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ENS Mathématiques D MP 2019Sujet et corrigé

Pas encore noté
  • Séries de Dirichlet et convolution arithmétique
  • Sommation d'Abel
  • Groupes cycliques et caractères
  • Extensions de corps et polynômes cyclotomiques
  • Déterminants et algèbre linéaire
  • Fonctions de Bernoulli et sommes de Gauss
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Séries de Dirichlet, caractères modulo p et fonctions arithmétiques périodiques
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Ce sujet de mathématiques D, filière MP, comporte quatre parties. Il étudie les séries de Dirichlet associées à des fonctions arithmétiques (convolution, sommation d'Abel, méthode de l'hyperbole), les caractères modulo un nombre premier p, des sommes trigonométriques liées à la fonction de Bernoulli et aux sommes de Gauss, puis conclut par de l'algèbre linéaire sur le corps cyclotomique Q(xi_p) pour déterminer quand une fonction p-périodique impaire vérifie D_k(1,f) = 0.

  1. 1Partie I - Séries de Dirichlet et formules de sommationÉtablit la sommation d'Abel, la méthode de l'hyperbole et des conditions de convergence pour les séries de Dirichlet associées à des fonctions arithmétiques, et introduit la fonction zêta.
  2. 2Partie II - Caractères modulo pÉtudie le groupe des caractères modulo p, montre que le groupe multiplicatif (Z/pZ)* est cyclique, et établit des relations d'orthogonalité entre caractères.
  3. 3Partie III - Calculs autour de D_k(1,f)Relie la fonction L(1,χ) à une somme trigonométrique faisant intervenir la fonction de Bernoulli et une somme de Gauss, pour exprimer D_k(1,f) à l'aide de sommes finies impliquant la cotangente.
  4. 4Partie IV - Un peu d'algèbre linéaireÉtudie le corps Q(xi_p) engendré par une racine de l'unité et ses automorphismes, et en déduit, à l'aide d'un déterminant explicite, la dimension de l'espace des fonctions f p-périodiques impaires telles que D_k(1,f) = 0.

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2019

MERCREDI 24 AVRIL 2019-8h00-14h00
FILIERE MP - Epreuve n^∘7

MATHEMATIQUES D

(U)
Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Le sujet comprend 8 pages numérotées de 1 à 8 .
On désigne par ℕ^∗ l'ensemble des entiers ⩾ 1. On notera d|n la relation de divisibilité entre deux entiers d et n. On appelle fonction arithmétique tout élément de 𝔉(ℕ^∗, ℂ). On munit 𝔉(ℕ^∗, ℂ) d'une loi de composition interne * appelée convolution et définie par
(f∗g)(n):=∑_(d|n)f(d)g(n/d)
où la somme porte sur l'ensemble des diviseurs d de n. On admettra que la convolution est bien une opération interne et qu'elle est commutative et associative.
On appelle série de Dirichlet associée à f la série, dépendant d'un paramètre réel s,
∑_(n = 1)^∞(f(n))/(n^s)
On note L(s, f) la somme de cette série en tout point de convergence s ∈ ℝ.
On considère la fonction τ_k ∈ F(ℕ^∗, ℂ) définie par τ_k = 1∗⋯∗1 où 1 ∈ F(ℕ^∗, ℂ) désigne la fonction constante valant 1 . Lorsque n ∈ ℕ^∗, on a donc
τ_k(n) = ∑_((m_1, …, m_k) ∈ (ℕ^∗)^k; m_1⋯m_k = n)1 = card{(m_1, …, m_k) ∈ (ℕ^∗)^k : m_1⋯m_k = n}
Ainsi τ_2(n) désigne le nombre de diviseurs de l'entier n et τ_1(n) = 1 pour tout n ∈ ℕ^∗.
On note D_k(s, f) = L(s, τ_k f) la somme de la série de Dirichlet associée au produit (classique) τ_k f des fonctions arithmétiques τ_k et f en tout point de convergence s ∈ ℝ. Finalement, étant donné un nombre premier p, on introduit la fonction μ_p : F(ℕ^∗, ℂ) → ℂ définie par
μ_p(f):=∑_(k = 1)^p f(k)
Le but de ce problème est d'étudier dans quel cas une fonction f ∈ F(ℕ^∗, ℂ) qui est p-périodique satisfait D_k(1, f) = 0. On obtiendra un résultat complet lorsque f est à valeurs dans ℚ.
On introduit aussi la somme S_f : ℝ^+ → ℂ appelée fonction sommatoire associée à la fonction arithmétique f ∈ F(ℕ^∗, ℂ) définie par
S_f(x):=∑_(1 ⩽ n ⩽ x)f(n)
où x ∈ ℝ^+. La sommation sur les entiers n tels que 1 ⩽ n ⩽ x signifie que l'on somme n entre 1 et [x] où [x] désigne la partie entière de x.

