Convergence faible, espace de Schwartz et transformée de Fourier bidimensionnelle
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Le problème introduit la convergence faible dans un espace préhilbertien réel, puis construit l'espace de Schwartz des fonctions à décroissance rapide sur R au carré et sa transformée de Fourier. Il en déduit une structure préhilbertienne permettant de faire passer à la limite un produit scalaire de deux suites qui ne convergent fortement ni l'une ni l'autre, ce qui constitue le théorème de Rellich.
1I. Convergence faibleDéfinition et premières propriétés de la convergence faible dans un espace préhilbertien réel.
2II. L'espace S(R^2;C)Étude des fonctions à décroissance rapide et à croissance lente, stables par dérivation et multiplication par les coordonnées.
3III. Endomorphismes commutant avec les opérateursDémonstration qu'un endomorphisme de l'espace de Schwartz commutant avec dérivation et multiplication est une homothétie.
4IV. La transformée de Fourier sur S(R^2;C)Construction de la transformée de Fourier bidimensionnelle et de ses propriétés d'échange avec dérivation et multiplication.
5V. Structure préhilbertienne et théorème de RellichConstruction d'un produit scalaire sur les fonctions à valeurs réelles et démonstration du théorème de Rellich sur la convergence forte.
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Soit d un entier valant 1 ou 2 . On rappelle qu'une fonction polynômiale sur ℝ^2 à valeurs complexes est un élément de Vect_ℂ{(t, s) ↦ t^k s^ℓ : k, ℓ ∈ ℕ}.
Une fonction g : ℝ^d → ℂ est dite bornée s'il existe une constante positive M pour laquelle l'inégalité |g(x)| ⩽ M est vraie pour tout vecteur x de ℝ^d.
Une fonction g : ℝ^d → ℂ est dite à décroissance rapide si pour toute fonction polynômiale P : ℝ^d → ℂ, la fonction gP est bornée sur ℝ^d. L'ensemble des fonctions continues à décroissance rapide est noté 𝒞_(rap)^0(ℝ^d; ℂ).
Une fonction h : ℝ^d → ℂ est dite à croissance lente s'il existe une fonction polynômiale P : ℝ^d → ℂ^∗ pour laquelle h/P est bornée sur ℝ^d.
Pour toute fonction f ∈ 𝒞^∞(ℝ^2; ℂ) et tout multi-indice α = (α_1, α_2) ∈ ℕ^2 on pose
∂^α f = ∂_1^(α_1)∂_2^(α_2)f
Par un abus de notation, si f ∈ 𝒞^∞(ℝ; ℂ) et n ∈ ℕ, on notera ∂^n f la fonction f^((n)) dans les deux lignes qui suivent. On introduit les ensembles suivants :
S(ℝ^d; ℂ), = {f ∈ 𝒞^∞(ℝ^d; ℂ) : ∀α ∈ ℕ^d, ∂^α f est à décroissance rapide }; O(ℝ^d; ℂ), = {h ∈ 𝒞^∞(ℝ^d; ℂ) : ∀α ∈ ℕ^d, ∂^α h est à croissance lente }
Pour k ∈ {1, 2} on considère les endomorphismes suivants de 𝒞^∞(ℝ^2; ℂ) :
∂_k : f ⟼ ∂_k f, M_k : f ⟼ {(x_1, x_2) ↦ x_k f(x_1, x_2)},
et les endomorphismes suivants de 𝒞^∞(ℝ; ℂ) :
D : f ⟼ f^′, M : f ⟼ {t ↦ tf(t)}.
Pour tout élément g de 𝒞_(rap)^0(ℝ^2; ℂ), la fonction (t, s) ↦ g(t, s)(1 + t^2)(1 + s^2) est bornée sur ℝ^2. En particulier, par le théorème de convergence dominée, les deux fonctions
t ↦ ∫_ℝ g(t, s)ds, s ↦ ∫_ℝ g(t, s)dt
sont bien définies, continues et intégrables sur ℝ. On admet dans tout le sujet le Théorème de Fubini sur 𝒞_(rap)^0(ℝ^2; ℂ) qui exprime l'égalité suivante pour les éléments g de cet espace :
∫_ℝ{∫_ℝ g(t, s)ds}dt = ∫_ℝ{∫_ℝ g(t, s)dt}ds
On notera dorénavant le nombre complexe précédent
∫_(ℝ^2)g
et on pourra utiliser sans la justifier l'inégalité
|∫_(ℝ^2)g| ⩽ ∫_(ℝ^2)|g|
Le but de ce sujet est de démontrer un résultat fondamental établi en 1974 et par la suite considérablement généralisé dans le cadre de l'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires.
