x)P(x, y) = π(y)P(y, x).
Une matrice de transition P sera dite irréductible si pour tout (x, y) ∈ E^2, il existe un entier n ≥ 1 tel que P^n(x, y) > 0.
On se donne, sur un espace probabilisé (Ω, A, ℙ), une suite (U_n)_(n ≥ 1) de variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées, et une variable aléatoire X_0 à valeurs dans E, indépendante de la suite (U_n)_(n ≥ 1). On se donne une fonction F : E × ℝ → E et on définit une suite (X_n)_(n ≥ 0) de variables aléatoires à valeurs dans E en posant, pour tout entier n ≥ 1,
X_n = F(X_(n − 1), U_n).
La loi de X_n est notée μ_n. On rappelle que c'est l'élément de P(E) défini par μ_n(x) = ℙ[X_n = x] pour tout x ∈ E.
L'espérance d'une variable aléatoire réelle bornée X sera notée 𝔼[X].
Pour tout (x, y) ∈ E^2, on pose P(x, y) = ℙ[F(x, U_1) = y].
1.3. (a) Vérifier que P est une matrice de transition et que, pour tout entier n ≥ 0 et tout (x_0, …, x_n) ∈ E^(n + 1), on a
ℙ[X_0 = x_0, …, X_n = x_n] = μ_0(x_0)∏_(i = 1)^n P(x_(i − 1), x_i).
(b) Montrer que pour tout entier n ≥ 0 et tout (x_0, …, x_n) ∈ E^(n + 1) tel que ℙ[X_0 = x_0, …, X_n = x_n] > 0, on a, pour tout x ∈ E,
ℙ[X_(n + 1) = x|X_0 = x_0, …, X_n = x_n] = P(x_n, x).
(c) Montrer que pour tout n ≥ 0, on a μ_n = μ_0 P^n et que si μ_0 P = μ_0, alors μ_n = μ_0 pour tout n ≥ 0.
(d) Montrer que pour tout n ≥ 0 et tout x ∈ E tel que μ_0(x) > 0, on a
ℙ[X_n = y|X_0 = x] = P^n(x, y) pour tout y ∈ E.
(e) Montrer que pour toute fonction f : E → ℝ bornée, on a
𝔼[f(X_n)] = μ_0[P^n f].
À partir de maintenant, on supposera que
  • P est réversible par rapport à une probabilité π ∈ P(E),
  • il existe a ∈ E tel que π(a) > 0 et tel que, pour tout x ∈ E, il existe un entier n ≥ 1 pour lequel P^n(a, x) > 0.

1.4. Montrer que πP = π.

1.5. (a) Montrer que pour tout n ≥ 1, la matrice de transition P^n est réversible par rapport à π.
(b) Soit n ≥ 1 et soit x ∈ E. Montrer que si P^n(a, x) > 0, on a P^n(x, a) > 0 et π(x) > 0.
(c) Montrer que π(x) > 0 pour tout x ∈ E.
(d) Montrer que P est irréductible.
1.6. Pour toute fonction f : E → ℝ bornée et tout entier n ≥ 1, on pose
E_n(f) = 1/2∑_((x, y) ∈ E^2)[f(x) − f(y)]^2 π(x)P^n(x, y)
(a) Montrer que E_n(f) = ⟨f − P^n f, f⟩_π.
(b) Montrer que si Pf = f, la fonction est f est constante.
(c) Soit μ un élément de P(E) tel que μP = μ. En posant f(x) = (μ(x))/(π(x)), montrer que Pf = f, puis que μ = π.
À partir de maintenant, on supposera également qu'il existe un élément b de E tel que P(b, b) > 0.
1.7. (a) Montrer que pour tous entiers positifs k, ℓ, n, on a P^n(b, b) > 0 et
P^(k + n + ℓ)(x, y) ≥ P^k(x, b)P^n(b, b)P^ℓ(b, y) pour tout (x, y) ∈ E^2.
(b) Montrer que P^2 est irréductible. On rappelle (cf. la question 5(a)) que P^2 est réversible par rapport à π.
(c) Montrer que si une fonction bornée f : E → ℝ vérifie Pf = − f, alors f(x) = 0 pour tout x ∈ E.
1.8. Dans cette question, on prend E = {1, …, d}, où d est un entier. Une fonction f : E → ℝ peut être alors vue comme un élément de ℝ^d.
(a) Montrer que ⟨ ⋅, ⋅ ⟩_π définit un produit scalaire sur ℝ^d. On note ‖ ⋅ ‖_π la norme associée.
(b) Montrer que l'application f ↦ Pf est un endomorphisme de ℝ^d symétrique pour le produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩_π.
(c) Montrer que si λ ∈ ℂ est une valeur propre de P, alors λ est réelle et vérifie − 1 < λ ≤ 1.
(d) On note b_1 le vecteur de ℝ^d dont toutes les composantes valent 1 . Montrer que b_1 est un vecteur propre de P associé à la valeur propre 1, qui est une valeur propre de multiplicité 1 pour P.
(e) Montrer qu'il existe λ ∈ [0, 1[ tel que, pour tout n ≥ 1 et toute fonction f : E → ℝ, on a
‖P^n f − π[f]b_1‖_π ≤ λ^n‖f − π[f]b_1‖_π.
(f) En déduire qu'il existe une constante C telle que
∀n ≥ 1 sup_(x ∈ E)|μ_n(x) − π(x)| ≤ Cλ^n.