I- Séries de Dirichlet et formules de sommation.

Soit p un nombre premier. On note F(ℤ, K) l'ensemble des applications de ℤ dans K où K est un corps qui pourra être ℝ, ℂ ou ℚ et F_p^−(ℤ, K) l'ensemble des éléments de 𝔉(ℤ, K) qui sont de plus impairs et p-périodiques.
  1. Lorsque f ∈ F_p^−(ℤ, ℂ), montrer que l'on a μ_p(f) = 0.
  2. Sommation d'Abel. Soient g : [1, + ∞[ → ℂ une fonction dérivable sur l'intervalle [1, + ∞[ tout entier et h ∈ F(ℕ^∗, ℂ) une fonction arithmétique. Montrer que l'identité suivante est valable pour tout x ⩾ 1,
∑_(1 ⩽ n ⩽ x)h(n)g(n) = S_h(x)g(x) − ∫_1^x S_h(t)g^′(t)dt
  1. La méthode de l'hyperbole. Montrer que pour toutes f, g ∈ F(ℕ^∗, ℂ) et tous x, y ∈ ℝ tels que 1 ⩽ y ⩽ x on a :
S_(f∗g)(x) = ∑_(1 ⩽ n ⩽ y)g(n)S_f(x/n) + ∑_(1 ⩽ n ⩽ x/y)f(n)S_g(x/n) − S_f(x/y)S_g(y).
  1. a) Soient f ∈ F(ℕ^∗, ℂ) bornée et s > 1. Montrer que la série
∑_(n = 1)^∞(f(n))/(n^s)
est absolument convergente. On note L(f, s) sa somme.
b) Soient f et g dans F(ℕ^∗, ℂ). Montrer que lorsque les séries ∑_(n = 1)^∞(f(n))/(n^s) et ∑_(n = 1)^∞(g(n))/(n^s) sont absolument convergentes, alors la série ∑_(n = 1)^∞((f∗g)(n))/(n^s) est encore absolument convergente.
c) On appelle fonction complètement multiplicative une fonction f ∈ F(ℕ^∗, ℂ) vérifiant f(mn) = f(n)f(m) pour tous m, n ∈ ℕ^∗. Soit f ∈ F(ℕ^∗, ℂ) complètement multiplicative. Montrer que pour tout s > 1 on a
L(s, f) = ∏_(ℓ premier)(1 − (f(ℓ))/(ℓ^s))^(− 1).
  1. a) Soit f ∈ F(ℕ^∗, ℂ) telle qu'il existe α > 0 et M > 0 tels que |S_f(x)| ⩽ Mx^α pour tout x ⩾ 1. En utilisant une sommation d'Abel (Question I.2), montrer que, pour tout s > α, la série ∑_(n = 1)^∞(f(n))/(n^s) converge et que sa somme vaut
L(s, f) = s∫_1^(+ ∞)S_f(t)t^(− s − 1) dt
b) En déduire que l'application ]α, + ∞[ → ℂ, s ↦ L(s, f) est continue.
c) Soit f ∈ F_p^−(ℤ, ℂ). Montrer que, pour tout réel s > 0, la série ∑_(n = 1)^∞(f(n))/(n^s) est convergente et que l'application ]0, + ∞[ → ℂ, s ↦ L(s, f) est continue.
d) On pose ζ(s):=L(s, 1) en tout point de convergence s ∈ ℝ. Soit s > 1. Montrer que la série ∑_(n = 1)^∞1/(n^s) est bien convergente. En s'inspirant de la question a), montrer
lim_(s → 1; s > 1)((s − 1)ζ(s)) = 1

II- Caractères modulo p.