Les parties I et II sont indépendantes. La partie III utilise des résultats de la partie II. La partie IV utilise ceux des parties II et III. La partie V dépend de toutes les précédentes.
I. Convergence faible
Soit ( H, ⟨ ⋅, ⋅ ⟩, ‖ ⋅ ‖ ) un espace préhilbertien réel. On dit qu'une suite (v_n)_(n ∈ ℕ) de H converge faiblement vers v ∈ H si, pour tout z ∈ H, ⟨v_n, z⟩ converge vers ⟨v, z⟩; ce mode de convergence sera dorénavant noté v_n → v. On dit que (v_n)_(n ∈ ℕ) converge fortement vers v lorsque ‖v − v_n‖ → 0 quand n → + ∞; ce mode de convergence est classiquement noté v_n → v.
(I.1) Démontrer que la limite faible, lorsqu'elle existe, est unique.
(I.2) Démontrer que la convergence forte implique la convergence faible.
(I.3) Démontrer que si v_n⇀v et si ‖v_n‖ converge vers ‖v‖, alors v_n → v.
(I.4) Démontrer que si H est de dimension finie, alors la convergence faible équivaut à la convergence forte.
(I.5) Soit (v_n)_(n ∈ ℕ) une suite bornée. Démontrer que si v_n⇀v et w_n → w, alors ⟨v_n, w_n⟩ → ⟨v, w⟩.
(I.6) Soit H = 𝒞^1([0, 1]; ℝ) muni du produit scalaire suivant pour f, g ∈ H
⟨f, g⟩ = ∫_0^1 f(t)g(t)dt
(I.6.a) En notant c_n : t ↦ cos(nt), montrer que la suite (c_n)_(n ∈ ℕ) est bornée dans H et que c_n⇀0.
Indication: On pourra utiliser une intégration par parties.
(I.6.b) Montrer cependant que (⟨c_n, c_n⟩)_(n ∈ ℕ) ne converge pas vers 0 .
Le reste du sujet se consacre à l'élaboration d'un cadre préhilbertien précis que l'on exploitera dans la partie V pour assurer le passage à la limite dans un produit ⟨v_n, w_n⟩ sans qu'aucune des deux suites (v_n)_(n ∈ ℕ) ou (w_n)_(n ∈ ℕ) ne converge fortement.
II. L'espace S(ℝ^d; ℂ)
Dans cette section nous allons établir quelques propriétés de l'espace S(ℝ^d; ℂ) qui nous seront utiles pour la suite.
On admet dans tout le sujet que S(ℝ^d; ℂ) et O(ℝ^d; ℂ) sont des sous-espaces vectoriels du ℂ-espace vectoriel 𝒞^∞(ℝ^d; ℂ) stables par les opérateurs ∂_k et M_k lorsque d = 2 et par les opérateurs D et M lorsque d = 1.
(II.1) Soit f ∈ S(ℝ^2; ℂ). Montrer qu'en fixant l'une ou l'autre de ses variables, la fonction d'une variable obtenue est un élément de S(ℝ; ℂ).
(II.2) Exhiber un élément γ ∈ S(ℝ; ℂ) qui ne s'annule en aucun point.
(II.3) Montrer que si f ∈ S(ℝ; ℂ) et g ∈ S(ℝ; ℂ), alors la fonction
f ⊗ g : ℝ^2, ⟶ ℂ; (x_1, x_2), ⟼ f(x_1)g(x_2)
appartient à S(ℝ^2; ℂ).
(II.4) Soit V un sous-espace vectoriel de 𝒞^∞(ℝ^2; ℂ) ne contenant que des fonctions bornées. On suppose que V est stable par les opérateurs ∂_k et M_k pour k ∈ {1, 2}. Démontrer que V ⊆ S(ℝ^2; ℂ).
(II.5) Montrer que si (h, f) ∈ O(ℝ^2; ℂ) × S(ℝ^2; ℂ), alors hf ∈ S(ℝ^2; ℂ). Indication: On peut traiter cette question en utilisant la précédente.