Partie II

Pour tout t > 0, on note γ_t : ℝ → ℝ^+la fonction définie par
∀x ∈ ℝ γ_t(x) = 1/(√(2πt))e^(− (x^2)/(2t)).
On admettra que pour tout t > 0, on a ∫_(− ∞)^∞γ_t(x)dx = 1.
On note C_0(ℝ) (respectivement C_b(ℝ) ) l'espace vectoriel des fonctions f : ℝ → ℝ continues telles que lim_(x → + ∞)f(x) = lim_(x → − ∞)f(x) = 0 (respectivement, telles que sup_(x ∈ ℝ)|f(x)| < + ∞).
Lorsqu'il est bien défini, le produit de convolution f∗g de deux fonctions continues f : ℝ → ℝ et g : ℝ → ℝ est la fonction f∗g : ℝ → ℝ définie par
(f∗g)(x) = ∫_ℝ f(x − y)g(y)dy
Pour f ∈ C_b(ℝ), on pose
‖f‖_1 = ∫_ℝ|f(x)|dx ∈ ℝ ∪ { + ∞} et ‖f‖_∞ = sup_(x ∈ ℝ)|f(x)| ∈ ℝ
Si f est dérivable, on note d/(dx)f sa dérivée et, si f est n fois dérivable, on note (d^n)/(dx^n)f la dérivée n-ième de f, définie par la relation de récurrence (d^(n + 1))/(dx^(n + 1))f = d/(dx)((d^n)/(dx^n)f). On utilisera aussi les notations f^′ = d/(dx)f et f^(′′) = (d^2)/(dx^2)f.
Si on se donne pour tout t > 0, une fonction f_t : ℝ → ℝ et si pour x ∈ ℝ, l'application t ↦ f_t(x) est dérivable, on notera sa dérivée d/(dt)f_t(x).

2. Partie II-A

2.1. Soit (f, g) ∈ C_b(ℝ) × C_b(ℝ). Si ‖f‖_1 < + ∞ ou si ‖g‖_1 < + ∞, vérifier que l'application f∗g est bien définie et que l'on a alors f∗g = g∗f.
2.2. Montrer que pour tout s > 0 et tout t > 0, on a γ_s∗γ_t = γ_(s + t).
2.3. Montrer que pour tout x ∈ ℝ et tout t > 0, on a
d/(dt)γ_t(x) = 1/2(d^2)/(dx^2)γ_t(x)
2.4. Pour f ∈ C_b(ℝ), on pose P_0 f = f et P_t f = γ_t∗f si t > 0.
[Dans cette question, on pourra utiliser le changement de variable z = y/(√t).]
(a) Montrer que P_t f ∈ C_b(ℝ) et que l'application (t, x) ↦ P_t f(x) est continue sur ℝ^+ × ℝ.
(b) Montrer que si f ∈ C_0(ℝ), alors P_t f ∈ C_0(ℝ) et, pour tout x ∈ ℝ, on a lim_(t → + ∞)P_t f(x) = 0.
2.5. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, il existe une constante c_n ∈ ℝ telle que, pour tout t > 0 et tout x ∈ ℝ, on a la majoration
|(d^n)/(dx^n)γ_t(x)| ≤ (c_n)/(t^(n/2))(1 + (|x|)/(√t))^n γ_t(x)
2.6. Soit f ∈ C_b(ℝ).
(a) Vérifier que pour tout t > 0, l'application P_t f est infiniment dérivable et que, pour tout x ∈ ℝ, l'application t ↦ P_t f(x) est dérivable en tout t > 0.
(b) Soit t > 0. Montrer que ‖P_t f‖_∞ ≤ ‖f‖_∞ et que, pour tout entier n ≥ 1, il existe une constante C_n ∈ ℝ indépendante de t et de f telle que
‖(d^n)/(dx^n)(P_t f)‖_∞ ≤ (C_n‖f‖_∞)/(t^(n/2)).
(c) Montrer que pour tout t > 0, on a
d/(dt)(P_t f) = 1/2(d^2)/(dx^2)(P_t f)