Nous rappelons que p est un nombre premier fixé. Soit G = (ℤ/pℤ)^×le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau ℤ/pℤ. Soit
Gˆ = {g : G → 𝕌 morphisme }
le groupe des morphismes de G vers le groupe multiplicatif 𝕌 des nombres complexes de module 1 . On munit Gˆ de la loi de groupe déduite de la multiplication dans 𝕌. On peut relever un morphisme g ∈ Gˆ en une fonction χ ∈ F(ℤ, ℂ) en posant
χ(n) = {g(n), si pgcd(n, p) = 1; 0, sinon
On dit alors que χ est un caractère modulo p. On appelle caractère principal modulo p la fonction χ_0 ∈ F(ℤ, ℂ) associée à l'élément neutre de Gˆ. Autrement dit χ_0 est définie par
χ_0(n) = {1, si pgcd(n, p) = 1; 0, sinon
On définit le conjugué χ¯ d'un caractère χparχ¯(n) = χ(n)^– pour tout n ∈ ℤ.
6. Soit χ un caractère modulo p.
a) Montrer que χ est une fonction arithmétique complètement multiplicative.
b) Montrer que χ est impair si, et seulement si, l'on a χ(− 1) = − 1.
c) Montrer que, pour tous entiers k ⩾ 1 et n ⩾ 1, on a
(χτ_(k + 1))(n) = (χ∗(χτ_k))(n)
  1. Soit H un groupe fini commutatif.
    a) Soient x ∈ H d'ordre s et y ∈ H d'ordre t avec pgcd(s, t) = 1. Montrer qu'il existe un élément z ∈ H d'ordre égal à st.
    b) En déduire que si x ∈ H est d'ordre s et y ∈ H est d'ordre t avec pgcd(s, t) = 1 alors il existe z ∈ H tel que l'ordre de z soit ppcm(s, t).
    c) Soit h ∈ H d'ordre maximal. Montrer que pour tout x ∈ H l'ordre de x divise l'ordre de h.
    d) En déduire que le groupe G = (ℤ/pℤ)^×est cyclique.
  2. a) Montrer que Gˆ est un groupe de cardinal p − 1 et que Gˆ est cyclique.
    b) Soit χ caractère non principal modulo p différent de χ_0. Montrer que μ_p(χ) = 0.
    c) Montrer de plus que, pour tout entier c premier à p, on a :
∑_(χmodp)χ(n)χ¯(c) = {p − 1, si n ≡ cmodp; 0, sinon.
  1. a) Soit ε > 0. On admettra qu'il existe un nombre réel T_(2, ε) tel que, pour tout n ∈ ℕ^∗, on ait τ_2(n) ⩽ T_(2, ε)n^ε. Montrer qu'alors, pour tout entier k ⩾ 3, il existe un nombre réel T_(k, ε) tel que, pour tout n ∈ ℕ^∗, on ait τ_k(n) ⩽ T_(k, ε)n^ε.
    b) On pourra utiliser librement la question a) pour répondre à la question suivante. Soit χ un caractère modulo p différent de χ_0. En utilisant la méthode de l'hyperbole (Question I.3) avec un choix pertinent de y, montrer que, pour tout k ∈ ℕ^∗ et tout ε > 0, il existe M_k(p, ε) tel que, pour tout x ∈ ℝ^+on ait
|S_(χτ_k)(x)| ⩽ M_k(p, ε)x^(1 − 1/k + ε).
  1. Soit χ un caractère modulo p différent de χ_0 et soit k un entier > 0. Déduire de la question précédente que, pour tout s ∈ ]1 − 1/k, + ∞[, la série ∑_(n = 1)^∞(τ_k(n)χ(n))/(n^s) est convergente et que la fonction ]1 − 1/k, + ∞[ → ℂ, s ↦ D_k(s, χ) est une fonction continue. Montrer la relation