(II.6) À l'aide du théorème de convergence dominée sur ℝ, établir la version bidimensionnelle suivante : si (f_n)_(n ∈ ℕ) ∈ S(ℝ^2; ℂ)^ℕ converge simplement vers 0 sur ℝ^2 et s'il existe un élément g ∈ S(ℝ^2; ℂ) telle que |f_n| ⩽ |g| pour tout n, alors
∫_(ℝ^2)f_n ⟶ _(n → + ∞)0
III. Endomorphismes de S(ℝ^2; ℂ) commutant avec les opérateurs ∂_k et M_k
Dans cette section nous allons montrer qu'un endomorphisme de ℂ-espace vectoriel de S(ℝ^2; ℂ) commutant avec les opérateurs ∂_k et M_k est nécessairement une homothétie. Nous commençons par le cas d'une seule variable, où les opérateurs précédents sont simplement remplacés par D et M.
(III.1) Soit L un endomorphisme de ℂ-espace vectoriel de S(ℝ, ℂ) commutant avec M .
(III.1.a) En utilisant une formule de Taylor, montrer que si f ∈ S(ℝ; ℂ) s'annule en a ∈ ℝ, alors f s'écrit f(s) = (s − a)g(s) où g ∈ S(ℝ; ℂ).
(III.1.b) Démontrer que si f ∈ S(ℝ; ℂ) s'annule en a ∈ ℝ, alors L(f) également.
(III.1.c) Soient g, f ∈ S(ℝ; ℂ) et a ∈ ℝ. Montrer que f(a)L(g)(a) = g(a)L(f)(a).
(III.1.d) En déduire l'existence d'une fonction ψ ∈ 𝒞^∞(ℝ; ℂ) telle que L(f) = ψf.
(III.1.e) Montrer que si L commute en plus avec D , alors L est une homothétie, i.e. qu'il existe α ∈ ℂ tel que pour toute f ∈ S(ℝ; ℂ), on ait L(f) = αf.
(III.2) Soit T un endomorphisme de ℂ-espace vectoriel de S(ℝ^2; ℂ) commutant avec tous les opérateurs ∂_k et M_k, pour k = 1, 2.
(III.2.a) Soit a ∈ ℝ et
μ_a : S(ℝ^2; ℂ), ⟶ S(ℝ; ℂ); f, ⟼ {t ↦ f(t, a)}.
Démontrer que μ_a est une surjection linéaire.
On admet l'égalité Ker μ_a = Imν_a, où ν_a désigne l'endomorphisme M_2 − aI de S(ℝ^2; ℂ) avec I l'endomorphisme identité sur S(ℝ^2; ℂ). La preuve de cette égalité est analogue à celle développée pour la question (III.1.a).
(III.2.b) Montrer que pour h ∈ S(ℝ; ℂ), l'application μ_a ∘ T est constante sur l'ensemble μ_a^(− 1)(h).
La valeur que prend μ_a ∘ T sur μ_a^(− 1)(h) sera par la suite notée L_a(h); c'est un élément de S(ℝ; ℂ).
(III.2.c) Montrer que pour tout a ∈ ℝ l'application L_a est un endomorphisme de S(ℝ; ℂ) commutant avec D et M .
(III.2.d) En déduire l'existence d'une fonction β ∈ 𝒞^∞(ℝ; ℂ) telle que pour tout couple (t, a) de ℝ^2, on ait T(f)(t, a) = β(a)f(t, a). Conclure.
IV. La transformée de Fourier sur S(ℝ^2; ℂ)
Pour ξ ∈ ℝ^2, on note e_ξ la fonction de ℝ^2 dans ℂ définie par la formule e_ξ(x) = e^(− i(x|ξ)), où (⋅ | ⋅) est le produit scalaire euclidien sur ℝ^2.
(IV.1) Pour f ∈ S(ℝ^2; ℂ) on pose
Γ(f) : ℝ^2, ⟶ ℂ; (z, t), ⟼ ∫_ℝ e^(− isz)f(t, s)ds
(IV.1.a) Démontrer que pour f ∈ S(ℝ^2; ℂ), Γ(f) est bien définie et continue sur ℝ^2.