3. Partie II-B

Pour f ∈ C_b(ℝ), on pose Q_0 f = f ainsi que, pour tout x ∈ ℝ et tout t > 0,
Q_t f(x) = P_(1 − e^(− 2t))f(e^(− t)x).
On pose également
⟨f⟩, = ∫_ℝ f(x)γ_1(x)dx; Var(f), = ∫_ℝ(f(x) − ⟨f⟩)^2 γ_1(x)dx
3.1. Soit f ∈ C_b(ℝ). Montrer que pour tout t ≥ 0 et tout x ∈ ℝ, on a
Q_t f(x) = ∫_ℝ f(e^(− t)x − √(1 − e^(− 2t))y)γ_1(y)dy.
3.2. Soit f ∈ C_b(ℝ).
(a) Vérifier que, pour tout t > 0, l'application Q_t f est infiniment dérivable et que, pour tout x ∈ ℝ, l'application t ↦ Q_t f(x) est dérivable en tout t > 0.
(b) Soit t > 0. Montrer que ‖Q_t f‖_∞ ≤ ‖f‖_∞ et que, pour tout entier n ≥ 1, il existe une constante C_n ∈ ℝ indépendante de t et de f telle que
‖(d^n)/(dx^n)(Q_t f)‖_∞ ≤ (C_n‖f‖_∞)/(t^(n/2)).
(c) Montrer que pour tout t > 0, on a, pour tout x ∈ ℝ,
d/(dt)(Q_t f)(x) = (d^2)/(dx^2)(Q_t f)(x) − xd/(dx)(Q_t f)(x).
Pour toute fonction f : ℝ → ℝ de classe C^2 et tout x ∈ ℝ, on pose Lf(x) = f^(′′)(x) − xf^′(x).
3.3. Soient f : ℝ → ℝ et g : ℝ → ℝ des fonctions bornées de classe C^2 telles que f^′, g^′, f^(′′) et g^(′′) sont bornées. Après avoir vérifié que les intégrales sont convergentes, montrer l'égalité
− ∫_ℝ Lf(x)g(x)γ_1(x)dx = ∫_ℝ f^′(x)g^′(x)γ_1(x)dx
3.4. Soit f ∈ C_b(ℝ). Montrer que pour tout t > 0, on a
d/(dt)∫_ℝ Q_t f(x)γ_1(x)dx = 0
puis que, pour tout t ≥ 0, on a ⟨Q_t f⟩ = ⟨f⟩.
3.5. Soit f ∈ C_b(ℝ).
(a) Vérifier que l'intégrale double suivante est bien définie
I(f) = ∫_ℝ(∫_ℝ[f(x) − f(y)]^2 γ_1(x)dx)γ_1(y)dy
(b) Montrer que 1/2I(f) = Var(f).
3.6. Soit f : ℝ → ℝ une fonction dérivable bornée telle que f^′ ∈ C_b(ℝ). Montrer l'égalité
∫_ℝ xf(x)γ_1(x)dx = ∫_ℝ f^′(x)γ_1(x)dx
3.7. Soit f ∈ C_b(ℝ).
(a) Vérifier que les intégrales suivantes sont bien définies
I_1(f) = ∫_ℝ(∫_ℝ x[∫_y^x f(u)du]γ_1(x)dx)γ_1(y)dy; I_2(f) = ∫_ℝ(∫_ℝ y[∫_x^y f(u)du]γ_1(x)dx)γ_1(y)dy
(b) Montrer que I_1(f) = I_2(f) = ⟨f⟩.
3.8. Soit f : ℝ → ℝ une fonction dérivable bornée telle que f^′ ∈ C_b(ℝ).
(a) Montrer que pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, on a
[f(x) − f(y)]^2 ≤ (x − y)∫_y^x(f^′(u))^2 du
(b) Montrer l'inégalité
Var(f) ≤ ∫_ℝ(f^′(x))^2 γ_1(x)dx
3.9. Soit f ∈ C_b(ℝ).
(a) Montrer que si ⟨f⟩ = 0, on a
d/(dt)∫_ℝ(Q_t f)^2(x)γ_1(x)dx ≤ − 2∫_ℝ(Q_t f)^2(x)γ_1(x)dx
(b) Montrer que pour tout t > 0, on a
Var(Q_t f) ≤ e^(− 2t)Var(f)

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths C ENS MP 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths C ENS MP 2018 ?

La partie I porte sur les chaînes de Markov et l'algèbre bilinéaire (endomorphismes symétriques), la partie II sur les intégrales à paramètre, la convolution et les équations aux dérivées partielles.

Les parties I et II du sujet ENS maths C MP 2018 sont-elles indépendantes ?

Oui, l'énoncé précise que les parties I et II sont indépendantes, même si elles traitent toutes deux, sous des angles différents, discret et continu, de la convergence vers un équilibre.

Ce sujet nécessite-t-il des connaissances en probabilités continues ?

La partie II utilise des intégrales de fonctions gaussiennes et la notion de variance d'une fonction sous une mesure gaussienne, mais les techniques mobilisées relèvent essentiellement de l'analyse (intégrales à paramètre, convolution, équations différentielles).

Quel est le lien entre les deux parties de ce sujet ENS MP 2018 ?

Les deux parties démontrent, dans un cadre discret puis dans un cadre continu, la convergence exponentielle d'un système markovien vers son équilibre, la partie II via la décroissance de la variance sous le semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck.

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