D_k(1, χ) = L(1, χ)^k
III- Calculs autour de D_k(1, f).
Étant donné un nombre premier p, un entier strictement positif k et un entier relatif r, on considère la somme finie
x_k(r; p):=1/(p^k)∑_((m_1, …, m_k) ∈ {1, …, p − 1}^k; m_1⋯m_k ≡ rmodp)cot((πm_1)/p)⋯cot((πm_k)/p)
où cot désigne la fonction cotangente qui est le rapport du cosinus avec le sinus. Lorsque cette somme est vide, on conviendra qu'elle vaut 0 .
On note ⟨x⟩:=x − [x] la partie fractionnaire d'un nombre réel x et aussi B : ℝ → ℝ la première fonction de Bernoulli définie par
B(x):={⟨x⟩ − 1/2, si x ∉ ℤ; 0, sinon
On admettra que, pour tout x ∈ ℝ, la série
(− 1)/π∑_(n = 1)^∞(sin(2πnx))/n
converge simplement vers B(x).
11. Montrer que l'application ℤ → ℂ, r ↦ x_k(r; p) est impaire et p-périodique.
12. Soit k un entier strictement positif et soit r un entier relatif premier à p. Montrer que
lim_(N → + ∞)(∑_(|n| ⩽ N; n ≡ rmodp)(τ_k(|n|))/n) = 1/(p − 1)∑_(χmodp; χ ≠ χ_0)χ¯(r)(1 − χ(− 1))L(1, χ)^k
  1. On note, dans cette question et dans les questions suivantes,
e(t) = e^(2πit) (t ∈ ℝ)
Soit m un entier relatif premier à p. Montrer que
σ_p(m):=∑_(a = 1)^(p − 1)B(a/p)e((am)/p) = − i/2cot((πm)/p).
  1. Soient χ un caractère modulo p et un entier n ∈ ℤ. On appelle somme de Gauss le nombre complexe τ(χ, n) défini par la somme finie
τ(χ, n):=∑_(m = 1)^p χ(m)e(mn/p)
On notera simplement τ(χ) le nombre τ(χ, 1).
a) Supposons χ ≠ χ_0. Montrer que
τ(χ, n) = χ¯(n)τ(χ)
b) Supposons χ ≠ χ_0. En calculant ∑_(n = 1)^p|τ(χ, n)|^2, montrer que
|τ(χ)|^2 = p
c) En utilisant les questions a et b, montrer que
L(1, χ) = (πiτ(χ))/p∑_(a = 1)^p χ¯(a)B(a/p)
  1. Soit χ un caractère modulo p impair. En utilisant la formule de la question précédente, montrer que
L(1, χ) = π/(2p)∑_(m = 1)^p χ(m)cot((πm)/p)
  1. Soit k ∈ ℕ^∗ et soit r un entier relatif premier à p. Montrer que
x_k(r; p) = 1/2(2/π)^k lim_(N → + ∞)(∑_(|n| ⩽ N; n ≡ rmodp)(τ_k(|n|))/n)
En déduire que pour tout f ∈ F_p^−(ℤ, ℂ) on a
D_k(1, f) = 2(π/2)^k∑_(r = 1)^((p − 1)/2)f(r)x_k(r; p)
  1. Soit s > 1. Montrer que
∑_(n ∈ ℕ^∗; n ≡ 0modp)(τ_k(n))/(n^s)
est convergente de somme égale à ζ(s)^k − L(s, χ_0)^k. Puis montrer que
L(s, χ_0)^k = ζ(s)^k(1 − 1/p^s)^k
  1. Dans cette question, on suppose que le nombre premier p est impair. Soient k un entier ⩾ 2 et f une fonction p-périodique dans F(ℤ, ℂ). Montrer que D_k(s, f) tend vers une limite finie lorsque s tend vers 1 par valeur supérieure si, et seulement si, f(0) = 0 et μ_p(f) = 0. Dans ce cas-là, montrer que l'on a
lim_(s → 1; s > 1)D_k(s, f) = 1/(p − 1)∑_(χ; χ ≠ χ_0)c_χ(f)L(1, χ)^k
où la somme porte sur l'ensemble des caractères modulo p et où c_χ(f) = ∑_(r = 1)^p f(r)χ¯(r). Pour cela, on pourra utiliser la question III.16.