(IV.1.b) Démontrer que pour f ∈ S(ℝ^2; ℂ), Γ(f) est de classe 𝒞^1(ℝ^2; ℂ) en exprimant ∂_1 Γ(f) et ∂_2 Γ(f).
(IV.1.c) Démontrer que pour f ∈ S(ℝ^2; ℂ) et α ∈ ℕ^2∖{(0, 0)}, ∂^α Γ(f) est bien définie et qu'il existe une fonction g ∈ S(ℝ^2; ℂ) telle que ∂^α Γ(f) = Γ(g). En déduire le caractère 𝒞^∞(ℝ^2; ℂ) de Γ(f).
(IV.2) En utilisant (II.4), montrer que Γ(f) ∈ S(ℝ^2; ℂ).
(IV.3) Soit f ∈ S(ℝ^2; ℂ), montrer que pour tout ξ ∈ ℝ^2, e_ξ f ∈ S(ℝ^2; ℂ).
Pour f ∈ S(ℝ^2; ℂ), on introduit sa transformée de Fourier :
f^ : ℝ^2, ⟶ ℂ; ξ, ⟼ ∫_(ℝ^2)e_ξ f.
(IV.4) Que vaut Γ ∘ Γ(f) ? En déduire que fˆ ∈ S(ℝ^2; ℂ).
De la même manière qu'en (II.6) nous avons établi un théorème de convergence dominée bidimensionnel, il est possible de démontrer un théorème de dérivation sous l'intégrale et une formule d'intégration par parties sur ℝ^2. Avec l'aide de tels résultats on peut démontrer les formules suivantes pour k = 1, 2, que l'on admet jusqu'à la fin de l'énoncé :
∂_k fˆ, = − iM_k fˆ; M_k fˆ, = − i∂_k fˆ
(IV.5) Montrer l'existence d'une constante α ∈ ℂ telle que pour tout élément f ∈ S(ℝ^2; ℂ), f^ˆ = αfˇ, où fˇ est définie par fˇ(x) = f(− x).
(IV.6) On considère sur S(ℝ^2; ℂ) l'endomorphisme h ↦ h^⋆ défini par h^⋆(x_1, x_2) = h(x_2, x_1).
(IV.6.a) Pour f, g ∈ S(ℝ^2; ℂ), montrer que
∫_(ℝ^2)gΓ(f) = ∫_(ℝ^2)Γ(g^⋆)^⋆f
(IV.6.b) En déduire
∫_(ℝ^2)gf^ = ∫_(ℝ^2)g^f
Indication : Démontrer que les endomorphismes g ↦ g^⋆ et g ↦ gˆ de S(ℝ^2; ℂ) commutent.
(IV.7) En déduire que, pour f, g ∈ S(ℝ^2; ℂ), on a
∫_(ℝ^2)fˆgˆ^– = α∫_(ℝ^2)fg¯
où g ↦ g¯ désigne la conjugaison complexe et α le nombre complexe de la question (IV.5), dont on démontrera qu'il est réel et strictement positif.
V. Structure préhilbertienne sur S(ℝ^2; ℝ)
Pour deux éléments h_1, h_2 ∈ 𝒞_(rap)^0(ℝ^2; ℂ) on définit
⟨h_1, h_2⟩ = Re∫_(ℝ^2)h_1^–h_2
On admet par la suite que l'expression ‖h‖_2 = √(⟨h, h⟩) définit une norme sur 𝒞_(rap)^0(ℝ^2; ℂ) et que l'on dispose de l'inégalité de Cauchy-Schwarz suivante (cas complexe) :
Le sous-espace S(ℝ^2; ℝ) des fonctions de S(ℝ^2; ℂ) à valeurs réelles muni de ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ est un espace préhilbertien ; c'est dans ce cadre que nous allons reprendre la notion de convergence faible introduite dans la partie I.
Une suite (h_n)_(n ∈ ℕ) de S(ℝ^2; ℝ) sera dite bornée si la suite (‖h_n‖_2)_(n ∈ ℕ) est bornée dans ℝ.
On rappelle que pour tout élément h ∈ S(ℝ^2; ℂ), on a défini dans la partie IV sa transformée de Fourier, laquelle est notée hˆ.