IV- Un peu d'algèbre linéaire ...

  1. Soit α un nombre complexe qui annule un polynôme non nul de ℚ[X].
Soit ℚ[α] = {z ∈ ℂ : ∃P ∈ ℚ[X] z = P(α)}. On considère π_α le polynôme unitaire de ℚ[X] de degré minimal qui admet pour racine α.
a) Montrer que ℚ[α] est un ℚ-espace vectoriel de dimension deg(π_α).
b) Soit x un élément non nul de ℚ[α]. Montrer que la multiplication par x induit un endomorphisme de ℚ[α]. En déduire que x admet un inverse dans ℚ[α].
c) En déduire que ℚ[α] = ℚ(α) avec
ℚ(α) = {z ∈ ℂ : ∃P, R ∈ ℚ[X] z = P(α)/R(α), R(α) ≠ 0}
On rappelle que p est un nombre premier fixé.
20. Dans cette question, on pourra utiliser librement que si P ∈ ℤ[X] est un polynôme de degré n de la forme P(X) = ∑_(0 ⩽ k ⩽ n)a_n X^n satisfaisant p∤a_n, p|a_k pour tout 0 ⩽ k ⩽ n − 1 et p^2∤a_0, alors P est irréductible dans ℚ[X].
a) Soit P_p(X) = X^(p − 1) + X^(p − 2) + … + 1. En considérant P_p(X + 1), montrer que le polynôme P_p est irréductible dans ℚ[X].
b) Soient ξ_p = e(1/p). Montrer que P_p est le polynôme minimal de ξ_p. Montrer que pour, tout entier 1 ⩽ c ⩽ p − 1, on a P_p(ξ_p^c) = 0.
c) Soit c un entier premier à p. Montrer qu'il existe une application Φ_c : ℚ[ξ_p] → ℚ[ξ_p] vérifiant
Φ_c(P(ξ_p)) = P(ξ_p^c)
Montrer que Φ_c définit un automorphismedu corps ℚ[ξ_p].
d) Soient Q et R ∈ ℚ[X] tels que R(ξ_p) ≠ 0. Montrer que
Φ_c((Q(ξ_p))/(R(ξ_p))) = (Q(ξ_p^c))/(R(ξ_p^c))
On supposera dorénavant que le nombre premier p est impair.
21. Soient k un entier strictement positif et r un entier relatif premier à p.
a) Montrer que i^k x_k(r; p) ∈ ℚ(ξ_p).
b) Montrer que Φ_c(i^k x_k(r; p)) = i^k x_k(c^k r; p).
Soit v = (v_0, …, v_(m − 1)) ∈ ℂ^m. On pose
A_m(v):=(v_0, v_1, …, v_(m − 2), v_(m − 1); v_1, v_2, …, v_(m − 1), − v_0; ⋮, ⋮, ⋮, ⋮; v_(m − 1), − v_0, − v_1, …, − v_(m − 2))
  1. Soient k un entier naturel premier à p − 1 et f ∈ F_p^−(ℤ, ℚ) tels que D_k(1, f) = 0. On note a un générateur du groupe cyclique (ℤ/pℤ)^×.
    a) Montrer que
∑_(j = 0)^(p − 2)f(a^j)x_k(a^j, p) = 0
En utilisant les morphismes Φ_c, montrer que, pour tout ℓ ∈ ℤ, on a
∑_(j = 0)^(p − 2)f(a^j)x_k(a^(j + ℓ), p) = 0
En déduire la relation
∑_(j = 0)^((p − 3)/2)f(a^j)x_k(a^(j + ℓ), p) = 0
b) Soient x = (x_k(1, p), x_k(a, p), …, x_k(a^((p − 3)/2), p)) ∈ ℂ^((p − 1)/2) et y le vecteur colonne défini par ^t y = (f(1), f(a), …, f(a^((p − 3)/2)) ∈ ℂ^((p − 1)/2). Déduire de la question précédente que