Pour tout entier naturel N ⩾ 1 on pourra utiliser sans preuve le résultat suivant : il existe une fonction paire θ_N ∈ S(ℝ^2; ℝ) à valeurs dans [0, 1], identiquement égale à 1 sur le carré [ − N, N]^2, identiquement nulle en dehors du carré [ − 3N, 3N]^2 et telle que |∂_k θ_N| ⩽ 1 pour k = 1, 2.
(V.1) Soient (f_n)_(n ∈ ℕ) et (g_n)_(n ∈ ℕ) deux suites bornées de S(ℝ^2; ℝ) convergeant faiblement vers 0 dans cet espace (voir partie I ).
(V.1.a) Montrer que pour toute fonction θ ∈ S(ℝ^2; ℝ), les suites (θg_n ˆ)_(n ∈ ℕ) et (θf_n ˆ)_(n ∈ ℕ) convergent simplement vers 0 sur ℝ^2 et que
(V.1.b) On suppose l'existence d'un compact K ⊂ ℝ^2 en dehors duquel toutes les fonctions g_n sont identiquement nulles. Montrer que pour tout n ∈ ℕ on a ⟨f_n, g_n⟩ = ⟨φ_n, ψ_n⟩, où (φ_n)_(n ∈ ℕ) et (ψ_n)_(n ∈ ℕ) sont deux suites de S(ℝ^2; ℝ) telles que (φ_n ˆ)_(n ∈ ℕ) et (ψ_n ˆ)_(n ∈ ℕ) convergent simplement vers 0 sur ℝ^2 et
(V.1.c) En déduire (toujours en supposant l'existence de K ) que si (∂_1 f_n)_(n ∈ ℕ) et (∂_2 g_n)_(n ∈ ℕ) sont bornées dans S(ℝ^2; ℝ), alors ⟨f_n, g_n⟩ → 0.
Indication: On pourra montrer que |1 − θ_N(x_1, x_2)| ⩽ (|x_1| + |x_2|)/N.
(V.2) Montrer le Théorème de Rellich : soit K un compact de ℝ^2 et (h_n)_(n ∈ ℕ) une suite bornée dans S(ℝ^2; ℝ) identiquement nulle en dehors de K et convergeant faiblement. Si (∂_1 h_n)_(n ∈ ℕ) et (∂_2 h_n)_(n ∈ ℕ) sont également bornées dans S(ℝ^2; ℝ), alors (h_n)_(n ∈ ℕ) converge fortement.
(V.3) Pour cette dernière question étant donnés deux éléments F = (f_1, f_2) et G = (g_1, g_2) de S(ℝ^2; ℝ)^2 on pose
⟨⟨F, G⟩⟩ = ⟨f_1, g_1⟩ + ⟨f_2, g_2⟩.
On admet que ⟨⟨ ⋅, ⋅ ⟩⟩ est un produit scalaire sur S(ℝ^2; ℝ)^2 et on y considère (F_n)_(n ∈ ℕ), (G_n)_(n ∈ ℕ) deux suites bornées convergeant faiblement vers F et G. On suppose l'existence d'un compact K ⊂ ℝ^2 en dehors duquel les éléments de la suite (G_n)_(n ∈ ℕ) sont identiquement nuls. Démontrer que si (div(F_n))_(n ∈ ℕ) et (rot(G_n))_(n ∈ ℕ) sont bornées dans S(ℝ^2; ℝ), alors
⟨⟨F_n, G_n⟩⟩ ⟶ ⟨⟨F, G⟩⟩,
où la divergence et le rotationnel d'une application H = (h_1, h_2) ∈ S(ℝ^2; ℝ)^2 sont définis par
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Le sujet porte sur les espaces préhilbertiens, la convergence faible, l'espace de Schwartz et la transformée de Fourier en deux variables.
Quelles parties sont indépendantes ?
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Les parties I et II sont indépendantes. La partie III utilise les résultats de la partie II, la partie IV utilise ceux des parties II et III, et la partie V dépend de toutes les parties précédentes.
Faut-il connaître l'espace de Schwartz avant de traiter ce sujet ?
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Non, l'énoncé définit entièrement les fonctions à décroissance rapide et à croissance lente ainsi que l'espace de Schwartz dès la partie II.
Quel est le résultat final démontré dans ce problème ?
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Le sujet établit le théorème de Rellich : sous des hypothèses de bornitude et de convergence faible, une suite de fonctions à support compact converge fortement dans l'espace de Schwartz.
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