A_((p − 1)/2)(x) ⋅ y = 0 ∈ ℂ^((p − 1)/2)
  1. Le but de cette question est de montrer pour tout m ⩾ 1 et v ∈ ℂ^m on a
dét(A_m(v)) = (cos(1/2πm) + sin(1/2πm))∏_(ℓ = 0; ℓ impair)^(2m)(∑_(j = 0)^(m − 1)v_j ξ_(2m)^(jℓ))
a) Commencer par vérifier cette formule lorsque v = e_1 où e_1 = (1, 0, …, 0).
b) Soit (e_j)_(j = 0)^(m − 1) la base canonique de ℂ^m. Montrer que A_m(v)A_m(e_1) = C_m(v) avec
C_m(v) = (v_0, − v_(m − 1), …, − v_2, − v_1; v_1, v_0, …, − v_3, − v_2; ⋮, ⋮, ⋮, ⋮; v_(m − 1), v_(m − 2), v_1, …, v_0)
c) Montrer que les vecteurs
c_ℓ = ^t(ξ_(2m)^(mℓ), ξ_(2m)^((m − 1)ℓ), …, ξ_(2m)^ℓ)
avec ℓ impair et 1 ⩽ ℓ ⩽ 2m sont des vecteurs propres de C_m(v) dont on calculera les valeurs propres.
d) En déduire le résultat concernant la valeur de dét (A_m(v)).
24. a) Déduire de la question précédente que pour
x = (x_k(1, p), x_k(a, p), …, x_k(a^((p − 3)/2), p))
on a
dét(A_((p − 1)/2)(x)) = (cos(1/4π(p − 1)) + sin(1/4π(p − 1)))(2^((k − 1)(p − 1)/2))/(π^(k(p − 1)/2))∏_(ℓ = 0; ℓ impair)^(p − 1)L(1, χ_∗^ℓ)^k
où χ_∗ est un générateur du groupe des caractères modulo p.
b) Soit V = F_p^−(ℤ, ℚ). Déduire de a) que, si L(1, χ) ≠ 0 pour tout caractère χ impair modulo p, alors la dimension du ℚ-sous-espace vectoriel
{f ∈ V : D_k(1, f) = 0}
vaut 0 .
25. Soient p ≡ 3mod4 et χ est un caractère réel impair modulo p. Montrer à partir du résultat de la question III-14c que l'on a L(1, χ) ≠ 0.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques D, filière MP, ENS 2019 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques D, filière MP, ENS 2019 ?

Il porte sur les séries de Dirichlet, les caractères modulo p, les sommes de Gauss et la fonction de Bernoulli, puis sur l'algèbre linéaire dans le corps cyclotomique Q(xi_p).

Ce sujet nécessite-t-il des connaissances de théorie des groupes ?

Oui, il utilise le caractère cyclique du groupe (Z/pZ)*, les caractères modulo p et le groupe des automorphismes du corps Q(xi_p).

Quel est l'objectif principal de ce sujet ?

Déterminer dans quel cas une fonction arithmétique f, p-périodique et impaire, vérifie D_k(1, f) = 0, avec un résultat complet lorsque f est à valeurs rationnelles.

Ce sujet fait-il intervenir la fonction zêta de Riemann ?

Oui, elle est introduite dans la partie I comme la série de Dirichlet L(s, 1) associée à la fonction constante égale à 1.

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